北师大版高中数学必修一第一、二章综合测试题

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．2．设a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a >1⇒1a <1，1a<1⇒/a >1，故选A.3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A ．全称命题 B ．特称命题 C ．不是命题 D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题． 4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的充分不必要条件．6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且qC．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p或q为真命题．7．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题[答案] A[解析]∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不一定成立，∴q 为真命题，从而A 正确．9．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0， 即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.10．已知命题p ：存在x 0∈R ，使mx 20＋1≤1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R[答案] B[解析] 对于命题p ，由mx 2＋1≤1，得mx 2≤0，若p 为真命题，则m ≤0，若p 为假命题，则m >0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(¬q )为假命题，所以命题p 为假命题且命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0－2≤m ≤2，得0<m ≤2.故选B.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l 1垂直于直线l 2，则它们的斜率之积为－1”的逆命题为________________________．[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l 1与直线l 2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直12．存在实数x 0，y 0，使得2x 20＋3y 20≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．[答案]∃x 0，y 0∈R,2x 20＋3y 20≤0 ∀x ，y ∈R,2x 2＋3y 2>013．在平面直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限的充要条件是________．[答案] －1<m <32或2<m <3[解析] 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>02m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.14．给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件． 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)． [答案]①②③[解析]①中，x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔(x －1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x ≠1且x >0，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，从而log 2x ＋log x 2<0，与已知矛盾，故x >1，故②正确③中，命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确． ④“a ＝1”是直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直的充要条件，故④不正确． 15．在下列所示电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件． [答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件．(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件．(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件．(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[答案] 逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 18．指出下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平行四边形．[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件．这是因为：若(x －2)(x －3)＝0，则x －2＝0或x －3＝0，即(x －2)(x －3)＝0⇒/x －2＝0，而由x －2＝0可以推出(x －2)(x －3)＝0.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．19．对于下列命题p ，写出¬p 的命题形式，并判断¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数； (3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆． [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题． (2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，某某数m 的取值X 围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.经检验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4]．21．(2014·马某某二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )且q 为真，试某某数m 的取值X 围．[答案]m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )且q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

章末综合测评(一) 预备知识(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，使得x 2≥0”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＜0 B ．∀x ∈R ，x 2≤0 C ．∃x ∈R ，x 2≥0D ．∃x ∈R ，x 2＜0D [命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式是∃x ∈R ，x 2＜0，故选D.]2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{2，3，4，5}A [图中阴影部分所表示的集合为A ∩(∁UB )，故选A.]3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1}D ．{1，2，3}A [∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．]4．设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解不等式x 3＞8，得x ＞2，解不等式|x |＞2，得x ＞2或x ＜－2， 所以“x 3＞8”是“|x |＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]5．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}C [∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}． 故选C.]6．满足条件M ∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M 的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 A [∵M ∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M ，且可能含有元素1，2， ∴集合M 的个数为集合{1，2}，子集的个数4.故选A.]7．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，c －b ＝a 2－4a ＋4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞bA [∵c －b ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ； 又b ＋c ＝3a 2－4a ＋6， ∴2b ＝2a 2＋2， ∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －12＋34＞0， ∴b ＞a ， ∴c ≥b ＞a .]8．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m3a ＋b ≤a ＋3b ab 恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．