导数应用---单调性

导数应用---单调性1、（2011届惠州一模19）已知函数322()23().3f x x ax x x =-+∈R (1)若1a =，点P 为曲线()y f x =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若函数()(0,)y f x =+∞在上为单调增函数，试求满足条件的最大整数．．a ． 19.【题型】函数与不等式综合题 审题：(1)1a =，()f x 确定为322()233f x x x x =-+，切线的斜率()k f x '=为二次函数，用配方法得k 的最小值，也得到了切点P 的坐标，由点斜式求得了切线方程；(2)函数()(0,)y f x =+∞在上为单调增函数⇒()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离系数得()a g x ≤或()a g x ≥，再求min ()g x 或max ()g x 即得a 的取值范围.解：(1)设切线的斜率为k ，则22()2432(1)1k f x x x x '==-+=-+ ………2分 又5(1)3f =，所以所求切线的方程为：513y x -=- …………5分 即3320.x y -+=………6分(2)方法1(变量分离法):2()243f x x ax '=-+，要使()y f x =为单调增函数，必须满足()0f x '≥， 即对任意的(0,),()0x f x '∈+∞≥恒有 ………8分2()2430f x x ax '=-+≥， ∴2233424x x a x x+≤=+………11分而3242x x +≥，当且仅当2x =时，等号成立，所以2a ≤ 所求满足条件的a 值为1 …………………………14分方法2(数形结合法)：2()243f x x ax '=-+，要使()y f x =为单调增函数，必须满足()0f x '≥，即对任意的(0,),()0x f x '∈+∞≥恒有………8分即2()2430f x x ax '=-+≥，令2()243g x x ax =-+，在(0,)+∞上，恒有()0g x ≥，得20(4)4230a a ≥⎧⎨∆=--⨯⨯≤⎩(图1)或0(0)0a g <⎧⎨≥⎩(图2)，…12分∴02a ≤≤或0a <，即2a ≤，……………………13分 ∴满足条件的最大整数．．a 为1.……………………………14分【易错警示】同学们对函数解答题有一种恐惧心理，认为一定是解决 不了的，万没想到解决这类问题也有很强的规律性，它只是将一些常 用的方法综合在一起罢了，只要顺着题意走，就能解决问题.【矫正建议】是可以解决的，只是时间的问题. 【超强排查】1、涉及考点、方法：导数的几何意义、导数与函数的单调性、基本不等式，数形结合法、变量分离法.2、相关考点、方法：(1)曲线切线的求法与应用：一抓切点(未知时需要设为00(,)P x y )；二抓斜率0()k f x '=， 三用点斜式求切线方程，如，已点P 在直线1y x =+上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ(提示：将直线1y x =+平移到与曲线ln y x =相切，求得切点(1,0)，再求切点到直线1y x =+的距离即可)，(2)导数与函数的单调性：①函数单调区间的求法：(i)求()f x '，(ii)令()0f x '>解得()f x 的增区间(注：若有多个增区间，需用“，”隔开，减区间的同样)，令()0f x '<解得()f x 的减区间，含有参数的，需要分类讨论(二次函数的用数形结合或变量分离法)，如求函数()ay x a x=+∈R 的增区间(答案：0a ≤时，R ；0a >时，(,)-∞+∞)，②知单调区间求参数取值范围：(i)()f x 在区间U 上单调递增()0f x '⇒≥在区间U 上恒成立，且()0f x '=不恒成立，(ii)()f x 在区间U 上单调递减()0f x '⇒≤在区间U 上恒成立，且()0f x '=不恒成立，(3)导数与函数的极值：(i)由()0f x '=求可能的极值点，(ii)由()0f x '>与()0f x '<考虑()f x 的单调性(注：有时可以直接给出，如321132y x x x =++)，(iii)由单调性判断并计算出极值1()f x '、2()f x '…(注：若求的是极值点，则只需求出12,x x x x ==…)， (4)导数与函数的最值：(i)用(3)中的方法求出所有的极值，(ii)求端点值，(iii)比较极值与端点值得最值，(5)参数问题范围的常用求法： ①变量分离法：本题的解法1， ②数形结合法：本题的解法2，③反客为主法：如已知函数2()f x x ax a =++，当[1,1]a ∈-时，()0f x ≥恒成交，求x的取值范围，(答案115(1,][,)22-+-+∞ ，提示：将()f x 变形为2()(1)f x x a x =++，令2()(1),[1,1]g a x a x a =++∈-，变成了关于a 的一次函数，分类讨论，当1x =-时，()10g a =≥成立，当1x <-时，10x +<，2min ()(1)10g a g x x ==++≥成立，当1x >-时，10x +>，2min ()(1)(1)0g a g x x =-=-++≥，解得x ≤或x ≥，又1-<，有1x -<≤x ≥， 要使在[1,1]-上的任意a ，()0f x ≥成立，必须1x -<≤或x ≥)， ④分类讨论法：如上面的③求x 的范围时就用到了分类讨论法，⑤判别式“∆”法：如函数2y x ax a =++在R 上0y ≥恒成立，求实数a 的取值范围，(答案[0,4]，提示：由240a a ∆=-≤得)，⑥换元法：如已知函数2()sin sin f x x a x a =++在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围，(答案[0,)+∞，提示：令sin t x =，有2(),[1,1]g t t at a t =++∈-，数形结合，由min 12()(1)0a g t g ⎧-<-⎪⎨⎪=-≥⎩或211240a a a ⎧-≤-≤⎪⎨⎪∆=-≤⎩或min 12()(1)0a g t g ⎧->⎪⎨⎪=≥⎩得)， ⑦基本不等式法：本题解法1.2、（本小题满分14分）已知函数1()ln1x f x x +=- （Ⅰ）求函数的定义域，并证明1()ln 1x f x x +=-在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若[2,6]x ∈1()lnln1(1)(7)x mf x x x x +=>---恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）当*n N ∈时，试比较(2)(4)(6)...(2)f f f f n ++++与222n n +的大小关系． 解：（Ⅰ）由101x x +>-，解得1x <-或1x >， ∴ 函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ 当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ 时，11111()lnln ln()ln ()1111x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+-- ∴ 1()ln 1x f x x +=-在定义域上是奇函数。

