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几何体的体积 PPT

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北师大版数学高二课件 4.3.2 简单几何体的体积

北师大版数学高二课件 4.3.2 简单几何体的体积

梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝
bπ[
a
f(x)]
2dx
.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 简单旋转几何体的体积
例1 求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.
解
Vx＝2πy2dx＝2πx6dx＝
0
0
πx72
7
0
＝1278π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的 体积. 解 x1＝ y，x2＝y2,0≤y≤1，
解析答案
课堂小结 1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成. 2.利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、 下限，要理解其中蕴含的定积分思想.
返回
本课结束
的几何体.如图所示：
因此 V＝a A(x)dx
－a
＝πab22a (a2－x2)dx＝43πab2. －a
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个 直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个 圆锥体的体积. 解 直角三角形斜边的直线方程为 y＝hrx. 所以所求圆锥体的体积为
第四章 §3 定积分的简单应用
4.3.2 简单几何体的体积
学习 目标
1.通过实例，进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用.
栏目 索引

知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边

高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积

高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积

步骤三
如果计算正确，则可以庆祝问题 的解决，并享受数学带来的成就 感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体 圆柱体 球 正方体
特点
底面为圆形，侧面为三角形 底面为圆形，侧面为矩形 表面积为4πr²，体积为(4πr³)/3 6个面组成，每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间 几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积，掌握重要的公式和 概念，并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和 体积？
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体，如箱子、瓶子、汽车等，熟练掌握空间几何体的 表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高：bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半：(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例：如何计算球的体积？
步骤一
根据题目提供的半径长度，计算 球的表面积公式：4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比 较，如相等则问题解决；如不相 等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生，掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的，是数学基础中不 可或缺的一部分。

《长方体和正方体的体积》ppt课件

《长方体和正方体的体积》ppt课件

06 课堂小结与回顾
关键知识点总结
长方体和正方体的体积公式
长方体的体积V=a×b×c，正方体的体积V=a^3，其中a、 b、c分别为长方体的长、宽、高，a为正方体的棱长。
体积单位的认识与换算
常见的体积单位有立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方 米(m³)等，需掌握各单位之间的换算关系。
实际问题的应用
提出改进方案
03
针对可能出现的误差，提出相应的改进方案，如提高测量精度、
使用更精确的计算方法等。
05 拓展延伸：不规则物体体 积估算方法
排水法原理及应用
原理
将不规则物体完全浸没于水中，通过计算物体排开水的体积来估 算物体的体积。
应用
适用于易溶于水或与水发生反应的物体以外的任何不规则物体。 如石块、金属块等。
公式应用注意事项
单位统一
在应用公式计算体积时，需要确 保长度、宽度和高度的单位统一，
避免出现错误结果。
公式适用范围
长方体和正方体的何体需要采用其他方
法进行计算。
公式变形应用
在实际应用中，可以根据需要对 公式进行变形，如已知体积和其
中两个维度求第三个维度等。
体积单位换算
1立方米=1000立方分米，1立 方分米=1000立方厘米。
实物体积感受
常见物体体积
列举生活中常见物体的体积，如 一个苹果的体积约为200立方厘米， 一个电冰箱的体积约为0.5立方米
等。
体积比较
通过比较不同物体的体积大小，让 学生感受体积的概念。
体积估算
通过估算物体的体积，培养学生的 空间想象力和估算能力。
02 长方体和正方体认识
长方体特点与性质
01
02

祖暅原理与几何体的体积ppt课件

祖暅原理与几何体的体积ppt课件

【概念生成】 1.祖暅原理 (1) “幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积 总相等, 那么这两个几 何体的体积一定 相等” . (2) 作用: 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积 相等.
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S ′ 、S分别表示上、下底面的面积,h表示高, r ′ 和r 分别表示上、下底面 圆的半径,R表示球的半径.
(1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离.
【定向训练】
如 图 所 示 , 已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1 , 且AA1⊥底面ABC,则三棱
锥B1-ABC1的体积为
.
【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1 的高为 , 底面积为 , 故其体积为
【定向训练】 若一圆柱与圆锥的高相等, 且轴截面面积也相等, 那么圆柱与圆锥的体积之
比为 ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r , 高都为h,由已知得2Rh=rh,
所以r=2R.
故V柱∶V锥=πR2h∶ πr2h= .
探究点二 等体积法的应用 【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求 三棱锥A-DED1的体积.
1.若一个球的表面积为4 π , 则这个球的体积是 ( )
【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是 V= πR3= .
2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图