4B ．16C ．9D ．3B [m3a ＋b≤a ＋3b ab ，即m ≤（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ；又（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ＝3a b ＋3ba ＋10≥23a b ·3ba＝6＋10＝16，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴m ≤16，故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集不可能是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32D ．∅BCD [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D.]10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中其中假命题的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b >0，c >d ，则ac >bdABD [若a >b ，c <0时，ac <bc ，A 错；B 中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，B 错；C 正确；D 中，只有c >d >0时，ac >bd ，D 错，故选ABD.]11．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 AB [根据补集的概念，∁R B ＝{x |x ≥2m }． 又∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2.解得m ≤1，故m 的值可以是0，1.]12．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4ABCD [x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝(x －2)(x －a )＝0，解得x ＝2或x ＝a ，则A ＝{2，a }．x 2－5x ＋4＝(x －1)(x －4)＝0，解得x ＝1或x ＝4，则B ＝{1，4}．当a ＝0时，A ＝{0，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a ＝1时，A ＝{1，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝2时，A ＝{2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝4时，A ＝{2，4}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a 的取值集合为{0，1，2，4}．]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上． 13．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集是________. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式可化为(x －a )(x －1a )＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]14．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值X 围________．(－∞，1][用数轴表示集合A ，B ，若A ∪B ＝R ，则a ≤1，即实数a 的取值X 围是(－∞，1].] 15．“∃x ∈[0，3]，x 2－a ＞0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．[9，＋∞)[由题意得“∀x ∈[0，3]，x 2－a ≤0”是真命题，即a ≥x 2，所以a ≥(x 2)max ＝9. ] 16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20.]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B).(2)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．[解](1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，则∁U B＝{x|3≤x＜4}，∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x＜4}．(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，由A∩B＝A得A⊆B，∴m≥4，即实数m的取值X围是[4，＋∞).18．(本小题满分12分)解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为(a，1).19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，某某数a的取值组成的集合P.[解]由A∪B＝B知A⊆B.又A＝{－4，0}，故此时必有B＝{－4，0}，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是⎩⎪⎨⎪⎧－4＋0＝－2（a ＋1），（－4）×0＝a 2－1，得a ＝1.即P ＝{1}．20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞0，求证：a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b . [证明]a ＋b ＋3－ab －2a －b ＝12(2a ＋2b －2ab －4a －2b )＋3 ＝12(a －4a ＋b －2b ＋a ＋b －2ab )＋3 ＝12(a －4a ＋4＋b －2b ＋1＋a ＋b －2ab －5)＋3 ＝12[(a －2)2＋(b －1)2＋(a －b )2－5]＋3 ＝12(a －2)2＋12(b －1)2＋12(a －b )2＋12， ∵(a －2)2≥0，(b －1)2≥0，(a －b )2＞0， ∴a ＋b ＋3－ab －2a －b ＞0， ∴a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b .21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0，3]，某某数m 的值； (2)若A ⊆∁U B ，某某数m 的取值X 围．[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁U B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∵A ⊆∁U B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1， 即m ＞5或m ＜－3.22．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x 使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由.[解] 要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数y ＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数y ＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，其图象需满足开口向下且与x 轴没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m （1－m ）＜0，不等式组的解集为空集，即m 不存在． 综上可知，不存在这样的实数m 使不等式恒成立．。

第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．2．下列集合中表示同一集合的是( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．设集合A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( D )A．B∈A B．B AC．A∉B D．A＝B[解析]由已知可得B＝{a，b}，∴A＝B4．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝( B )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[解析]易得∁U B＝{x|x≤1}，故A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( A )A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是( C )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1[解析]∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.即－1≤a≤1.7．设集合A ＝{x|x≤13}，a ＝11，那么( D ) A ．a A B ．a ∉A C ．{a}∉AD ．{a} A[解析] A 是集合，a 是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A 是包含与否的关系，据此，A 、C 显然不对．而11<13，所以a 是A 的一个元素，{a}是A 的一个子集．故选D ．8．设全集U ＝{x ∈N|x≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2,5}[解析] 本题考查集合的运算．A ＝{x ∈N|x 2≥5}＝{x ∈N|x≥5}，故∁U A ＝{x ∈N|2≤x<5}＝{2}．选B ．9．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A 等于( D ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}[解析] 因为A∩B＝{3}，所以集合A 中必有元素3.