1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

一九八六年（理科）一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （（ B ） （（A ）)4sin 4(cos 2p -p i （（B ）)4sin 4(cos 2p +p i（（C ）)4cos 4(sin 2p-pi （（D ）)4cos 4(sin 2p -p-i（2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是的反函数是 （（ C ）（（A ）1log 5+=x y （（B ）15log +=x y （（C ）)1(log 5-=x y （（D ）1log 5-=x y （3）极坐标方程34cos =q r 表示表示 （（ B ） （（A ）一条平行于x 轴的直线轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线轴的直线 （（C ）一个圆）一个圆 （（D ）一条抛物线）一条抛物线（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （（ A ） （（A ）周期为2p 的奇函数的奇函数 （（B ）周期为2p 的偶函数的偶函数（（C ）周期为4p 的奇函数的奇函数 （（D ）周期为4p 的偶函数的偶函数（5）给出20个数：个数： （（ B ） 8787，，9191，，9494，，8888，，9393，，9191，，8989，，8787，，9292，，8686，，9090，，9292，，8888，，9090，，9191，，8686，，8989，，9292，，9595，，88它们的和是它们的和是（（A ）1789 1789 （（B ）1799 1799 （（C ）1879 1879 （（D ）1899 （6）设甲是乙的充分条件，）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的那么丁是甲的 （（ D ） （（A ）充分条件）充分条件 （（B ）必要条件）必要条件（（C ）充要条件）充要条件 （（D ）既不充分也不必要的条件）既不充分也不必要的条件（7）如果方程x 22+y 22+Dx+Ey+F=0(D 22+E 22-4F -4F＞＞0)0)所表示的曲线关于直线所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有对称，那么必有 （（ A ） （（A ）D=E D=E （（B ）D=F D=F （（C ）E=F E=F （（D ）D=E=F（8）在正方形SG 1G 2G 3中，中，E E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，的中点，D D 是EF 的中点，现在沿SE SE、、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG 中必有中必有 （ A ）（A ）SG SG⊥△⊥△⊥△EFG EFG 所在平面所在平面 （B ）SD SD⊥△⊥△⊥△EFG EFG 所在平面所在平面 （C ）GF GF⊥△⊥△⊥△SEF SEF 所在平面所在平面 （D ）GD GD⊥△⊥△⊥△SEF SEF 所在平面所在平面（9）在下列各图中，）在下列各图中，y=ax y=ax 22+bx 与y=ax+b(ab y=ax+b(ab≠≠0）的图象只可能是）的图象只可能是（ D ）（1010）当）当]0,1[-Îx 时，在下面关系式中正确的是时，在下面关系式中正确的是 （（ C ） （（A ）21arcsin )arccos(x x -=--p （B ）21arccos )arcsin(x x -=--p （C ）21arcsin arccos x x -=-p （（D ）21arccos arcsin x x -=-p 二．（本题满分24分）（1）求方程4)5.0(5252=-+x x 的解。

1986年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴ 设－1<a <0，θ=arcsin a ，那么不等式sin x <a 的解集为( )A ．{x |2nπ+θ<x <(2n +1)π－θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ－θ<x <(2n +1)π+θ，n ∈Z }C ．{x |(2n －1)π+θ<x <2nπ－θ，n ∈Z }D ．{x |2nπ+θ<x <(2n +1)π－θ，n ∈Z } ⑵ 设x 为复数，M={z |(z －1)2=|z －1|2}，那么( )A ．M={纯虚数}B ．M={实数}C ．{实数}⊂≠ M ⊂≠{复数}D ．M={复数} ⑶ 设实数a 、b 、c 满足⎩⎨⎧a 2－bc －8a +7=0，b 2+c 2+bc －6a +6=0．那么，a 的取值范围是( )A ．(－∞，+∞)B ．(－∞，1]∪[9，+∞)C ．(0，7)D ．[1，9] ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C 1，C 2，…，C 7，其中圆C 7恰好经过M 中的7个点，圆C 6恰好经过M 中的6个点，…，圆C 1恰好经过M 中的1个点，那么M 中的点数最少为( ) A ．11 B ．12 C ．21 D ．28⑹ 边长为a 、b 、c 的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a +b +c ，t=1a +1b +1c，则s 与t 的大小关系是A ．s >tB ．s=tC ．s <tD ．