高中数学极限

高中数学极限Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】高中数学极限、数学归纳法一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·江西高考) lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n )＝( )C ．2D ．不存在 解析：lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n )＝11－13＝32.答案：B2．设函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，则lim x →－1 f ′(x )x ＋1等于( ) A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6解析：∵f ′(x )x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)(x －2)x ＋1＝3x －3，∴lim x →－1 f ′(x )x ＋1＝－6. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3x －1(x ＞1)ax ＋1(x ≤1)在x ＝1处连续，则f －1(3)等于( )A ．0B ．1C ．－23解析：∵函数f (x )在x ＝1处连续，∴f (1)＝lim x →1 x 2＋2x －3x －1＝4.又当x ＝1时，f (1)＝a ＋1，∴a ＝3.当x ＞1时，令x 2＋2x －3x －1＝3，得x ＝0或1，不满足题设．当x ≤1时，令3x ＋1＝3，得x ＝23，满足题设．∴f －1(3)＝23.答案：D4．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1134时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边的变化是( )A ．增加12(k ＋1)一项B ．增加12k ＋1和12k ＋2两项C ．增加12k ＋1，12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项D ．以上结论均错解析：n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， 故增加12k ＋1，12k ＋2两项，减少1k ＋1一项．答案：C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝( )解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n (n ＋1).答案：B6．设a ，b 满足lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝－1，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( ) A ．1解析：依题意得a ＝2，lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝lim x →2 (x －b )(x －2)x －2＝lim x →2 (x －b )＝2－b ＝－1，因此b ＝3.故lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n＝lim n →∞ 2n ＋1＋2×3n －12n －1＋2×3n ＝lim n →∞ 4×(23)n －1＋2(23)n －1＋2×3＝13. 答案：C二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．设a ＝lim x →1 x 3－x x 4－1，则1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝________. 解析：∵a ＝lim x →1 x 3－x x 4－1＝lim x →1 x (x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)＝lim x →1xx 2＋1＝12， ∴1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x (x ≥0)x 2－1 (x ＜0)在点x ＝0处连续，则a ＝________.解析：由题意得lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x 2－1)＝－1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋a cos x ＝a ，由于f (x )在x ＝0处连续，因此a ＝－1.答案：－19．已知log a b ＞1(0＜a ＜1)，则lim n →∞ b n ＋a nb n －an ＝________. 解析：log a b ＞1,0＜a ＜1得0＜b ＜a ， ∴lim n →∞ b n ＋a nb n －a n ＝lim n →∞ (ba )n＋1(b a)n－1＝－1. 答案：－1三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n . (1)求lim n →∞a n S n； (2)证明：a 112＋a 222＋…＋a nn2＞3n .解：(1)因为lim n →∞ a n S n ＝lim n →∞ S n －S n －1S n ＝lim n →∞ (1－S n －1S n )＝1－lim n →∞ S n －1S n ， lim n →∞ S n －1S n ＝13lim n →∞ n －1n ＋1＝13， 所以lim n →∞ a n S n＝23. (2)证明：当n ＝1时，a 112＝S 1＝6＞3；当n ＞1时，a 112＋a 222＋…＋a n n 2＝S 112＋S 2－S 122＋…＋S n －S n －1n 2＝(112－122)·S 1＋(122－132)·S 2＋…＋[1(n －1)2－1n 2]S n －1＋1n 2·S n ＞S n n 2＝n 2＋n n2·3n ＞3n.综上知，当n ≥1时，a 112＋a 222＋…＋a n n2＞3n .11．(本小题满分15分)已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，….试用数学归纳法证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…；证明：①当n ＝3时，a 3＝2＝a 1＋2，所以等式成立； ②假设当n ＝k ≥3时等式成立，即a k ＝a k －2＋2. 而由题设有a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)． 