因为(∁U B)∩A＝{9}，所以属于集合A 不属于集合B 的元素只有9.综上可得A ＝{3,9}．10．已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，且B≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( D )A ．－3≤m≤4B ．－2<m<4C ．2<m<4D ．2<m≤4[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ． 又因为B≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，所以2<m≤4.11．已知集合A ＝{x|x<3或x≥7}，B ＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a 的取值范围为( A ) A ．a>3 B ．a≥3 C ．a≥7D ．a>7[解析] 因为A ＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A ＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.12．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合{x ∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x ∈N ，∴{x ∈Q|6x ∈N}是无限集，∴④不正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{x|x －2>0}，若a ∈A ，则集合B ＝{x|x 2－ax ＋1＝0}中元素的个数为2.[解析] ∵A ＝{x|x －2>0}，a ∈A ，∴a －2>0，即a>2，∴a 2－4>0，则方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的实数根．故集合B 中元素的个数为2.14．设集合A ＝{x||x|<2}，B ＝{x|x>a}，全集U ＝R ，若A ⊆∁U B ，则a 的取值范围是a≥2. [解析] ∵|x|<2，∴－2<x<2，∴A ＝{x|－2<x<2}．而∁U B ＝{x|x≤a}，故当A ⊆∁U B 时，a≥2. 15．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N|1≤x≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则图中阴影表示的集合为{－3}.[解析] 如图阴影部分为(∁U A)∩B．∵A ＝{x ∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}， B ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}， ∴(∁U A)∩B＝{－3}．16．集合M ＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z}，P ＝{y|y ＝3l ＋1，l ∈Z}，S ＝{z|z ＝6m ＋1，m ∈Z}之间的关系是SP ＝M.[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x ∈Z|－6≤x≤6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{3,4,5,6}．求： (1)A ∪(B∩C)； (2)A∩[∁A (B ∪C)]．[解析] 由题意知A ＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}． (1)易知B∩C＝{3}，故A ∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)∵B ∪C ＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A (B ∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}， ∴A∩[∁A (B ∪C)]＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．18．(本小题满分12分)已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a 的值． [解析] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.19．(本小题满分12分)已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|mx －2＝0}且A ∪B ＝A ，求实数m 组成的集合C ．[解析] 由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，因此B 有可能等于空集． ①当B ＝∅时，此时方程mx －2＝0无解， 即m ＝0符合题意．②当B≠∅时，即m≠0，此时A ＝{1,2}，B ＝{2m }，∵B ⊆A ．∴2m ＝1或2m ＝2，∴m ＝2或m ＝1.因此，实数m 组成的集合C 为{0,1,2}．20．(本小题满分12分)集合A ＝{x|－2<x<4}，集合B ＝{x|x －m<0}. (1)若m ＝3，求A∩B，A ∪B ；(2)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝3时，B ＝{x|x<3}． 又A ＝{x|－2<x<4}，∴A∩B＝{x|－2<x<4}∩{x|x<3}＝{x|－2<x<3}， A ∪B ＝{x|－2<x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}． (2)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，又A∩B＝∅， ∴m≤－2，即m 的取值范围是{m|m≤－2}． (3)∵A∩B＝A ，∴A ⊆B ．又A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}， ∴m≥4，即m 的取值范围是{m|m≥4}．21．(本小题满分12分)已知M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，N ＝{x|ax ＝12}，若N ⊆M ，求实数a 所构成的集合A ，并写出A 的所有非空真子集.[解析]∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．第二章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)[解析] 要使x ＋1有意义，须满足x ＋1≥0，即x≥－1；要使12－x 有意义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( D )A ．2B ．1C ．0D ．－2[解析] ∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋11)＝－2.3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( B )[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( C ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．5．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A→B，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( A )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5[解析]由题意，得n2＋n＝20，∴n2＋n－20＝0，∴(n＋5)(n－4)＝0，∴n＝－5或n＝4.∵n∈N，∴n＝4，故选A．6．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：则f[f(4)]＝(A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.7．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( D )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．8．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( B )A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1[解析]∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( B )A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数[解析]∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.又二次函数f(x)＝－3x2－2的图像开口向下，对称轴为y轴，则在区间[1,2]上是减函数．10．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为( D )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[解析] ∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立； k≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k<34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12[解析] ∵函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b. ∴a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b＝－1. 