不确定 2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上． ⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ． ⑵ 已知f (x )=|1－2x |，x ∈[0，1]，那么方程 f (f (f (x )))=12x的解的个数是 ．⑶设f (x )=4x4x +2，那么和式f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值等于 ；⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程45x+9y+4z－68 25x+9y+4z+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于．第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足a i－1+a i+1=2a i，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0C0n(1-x)n+a1C1n x(1-x)n-1+a2C2n x2(1-x)n-2+…+a n-1C n－1n x n-1(1-x)+a n C n n x n 是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=R2(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC的面积．3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．1986年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) ⑴ 设－1<a <0，θ=arcsin a ，那么不等式sin x <a 的解集为( )A ．{x |2nπ+θ<x <(2n +1)π－θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ－θ<x <(2n +1)π+θ，n ∈Z }C ．{x |(2n －1)π+θ<x <2nπ－θ，n ∈Z }D ．{x |(2n －1)π－θ<x <2nπ+θ，n ∈Z }解：－π2<θ<0，在(－π，0)内满足sin x <a 的角为－π－θ<x <θ，由单位圆易得解为D ．⑵ 设x 为复数，M={z |(z －1)2=|z －1|2}，那么( )A ．M={纯虚数}B ．M={实数}C ．{实数}⊂≠ M ⊂≠{复数}D ．M={复数}解：即(z －1)2－(z －1)(－z －1)=0，⇒(z －1)(z －－z )=0，⇒z=1或z=－z ，总之，z 为实数．选B⑶ 设实数a 、b 、c 满足⎩⎨⎧a 2－bc －8a +7=0， b 2+c 2+bc －6a +6=0．那么，a 的取值范围是( )A ．(－∞，+∞)B ．(－∞，1]∪[9，+∞)C ．(0，7)D ．[1，9]解：①×3+②：b 2+c 2－2bc +3a 2－30a +27=0，⇒(b －c )2+3(a －1)(a －9)=0，⇒1≤a ≤9．选D ．b 2+c 2+2bc －a 2+2a －1=0，(b +c )2=(a －1)2，⇒b +c=a －1，或b +c=－a +1．⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A ．⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C 1，C 2，…，C 7，其中圆C 7恰好经过M 中的7个点，圆C 6恰好经过M 中的6个点，…，圆C 1恰好经过M 中的1个点，那么M 中的点数最少为( ) A ．11 B ．12 C ．21 D ．28解：首先，C 7经过M 中7个点，C 6与C 7至多2个公共点，故C 6中至少另有4个M 中的点，C 5至少经过M 中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．⑹ 边长为a 、b 、c 的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a +b +c ，t=1a +1b +1c，则s 与t 的大小关系是A ．s >tB ．s=tC ．s <tD ．不确定解：△=12ab sin C=abc 4R ，由R=1，△=14，知abc=1．且三角形不是等边三角形．∴ 1a +1b +1c≥1ab +1bc +1ca =a +b +cabc=a +b +c ．(等号不成立)．选C ．2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上．⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ．解：易得cos α=66.5=1213，于是椭圆长轴=13，短轴=12．所求和=25．⑵ 已知f (x )=|1－2x |，x ∈[0，1]，那么方程 f (f (f (x )))=12x的解的个数是 ．解：f (f (x ))=|1－2|1－2x ||=⎩⎪⎨⎪⎧1－4x ，(0≤x ≤14)4x －1，(14≤x ≤12)3－4x ，(12≤x ≤34)4x －3，(34≤x ≤1)同样f (f (f (x )))的图象为8条线段，其斜率分别为±8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内．它们各与线段y=12x (0≤x ≤1)有1个交点．故本题共计8解．