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第六章金属电子论

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6.1电子气的费米能和热容量

6.1电子气的费米能和热容量

均势能的势场中运动)； (3)价电子服从费米—狄拉克分布。
g n e( EEF ) kBT 1
2.费米分布函数
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
2




3 5
EF0

π2 4
(kBT )2 EF0
2.每个电子对热容量的贡献
CV


E T
V

π2 2
kB
kBT EF0

π2 2

T TF0
kB
TF0 EF0 kB
CV

π2 2

T TF0
kB
在常温下晶格振动对热容量的贡献的量级为J/mol·k2而
第六章 金属自由电子论
电子气的费米能和热容量 接触电势差 玻尔兹曼方程 驰豫时间的统计理论 金属电导率
§6.1 电子气的费米能和热容量
自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用 的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量
1.模型(索末菲)ห้องสมุดไป่ตู้
(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平
kBT TF0
2


当温度升高时，EF 降低。
在金属熔点以下,T<< TF0 , EF与 EF0 差别不大。
二 金属中电子气的热容量
1.每个电子的平均能量

第十六讲金属中自由电子气模型

第十六讲金属中自由电子气模型

- - -（ 7）
3(z L) = 3(z)
用 通 解 的 前 一 种 表 示 ， 分 别 假 定 波 沿 x,y,z 负 方 向 传 播 ， 可 得
波矢：
kx =
2n x L
ky
=
2n y L
kz
=
2n z L
（ 8）
单
电
子
波
函
数
（n ：ψ
x, (x
ny, ,y,z
n )
z
为正 = 1(
负整
x ) 2 (
此时费密-狄喇克统计分布为 （见图 p112 图 6.3）
1
lim T 0
f ( E ,T ) 0
E (0) E (0)
其 中 μ (0)为 绝 对 零 度 时 的 化 学 势 。
- - (17)
电 子 气 基 态 ：能 量 在 μ (0)以 下 的 状 态 全 被 电 子 占 满 ，能 量超 过 μ (0)
第十六讲 金属中自由电子气模型
第六章 金属电子论 问题：对金属中相互作用、运动着的大量电子，怎样进行理论处理？
如何从理论上说明电子对金属优良的电导、热导和比热的贡献？ 如何从电子的运动状态解释电子热发射、光电效应和场电子发 射等重要现象？ 本章用 量子的电子气体模型： 金属中的价电子组成电子气体（就象气体分
见 p112 图 6.3 f(E,T) ～ E 曲线
T > 0,
在
kBT
f
(,T
)
1 2
范围内，f (E,T )从 1下降到 0
由能态密度公式（13）
g(E) CE1/ 2
和公式（14）
C 4 ( 2m)3/ 2
h2

金属中的电子气的理论

金属中的电子气的理论

金属中的电子气的理论金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。

由F。

布洛赫和L。

—N。

布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能,在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。

金属中自由电子之间有很强的相互作用,在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。

近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。

一、托马斯-费米近似方法在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下,处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制,因此，动能就会远小于相互作用能。

这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉,被称为托马斯—费米(Thomas—Fermi）近似。

一维定态GP 方程变为则玻色子的密度分布为同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况我们得到凝聚体的半径为则系统的粒子数为将上式变换一下，得到化学势μ 满足其中单粒子基态的特征半径为边界R 满足化学势u 和边界R 都是随着粒子个数N 和相互作用强度U 1的增加而增加的.在处理多电子原子问题中，、通常采用Hartree-Fook 近似方法比较好，但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后，可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点，就是计算机只能进行数值计算，而不能解出一般形式，我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。

费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a 的立方体盒子中运动。

盒子内部势能为0。

盒外势能为无限大，这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质，如电子能级，电子的最高能量，电子的平均能量，电子气的压强，电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处，可以推出原子核的质量公式，跟实验结果比较符合得很好.对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法，这是一个统计方法。