12．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为y ＝f(x)，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m ，因此选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是y ＝x 2＋4x ＋2.[解析] y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2 ＝x 2＋4x ＋2.14．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x|x≤2且x≠－1}. [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x≥0x ＋1≠0，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．15．已知函数f(x)＝x 2－|x|，若f(－m 2－1)<f(2)，则实数m 的取值范围是(－1,1).[解析] 因为f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|＝(|x|－12)2－14，所以f(x)为偶函数，且在区间(12，＋∞)上为增函数．又f(－m 2－1)＝f(m 2＋1)<f(2)， 所以m 2＋1<2.所以m 2<1，即－1<m<1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；②y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；③y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有3个．[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x≤－1)x 2(－1<x<2)2x (x≥2).(1)求f{f[f(3)]}的值； (2)求f(a)＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．[解析] (1)∵－1<3<2，∴f(3)＝(3)2＝3. 又 3≥2，∴f[f(3)]＝f(3)＝2×3＝6. 又6≥2，∴f{f[f(3)]}＝f(6)＝2×6＝12.(2)当a≤－1时，f(a)＝a ＋2.若f(a)＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1(舍去)．当－1<a<2时，f(a)＝a 2.若f(a)＝3，则a 2＝3， ∴a ＝3，或a ＝－3(舍去)．当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a ＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上可知，a ＝ 3.(3)函数f(x)的图像如图所示，18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f(x)＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]， 又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f(x)min ＝－19，当x ＝3时，f(x)max ＝41.(2)函数f(x)＝(x －a)2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数， 所以a≤－3或a≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f(x 1)－f(x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f(x 1)<f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (12)＝12f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f(x)＝x －2m2－m ＋3，其中m ∈{x|－2<x<2，x ∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x ∈[0,3]时f(x)的值域． [解析] 由{x|－2<x<2，x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m<1，∴m ＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m ＝－1时，f(x)＝x 2为偶函数，舍去． 当m ＝0时，f(x)＝x 3为奇函数． ∴f(x)＝x 3.当x ∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数， ∴f(x)的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x≥0(x ＋1)2－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． [解析] (1)函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数， 证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b>0，得a>－b ，由(1)知f(a)>f(－b)， 因为f(x)的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称， 又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.第三章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山东潍坊高一期末测试)函数f(x)＝ln (x ＋1)x －2的定义域是( B )A ．(－1，＋∞)B ．(－1,2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －2≠0，∴x>－1且x≠2，故函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)． 2．下列计算正确的是( B ) A ．log 26－log 23＝log 23 B ．log 26－log 23＝1 C ．log 39＝3D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)[解析] 在B 选项中，log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故该选项正确．3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是( B )A ．9B ．19 C ．－19D ．－9[解析] ∵x>0时，f(x)＝log 2x ， ∴f(14)＝log 214＝log 22－2＝－2，又∵x<0时，f(x)＝3x ，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f[f(14)]＝f(－2)＝19.4．(2019·山东潍坊高一期末测试)已知x ＝log 512，y ＝(12)0.1，z ＝213 ，则( A )A ．x<y<zB ．x<z<yC ．y<x<zD ．z<x<y[解析] log 512<log 51＝0，∴x<0；(12)0.1<(12)0＝1，∴0<y<1；213 >20＝1，∴z>1，∴x<y<z.5．函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是( A )[解析] 排除法：∵函数y ＝－log a x 中x>0，故排除B ；当a>1时，函数y ＝a x为增函数，函数y ＝－log a x 为减函数，故排除C ；当0<a<1时，函数y ＝a x 为减函数，函数y ＝－log a x 为增函数，故排除D ，所以选A ． 6．(2019·北京文，3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( A ) A ．y ＝x 12 B ．2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x[解析] 函数y ＝x 12＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，函数y ＝2－x＝(12)x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，＋∞)上都是单调递减的，故选A ．7．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1[解析] 由已知条件可知：f[g(1)]＝f(a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A ．8．给出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (x≥4)f (x ＋1)(x<4)，则f(log 23)的值等于( D )A ．－238B ．111C ．119D ．124[解析] 因为log 23∈(1,2)， 所以f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 26)＝f(log 26＋1) ＝f(log 212)＝f(log 212＋1) ＝f(log 224)＝12log 224＝124.9．若a>b>0,0<c<1，则( B ) A ．log a c<log b c B ．log c a<log c b C ．a c<b cD ．c a>c b[解析] 对于选项A ：log a c ＝lgc lga ，log b c ＝lgclgb，∵0<c<1，∴lgc<0，而a>b>0，所以lga>lgb ，但不能确定lga 、lgb 的正负，所以它们的大小不能确定； 对于选项B ：log c a ＝lga lgc ，log c b ＝lgb lgc ，而lga>lgb ，两边同乘以一个负数1lgc 改变不等号方向所以选项B 正确；对于选项C ：利用y ＝x c在第一象限内是增函数即可得到a c>b c，所以C 错误；对于选项D ：利用y ＝c x在R 上为减函数易得为错误．