⑶ 设f (x )=4x4x +2，那么和式f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值等于 ；解 f (x )+f (1－x )= 4x4x +2+41－x41－x +2=4x4x +2+44+2⨯4x =1． ⑴以x=11001，21001，31001，…，5001001代入⑴式，即得所求和=500．⑷ 设x 、y 、z 为非负实数，且满足方程45x +9y +4z－68⨯25x +9y +4z+256=0，那么x +y +z 的最大值与最小值的乘积等于 ；解：令25x +9y +4z=t ，则得，t 2－68t +256=0，⇒(t －64)(t －4)=0，⇒t=4，t=64．5x +9y +4z=2⇒5x +9y +4z=4，⇒9(x +y +z )=4+4x +5z ≥4，x +y +z ≥49；α4(x +y +z )=4－x －5y ≤4，x +y +z ≤1⇒x +y +z ∈[49，1]；5x +9y +4z=6⇒5x +9y +4z=36，⇒9(x +y +z )=36+4x +5z ≥36，⇒x +y +z ≥4； 4(x +y +z )=36－x －5y ≤36，⇒x +y +z ≤9． 故，所求最大值与最小值的乘积=49⨯9=4．第二试1．(本题满分17分)已知实数列a 0，a 1，a 2，…，满足 a i －1+a i +1=2a i ，(i=1，2，3，…) 求证：对于任何自然数n ，P (x )=a 0C 0n (1-x )n+a 1C 1n x (1-x )n -1+a 2C 2n x 2(1-x )n -2+…+a n -1C n －1nx n -1(1-x )+a n C nn x n是一次多项式．(本题应增加条件：a 0≠a 1)证明：由已知，得a i +1－a i =a i －a i －1，⇒故{a i }是等差数列．设a i －a i －1=d ≠0．则a k =a 0+kd ．于是P (x )=a 0C 0n (1-x )n +a 1C 1n x (1-x )n -1+a 2C 2n x 2(1-x )n -2+…+a n -1Cn －1n ,n )x n -1(1-x )+a n C n n x n= a 0C 0n (1-x )n+(a 0+d )C 1n x (1-x )n -1+(a 0+2d )C 2n x 2(1-x )n -2+…+(a 0+(n －1)d )C n －1n x n -1(1-x )+(a 0+nd )C nnx n=a 0[C 0n (1-x )n+C 1n x (1-x )n -1+C 2n x 2(1-x )n -2+…+C n －1n x n -1(1-x )+C n n x n]+d [C 1n x (1-x )n -1+2C 2n x 2(1-x )n -2+…+(n －1)C n －1n x n -1(1-x )+nC n n x n] (由kC k n =nC k －1n －1)=a 0(1－x +x )n+ndx [C 0n －1(1-x )n -1+C 1n －1x (1-x )n -2+…+C n －2n －1x n -2(1-x )+C n －1n －1xn －1]=a 0+ndx (1－x +x )n －1=a 0+ndx=a 0+(a n －a 0)x ．此为一次多项式．证毕．2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为R ，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，求证：AD ，BE ，CF 是⊿ABC 的三条高的充要条件是S=R2(EF+FD+DE )．式中S 是三角形ABC 的面积．证明 连OA ，则由C 、E 、F 、B 四点共圆，得∠AFE=∠C ，又在⊿OAB 中，∠OAF=(180︒-2∠C )/2=90︒-∠C ，∴OA ⊥EF ．∴ S OEAF =EF ·OA 2=R2·EF ，同理，S OFBD =R 2·DF ，S ODCE =R 2·DE ，故得S=R2(EF +FD +DE )．反之，由S=R 2(EF+FD+DE ）．得OA ⊥EF ，OB ⊥FD ，OC ⊥ED ，否则S <R2(EF+FD+DE ）． ABCDEFO过A作⊙O的切线AT，则∠AFE=∠TAF=∠ACB，⇒B、F、E、D共圆，同理，A、F、D、C共圆，A、E、D、B共圆．⇒∠AFC=∠ADC，∠AEB=∠ADB．∴∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180°．但∠BFC=∠BEC，即∠AFC=∠AEB=90°，于是F、E为垂足，同理D为垂足．故证．3．(本题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．证明：设任一点的坐标为(x，y)，把x+y≡1(mod 4)的点染白，x+y≡3(mod 4)的点染黑，x+y≡0或2(mod4)的点染红．显然，这样染色的点满足要求．首先，每条平行于x轴的直线上都有三种颜色的点．即每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；其次，对于任一白点A(x1，y1)，任一红点B(x2，y2)，与任一黑点C(x3，y3)，当点D(x4，y4)与之组成平行四边形时，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4．而x1+y1+x3+y3≡0(mod 4)，于是x2+y2+x4+y4≡0(mod 4)，故x4+y3≡0(当x2+y2≡0时)或2(当x2+y2≡2时)(mod 4)．即点D为红点．。

