专题22 圆锥曲线高考真题江苏卷(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题22：圆锥曲线高考真题江苏卷（解析版）一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =. 【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a=±即0bx ay ±=的距离为,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q，1(F，2F，则10S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的。

圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值；(2) 求()()48f f -+的值；(3) 求函数()f x 的解析式.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6 （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2 且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程. 2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，2过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且12224AF F Sa =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤，且2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且焦距1223F F =，线段,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,2s t =≠±，直线,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E 两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。

2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2021年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.【2021年四川高考】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，那么直线OM的斜率的最大值为？答案】C2.【2021年天津高考】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为？答案】D3.【2021年全国I高考】方程x^2/4-y^2/n^2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是？答案】A4.【2021年全国I高考】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，|AB|=42，|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为？答案】B5.【2021年全国II高考】圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，那么a=？答案】A6.【2021年全国II高考】圆F_1,F_2是双曲线E: x^2/4-y^2/9=1的左、右焦点，点M在E上，MF_1与x轴垂直，F_1F_2=b/a*sin∠MF_1F_2，那么E的离心率为？答案】A7.【2021年全国III高考】O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为？答案】A8.【2021年浙江高考】椭圆C_1: x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)与双曲线C_2: x^2/4-y^2/n^2=1(n>0)的焦点重合，e_1，e_2分别为C_1，C_2的离心率，且e_1>e_2，那么m、n的大小关系是？答案】m>n2y-1由AN·BM = (x-a)(y-b)(x+c)(y+c) = (x+c)(y+c)得证。

a
双曲线的虚轴长为16 2 c2 a2 2a ，可得 a 8 ，
当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为 x2 y2 1 ； 64 64
当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为 y2 x2 1 . 64 64
综上所述，所求双曲线的标准方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1 ；
B． x2 y2 1 34
C． x2 y2 1 16 9
D． x2 y2 1 9 16
【答案】D 解：由题可知， F1A F2F1 F2 A ，若 (F2F1 F2 A) F1A 0 ，即为 (F2F1 F2 A) F2F1 F2 A 0 ，
2 可得 AF2
【答案】A
由题意可得
2c
4
c2 a2
5 b2
a ，解得 b
6
，因此，椭圆的标准方程为
4
x2 36
y2 16
1.
7．若双曲线 C ： mx2 y2 2 的实轴长等于虚轴长的一半，则 m （ ）
1
A．
4
1 B．
2
C．4
D．2
【答案】C 解：双曲线 C ： mx2
y2
2 化为标准方程是 C ：
3
x2 9
y2 3
1；
（2）由双曲线的焦点在
y 轴上，可设双曲线的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0，
由双曲线的定义可得 2a 4
5 ，则 a 2
5
，所以，双曲线的标准为
y2 20
x2 b2
1，
将点 2, 5 的坐标代入双曲线的标准方程得
52
20
22 b2
1 ，解得 b

专题20：圆锥曲线全国卷高考真题综合2（解析版）一，选择题1，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=.2，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）若双曲线C:221a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 BCD．3【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 3．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3）【答案】B则C 的方程为145-= . 本题选择B 选项.4．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3正式版）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63 B ．33 C ．23 D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离222ab d a a b ==+，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，63c e a ==，故选A.5．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 A ．(–1,3) B ．(–1,) C ．(0,3) D ．(0,)【答案】A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A ．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）圆的圆心到直线的距离为1，则（）A．B．C．D．2【答案】A 【解析】 试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．8．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()B ．33(C ．2222( D ．2323( 【答案】A 【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF ⋅=0000(3,)(3,)x y x y --⋅-=2220003310x y y +-=-<，解得03333y -<<，故选A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.9，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．10，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A ．B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为．则，，设一个焦点，一条渐近线的方程为，即，所以焦点F到渐近线的距离为，选A ．【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式．11，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】试题分析：如图所示，因为4FP FQ =，故34PQ PF =，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==，选B ．【考点定位】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．12，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A ．33B ．93C ．6332D ．94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB 的方程为33()34y x =-，代入抛物线的方程可得：2412390y y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为121213()424y y y y ⨯⨯+-=94，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 二，填空题13，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________． 【答案】23 【解析】 如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°，∴，∴=设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tanθ=||||APOP=．又tan θ=ba，ba=，解得a2=3b2，∴==答案：3点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，再根据222b c a=-和cea=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．14，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知F是抛物线C:28y x=的焦点，M是C上一点，F M的延长线交y轴于点N．若M 为F N的中点，则F N=____________．【答案】6【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点'F，作MB l⊥与点B，NA l⊥与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x=-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FFBM+==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. 【答案】22325()24x y -+= 【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程16，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]- 【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM ==212OM ≤，解得2OM ≤，因为点M （0x ,1），所以2012OM x =+≤，解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度. 三，解答题 17．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)32,2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x ==.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->2k <. 因此k 的取值范围是)2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．18．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。