所以本题选B ．10．设函数f(x)＝x 2－4x ＋3，g(x)＝3x－2，集合M ＝{x ∈R|f[g(x)]>0}，N ＝{x ∈R|g(x)<2}，则M∩N ＝( D )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)[解析] ∵f[g(x)]>0，∴g 2(x)－4g(x)＋3>0. ∴g(x)>3或g(x)<1， ∴M∩N＝{x|g(x)<1}．∴3x－2<1,3x<3，∴x<1.故选D ．11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，－log 2(x ＋1)，x≤1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( A )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[解析] 由已知条件可得函数图像：故f(a)＝－3＝－log 2(a ＋1)，可得a ＝7； f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A ．12．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－4,4)B ．[－4,4)C ．(－4,4]D ．[－4,4][解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上递增且恒大于零． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2g (2)＝22－2a ＋3a>0，解得－4<a≤4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·大连市高一期末测试)已知16a＝4，lg x ＝a ，则x ＝10. [解析] ∵16a＝4，∴a ＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012＝10，∴x ＝10.14．(2019·安徽安庆二中高一期中测试)计算：(49)12 ＋(12)log23＋lne ＝2.[解析] 原式＝23＋12log 23＋1＝23＋13＋1＝2. 15．(2019·全国卷Ⅱ理，14)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln2)＝8，则a －3.[解析] 解法一：设x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－e－ax，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－e －ax，∴f(x)＝e－ax＝1eax ＝1(e x )a ， ∵ln2>0，∴f(ln2)＝1(e ln2)a ＝12a ＝8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.解法二：∵ln2>0，∴－ln2<0， 又∵当x<0时，f(x)＝－e ax， ∴f(－ln2)＝－e －aln2＝－1e aln2＝－1(e ln2)a＝－12a ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－ln2)＝－f(ln2) ＝－8， ∴－12a ＝－8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.16．关于函数y ＝2x2－2x －3有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)； ②递增区间为[1，＋∞)； ③是非奇非偶函数； ④值域是(116，＋∞)．则正确的结论是②③.(填序号即可)[解析] ①不正确，因为y ＝2x 2－2x －3的定义域为R ； ④不正确，因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴2x2－2x －3≥2－4＝116，即值域为[116，＋∞)；②正确，因为y ＝2u为增函数，u ＝x 2－2x －3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y ＝2x2－2x －3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·安徽太和中学高一期中测试)计算下列各式的值： (1)(12)－2＋(12)0－2713 ＋38；(2)log 327－log 33＋lg25＋2lg2＋lne 2. [解析] (1)原式＝22＋1－(33) 13 ＋323＝4＋1－3＋2＝4.(2)原式＝log 3332 －log 3312 ＋lg25＋lg4＋2＝32－12＋lg100＋2 ＝32－12＋2＋2＝5. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)． (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值． [解析] (1)∵f(x)＝2x， ∴g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)＝22x－2x ＋2.∵f(x)的定义域是[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤30≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.∴g(x)的定义域是[0,1]． (2)g(x)＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4. ∵x ∈[0,1]， ∴2x ∈[1,2]．∴当2x ＝1，即x ＝0时，g(x)取得最大值－3； 当2x＝2，即x ＝1时，g(x)取得最小值－4.19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(log 4x)>0的解集．[解析] 因为f(x)是偶函数， 所以f(－12)＝f(12)＝0，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)在(－∞，0)上是减函数． 所以f(log 4x)>0⇒log 4x>12或log 4x<－12，解得：x>2或0<x<12，则不等式f(log 4x)>0的解集是 {x|x>2，或0<x<12}．20．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a x ，x ∈[2,4]的值域为[m ，m ＋1]，求a 的值．[解析] 当a>1时，f(x)＝log a x ，在[2,4]上是增加的，∴x ＝2时，f(x)取最小值；x ＝4时，f(x)取最大值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m log a 4＝m ＋1，∴2log a 2＝log a 2＋1.∴log a 2＝1，得a ＝2 当0<a<1时，f(x)＝log a x 在[2,4]上是减少的，∴当x ＝2时，f(x)取最大值；x ＝4时，f(x)取最小值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m ＋1log a 4＝m ，∴log a 2＝2log a 2＋1，∴log a 2＝－1.∴a ＝12.综上所述，a ＝2或a ＝12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(12x －1＋12)·x 3.(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0.[解析] (1)因为要使题中函数有意义，需2x－1≠0，即x≠0， 所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)因为f(x)＝2＋(2x－1)2(2x－1)·x 3＝2x＋12(2x －1)·x 3， 又f(－x)＝2－x＋12(2－x －1)·(－x)3＝1＋2x2(1－2x )·(－x 3)＝2x＋12(2x－1)·x 3， 所以f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (3)证明：因为x>0时，2x>1，所以2x－1>0. 又因为x 3>0，所以f(x)>0；因为x<0时，0<2x<1，所以－1<2x－1<0. 又因为x 3<0，所以f(x)>0.所以当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(x)>0.22．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格P 的函数，且Q 1＝144·(12)P ＋12，Q 2＝6×2P ，日总成本C 关于日产量Q 2的关系式为：C ＝10＋13Q 2.(1)Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P 0；(2)当P ＝P 0时，求日利润L 的大小．[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解． (1)根据题意有Q 1＝Q 2， 144·(12)P ＋12＝6×2P，即(2P )2－2·2P－24＝0. 解得2P＝6,2P＝－4(舍去)． ∴P ＝log 26，故P 0＝P ＝log 26. 即均衡价格为log 26元． (2)由于利润＝收益－成本，故L ＝Q 1P －C ＝36log 26－(10＋13×36)＝36log 26－22，故P ＝P 0时，利润为(36log 26－22)元．第四章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( D )A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是( A )A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( B )A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( D )A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( C ) A．0 B．2C．4 D．无法判断[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( B )A ．