1986年高考数学试题及其参考答案(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【】(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】【】(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【】(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG中必有(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面【】(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是【】(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是【】二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B 的任意一点.求证:平面PAC垂直于平面PBC.四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.1986年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;(6)D;(7)A;(8)A;(9)D;(10)C.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为α.由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,因此PA⊥BC.因此∠BCA是直角,因此BC⊥AC.而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,因此BC⊥△PAC所在平面.从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x>0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13<x<-3或x>5.⑥综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为(-π,-3)∪(2π,7).五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,A∪B元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),①把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2·k2>0,③及k≠0.④解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得定义域是(-1,0)∪(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x1>0,由数列{x n}的定义可知x n>0,(n=1,2…)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有x n+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.。

全国普通高等学校招生统一考试物理一、(27分)每小题3分．把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程．其中第(5)、(6)小题按题中要求做答．(1)平衡下列核反应方程:在核反应堆中,石墨起的作用;镉棒起的作用．(2)肥皂泡在阳光照射下呈彩色,这是属于光的现象．低压汞蒸气发光产生的光谱,是属于连续光谱、明线光谱、吸收光谱中的哪一种?答: ．无线电波、可见光、伦琴射线、γ射线中的哪一种是原子内层电子受到激发后原子辐射的电磁波?答: ．(3)汽车沿半径为R的圆跑道行驶,设跑道的路面是水平的,路面作用于最大不能超过(4)某金属用频率为ν1的光照射时产生的光电子的最大初动能,是用频率为ν2的光照射时产生的光电子的最大初动能的2倍,则这种金属的逸出功W= ．(5)附图是电台发出的无线电信号的接收电路图(P为耳机),图中少画了一个元件,请用惯用的符号把这个元件补画在电路图中．图中电容器C1起着的作用．电容器C2起着的作用．(6)一列振幅是2．0厘米,频率是4．0赫兹的简谐横波,以32厘米/秒的速度沿上图中x轴的正方向传播．在某时刻,x坐标为-7．0厘米处的介质质点正好经平衡位置且向y轴正方向运动．试在图中画出此时刻的波形图(要求至少画出两个波长)．(7)在图示的电路中,灯泡A和B都是正常发光的．忽然灯泡B比原来变暗了些,而灯泡A比原来变亮了些．试判断电路中什么地方出现了断路的故障(设只有一处出了故障)．答: ．(8)长为l的导体棒原来不带电,现将一带电量为q的点电荷放在距棒左端R处,如图所示．当达到静电平衡后,棒上感应的电荷在棒内中点处产生的场强的大小等于．(9)如下图所示,平行板电容器的极板沿水平方向放置,电子束从电容器左边正中间a处沿水平方向入射,电子的初速都是v0,在电场力的作用下,刚好从图中所示的c点射出,射出时的速度为v．现若保持电场不变,再加一个匀强磁场,磁场的方向跟电场和电子入射的方向都垂直(图中垂直于纸面向里),使电子刚好由图中d点射出,c、d两点的位置相对于中线ab是对称的,则从d点射出时每个电子的动能等于．二、(28分)每小题4分．本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的．把正确的说法全选出来,并将正确说法前的字母填写在题后方括号内．每小题,全部选对的,得4分;选对但不全的,得2分;有选错的,得0分;不答的,得0分．填写在方括号外的字母,不作为选出的答案．(1)卢瑟福提出原子的核式结构学说的根据是,在用α粒子轰击金箔的实验中发现α粒子．