《金属电子论》课件

《金属电子论》课件
学生可以尝试运用金属电子论的知识，分析其他材料的电子结构和性质，提高自己的实践能力和创新能 力。
THANK YOU
课程目标
01
掌握金属电子论的基本概念和原理。
02 理解金属中电子的能级结构和跃迁过程。
03
学习金属电子论在材料科学和电子工程中 的应用。
04
培养学生对科学研究的兴趣和探索精神。
02
金属电子论的基本概念
金属电子的定义
金属电子
01
金属中的自由电子，不受原子核束缚，可以在金属中自由移动
。
金属电子的形成
生物医学材料
金属电子材料在生物医学 领域中具有应用潜力，如 用于制造医疗器械和生物 植入物。
05
金属电子的发展趋势与挑战
金属电子的发展趋势
金属电子材料创新
随着科技的不断进步，新型金属电子材料不断涌现，如石墨烯、过渡 金属硫族化合物等，具有优异性能和广阔应用前景。
金属电子器件微型化
随着微纳加工技术的发展，金属电子器件正朝着微型化、集成化的方 向发展，这将极大提高电子设备的性能和能效。
生态环境影响与可持续发 展
金属电子材料的生产和使用过 程中产生的环境问题不容忽视 ，如何在推动技术发展的同时 降低对环境的影响，实现可持 续发展，是亟待解决的问题。
06
结论
课程总结
金属电子论是研究金属中电子运动和行为的理 论，它对于理解金属的物理和化学性质具有重 要意义。
金属电子论主要涉及金属中电子的能级、跃迁 和散射等过程，以及这些过程对金属的导电性 、热学性质和光学性质等的影响。
总结词
阐述金属对光的吸收和发射特性与电子行为的关系。
要点二
详细描述
金属对光的吸收和发射特性与内部自由电子的行为密切相 关。当光照射到金属表面时，自由电子可以吸收光子的能 量并跃迁到更高能级，这一过程称为光的吸收。当这些电 子重新跃迁回低能级时，会释放出能量，表现为光子的发 射。不同的金属对光的吸收和发射特性不同，这与其内部 自由电子的性质有关。

第六章金属电子论习题

第六章金属电子论习题

电导率


q2 m*
n (EF0 )
弛豫时间

( E F0
)

m*
nq 2
平均自由程

v (EF0 )

m*v
nq 2

kF
nq2
0 K到室温之间的费密半径变化很小
9
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
EF

EF0
1


2
12

kBT EF0
2


kF m

1.055
10 34 1.20 9.1110 31
0
10
1.39 106 m / s
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin )2 4.52 sin 2m2
是 与 轴之间的夹角
kF

(3n
2
)
1 3
8
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
3
固体物理
固体物理学
N
N(
( E F0
E
)
)

4V
(
2m h2
3N / 2EF0
)3/2 E1/2
N(E)
(
EF EF0
)1/
2
N
(
EF0
)
TF

EF0 kB

3N 2kB N (EF0 )

3 6.0221023 21.3811023 3.321042
19624K
N
固体物理

黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)

黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)

《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

固体物理学_金属电子论之功函数和接触势差


—— 接触电势差的计算
单位时间从金属A单位表面逸出的电子数 —— 电流密度
单位时间从金属B单位表面逸出的电子数
—— A板接触面带正电 B板接触面带负电 —— 金属的静电势
—— 两块金属中的电子分别具有附加的静电势能
金属A和金属B发射电子数
j2 —— 两块金属达到平衡 j1
接触电势差
VA VB (WB WA ) / q
接触电势差
VA VB (WB WA ) / q
qVA 0
qVB 0 WA qVA WB qVB
—— 接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高
—— 电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属
—— 达到平衡时，两块金属的费米能级相同 接触电势差补偿了原来两块金属的费米能级差
m dn 2 e 2
与经典结果
3
EF k BT
e
mv 2 2 k BT
dv
对比
3 2
m 2 e 2
3
EF k BT
m n0 2 k BT
replace
4m(k BT ) q jQuantum e 3 (2)
06_02 功函数和接触势差 1 热电子发射和功函数
W 热电子发射电流密度 j ~ exp W —— 功函数 kBT 金属中电子势阱高度为 —— 正离子的吸引
—— 电子获得足够的能量 有可能脱离金属
—— 产生热电子发射电流
经典电子论热电子发射电流密度的计算
—— 电子服从麦克斯韦速率分布率
2

