四边形判定与性质的证明A
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A
1．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AD=3cm ，BC=7cm ，•DE•⊥BC 于E ，试求DE 的长．
答案：过D 点作DF ∥AC ，交BC 的延长线于点F ，
则四边形ACFD 为平行四边形，•
所以AC=DF ，AD=CF ．
因为四边形ABCD 为等腰梯形，所以AC=BD ，
所以BD=DF ，又已知AC ⊥BD ，DF ∥AC ，•
所以BD ⊥DF ，则△BDF 为等腰直角三角形．
又因为DF ⊥BC ，所以 DE=12BF=12（BC+CF ）=12（BC+AD ）=12
（7+3）=5（cm ）． 2．如图，已知四边形ABCD 中，AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是菱形．
答案：证明：∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
∴EF=
12AC ，HG=12AC ，FG=12BD ，EH=12
BD ． ∴EF=HG=12AC ，FG=EH=12BD ． 又∵AC=BD ，∴EF=HG=FG=EH ．
∴四边形EFGH 是菱形．
3．已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AM=MB ，DN=NC ．求证：MN ∥BC ，MN=12
（BC+AD ）．
答案：证明：如图，连接AN 并延长，交BC 的延长线于点E ．
∵DN=NC ，∠1=∠2，∠D=∠3，
∴△ADN ≌△ECN ，
∴AN=EN ，AD=EC ．
又AM=MB ，∴MN 是△ABE 的中位线．
∴MN ∥BC ，MN=12
BE （三角形中位线定理） ∵BE=BC+CE=BC+AD ，
∴MN=12
（BC+AD ）．
4. 如图已知：四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，AC=BD ，E 、F 为AB 、CD 中点，EF 交BD 、AC 于MN 。
求证：OM=ON
答案：证明：取AD 中点G ，连结EG 、FG ，则：EG ∥BD ，
且EG=1/2BD ，FG ∥AC ，
且：FG=1/2AC
∵AC=BD
∴EG=FG ，∠GEF=∠GFE
又∵EG ∥BD
∴∠GEF=∠OMN
FG ∥AC ，∠GFE=∠ONM
∴∠OMN=∠ONM，∴OM=ON
5. 如图已知：四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，AC=BD ，E 、F 为AB 、CD 中点，EF 交BD 、AC 于MN 。
求证：OM=ON
答案：解：过A 作AE ⊥BC 于E ，过D 作DF ⊥BC 于F ，则：AE=DF ，
∵AB ⊥AC ， AB=AC
∴△ABC 是等腰直角三角形
∴AE=BE=
BC
又∵BD=BC ， ∴AE=1/2BD
即：DF=BD，∴∠DBC=30°
6. 等腰梯形一底角为60°，一条长为2 √3cm的对角线平分这个角。
求此梯形的周长。
答案：解：∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
又∵∠C=∠ABC=60°
∴∠BDC=90°
在Rt△BDC中，BD=2 √3
∴CD=BC=2，BC=4
AB=CD=2
而AD∥BC，∠ADB=∠DBC=30°
∴AD=AB=2
∴AB+BC+CD+DA=2+4+2+2=10，答：此梯形的周长为10cm。
7. Rt△ABC中，∠C=90°。
CD是AB边上的中线，过A作CD的平行线，过C作AB的平行线，两线交于E。
求证：四边形ADCE是菱形
答案：证明：∵AECD，CEAD，
∴四边形ADCE是平行四边形，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线
∴CD=1/2AB=AD
∴四边形ADCE是菱形
8. 如图已知：梯形ABCD中，AB∥CD，E为AD中点，且BC=AB+CD。
求证：BE⊥CE。
答案：证明：延长CE交BA的延长线于F,
∵AB∥CD
∠F=∠DCE
∴在△AFE和△DCE中
∠F=∠DCE
∠AEF=∠DEC
AE=DE
∴△AFE≌△DCE(AAS)
∴FA=CD FE=CE
E为FC中点
又∵BC=AB+CD,BF=AB+AF
∴BC=BF,即：FBC是等腰三角形。
∵E为FC中点，∴BE⊥FC
即：BE⊥CE
9. □ABCD中，对角线AC、BD交于O，E、F、G、H分别是BO、DC、DO、AB的中点。
求证：四边形DFGH 是平行四边形
答案：证明：□ABCD中，AB=CD， BO=DO
∵H、F分别为AB、CD中点
∴BH=AB=DC=DF
又∵E、G分别为BO、DO中点，∴EO=1/2BO=1/2DO=GO
∴BG=BO+GO=DO+EO=DE
而AB∥CD ∴∠HBE=∠FDG
在△BFH和△DEF中，
BH=DF（已证）∠HBE=∠FDG（已证）
BG=DE（已证）
∴△BGH≌△DEF（SAS）
∴HG=EF，∠HGB=∠FED
∴HG∥EF
∴四边形EFGH是平行四边形
10．如图，在平行四边形ABCD 中，DB=CD ，∠C=70°，AE ⊥BD 于点E ．试求∠DAE 的度数．
答案：∠DAE=20°
11．已知：如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，F ，G 分别是OB ，OC 的中点．求证：四边形DFGE 是平行四边形．
答案：提示：只要证明DE 是△ABE 的中位线，FG 是△OBC 的中位线，
得DE //12BC //FG ．• 故四边形DFGE 是平行四边形
12.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，•每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图乙中，画出一个梯形，使其两底和为5．
答案：方法多种，图形略
13.如图，BC 为固定的木条，AB ，AC 为可伸缩的橡皮筋．当点A 在与BC•平行的轨道上滑动时，你能说明△ABC 的面积将如何变化吗？并说明你的理由．
设△ABC 的边BC 上的高为h ．
由于轨道与BC平行，故h保持不变．
根据S△ABC=1
2 BC·h•
可知，△ABC的面积保持不变。