A．全部穿过或发生很小的偏转．B．绝大多数穿过,只有少数发生很大偏转,甚至极少数被弹回．C．绝大多数发生很大的偏转,甚至被弹回,只有少数穿过．D．全都发生很大的偏转．(2)两个分子甲和乙相距较远(此时它们之间的分子力可忽略),设甲固定不动,乙逐渐向甲靠近直到不能再靠近的整个过程中,A．分子力总是对乙做正功．B．乙总是克服分子力做功．C．先是乙克服分子力做功,然后分子力对乙做正功．D．先是分子力对乙做正功,然后乙克服分子力做功．(3)如图所示,一个箱子放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,在杆上套着一个环．箱和杆的质量为M,环的质量为m．已知环沿着杆加速下滑,环与杆的摩擦力的大小为f,则此时箱对地面的压力A．等于Mg．B．等于(M+m)g．C．等于Mg+f．D．等于(M+m)g-f．E．无法确定．(4)在有空气阻力的情况下,以初速v1竖直上抛一物体,经过时间t1到达最高点．又经过时间t2,物体由最高点落回到抛出点,这时物体的速度为v2．则A．v2=v1,t2=t1．B．v2>v1,t2>t1．C．v2<v1,t2<t1．D．v2>v1,t2<t1．E．v2<v1,t2>t1．(5)指出下页左图所示的哪些情况中,a、b两点的电势相等,a、b两点的电场强度矢量也相等．A．平行板电容器带电时,极板间除边缘附近外的任意两点a、b．B．静电场中达到静电平衡时的导体内部任意两点a、b．C．离点电荷等距的任意两点a、b．D．两个等量异号的点电荷,在其连线的中垂线上,与连线中点O等距的两点a、b．(6)下页右图是氢原子中电子绕核做快速的圆周运动(设为逆时针)的示意图．电子绕核运动,可等效为环形电流．设此环形电流在通过圆心并垂直于圆面的轴线上某一点P处产生的磁感应强度的大小为B1．现在沿垂直于圆轨道平面的方向加一磁感应强度为B0的外磁场,这时设电子的轨道半径没变,而它的速度发生了变化．若用B2表示此时环形电流在P点产生的磁感应强度的大小．则当B0的方向A．垂直于纸面向里时,B2>B1．B．垂直于纸面向里时,B2<B1．C．垂直于纸面向外时,B2>B1．D．垂直于纸面向外时,B2<B1．E．不论是垂直于纸面向里还是向外,B1总是等于B2(7)汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动．当它路过某处的同时,该处有一辆汽车乙开始做初速为0的匀加速运动去追赶甲车．根据上述的已知条件:A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度．B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程．C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间．D．不能求出上述三者中任何一个．三、(14分)(1)有一电阻Rx,其阻值大约在40—50欧姆之间．需要进一步测定其阻值,手边现有下列器材:有两种可供选用的电路如图1和图2所示．实验要求多测几组电流、电压值,画出电流-电压关系图．为了实验能正常进行并减小测量误差,而且要求滑动变阻器便于调节,在实验中应选图所示的电路,应选代号是的毫安表和代号是的滑动变阻器．(2)用螺旋测微器测量一矩形小零件的长和宽时,螺旋测微器上的示数如图1和图2所示．图1的读数是毫米．图2的读数是毫米．(3)一个学生用带有刻度的注射器做验证玻意耳-马略特定律的实验,他做实验时的主要步骤如下:1．用刻度尺测出注射器全部刻度之长,用这个长度去除它的容积得出活塞的横截面积S．2．用天平称出活塞的质量M．3．把适量的润滑油均匀地抹在注射器的活塞上,把活塞插进注射器内一部分,然后将注射器的小孔用橡皮帽堵住,记下这时空气柱的体积V．4．用烧瓶夹把注射器竖直固定在铁架上,利用砝码重量向下压活塞,使空气柱体积减小．改变砝码个数,再做两次,记下每次砝码的质量m和相应的空气柱的体积V．6．求出每次压强p跟相应的体积V的乘积,看看它们是否相等．根据你做这个实验的经验,这个学生的实验步骤中有些什么重要错误或疏漏．答．四、(8分)图中abcd是一个固定的U形金属框架,ab和cd边都很长,bc边长为l,框架的电阻可不计,ef是放置在框架上与bc平行的导体杆,它可在框架上自由滑动(摩擦可忽略),它的电阻为R．现沿垂直于框架平面的方向加一恒定的匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里．已知当以恒力F向右拉导体杆ef时,导体杆最后匀速滑动．求匀速滑动时的速度．五、(8分)甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的质量共为M=30千克,乙和他的冰车的质量也是30千克．游戏时,甲推着一个质量为m=15千克的箱子,和他一起以大小为v0=2．0米/秒的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力,求(1)甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞．(2)甲在推出时对箱子做了多少功．六、(9分)一个质量为m=50千克的均匀圆柱体,放在台阶的旁边,台阶的高度h是柱体半径r的一半,如图所示(图为其横截面),柱体与台阶接触处(图中P点所示)是粗糙的．现要在图中柱体的最上方A处施一最小的力,使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚,求(1)所加的力的大小．(2)台阶对柱体的作用力的大小．七、(6分)有两只伏特表A和B,量程已知,内阻不知等于多少．另有一干电池,它的内阻不能忽略,但不知等于多少．