EF k BT
—— 比较热电子发射电流密度

金属的电子论 6-1

6
经典理论的局限性
★金属中存在着电子，根据自由电子论，
金属的电导率电子密度n，
但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）? ★自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、Cd等）；
第六章
金属电子论
第一讲
费米统计和电子热容量；
功函数和接触电势。
1
金属(Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极 好的导电体和导热体(Electrical and heat conductors)， 有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的 解释极大地推动了现代固体物理的发展。 实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处 在固体研究的中心。对金属的研究导致了能带论的 提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半 导体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发 展出整个电子工业的理论基础.
11
2. T＝0 K 时电子的分布
T＝0 K 时，电子的分布函数为 f(E) =
EF
0
f(E) T＝0 1
{0
kF 2m
2 2
1
E EF0 E > EF0
0
—— 费米能
0
EF0
E
kF
2mEF
2
—— 费米半径
PF k F m V F —— 费米动量
12
vF
kF m
从量子力学的观点看，电子是费米子(fermion)应服 从Fermi-Dirac统计而不是经典的Maxwell统计。 Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的平均占据数为：

金属电子论


EF0
令 T 0K
N
Q
(
E
0 F
)
N
Q
(
E
0 F
)
N (E)dE
0
对于一般温度 T 300 K kBT 2.6 10-2eV
将 Q(EF ) 按泰勒级数在 EF0 附近展开，只保留到第二项
N
Q(EF
)
2
6
Q' ' (EF
)(kBT )2
N
Q(
E
0 F
)
Q'
(
E
0 F
)( E F
E
0 F
)
2
32 / 32
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2220 .10.22 Thursday, October 22, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 5:32:11 05:32:1 105:32 10/22/ 2020 5:32:11 AM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2205 :32:110 5:32Oct-2022- Oct-20
6
Q''(EF
)(kBT )2
将Q’’(EF)按泰勒级数展开，只保留Q'
'
(
E
F
)
Q'
'
(
E
0 F
)
N
Q
(
E
0 F
)
Q'
(
E
0 F
)( E F
E
0 F
)
2
6
Q'
'
(