[－2，－1]B ．[1,2]C ．[4,5]D ．[5,6][解析] 在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．7．夏季高山温度从山脚起每升高100m ，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( C )A ．1 750mB ．1 730mC ．1 700mD ．1 680m[解析] 设从山脚起每升高x 百米时，温度为y 摄氏度，根据题意得y ＝26－0.7x ，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x ＝17(百米)，∴山的相对高度是1 700m.8．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] ∵f(x)＝2x＋3x ，∴f(－1)＝－52<0，f(0)＝1>0，故选B ．9．若方程lnx ＋x －4＝0在区间(a ，b)(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设f(x)＝lnx ＋x －4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．10．若方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 考查函数f(x)＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧－m －22>2f 2＝m ＋5>0m －22－45－m≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<－2m>－5m≥4或m≤－4，∴－5<m≤－4.故选A ．11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，a 2]，[0，a 4]，[0，a8]，则下列说法正确的是( D )A ．函数f(x)在区间[0，a16]中有零点B ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a8]中有零点C ．函数f(x)在区间[a16，a]中无零点D ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a 8]中有零点，或零点是a16[解析] 由二分法的定义可知，只有D 正确．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( D )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[解析] 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ， ∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x 2－3)(x 2－2x －3)的零点为±3，3，－1 . [解析] 令f(x)＝0，得x ＝±3，或x ＝3，或x ＝－1.14．用一根长为12m 的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m 2. [解析] 设框架的一边长为xm ，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym 2，则y ＝x(6－x)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9(0<x<6)，y max ＝9(m 2)．15．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为4_025.[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2 012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2 012个零点，又x ∈R ，所以f(0)＝0，因此共4 025个零点．16．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≤02x －6＋lnx x>0的零点个数是2.[解析] 当x≤2，令x 2－2＝0，得x ＝－2； 当x>0时，令2x －6＋lnx ＝0， 即lnx ＝6－2x ，在同一坐标系中，画出函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像如图所示．由图像可知，当x>0时，函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点． 综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数y ＝x 3－7x ＋6的零点． [解析] ∵x 3－7x ＋6＝(x 3－x)－(6x －6) ＝x(x 2－1)－6(x －1) ＝x(x ＋1)(x －1)－6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋x －6) ＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，∴由x 3－7x ＋6＝0即(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0得x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数y ＝x 3－7x ＋6的零点为－3,1,2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－x ＋m 的零点都在区间(0,2)内，求实数m 的范围．[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f 0>0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4m≥0m>04－2＋m>0，解得0<m≤14.所以实数m 的取值范围是(0，14]．19．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数．[解析] 设f(x)＝x 3－4x －2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x ＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分别在[－2，－1)，(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点， 又∵x 3－4x －2＝0最多有3个根，∴方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．20．(本小题满分12分)某公司从2009年的年产值100万元，增加到10年后2019年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)[解析] 设每年年增长率为x ， 则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5， 两边取常用对数，得 10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝lg510＝110(lg10－lg2)＝0.710.又∵lg(1＋x)＝ln1＋xln10，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝0.710×ln10＝0.710×2.30＝0.161＝16.1%.又由已知条件ln(1＋x)≈x 得x≈16.1%. 故每年的平均增长率约为16.1%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．[解析] 若实数a 满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a)(5a ＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x. 令f(x)＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时a ＝－15，此时f(x)＝x 2－135x －65.令f(x)＝0，即x 2－135x －65＝0.解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC 上时，只有在B 点时长方形BCDB 1面积最大， ∴S 1＝SBCDB 1＝5 600m 2.(2)当一顶点在EA 边上时，只有在A 点时长方形AA 1DE 的面积最大， ∴S 2＝SAA 1DE ＝6 000m 2.(3)当一顶点在AB 边上时，设该点为M ，则可构造长方形MNDP ，并补出长方形OCDE. 设MQ ＝x(0≤x≤20)，∴MP ＝PQ －MQ ＝80－x. 又OA ＝20，OB ＝30，则OA OB ＝MQ QB ，∴23＝x QB ，∴QB ＝32x ，∴MN ＝QC ＝QB ＋BC ＝32x ＋70，∴S 3＝S MNDP ＝MN·MP＝(70＋32x)·(80－x)＝－32(x －503)2＋18 0503，当x ＝503时，S 3＝18 0503.比较S 1，S 2，S 3，得S 3最大，此时MQ ＝503m ，BM ＝25 133m ，故当长方形一顶点落在AB 边上离B 点25133m 处时公寓占地面积最大，最大面积为18 0503m 2.。