只用这两只伏特表、电键和一些连接用导线,能通过测量计算出这个电池的电动势(已知电动势不超出伏特表的量程,干电池不许拆开)．(1)画出你测量时所用的电路图．(2)以测得的量做为已知量,导出计算电动势的式子．八、(10分,本题是附加题,成绩不计入总分)有一个平行板电容器,当两极板间为空气时,其电容为C0=40皮法,把它连接到一个电动势为ε=500伏的电源上．现将一块厚度等于极板间距离的石蜡块塞进两极板间,使它充满极板间空间的一半,如图．已知石蜡的介电常数ε=2．求(1)塞入石蜡块后,电容器的电容C．(2)在石蜡块塞入过程中,电源所提供的电能．1986年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、全题27分,每小题3分．答案正确的,按下列该答案后面方括号内的分数给分;错误的,给0分．(1)(1分)．使快中子减速(1分)．吸收中子控制链式反应速度(1分)．第二个空白内填"减速",第三个空白内填"控制反应速度"的,都可不扣分．(2)干涉(1分)．明线光谱(1分)．伦琴射线(1分)．(4)h(2υ2-υ1) (3分)．(5)补画的元件如下图所示(1分)．选台(或调频)(1分)．通高频阻低频使音频信号通过耳机(1分)．(6)如右图(3分)．(7)R2所在的支路发生了断路(3分)．二、(1)B．(2)D．(3)C．(4)E．(5)B、D．(6)B、C．(7)A．评分标准:全题28分,每小题4分．每小题,答案全部选对的,给4分;未选全而无选错的,给2分;有选错的,给0分;未答的,给0分．三、(1)本小题共7分．1(3分)．A2(2分)．R1(2分)．(2)8．474,6．576．(允许最后一位差±1)．评分标准:本小题共3分,只答对一个的给1分．在进行步骤5之前要读气压计所指示的大气压强p0的值．评分标准:本小题共4分．改正计算公式占2分;读气压计示数占2分．四、当导体杆向右滑动时,通过回路ebcf的磁通量将发生变化,从而在回路中产生感生电动势ε和感生电流I．设导体杆做匀速运动时的速度为v,根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知ε=vlB,(a)根据安培定律可知,磁场对导体杆的作用力为f=IBl, (c)方向向左,即与外力F的方向相反．当导体杆做匀速运动时,有f=F．(d)由以上可解得评分标准:本题8分．列出(a)式的,给2分;列出(b)式的,给2分;列出(c)式的,给2分;列出(d)式的,给1分．最后结果正确的,再给1分．五、(1)在推出和抓住的过程中,小孩、冰车和箱子的总动量守恒．要想刚能避免相碰,要求抓住后甲和乙的速度正好相等．由此就可求得推出时的最小速度．设箱子推出后其速度为v,甲孩的速度为v1,根据动量守恒可得mv+Mv1=(m+M)v0 (a)设乙孩抓住箱子后其速度为v2,根据动量守恒可得(m+M)v2=mv-Mv0．(b)刚好不相碰的条件要求v1=v2．(c)由(a)、(b)、(c)三式可解得代入数值可得v=5．2米/秒．(2)设推出时甲对箱子做功为W,根据功能关系可知代入数值可得W=1．7×102焦耳．评分标准:本题8分．(1)占6分;(2)占2分．(1)中,列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,给1分;列出(c)式的,给3分．答数正确的,再给1分．(2)中,列出(d)式的,给1分;答数正确的,再给1分．六、(1)要在A处施一最小的力,则力的方向应与AP垂直,这样力臂最大．因为r=2h,由几何关系可推知∠PAO=30°,∠POB=60°．要使柱体刚能绕P轴上滚,即意味着此时地面对柱体的支持力N=0, (a)这时,拉力F和重力mg对P轴的力矩平衡,由此可得mgrsin60°=F·2rcos30°, (b)所以F=2．5×102牛顿．(2)设台阶对柱体的作用力为f,因为刚能开始运动时,f与重力mg及拉力F三力平衡,所以必为共点力．由此可知力f的方向是沿PA方向．即力f的方向与F的方向垂直,所以f的大小必等于重力在AP方向上的分力．即f=mgcos30°．(c)f=4．3×102牛顿．评分标准:本题9分．(1)占6分;(2)占3分．(1)中,知道F与AP垂直的,给3分;列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,给1分;答数正确的,再给1分．(2)中,列出(c)式的,给2分;答数正确的,再给1分．七、(1)测量时用的电路图如图所示．(2)将任一只伏特表,如表A,与电源连通,记下伏特表所示的电压值U A．再将两只伏特表与电源串联,记下伏特表所示的电压值U’A和U B．设表A的内阻为R A,表B的内阻为R B,电源内阻为r,电源电动势为ε,只将表A与电源连通时电流强度为I1,两表与电源串联时电流强度为I2,根据欧姆定律可得ε=I1(R A+r) (a)ε=I2(R A+R B+r)．(b)因为U A=I1R A,U’A=I2R A,U B=I2R B, (c)所以由以上诸式可得评分标准:本题6分．(1)占2分;(2)占4分．(1)中,只画出一个电路图的,给0分．(2)中,列出(a)式和(b)式的,给1分,只列出其中一个的,给0分;列出(c)式的,给1分;得出(d)式的,再给2分．八、(1)石蜡塞入后,电容器可视为两个平行板电容器并联．每个的极板间距离都是d,每个的极板面积都是原电容器的极板面积S之半．因此,极板间是空气的那一半的电容极板间是石蜡的那一半的电容所以电容器的总电容C=C1+C2．(c)由(a)、(b)、(c)三式,代入数值可解得C=60皮法．(2)电源提供的能量W应等于电动势和通过电源的电量的乘积．设插入石蜡前极板上的电量为Q0,插入后为Q,则W=ε(Q-Q0)．(d)因为Q0=C0ε,Q=Cε,(e)所以得W=ε2(C-C0)．代入数值得W=5．0×10-6焦耳．评分标准:本题10分．(1)占5分;(2)占5分．(1)中,列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,给1分;列出(c)式的,给2分;答数正确的,再给1分．(2)中,列出(d)式的,给3分;列出(e)式的,给1分;答数正确的,再给1分．。

