高一必修二三视图

空间几何体的三视图与直观图知识集结知识元投影的概念与绘制知识讲解中心投影和平行投影1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影3(1)中心投影中投影线交于一点.(2)平行投影中:①直线或线段的投影是直线或线段或点,平行直线的投影平行或重合或为两个点.②平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.③与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.4．中心投影和平行投影具有的区别(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.(2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.(3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用平行投影法.5.判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质:(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.(4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.例题精讲投影的概念与绘制例1.一条直线在平面上的正投影是()A．直线B．点C．线段D．直线或点例2.如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是________.(要求：把可能的图的序号都填上)例3.如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).例4.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD 上的射影可能是（）A．B．C．D．根据三视图分析几何体空间结构知识讲解空间几何体的三视图1．三视图的基本概念三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图2旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.例题精讲根据三视图分析几何体空间结构例1.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是()A．5个B．4个C．3个D．2个例2.已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，点P，Q分别在棱BB1，DD1上，且=，过点A，P，Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的正视图的是()A ．B．C．D．例3.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是________.根据空间几何体绘制三视图知识讲解空间几何体的三视图1．三视图的基本概念三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图2旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.例题精讲根据空间几何体绘制三视图例1.如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、俯视图、侧视图)有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是________.(1)棱长为2的正方体(2)底面直径和高均为2的圆柱(3)底面直径和高均为2的圆锥例2.'画出如图所示的几何体的三视图．'例3.已知点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上.以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是()A．B．C．D．例4.'用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？'绘制水平放置的平面图形的直观图知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲绘制水平放置的平面图形的直观图例1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形例2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是() A．B．C．D．例3.'画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．'绘制空间几何体的直观图知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲绘制空间几何体的直观图例1.'如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.'例2.'有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．'例3.'一几何体的三视图如图：（1）画出它的直观图；（2）求该几何体的体积．'直观图的还原知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲直观图的还原例1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°例2.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为()A．B．C．5D．例3.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°根据空间几何体的直观图进行相关计算知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲根据空间几何体的直观图进行相关计算例1.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△AOB的面积为16，A′B′∥y′轴，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′=__________.例2.如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′⊥x′轴，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为__________.例3.'在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.'例4.'一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“空间几何体的直观图与三视图”的题目补充.例题精讲备选题库例1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）D．64+8πA．64+B．64+C．64+例2.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）B．20 C．D．A．例3.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π例4.'某几何体的直观图如图1，其按一定比例画出的三视图如图2，三视图中的长度a对应直观图中2cm．（1）结合两个图形，试指出该几何体中相互垂直的面与相互垂直的线段，并指出相关线段的长度；（2）求AB与CD所成角的大小：（3）求二面角A-BD-C的平面角的正切值；（4）计算该几何体的体积与表面积．'例5.'ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．'当堂练习单选题练习1.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．4C．D．练习2.一个三棱锥的三视图如图所示．则该三棱椎的表面积是（）A．B．C．D．练习3.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）D．8A．B．C．练习4.如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．练习5.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π练习1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___．练习2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___；表面积是_____．解答题练习1.'已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），（1）求这个几何体的体积；（2）求这个几何体的表面积．'（Ⅰ）给定线段AB=4，用斜二测画法作正方体ABCD-A1B1C1D1；（Ⅱ）设P是棱A1B1上一点，，求多面体P-BCC1B1的体积．'练习3.'一个多面体的三视图和直观图如下：（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求证：MN⊥AH；（3）求多面体A-CDEF的体积．'。

双峰一中高一数学必修二教案科目：数学课题§1.2.1投影与三视图课型新课教学目标1.了解中心投影和平行投影的概念；2.能够判断简单的空间几何体（柱、锥、台、球及其简单组合体）的三视图，能够根据三视图描述基本几何体或实物原型；3.简单组合体与其三视图之间的相互转化.教学过程教学内容备注一、自主学习1.照相、绘画之所以有空间视觉效果，主要处决于线条、明暗和色彩，其中对线条画法的基本原理是一个几何问题，我们需要学习这方面的知识.2.在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，你想知道这方面的基础知识吗？二、质疑提问下图中的手影游戏，你玩过吗？光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.思考1:不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？一、中心投影与平行投影思考2:用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？投影的分类：把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面，并给出下列概念：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图.俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图，统称为几何体的三视图.思考1:正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？三、问题探究思考2:如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c ，那么其三视图分别是什么？思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？思考5:球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？例1：如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.四、课堂检测五、小结评价1.空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图；2.三视图的特点：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样；3.三视图的应用及与原实物图的相互转化.〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．。

高一数学《1.2空间几何体的三视图与直观图》教案新人教版必修2一、内容及解析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.二．教学目的1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识.三、教学重点难点教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.教学难点：识别三视图所表示的几何体.四、教学过程导入新课思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图.教师指出课题：投影和三视图.思路2.“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？教师点出课题：投影和三视图.推进新课新知探究提出问题①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?图1②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？图2④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？。