由a k －2是非负整数，得a k ＝a k －2＋2≠0， ∴a k ＋1＝a k －1＋2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 综合①②得：对任意正整数n ≥3， 都有a n ＝a n －2＋2.12．(本小题满分16分)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ，S n ，S n －12成等比数列．(1)求a 2，a 3，a 4并推出a n 的表达式， (2)用数学归纳法证明所得的结论． 解：∵a n ，S n ，S n －12成等比数列，∴S 2n ＝a n (S n－12)(n ≥2)① (1)由a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2代入①得a 2＝－23，由a 1＝1，a 2＝－23，S 3＝13＋a 3代入①得a 3＝－215.同理可得a 4＝－235，由此可推出a n＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1) (n ≥2).(2)证明：①当n ＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立， ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时， a k ＝－2(2k －3)(2k －1)成立．故S 2k ＝－2(2k －3)(2k －1)·(S k －12)，∴(2k －3)(2k －1)S 2k ＋2S k －1＝0， ∴S k ＝12k －1，S k ＝－12k －3(舍)． 由S 2k ＋1＝a k ＋1·(S k ＋1－12)得 (S k ＋a k ＋1)2＝a k ＋1(a k ＋1＋S k －12)，∴1(2k －1)2＋a 2k ＋1＋2a k ＋12k －1＝a 2k ＋1＋a k ＋12k －1－12a k ＋1， ∴a k ＋1＝－2[2(k ＋1)－3]·[2(k ＋1)－1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知a n＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1) (n ≥2)对一切n ∈N *成立． 1．1lim x → (xx －1＋x －3x 2－1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵xx －1＋x －3x 2－1＝x (x ＋1)＋x －3x 2－1＝x 2＋2x －3x 2－1＝(x －1)(x ＋3)(x ＋1)(x －1)＝x ＋3x ＋1，∴1lim x → (xx －1＋x －3x 2－1)＝1lim x → x ＋3x ＋1＝1＋31＋1＝2. 答案：B 2．函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )x －c在点x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，而在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x )＞0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1,2) 解析：由已知得：f (x )＝(x －1)(x －2)x ＋2，则f (x )＞0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．答案：C3．设常数a ＞0，(ax 2＋1x)4的展开式中x 3的系数为32，则li m n →∞ (a ＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 4a 4－rx 8－5r 2，令8－5r 2＝3，得r ＝2，∴x 3的系数为C 24a 2＝6a 2＝32，则a ＝12，∴li m n →∞ (a ＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝121－12＝1.答案：14．(精选考题·上海高考)将直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：nx ＋y －n ＝0，l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________.解析：如图所示，由⎩⎨⎧ nx ＋y －n ＝0，x ＋ny －n ＝0得⎩⎨⎧x ＝nn ＋1，y ＝n n ＋1，则直线l 2、l 3交于点A (n n ＋1，nn ＋1)．S n ＝12×1×n n ＋1＋12×1×n n ＋1－12×1×1＝n n ＋1－12，lim n →∞S n ＝lim n →∞ (nn ＋1－12)＝lim n →∞ 11＋1n－12＝1－12＝12.答案：125．对于数列{x n }，满足x 1＝43，x n ＋1＝3x n 1＋x 3n；函数f (x )在(－2,2)上有意义，f (－12)＝2，且满足x ，y ，z ∈(－2,2)时，有f (x )＋f (y )＋f (z )＝f (x ＋y ＋z1＋xyz)成立．(1)求f (43)的值；(2)求证：{f (x n )}是等比数列； (3)设{f (x n )}的前n 项和为S n ，求li m n →∞3n －2S n.解：(1)由x ＝y ＝z ＝0?3f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0， 令z ＝0，得f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， 再令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0， 则f (－x )＝－f (x )．所以f (43)＝f (12)＋f (12)＋f (12)＝3f (12)＝－3f (－12)＝－6.(2)证明：由x 1＝43，结合已知可得0＜x n ＋1＝3x n 1＋x 3n＝31x n＋x 2n≤34＜2；由f (x n ＋1)＝f (3x n 1＋x 3n)＝f (x n ＋x n ＋x n 1＋x 3n )＝f (x n )＋f (x n )＋f (x n )＝3f (x n )， 得f (x n ＋1)f (x n )＝3，即{f (x n )}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，且f (x n )＝－2×3n .(3)由S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－6×(1－3n )1－3＝3×(1－3n )，得limn→∞3n－2S n＝limn→∞3n－23×(1－3n)＝limn→∞1－23n3×(13n－1)＝－13.。