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86,

1986年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）函数y=5x +1的反函数是（ ）A ． y =log 5（x+1）B ． y =log x 5+1C ． y =log 5（x ﹣1）D ． y =log （x ﹣1）53．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（ ）4．（5分）函数是（ ）A ． 周期为的奇函数B ．周期为的偶函数 C ． 周期为的奇函数D ．周期为的偶函数5．（5分）已知c ＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）A ． c ＞2cB ．C ．D ．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（ ）A ． 1789B ． 1799C ． 1879D ． 18997．（5分）已知某正方体对角线长为a ，那么，这个正方体的全面积是（ ）A ．B ． 2a 2C ．D ．8．（5分）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ． D =EB ． D =FC ． E =FD ． D =E=F9．（5分）（2004•重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D 既不充分也不必要条件A ． A ∪B B ． A ∩BC ． （∁I A ）∪（∁I B ）D ．（∁I A ）∩（∁I B ）．10．（5分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解．12．（5分）已知的值．13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（5分）求15．（5分）求展开式中的常数项．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．1986年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（5分）函数y=5x+1的反函数是（）A．y=log5（x+1）B．y=log x5+1 C．y=log5（x﹣1）D．y=log（x﹣1）5考点：反函数．分析：本题考查指数式和对数式的互化、反函数的求法、函数值域的求法等相关知识；根据已知，利用反函数的定义结合指对互化即可得到x，再由原函数确定值域即可．解答：解：由y=5x+1及指数式与对数式的互化得x=log5（y﹣1）又函数y=5x+1的值域为y＞1∴函数y=5x+1的反函数是y=log5（x﹣1）（x＞1）故选C点评：本题小巧，所用知识单一，较为容易，尽管题目简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．注意反函数结果是否把定义域写入的问题，本题选项没有注明定义域，这是因为反函数解析式确定的x的范围和原函数的值域相同，所以省略，我们在求反函数时，一般是给出定义域的．3．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（）A．A∪B B．A∩B C．（∁I A）∪（∁I B）D．（∁I A）∩（∁I B）考点：交集及其运算．分析：可以看出2，7，8既不在A中，也不再B中，故需求补集．解答：解：∁I A={1，2，6，7，8}∁I B={2，4，5，7，8}（∁I A）∩（∁I B）={2，7，8}故选D．点评：本题考查集合的交集和补集运算，较简单．4．（5分）函数是（）A．周期为的B．周期为的偶函数奇函数D．周期为的偶函数C．周期为的奇函数考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答：解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（5分）已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（）A．c＞2c B．C．D．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：注意指数函数的单调性跟底的范围有关．解答：解：故点评：本题是对指数函数性质的考查，属简单题．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．7．（5分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）A．B．2a2C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题． 分析：先求正方体的棱长，然后求全面积． 解答：解：设正方体的棱长为x ，则有：a 2=3x 2，所以正方体的表面积是6x 2=2a 2． 故选B ． 点评：本题考查正方体的对角线和边长的关系，是基础题，学生必须会做题目．8．（5分）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ． D =EB ． D =FC ． E =FD ． D =E=F考点： 圆的一般方程．