2021年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。

2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.【答案】2【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设z=(a+2i)×(1+i),∵复数z的实部为0，又∵z=(a−2)+(a+2)i,∴a−2=0,∴a=2【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，从而求出复数z的实部和虚部，再结合复数z的实部为0的已知条件求出a的值。

3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.【答案】5【考点】程序框图【解析】【解答】第一步：x=1,S=0,S=S+x2=0+12=12,1≥4不成立；第二步：x=x+1=1+1=2,S=S+x2=12+22=32,2≥4不成立；第三步：x=x+1=2+1=3,S=S+x2=32+32=62=3,3≥4不成立；第四步：x=x+1=3+1=4,S=S+x2=3+42=5,4≥4成立；∴输出的S=5【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。

4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.【答案】[−1,7]【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】∵函数y=√7+6x−x2，∴要使函数有意义，则7+6x−x2≥0,∴x2−6x−7≤0,∴(x+1)(x−7)≤0,∴−1≤x≤7,∴函数的定义域为[-1,7]【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。

专题21：圆锥曲线高考真题浙江卷（解析版）一、单选题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1CD ．2【答案】C【分析】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为 e c a ==， 故选C ．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A ．2B ．5C D【答案】D【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．3．椭圆2x 9+2y 4=1的离心率是（ ） A．3 B．3 C ．23 D ．59【答案】B【解析】 椭圆22194x y +=中22222945a b c a b ===-=，，.离心率e c a ==，故选B. 4．双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ） A．()，) B ．()2,0-，()2,0C．(0,，(D ．()0,2-，()0,2 【答案】B【分析】 根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】 因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±， 因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.【点睛】。

即 4x21＋9y21＝36,4x22＋9y22＝36.
故 4x2＋9y2＝4(x21＋λ2x22＋2λx1x2)＋9(y21＋λ2y22＋2λy1y2)＝
(4x
2 1
＋
9y
2 1
)
＋
λ2(4x
2 2
＋
9y
2 2
)
＋
2λ(4x1x2
＋
9y1y2)
＝
36
＋
36λ2
＋
2λ(4x1x2＋9y1y2)．
所以 4x2＋9y2＝36＋36λ2，即9＋x29λ2＋4＋y24λ2＝1，
又离心率为 22，即ac＝ 22，
bc＝2， 由ac＝ 22，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝4，b2＝c2＝2，
∴所求椭圆的方程为x42＋y22＝1.
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(2)由(1)知 F2(
2，0)，∴kMF2＝－2
＝－ 2
2，
∴直线 l 的斜率等于 22，直线 l 的方程为 y＝ 22x＋2.
所以点 P 是椭圆9＋x29λ2＋4＋y24λ2＝1 上的点．
设该椭圆的左、右焦点分别为 M，N，则由椭圆的定义 PM
＋PN＝18 得 18＝2 9＋9λ2，所以 λ＝±2 2，
所以 M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
即存在符合题意的 λ＝±2 2，M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
解题反思： 1.变量的选择是点还是直线的斜率。 2.求最值方法-----基本不等式（找和，积是否为定值） 3.体会点在椭圆上的应用。 4.记住一个小结论（点差法推导）
解题反思： 1.构建等式的方法。（线段长相等) 2.构建不等式的方法（判别式） 3.条件的等价应用。 4.设斜率时应注意的问题（分类思想）。

圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线2y x =+相切．(1)求C 的方程；(2)过C 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中垂线与C 的准线交于点P ，若PA =，求l 的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线1l 的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线22:1C ax by +=过点1,2⎛ ⎝⎭和1,2⎛- ⎝⎭．(1)求曲线C 的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x －y －2＝0与曲线C 的两个交点为A ，B ，求△OAB 的面积（其中O 是坐标原点）．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,A B 两点，且3AB =，如图．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点(0,1)的直线l 与椭圆Γ相交于,P Q 两点，求证：射线AO 平分PAQ ∠．8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，求||||AB CD +的值.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C ；()220y px p =>，F 为抛物线的焦点，直线x m =和抛物线交于不同两点A ，B ，直线2p x =-和x 轴交于点N ，直线AF 和直线BN 交于点()00,M x y ．(1)若m p =，求三角形AMN 的面积AMN S （用p 表示）；(2)求证：点M 在抛物线C 上10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,2P ，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在抛物线E ：24y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>两个焦点分别为12,F F ，且过点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 是椭圆C 上的点，且123F PF π∠=，求三角形12F PF 的面积.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆221169x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，一条直线l 经过1F 与椭圆交于A ､B 两点.（1）求2ABF ∆的周长；（2）若直线l 的倾斜角为45 ，求2ABF ∆的面积.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左焦点为()12,0F -，点(在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线()():20=+≠l y k x k 和椭圆交于,A B 两点，设点T 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，求线段OT 长度的取值范围．16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b +=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点3⎫⎪⎪⎭．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆22:1O x y +=相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，1A ，右焦点为点F ，点P 是椭圆E 上一动点，1APA △面积的最大值为2，当PF x ⊥轴时，12PF =.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，直线l 与直线x =N ，过点F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：FM FN 为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点()00,N x y 是曲线22:1ax by Γ+=上任一点，已知曲线Γ在点()00,N x y 处的切线方程为001ax x by y +=．如图，点P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆22:4O x y +=于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求OPM 面积的最大值．20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为()1,0F -，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若在y 轴上的截距为2的直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA ，OB 的斜率之和等于12，求ABF △的面积．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2.（1）椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B两点，且AB =m 的值.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得12311k k k λ+=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为2，点P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线2222C :1x y a b-=(a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.28．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<(1)若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；(2)若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．29．（2022秋·湖北襄阳·高三期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22163x y +=，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左，右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆2C 的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：12A H PA ⊥30．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线的准线2x =-上的动点．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且,MF AB AF MB ⊥⊥，求直线l 在x 轴上截距b 的取值范围．。

2021年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、〔2021年四川高考〕设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,那么直线OM 的斜率的最大值为〔A 〔B 〕23〔C 〕2 〔D 〕1 【答案】C2、〔2021年天津高考〕双曲线2224=1x y b -〔b >0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，那么双曲线的方程为〔 〕〔A 〕22443=1y x -〔B 〕22344=1y x -〔C 〕2224=1x y b -〔D 〕2224=11x y - 【答案】D3、〔2021年全国I 高考〕方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值范围是〔A 〕(–1,3) 〔B 〕(–1,3) 〔C 〕(0,3) 〔D 〕(0,3)【答案】A4、〔2021年全国I 高考〕以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8 【答案】B5、〔2021年全国II 高考〕圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，那么a=〔 〕〔A 〕43- 〔B 〕34- 〔C 〔D 〕2 【答案】A6、〔2021年全国II 高考〕圆12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,那么E 的离心率为〔 〕〔A 〔B 〕32〔C 〔D 〕2【答案】A7、〔2021年全国III 高考〕O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .假设直线BM 经过OE 的中 点，那么C 的离心率为〔A 〕13〔B 〕12〔C 〕23〔D 〕34【答案】A8、〔2021年浙江高考〕 椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，那么A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、〔2021年北京高考〕双曲线22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，假设正方形OABC 的边长为2，那么a =_______________. 【答案】22、〔2021年山东高考〕双曲线E ：22221x y a b-= 〔a ＞0，b ＞0〕，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，那么E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ， 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、〔2021年上海高考〕平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，那么21,l l 的距离_______________【答案】2554、〔2021年浙江高考〕假设抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，那么M 到y 轴的距离是_______． 【答案】95、(2021江苏省高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠= ,那么该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)63三、解答题1、〔2021年北京高考〕 椭圆C ：22221+=x y a b〔0a b >>〕的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值. 【解析】⑴由，31122c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1, 3.a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，那么220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、〔2021年山东高考〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.〔I 〕求椭圆C 的方程；〔II 〕设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . 〔i 〕求证：点M 在定直线上;〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) 〔i 〕设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－． 所以点M 在定直线41=y －上．〔ii 〕在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、〔2021年上海高考〕 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