北师大高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线综合测试题(原卷版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()A.C.2.双曲线－y2＝1的焦点坐标是()A.(－，0)，(，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－)，(0，)D.(0，－2)，(0，2)3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.C.(1，2)D.(1，－2)4.设椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率e的最小值为()A.C.5.已知双曲线的方程为＝1，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为()A.1B.C. D.26.已知椭圆＝1的上焦点为F，M是椭圆上一点，点A(2，0)，当点M在椭圆上运动时，|MA|＋|MF|的最大值为()A.4B.6C.8D.107.点P是直线l：x＝－3上一动点，点F(3，0)，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，＝λ(λ∈R)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点为S，则|MS|的最小值是()A.2B.3C.2D.48.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，若离心率e＝(e≈0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”.下列有三个命题：①在黄金椭圆C中，a，b，c成等比数列；②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则∠F1EB＝90°；③在黄金椭圆C中，以A(－a，0)，B(a，0)，D(0，－b)，E(0，b)为顶点的菱形ADBE的内切圆经过焦点F1，F2.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A.若C为椭圆，则1＜t＜3B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜210.已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，与x轴的两个交点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系可能为()A.相交B.外切C.外离D.内切11.已知双曲线E：＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是()A.E的焦点在x轴上B.m＝C.E的实轴长为6D.E的离心率为12.已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点F的坐标为B.若直线MN过点F，则x1x2＝－C.若＝λ，则|MN|的最小值为D.若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点F为椭圆Γ：＝1的左焦点，点P为椭圆Γ上任意一点，点O为坐标原点，则的最大值为6.14.F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且|PQ|＝2，则△PQF外接圆的方程为＋(y－1)＝2.15.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为1.已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为28.16.求椭圆＋y2＝1关于点M(3，5)对称的曲线方程0y)1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D，E两点，求线段DE的长.18.(12分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过点M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标.19.(12分)已知点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足：直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，且k1·k2＝－.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点F(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.20.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，a＝2b，点E在C上，E在x轴上的射影为C的右焦点F，且|EF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若M，N是C上异于A，B的不同两点，满足BM⊥BN，直线AM，BN交于点P，求证：点P在定直线上.21.(12分)已知点P是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点?证明你的结论.22.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.北师大高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线综合测试题(解析版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是(B)A.C.解析：由题意可得b＝c，所以a＝c，所以离心率e＝.2.双曲线－y2＝1的焦点坐标是(B)A.(－，0)，(，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－)，(0，)D.(0，－2)，(0，2)解析：∵双曲线方程为－y2＝1，∴焦点坐标可设为(±c，0).∵c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，c＝2，∴焦点坐标为(±2，0).故选B.3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(A)A.C.(1，2)D.(1，－2)解析：已知Q(2，－1)在抛物线y2＝4x的内部，而抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和的最小值为点Q到准线x＝－1的距离，则点P的纵坐标为－1，代入抛物线方程y2＝4x，得x＝，故点P的坐标为.故选A.4.设椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率e的最小值为(C)A.C.解析：当P是椭圆的上下顶点时，∠F1PF2最大，∴120°≤∠F1PF2＜180°，∴60°≤∠F1PO＜90°，∴sin60°≤sin∠F1PO＜sin90°，∵|F1P|＝a，|F1O|＝c，∴＜1，则椭圆的离心率e的最小值为.故选C.5.已知双曲线的方程为＝1，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为(C)A.1B.C. D.2解析：由题意知，双曲线的右焦点为F(，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±x－2y＝0，所以点F(，0)到渐近线的距离d＝，故选C.6.已知椭圆＝1的上焦点为F，M是椭圆上一点，点A(2，0)，当点M在椭圆上运动时，|MA|＋|MF|的最大值为(D)A.4B.6C.8D.10解析：如图所示，设椭圆的下焦点为F'，则|AF|＝|AF'|＝4，|MF|＋|MF'|＝2a＝6，∵|MA|－|MF'|≤|AF'|，当且仅当A，F'，M共线且F'在线段AM上时等号成立，∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋6－|MF'|≤|AF'|＋6＝4＋6＝10，故选D.7.点P是直线l：x＝－3上一动点，点F(3，0)，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，＝λ(λ∈R)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点为S，则|MS|的最小值是(C)A.2B.3C.2D.4解析：设M(x，y)，易得＝(3，0)，由＝λ，得P(－3，y)，由点Q为PF的中点知Q，又∵QM⊥PF，∴直线QM与直线PF斜率的乘积为－1，即＝－1，得y2＝12x，∴M的轨迹是抛物线，∴x≥0.|MS|＝＝＝＝2.当x＝0时，等号成立.故|MS|的最小值为2.8.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，若离心率e＝(e≈0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”.下列有三个命题：①在黄金椭圆C中，a，b，c成等比数列；②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则∠F1EB＝90°；③在黄金椭圆C中，以A(－a，0)，B(a，0)，D(0，－b)，E(0，b)为顶点的菱形ADBE的内切圆经过焦点F1，F2.正确命题的个数是(D)A.0B.1C.2D.3解析：e＝，得到c＝a，结合b2＝a2－c2＝a2，得b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，故①正确；|EF1|2＝b2＋c2，|EB|2＝a2＋b2，而|F1B|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝a2＋c2＋2b2＝|EF1|2＋|EB|2，故∠F1EB＝90°，②正确；结合题意可知，该圆的圆心为坐标原点，设圆的半径为r，由圆是菱形ADBE的内切圆，结合b2＝ac可知r＝，代入e＝得r＝a ＝c，所以该圆经过焦点F1，F2，③正确.故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(AD)A.若C为椭圆，则1＜t＜3B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2解析：若t＞3，则方程可变形为＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t＜1，则方程可变形为＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，故选AD.10.已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，与x轴的两个交点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系可能为(BD)A.相交B.外切C.外离D.