课件2：简单几何体的表面积和体积

课件2：简单几何体的表面积和体积

高
自
考
主 落
1．(人教 A 版教材习题改编)已知圆锥的表面积为 a m2， 体 验
实 且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ·
·
明
固( )
考
基
础
a
3πa
2 3πa
情
2 3a
A.2
B. 3π
C. 3π
D. 3π
【解析】 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意
知 2πr＝πl，∴l＝2r，
明 考
基
情
础 某一个面上．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转
化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方
典 例
法．
课
探 究
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
后 作
·
业
提 知
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利
能 用“等积法”可求“点到面的距离”．
菜单
典
例 探 究
则圆锥的表面积 S 表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝3aπ，∴2r＝
课 后
作
· 提 知
2 3πa 3π .
业
能
【答案】 C
菜单
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自
主 落
(
实
·
固
基
础
2．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为
高 考
)
体
A．48(3＋ 3)
B．48(3＋2 3)
验 ·
菜单
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【尝试解答】 (1)由三视图知，该几何体的上面是一个 高

福建省晋江市季延中学人教版高中数学必修二课件：1.3 简单几何体体积

福建省晋江市季延中学人教版高中数学必修二课件：1.3 简单几何体体积

3 π R2, 2
S S S S 几何体表
球
圆锥AO1侧
圆锥BO1侧
4 π R2 3 π R2 3 π R2 11 3 π R2 ,
2
2
2
旋转所得到的几何体的表面积为11 3 π R2. 2
第三十三页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
又V球
4 3
π
R3 ,V圆锥AO1
1 3
AO1
π
第七页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：如Ｖ果锥圆体锥＝的13底Ｓ面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
第八页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.
第三十一页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的
阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
第二十五页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
例5、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
第二十六页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
规律方法总结
1．直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一

圆柱圆锥圆台体积和表面积.ppt


1
1
A.4
B.2
3 C. 6
3 D. 4
[答案] D
[解析]
三棱锥B1－ABC的高h＝3，底面积S＝S△ABC＝
3 4
×12＝ 43，
则VB1－ABC＝13Sh＝13×
43×3＝
3 4.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1
1 B.2
3
3
C. 2
D.4
例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
据条件得到
1 2
πl2＝2π，解得母线长l＝2,2πr＝πl＝2π，r＝1所以
该圆锥的体积为：V圆锥＝13Sh＝13×
22－12π＝
3 3 π.
[点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开 图．审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在 展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记 牢，属于中低档题．
[解析]
三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1，把棱台分为三个棱锥B－A1B1C1，C1－ ABC，A1－ABC1.则这三个棱锥体积之比为________．
[答案] 4:9:6
[解析] 如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面 积分别为S1、S2.依题意，得

利用定积分求简单几何体的体积课件


球体的体积
总结词
球体的体积也可以通过定积分来求解，其公式为 V=∫(4/3)π×r^3。其中，r表示球体的半径。
详细描述
球体是一个中心对称的几何体，其表面由无数个小球面所组 成。利用定积分计算球体的体积时，需要将球体半径r的立方 进行积分，得到的结果即为球体的体积。
03
利用定积分求几何体的体积
曲边梯形面积的计算
总结词
矩形柱体的体积可以通过定积分来求解，其公式为V=∫(b-a)×h。其中，b和a表 示柱体的上下底面的边长，h表示柱体的高。
详细描述
矩形柱体是一个规则几何体，其上下底面为矩形，侧面为垂直于底面的矩形柱面 。利用定积分计算矩形柱体的体积时，需要将柱体的高h进工程学
在工程学中，定积分可用 于分析机械运动、热传导 、电磁场等问题。
经济学
在经济学中，定积分可用 于研究成本、收益、效用 等的最优化问题。
定积分未来的发展趋势
深入研究
随着数学理论的不断发展 ，定积分的基础理论和应 用范围将得到更深入的研 究。
交叉学科
定积分将与其他学科领域 进行更广泛的交叉融合， 推动多学科的共同发展。
求水池的容积
总结词
利用定积分计算水池的容积
VS
详细描述
水池的容积可以通过定积分的方法计算。 首先，确定水池的形状（如长方体、圆柱 体等），并测量其相关尺寸。然后，根据 水池的形状选择合适的积分函数，并计算 积分值。最后，将积分值与水池的底面积 相乘，即可得到水池的容积。
求立式储罐的容积
总结词
利用定积分计算立式储罐的容积
01
曲边梯形面积的计算是利用定积 分的基本思想，将曲边梯形分割 成若干个小矩形，然后求和得到 面积。