专题19：圆锥曲线全国卷高考真题综合1（解析版）一、单选题1，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p .故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）ABC．5D．5【答案】B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为2255d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 4，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca =，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.7，2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷） 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==，最后应用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680， 解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.8，2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得3(,)22M N -，所以3MN ==，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.9，2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y = B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴= 因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.10，2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a ba b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C．D．⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．12，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴=故选B .点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 二、填空题1，2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ） 已知双曲线过点3)，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2214x y -=【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=. 点(4,3)M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.2，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】()3,15 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又12220148241544152MF F S y =⨯-=∴=△015y = 2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M ∴的坐标为(15．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 4，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2 【分析】利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=-所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2= 故答案为2. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122A ,,B ,x y x y ，利用点差法得到1212124k y y x x y y -==-+，取AB 中点()00M'x y ，, 分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B''，由抛物线的性质得到()'1MM '2AA BB '=+，进而得到斜率． 三、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2. 【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b>0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQS d PQ k∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得2k =±时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：22y x =-或22y x =--. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． ∴由2229y kx bx y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=，∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =22a 处的导数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设 的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．。

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圆锥曲线经典大题1.已知过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0）相交于B、C两点．当直线l的斜率是错误!时,错误!＝4错误!。

（1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围．2。

如图，已知(10)F ，,直线:1l x =-,点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． (1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=,求12λλ+的值； （2)求MA MB ⋅的最小值．3。

设点F是抛物线G：x2=4y的焦点.（1）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线的方程；（2）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0· ，分别延长AF，BF 交抛物线G于C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值。

4。

设抛物线方程为22(0)=>，M为直线2x py p=-上任意一点，过M引抛物线的切y p线，切点分别为A B，．（Ⅰ）求证：A M B，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为(22)p，时，AB=-5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ,直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． (1）求椭圆M 的方程;(2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．6。

专题21：圆锥曲线高考真题浙江卷（解析版）一、单选题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1C D ．2【答案】C 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为 e ca==， 故选C ． 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A ．2B ．5C D【答案】D 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值． 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为试卷第2页，总15页()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．3．椭圆2x 9+2y 4=1的离心率是（ ）A．3B．3C ．23D ．59【答案】B 【解析】椭圆22194x y +=中22222945a b c a b ===-=，，.离心率e c a ==，故选B. 4．双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A．()，)B ．()2,0-，()2,0 C．(0,，( D ．()0,2-，()0,2【答案】B 【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标. 【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=>>可得焦点坐标为22(,0)()c c a b ±=+，顶点坐标为(,0)a ±，渐近线方程为by x a=±. 5．如图，设抛物线24y x =的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在y 轴上，则 BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++【答案】A 【解析】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质6．双曲线2214y x -=的焦距是（ ）A 3B ．23C 5D ．5【答案】D 【解析】 【分析】该双曲线的焦点在y 轴，利用222c a b =+可求得双曲线的焦距. 【详解】试卷第4页，总15页双曲线22221y x a b-=的焦距为2c ===故选D.【点睛】双曲线中222c a b =+，椭圆中222c a b =-，要注意区别并判断焦点在x 轴上还是在y 轴上.7．双曲线2221y x -=的一个顶点坐标是（ ）A ．( 2，0)B ．(－2，0) C ．(0)D ．(0，2) 【答案】D 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，即可得到顶点坐标. 【详解】双曲线2221y x -=化为标准方程为：22112y x -=，∴2a =12，且实轴在y 轴上，∴顶点坐标是（0，，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．8．已知双曲线2222:1x y C a a-=，则C 的离心率是（ ）A．2BC ．2D【答案】B 【分析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率. 【详解】∵双曲线方程为2222:1x y C a a-=，∴双曲线为等轴双曲线，. 故选B. 【点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题.9．已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2BCD 【答案】A 【分析】由(P 在双曲线C 的渐近线上，得b a 计算可得. 【详解】因为双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的渐近线方程为y=b x a ± ，(P 在渐近线上，所以b a ，则=2. 故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.二、双空题10．设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．3- 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，试卷第6页，总15页即2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得323,33k b ==-. 故答案为：323;-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.三、解答题11．如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】（1）2，1x =-；（2）312+，()2,0G . 【分析】(1)由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得12S S 的最小值和点G 的坐标.【详解】(1)由题意可得12p=，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1k x x x x +=+=， ()12121242,4y y k x x y y k+=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得：131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得：()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦，由于34y k=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-试卷第8页，总15页()21213214828168yy ≥-=+-⨯+-.当且仅当21214888y y -=-，即21843y =+，162y =+时等号成立. 此时121424y k y ==-，281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G . 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【答案】（Ⅰ）1(,0)32；10【详解】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，40p ≤， 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当10 2,m t==时，p取到最大值为1040.【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.13．如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）151062,⎡⎢⎣⎦.【分析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为012,y y y，，根据中点坐标公式得P A,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得1202y y y+=，即得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△P AB面积为1212PM y y-，利用根与系数的关系可表示12PM y y-，为y的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.【详解】详解：（Ⅰ）设()00,P x y，2111,4A y y⎛⎫⎪⎝⎭，2221,4B y y⎛⎫⎪⎝⎭．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以1y，2y为方程2214422y xy y++⎛⎫=⋅⎪⎝⎭，即22000280y y y x y-+-=的两个不同的实数根．试卷第10页，总15页所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以()2221200013384PM y y x y x =+-=-，()21200224y y y x -=-． 因此，PAB △的面积()3221200132424PABSPM y y y x =⋅-=-．因为220001(0)4y x x +=<，所以[]22000044444,5y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是151062,⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域. 14．如图，设抛物线的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|–1.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围. 【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅱ）.【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得，即p=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为，可设.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF: x=sy+1，，由消去x 得，故，所以，.又直线AB 的斜率为，故直线FN 的斜率为.从而得直线FN:，直线BN:.所以.设M(m,0)，由A，M，N 三点共线得，于是.所以m＜0或m＞2.经检验，m＜0或m＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是.【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】（Ⅰ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离；（Ⅱ）通过联立方程组可得点的坐标，进而可得点的坐标，再利用，，三点共线可得用含有的式子表示，进而可得的横坐标的取值范围.15．已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．试卷第12页，总15页（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 【答案】（1）63m <-或63m >；（2）22. 【解析】（1）可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，从而可知有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1t m=，可将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，由，消去y ，得，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线方程12y mx=+解得2222mbm+=-，②．由①②得63m<-或6m>；（2）令166(,0)(0,)tm=∈-⋃，则42223222112t tAB tt-++=+⋅+，且O到直线AB 的距离为22121tdt+=+，设AOB∆的面积为()S t，∴221112()2()22222S t AB d t=⋅=--+≤，当且仅当212t=时，等号成立，故AOB∆面积的最大值为22.考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.16．如图，已知抛物线211C4x：y=，圆222C(y1)1x：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线1C和圆2C相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求PAB∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）222222(2,),(,)11t tA t t Bt t++；（2）32t【解析】（1）设定直线PA的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点A的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点B的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离试卷第14页，总15页公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积.试题解析：（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为()y k x t =-.所以2(){14y k x t y x=-=消去y ，整理得：2440x kx kt -+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =. 所以2x t =，即点2(2,)A t t .设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B ，O 关于直线D P 对称，故有00001{220y xt x t y =-+-=， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t++. （2）由（1）知，，直线PA 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为221d t=+所以PAB △的面积为3122t S AP d =⋅=.考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.。