………4分（Ⅱ）由[2,6]x ∈时，1()lnln1(1)(7)x mf x x x x +=>---恒成立， ∴10,[2,6]1(1)(7)x mx x x x +>>∈--- ∴ 0(1)(7)m x x <<+-在[2,6]x ∈成立令2()(1)(7)(3)16g x x x x =+-=--+，[2,6]x ∈，由二次函数的性质可知[2,3]x ∈时函数单调递增，[3,6]x ∈时函数单调递减， [2,6]x ∈时，min ()(6)7g x g ==∴07m << ………8分（Ⅲ）(2)(4)(6)(2)f f f f n +++⋅⋅⋅+=35721ln ln(21)13521n n n +⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+- 证法一：设函数()ln (1)(1)h x x x x =--≥,[1,)x ∈+∞ 则(1,)x ∈+∞时，1()0xh x x-'=<，即()h x 在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，故ln 1x x <-ln 1x x <-在[1,)x ∈+∞成立，则当21()x n n N *=+∈时,2ln(21)222n n n n +<<+成立．………14分证法二：构造函数2()ln(1)()(0)2x h x x x x =+-+>，212()111x xh x x x x --'=--=++ 当0x >时，()0h x '<，∴2()ln(1)()2x h x x x =+-+在(0,)+∞单调递减，()(0)0h x h ∴<= ………12分当2x n =（n N *∈）时，2ln(12)(22)0n n n +-+< 2l n (12)22n n n ∴+<+ …14分3、（2011广东高考数学模拟冲刺(一)）已知函数21()ln ,()2f x xg x x a ==+（a 为常数），直线l 与函数()f x 、()g x 的图象都相切，且l 与函数()f x 图象的切点的横坐标为1． （1）求直线l 的方程及a 的值；（2）若()(1)()h x f x g x '=+-（注：()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的单调递增区间；（3）当k R ∈时，试讨论方程2(1)()f x g x k +-=的解的个数． 解：∴直线l 与()y g x =的图象相切．等价于方程组2112y x y x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，只有一解，即方程21(1)02x x a -++=有两个相等实根． 1114(1)0,22a ∴∆=-⨯+=∴=-．（2）()ln(1)(1)h x x x x =+->-，由1()111xh x x x '=-=-++ ()0h x '>，0,101xx x <∴-<<+，当(1,0)x ∈-时，()h x 是增函数。

即()h x 的单调递增区间为（1-，0）．当(ln 2,)k ∈+∞时，方程无解4、（2011广东高考数学模拟冲刺(二)文）已知函数21a a x-1f(x)=2+，实数a R ∈且0a ≠。