内切解析：设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，双曲线的右焦点为F2.若P在双曲线左支，如图所示，则|O1O2|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切.若P在双曲线右支，同理求得|O1O2|＝r1－r2，故此时，两圆内切.综上，两圆相切，故选BD.11.已知双曲线E：＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是(AD)A.E的焦点在x轴上B.m＝C.E的实轴长为6D.E的离心率为解析：由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得，所以m＝36，故B错误；双曲线E的实轴长为2＝2＝12，故C错误；双曲线E的离心率e＝，故D正确.故选AD.12.已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(BCD)A.点F的坐标为B.若直线MN过点F，则x1x2＝－C.若＝λ，则|MN|的最小值为D.若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为解析：易知点F的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，选项B正确；若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2＝y的焦点为，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别做准线的垂线MM'，NN'，PP'，垂足分别为M'，N'，P'，则有.所以，所以线段，所以线段MN的中点P到x轴的距离为，选项D 正确.故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点F为椭圆Γ：＝1的左焦点，点P为椭圆Γ上任意一点，点O为坐标原点，则的最大值为6.解析：设点P的坐标为(x，y)，则－2≤x≤2，由＝1，可得y2＝3－x2，椭圆Γ的左焦点为F(－1，0)，＝(x，y)，＝(x＋1，y)，则＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，二次函数f(x)＝(x＋2)2＋2在区间[－2，2]上单调递增，所以，f(x)max＝f(2)＝×42＋2＝6.14.F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且|PQ|＝2，则△PQF外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.解析：如图，由抛物线方程可知焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵|PQ|＝2，∴x P＋1＝2，即x P＝1，则y P＝2，∴P(1，2)，Q(－1，2)，∴FP⊥PQ，即△FPQ为直角三角形，∴△PQF外接圆的圆心为FQ中点，即圆心为(0，1)，半径为，∴△PQF外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.15.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为＝1.已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△P AF的周长的最小值为28.解析：∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，∴解得a＝4，b＝4.∴双曲线的标准方程为＝1；设双曲线的上焦点为F'(0，8)，则|PF|＝|PF'|＋8，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF'|＋|PA|＋|AF|＋8.当P点在第二象限，且A，P，F'共线时，|PF'|＋|PA|最小，最小值为|AF'|＝10.而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28.16.求椭圆＋y2＝1关于点M(3，5)对称的曲线方程＋(10－y)2＝1.解析：设所求曲线上任一点P(x，y)，关于M(3，5)的对称点为P'.如图，根据中心对称的性质，P，P'关于M(3，5)对称，得P'的坐标是(6－x，10－y)，它应在椭圆＋y2＝1上，于是有＋(10－y)2＝1，即P点坐标需满足的方程是＋(10－y)2＝1.故椭圆＋y2＝1关于点M(3，5)对称的曲线方程为＋(10－y)2＝1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－2交于D，E两点，求线段DE的长.解：设点C(x，y)，则||CA|－|CB||＝2.根据双曲线定义，可知点C的轨迹为双曲线，由2a＝2，2c＝|AB|＝2，得a＝1，c＝，则b2＝2，故点C的轨迹方程为x2－＝1.由得x2＋4x－6＝0，∵Δ＞0，∴直线与双曲线有两个交点，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，故|DE|＝·|x1－x2|＝＝4.18.(12分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过点M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标.解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).又∵F(1，0)，∴k FA＝.∵MN⊥FA，∴k MN＝－.∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，联立解方程组得∴点N的坐标为.19.(12分)已知点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足：直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，且k1·k2＝－.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点F(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意知，k1＝(x≠－2)，k2＝(x≠2)，由k1·k2＝－，即(x≠±2)，整理得点P(x，y)的轨迹C的方程为＝1(x≠±2).(2)假设在x轴上存在点Q(x0，0)，使得为定值.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，联立方程消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，由＝(x1－x0，y1)，＝(x2－x0，y2)，所以＝(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2＝(x1－x0)(x2－x0)＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋k2＋，将x0看成常数，要使得上式为定值，需满足5＋8x0＝16，即x0＝，此时；当直线l的斜率不存在时，可得A，B，Q，所以，综上所述，存在Q，使得为定值.20.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，a＝2b，点E在C上，E在x轴上的射影为C的右焦点F，且|EF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若M，N是C上异于A，B的不同两点，满足BM⊥BN，直线AM，BN交于点P，求证：点P在定直线上.解：(1)因为|EF|＝，所以.又a＝2b，所以a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线BM的方程为y＝k(x－2)，代入椭圆C的方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，设M(x1，y1)(≠4)，则2x1＝，解得x1＝，y1＝，所以M，用－替换k，可得N，所以直线AM的斜率为，直线BN的斜率为－，所以直线AM的方程为y＝－(x＋2)，①直线BN的方程为y＝－(x－2).②联立①②得直线AM，BN的交点P的横坐标x P＝，所以点P在定直线x＝上.21.(12分)已知点P是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点?证明你的结论.解：(1)由|PF1|＋|PF2|＝4，得a＝2，又P在椭圆上，代入椭圆方程有＝1，解得b＝，所以椭圆C的标准方程为＝1.(2)直线l过定点.证明：当直线l的斜率不存在时，A(x1，y1)，B(x1，－y1)，k1＋k2＝＝1，解得x1＝－4，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)由整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝48(4k2－m2＋3)＞0.由k1＋k2＝1，整理得(2k－1)x1x2＋(x1＋x2)＋2m－4＝0，即(m－4k)(2m－2k－3)＝0.当m＝k＋时，此时，直线l过P点，不符合题意；当m＝4k时，Δ＝48(4k2－m2＋3)＞0有解，此时直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0).22.(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由椭圆的定义知△PF1F2的周长为2a＋2c，所以2a＋2c＝6，又因为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，所以a＝2c，联立解得a＝2，c＝1，所以b＝，所求椭圆方程为＝1.(2)假设存在满足条件的点Q(t，0).当直线l的斜率k存在时，设y＝k(x－1)，联立消y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∵k QM＋k QN＝＝＝＝k·＝k·＝，∴要使对任意实数k，k QM＋k QN为定值，则只有t＝4，此时，k QM＋k QN＝0.当直线l与x轴垂直时，若t＝4，也有k QM＋k QN＝0.故在x轴上存在点Q(4，0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0.。