2021年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线〔2021文数〕23〔此题满分是18分〕此题一共有3个小题，第1小题满分是4分，第2小题满分是6分，第3小题满分是8分.椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.〔1〕假设点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标； 〔2〕设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .假设2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；〔3〕设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是〔-8，-1〕，假设椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标. 解析：(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 那么212102221201022212x x a k p x a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．〔2021文数〕19.〔本小题满分是13分〕为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系〔图4〕。

2021年全国高考数学试题分类汇编 圆锥曲线制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一局部，选择题。

1． (2021全国卷Ⅰ文第6题) 双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，那么该双曲线的离心率为〔 〕〔A 〕23〔B 〕23 〔C 〕26〔D 〕332 2 (2021全国卷Ⅰ理第6题) 双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，那么该双曲线的离心率为 〔 〕〔A 〕23〔B 〕23 〔C 〕26〔D 〕332 3. 〔2021全国卷II 文第5题〕抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，那么点A 与抛物线焦点的间隔 为 ( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 54.(2021全国卷II 文第6题) 双曲线22149x y -=的渐近线方程是( )(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±5. (2021全国卷II 理第6题) 双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，那么1F 到直线2F M 的间隔 为 ( )(C)65(D)566. (2021全国卷III 理第9题，文第9题) 双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=那么点M 到x 轴的间隔 为〔 〕〔A 〕43 〔B 〕53〔C〕3 〔D7. (2021全国卷III 理第10题，文第10题) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是〔 〕〔A〕2 〔B〕12〔C〕2〔D1 8. 〔2021卷第11题〕 双曲线的中心在原点，离心率为3.假设它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，那么该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的间隔 是〔 〕A ．23+6B ．21C ．21218+D ．219.〔2021卷第6题〕抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的间隔 为1，那么点M 的纵坐标是 ( ) ( A )1617 ( B ) 1615 ( C ) 87( D ) 0 10. 〔2021卷第11题〕 点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为( )( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2111. 〔2021卷第5题〕假设焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，那么m= ( )〔Ａ〕3 〔Ｂ〕32 〔Ｃ〕83 〔Ｄ〕2312. 〔2021卷理第9题，文第9题〕 假设动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，那么x22y 的最大值为 ( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ；(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ；(C) 442+b ；(D) 2b 。