黄昆 固体物理 讲义 第六章


在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =
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当x
L,0
A x e ik x L
B e ik x L x
用 Ax B x代 入
0
A x e ik x L
A e ik x L x
移 项 ： A x e ik x L A x e ik L
co s k x L i sin k x L co s k x L i sin k x L
2021/1/15
三维无限深势阱中
0 当 0x,y,zL
Ux,y,x
当 x,y,z0及 x,y,zL
2021/1/15
• 边界条件:在势箱中运动的电子.
在 x 0 , 及 x L 处 ， （1 x ） = 0 ( 驻 波 条 件 )
当 x 0 ，0 A x B x A x B x
2021/1/15
d
2 1 ( x ) dx2
k
2 x
1
(
x
)
d
2 2 ( y ) dy2
k
2 y
2
(
y
)
d
2 3 ( z ) dz2
k
2 z
3
(
z
)
• 方程的解:
21((yx))
Ax eikx x Ayeiky y
B eikxx x
Byeiky y
3 ( z)
Azeikz z
B eikz z z
VgEdE
能态密度： 每单位体积在单位能量 间隔内的状态数目
gE42hm2 32E12
2021/1/15
f E,T
能量E 状态被6电.1子.2填电充子的气几的率基态
电子气服从费米-狄拉克统计
表示化学势
fE,TexE p1/kBT1
物理意义：
化学势或费米能量，在体积不变的条件下，
系统增加一个电子所需的自由能。 是温度T和电子数N的函数。
i sin k x L i sin k x L
只 有 当 sin k x L 0
2021/1/15
同理：
sin k y L 0
sin kz L 0
k k
x y
L L
k z L
nx n y nz
kx ,ky kz
nx
L
n y
L
nz
L
(
n
x
,
n
y
,
n
z
0任 意 正 整 数)
2021/1/15
假定正电荷均匀分布， 每个自由电子的势能是一常数
22r Er
2m
2021/1/15
2
2(x, y, z) E(x, y, z)分离变量： 2m
(x, y, z) （ 1 x)（ 2 y)（ 3 z）
令E=
2k2 2m
2
2m(kx2 ky2 kz2)
E mv2 , pmv,E p2 ,P k,
1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( y ) 1 ( x) Ax sin k x x 2 ( y ) Ay sin k y y 3 ( z ) Az sin k z z
A sin k x x sin k y y sin k z z
2021/1/15
• 只剩下正弦项,余弦项为零.
2
2m
令E= 2k2 2m
2021/1/15
2
2
2m2(x,y,z)2m(kx2ky2kz2)(x,y,z)
2
2 x2
2 y2
2 z2
原 式 =d2 dx 1(2x)2(y)3(z)d2 dy 2(2y)1(x)3(z)d2 dz3(2z)1(x)2(y) (kx 2ky 2kz2)1(x)2(y)3(z)
第六章 金属电子论
2021/1/15
H ˆ(r )E (r )
定态薛定谔方程
2 m 2 2U(r)(r)E(r)
•从数学上讲 给定一个E 就有相应的解 •从物理上讲 只有特殊的E 才能得到满足
物理要求的解 这就意味着能量只能取分立的值--量子化
2021/1/15
6.1 金属自由电子气的量子理论 6.1.1 自由电子能级和能态密度
k
y
k
z
2021/1/15
2 n x
L
2 n y
L
2 n z
L
• 电子波函数:
Ae Ae ikr
i(kxxkyykzz)
• 波函数归一化:
L
0
x
x
L 0
Ax2e 0d x
1,
A
2 x
L
1, A x
1
1
L2
A Ax Ay Az
1
3
L2
2021/1/15
得出
r 1 eikr V 电子的波函数是平面波
2021/1/15
N0VfE,TgEdE
化学势依赖于T 和电子气的数密度n=N/V
2021/1/15
绝对零度，电子气系统处于基态
1
lim
f
E,T
T 0
0
物理意义
当 E0
021/1/15
N EFVgEdE 0
EF
2
k
2 F
2m
kF 32n13
2021/1/15
• A为归一化常数,电子能量:
2
E
2m
(kx2
k
2 y
kz2 )(
h)
2
E
h2
8 2m
(nx2
ny2
nz2 )
2
L2
E
h2 8mL2
(nx2
ny2
nz2 )
粒子的状态由一组正整数（n x ,ny ,nz）来确定，
• 推广到无限个线度都是L的势阱
• 各个势阱相应位置波函数相等:
2021/1/15
1(x)1(xL)
2021/1/15
• 两边同除 1(x)2(y)3(z)
d21(x) d22(y) d23(z)
dx2
1(x)
dy2
2(y)
dz2
3(z)
(kx2ky2kz2)
分离变量:
d 21 ( x ) k x21 ( x ) 0 d 2 2 ( y ) k y2 2 ( y ) 0 d 2 3 ( z ) k z2 3 ( z ) 0
A x e ik x x
B e ik x x x
A e ik x ( x L ) x
B e ik x ( x L ) x
e e i k x x
ik x ( x L )
e i k x L 1即 ：c o s k x L i s i n k x L 1
k x L 2 n x
k
x
2021/1/15
电子的动量 p k速度
周期性边界条件
v k m
2021/1/15
当 L
行进的平面波 无限空间的平面波
波矢由分立值
连续变化的值
2021/1/15
2021/1/15
波矢空间每个状态代表点所占体积
2
3
L
K 空间单位体积中含有代表点的数目等于
L
2
3
V
2 3
2021/1/15
k 到 k dk 的体积元 dk dkxdkydkz 中
dZ22V 3dk4V 3dk
2021/1/15
能量E到E+dE之间球壳的体积 即波矢 k 2mE 到 k dk
4k2dk
其状态数
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2021/1/15
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1
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