高一数学 空间几何体的表面积与体积 ppt

15 cm
15 cm
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为 了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取 3.14, 结果精确到1毫升，可用计算器）？ 解：花盆外壁的表面积：
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
S r 2 rl r (r l )
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
O
(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想 象圆台展开图的形状并且画出它吗?
(2)如果圆台的上,下底面半径分别 为 r , r ,母线长为l,你能计算出它 的表面积吗?
S [( 15 2 15 20 1.5 ) 15 15] ( )2 2 2 2 2
20cm
1000(cm 2 ) 0.1( m 2 )
15 cm
15 cm
涂100个花盆需油漆： 0.1 100 100 1000 (毫升) 答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆．
圆柱 S 2r 2 rl 柱体、锥体、台体的表面积 圆台S r2 r 2 rl rl 圆锥 S r rl
2
展开图
各面面积之和
作业:
P28. 习题1.3 A组 第1,2题
∵ BC a , SD SB 2 BD 2 a 2 ( )2
S A B D C
SSBC
a 2
3 a 2
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4

高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件


21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正 确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确， 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1­ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
第八章 立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图．
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青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的．已知路基的形 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
实质
直四棱柱的体积计算问题．
2 1
4
10100000
问题1 长方体的体积？
回顾
V长方体=abh =sh (a-长，b-宽，h-高，s-底面积）
问题2 体积的概念？
体积——几何体占有空间部分的大小 面积——图形占有平面部分的大小
祖氏父子的成就
祖暅是南北朝时代杰出的数学家祖冲之的儿子，字 景烁。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小 就热爱科学，对数学具有特别浓厚的兴趣，祖冲之 除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅 一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们 当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利” （Cavalieri）原理，但这是在祖氏父子以后一千多 年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖 氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一 原理为“祖暅（geng)原理”。
探究二
s
s
s
（1）这三个柱体等高，所以夹在两个平行平面之间；
（2）三个柱体被平行于这两个平面的任意平面所截；
（3）三个截面的面积总相等． (棱柱的截面性质:平行于 底面积为S，高为h柱体的体积 底面的截面与底面全等). 等于与它等底等高的长方体的体积
总结
定理 柱体的体积等于它的底面 积s和高h的积。
(1)侧棱BB1垂直于底面
(2)侧棱 BB1与底面所成6角 0，是
C 1 说明：在应用体积
B1
A1
公式计算之前，应 运用直线与平面的
60 4C 3 10
H
B
A
有关知识作出高， 然后进行计算。
例3．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示 （单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米
混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）
立体可看成是由无数个平面叠加而成的 体积可看成是由面积叠加而成的
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上， 小试验
然后用手推一下以改变其形状．
推斜以后体积变化了吗？ 没有 推斜前后的两个几何体还有什么共同之处？ 高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变
探究一
s
s
h
1.高度相同
2.用和底面平行的任意平面去截它们时， 所得的截面面积都相等。
24.8
0.3 0.3
0.3 0.1 0.3 0.1 0.3
课堂小结
知识 方面
本节学习利用祖暅原理获得了 柱体的体积公式，并初步体会 柱体体积公式的应用；
思维 能力 方面
体会到联想、类比、猜想、证 明等合情推理及逻辑推理的方 法在探索新知识方面的重要作 用。
三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积一定相等．
大家应该也有点累了，稍作休息 大家有疑问的，可以询
10
祖暅原理的功能？
功能一:证明几何体的体积相等.(面积相等 推出体积相等）
底面积和高都相等的平行六面体和三棱锥的
体积相等吗？
三棱柱
功能二:从一种几何体的体积去得到另一种 几何体的体积。
利用祖暅原理，功能及已有的体积知识 探索底面积为S，高为h柱体体积公式
祖暅原理
“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”．
“幂”是指水平截面的面积，“势Fra bibliotek是指高．夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等．
用祖暅原理证明两个几何体体积相等的步骤？
用祖暅原理证明的步骤？
α
s
s
β
（1）看这两个几何体能否夹在两个平行平面之间； （2）若能，用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体； （3）看两个截面的面积是否总相等．若是，则满足祖暅原理的条件
V柱体= sh
青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的．已知路基的形 状尺寸如图所示（单位：米）， 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
实质
直四棱柱的体积计算问题．
2 1
4
10100000
例题分析
例2.已知三棱柱的角底三面角 A是 B形 ， 直 C 两直角 A C 、B C 的长分3厘 别米 为4厘 和米，棱柱 B的 1B的侧 长为 10厘米，求满足的下三列棱条柱件 V的 . 体积