江苏省2021届高考数学二轮复习：第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余都是A级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．x2y2101. 若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．5m52.若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．x2y24.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在abPF1点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．PF2x2y26【例1】已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(22，0)，斜率为1ab3的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G的方程； (2) 求△PAB的面积．【例2】直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43.(1) 求椭圆C的方程；(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，→→且AF＝3FB.求过O、A、B三点的圆的方程．1x22【例3】已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭4圆于M、N两点．(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【例4】 (2021・徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C的方程；(2) 曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1・y2的值(用t表示)．x2y21. (2021・天津)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个ab焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2021・全国)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交2→→C于D点，且BF＝2FD，则C的离心率为________．1x2y21，?作圆x2＋y2＝1的切线，切3.(2021・江西)若椭圆2＋2＝1的焦点在x轴上，过点??2?ab点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2021・重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．x2y25.(2021・江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，42过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值； (2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.6.(2021・重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝(1) 求该椭圆的标准方程；→→→(2) 设动点P满足：OP＝OM＋2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的1斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求出F1，2F2的坐标；若不存在，说明理由．2，一条准线的方程为x＝22. 23(2021・苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T 点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．(1) 求证：A、C、T三点共线；6＋2→→(2) 如果BF＝3FC，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐3标．2ax2y2?(1) 证明：设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T??c，0?.(1ab分)xyxyAT：2＋＝1 ②，BF：＋＝1 ③，(3分)abc－bc2acb联立①②③解得：交点C?a2＋c2，a2＋c2?，代入①得(4分)??c?2?b?2?2a2?a＋c2??a2＋c2?4a2c2＋?a2－c2?2a2＋b2＝?a2＋c2?22323＝1，(5分)满足①式，则C点在椭圆上，A、C、T三点共线．(6分) (2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF.4cb?11→→，，代入①得2＋2＝1，∴ a2＝2c2，∵BF＝3FC，CE＝b，EF＝c，则C?33??33abb2＝c2.(7分)2设P(x0，y0)，则x0＋2y0＝2c2.(8分)4cc?214c42，，AC＝5c，S△ABC＝・此时C?2c・＝c，(9分) ?33?3233直线AC的方程为x＋2y －2c＝0，|x0＋2y0－2c|x0＋2y0－2cP到直线AC的距离为d＝＝，55x0＋2y0－2c11x0＋2y0－2c2S△APC＝d・AC＝・・5c＝・c.(10分)22335只需求x0＋2y0的最大值．2222(解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x22x0y0≤x0＋4y20＋4y0＋2・0＋2(x0＋y0)(11分)22＝3(x20＋2y0)＝6c，∴ x0＋2y0≤6c.(12分)?4c?2?b?2?3??3?当且仅当x0＝y0＝6c时，(x0＋2y0)max＝6c.(13分) 32(解法2)令x0＋2y0＝t，代入x2＋2y0＝2c2得42222(t－2y0)2＋2y20－2c＝0，即6y0－4ty0＋t－2c＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤6c.(12分) 当t＝6c，代入原方程解得：x0＝y0＝∴ 四边形的面积最大值为6c.(13分) 36－22426＋226＋2c＋c＝c＝，(14分) 3333∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，(15分)x2266此时椭圆方程为＋y＝1，P点坐标为?，?.(16分)23??3第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)x2y21. 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________，m－12－m若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．31，? (－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】 ??2?x2y22. 点P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1 ，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，ab∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】633. 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x＝－1x224. 设P点在圆x＋(y－2)＝1上移动，点Q在椭圆＋y＝1上移动，则|PQ|的最大值922是________．36【答案】 1＋解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|2的最大值．设Q(x，y)，∴ |CQ|＝x2＋?y－2?2＝9?1－y2?＋?y－2?2＝－8y2－4y＋13， 1∵ －1≤y≤1，∴ 当y＝－时，|CQ|max＝4273636＝，∴ |PQ|max＝1＋. 222x2y25. (2021・南京二模)如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、 164D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．5感谢您的阅读，祝您生活愉快。