高中数学极值

二次函数的最值与极值总结

二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。

一、最值的概念

在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。

1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。这个最小值即为函数的最小值。

2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。这个最大值即为函数的最大值。

二、最值的求解方法

1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性

二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。

当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。

2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式 二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。

根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。

三、极值的概念

在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。

1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。

2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。

3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。

四、极值的求解方法

1. 极值的求解方法一：利用导数法

对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。

然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。

2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法

对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。 当f'(x)等于0时，再求得二阶导数f''(x)的值。

[名校]高中数学-极值点的偏移-考点例题详解

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数f（x）满足定义域内任意自变量x都有f（x）=f（2m-x），则函数f（x）关于直线x=m对称；可以理解为函数f（x）在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f（x）为单峰函数，则x=m必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若f（x）的两根的中点为（x1+x2）/2，则刚好有（x1+x2）/2=x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内x=m左侧的任意自变量都有f（x）f（2m-x），则函数f（x）极值点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数f（x）定义域内任意不同的实数x1,x2满足f（x1）=f（x2），则（x1+x2）/2与极值点m必有确定的大小关系：

若m<（x1+x2）/2，则称为极值点左偏；若m>（x1+x2）/2，则称为极值点右偏.[KS5UK

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数存在两个不同的零点x1,x2，且满足f（x1）=f（x2）求证：x1+x2>2x0（为函数的极值点）；

2. 若函数存在两个不同的零点x1,x2满足f（x1）=f（x2），求证：x1+x2>2x0为函数的极值点）；

3. 若函数存在两个不同的零点x1,x2，令（x1+x2）/2=x0 ，求证：f‘（x）>0； 4. 若函数存在两个不同的零点x1,x2，令（x1+x2）/2=x0 ，求证：f‘（x）>0.

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y=f（x），在区间（a，b）上只有一个极大（小）值点x0，方程f（x）=0的解分别为x1，x2，且a

（1）若 f（x1）< f（2x0-x2），则(x1+x2)/2<(>)x0，即函数y=f（x）在区间（x1，x2）上极（小）大值点x0右（左）偏；

（2）若 f（x1）> f（2x0-x2），则(x1+x2)/2<(>)x0，即函数y=f（x）在区间（x1，x2）上极（小）大值点x0右（左）偏.

第 1 页 极值点偏移与对数均值不等式

【知识梳理】

1．极值点偏移的基本特征：指单极值函数，由于

函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有

轴对称性．

2．函数极值点偏移的含义：已知函数f(x)有唯一

的极值点x＝x

0，直线y＝a与函数f(x)的图象交于不

同的两点A(x

1，a)，B(x

2，a)，AB的中点为M(x

1＋x

22，

a)

，若x

0≠x

1＋x

22，则称f(x)的极值点出现了偏移．

3．函数极值点偏移的分类：当x

1＋x

22＞x

0时，称

f(x)在x＝x

0处的极值点左偏；当x

1＋x

22＜x

0时，称f(x)

在x＝x

0处的极值点右偏．

4．一般地，设函数f(x)在x＝a处取得极值，且

当x＜a时，f(x)单调递增（递减），当x＞a时，f(x)

单调递减（递增）．若f(x

1)＝f(x

2)，f(2a－x

2)＞f(x

2)

＝f(x

1)（f(2a－x

2)＜f(x

2)＝f(x

1)），则有x

1＋x

2＜2a（x

1

＋x

2＞2a）

5．对数均值不等式：2

x

1＋x

2＜lnx

2－lnx

1

x

2－x

1＜1

x

1·x

2．

该不等式的几何意义是：曲线f(x)＝lnx上过点

A(x

1，lnx

1)，B(x

2，lnx

2)的割线的斜率介于f(x)在点x

＝x

1＋x

2

2处的切线斜率与在点x＝x

1x

2处的切线斜率

之间．

【例题分析】

例1 （1）已知函数f(x)＝ex－ax有两个零

点x

1，x

2（x

1＜x

2），则下列说法错误的是 （ ）

（A）a＞e （B）x

1＋x

2＞2

（C）x

1x

2＞1 （D）有极小值点x

0，且x

1＋x

2＜2x

0

（2）函数f(x)＝x(2lnx－a)＋1有两个零点x

1，

x

2，在下列不等式中：

①x

1＋x

2＞1； ②0＜x

1＋x

2＜1；

③x

1x2＞ 1

4； ④0＜x

1x2＜ 1

4．

其中成立的是 （ ）

（A）①③ （B）①④

（C）②③ （D）②④

（3）设a，b∈R，且a＜b，若a3eb＝b3ea，给

出下列结论：①a＋b＞6；②ab＜9；③a＋2b＞9；

极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。

1. 函数的极值问题

函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。

举例说明：

已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。

解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当

$x=2$ 时，$f(x)=2$。也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。这就是极值点偏移的思想。

2. 优化问题 优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。

举例说明：

一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。

解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。问题转化为求 $x+y$ 的最大值。