分析： 圆关于直线y=x 对称，只需圆心坐标满足方程y=x 即可．解答： 解：曲线关于直线y=x 对称，就是圆心坐标在直线y=x 上，圆的方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）中，D=E ．故选A ．点评： 本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．9．（5分）（2004•重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题： 压轴题．分析： 由题设条件知p ⇒r ⇒s ⇒q ．但由于r 推不出p ，所以q 推不出p ．解答： 解：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q ．但由于r 推不出p ，∴q 推不出p ．故选A ．点评： 本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．10．（5分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b （ab≠0）的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象与图象变化． 专题：压轴题；数形结合． 分析： 要分析满足条件的y=ax 2+bx 与y=ax+b （ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A ，C ；由二次函数常数项c 为0，函数图象过原点，可排除B ． 解答：解：在A 中，由二次函数开口向上，故a ＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（5分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（5分）求考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母同时除以n2，把转化为，由此可得的值．解答：答：==．点评：本题考查型函数的极限问题，解题时要注意公式的正确选取．15．（5分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5r令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．解答：解：椭圆的焦点为（±，0）设双曲线方程为=1则a2+b2=5=，联立解得a=2，b=1故双曲线方程为点评：本题主要考查了求双曲线标准方程的问题．常用待定系数法，设出双曲线的标准方程，根据题设条件求出a和b．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：首先明确z对应点的轨迹，再进一步求解．解答：解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是﹣3从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求的复数∵，设点B对应的复数为1，∴∠BOA=150°，|OA|=，∠QOA=180°﹣∠BOA=30°∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°，∠BOP=180°﹣∠QOP=120°，|OP|=|OA|cos∠AOP=．∴所求的复数Z=．点评：本题是复数的几何意义和简单解析结合的综合的考查．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型．解答：解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则∴∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1，将（1），（2）代入此方程，得化简得3y2﹣2y﹣2x+1=0，，因此轨迹为抛物线点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，可得共C83•C51•C42•C22=1680（种）答：共有1680种承包方式．点评：本题考查组合的应用，难度不大，解题时须注意元素数目的变化．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题；压轴题．分析：（1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明．（2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论．解答：证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A=2sin cos+sin3A=2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A），∴sin3A（1+2cos2A）=a ①同理有cos3A（1+2cos2A）=b ②两式相除，即得tan3A=（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，①cos3A（1+2cos2A）=b，②∴①2+②2sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2，∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2，∴（1+2cos2A）2=a2+b2．点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系等．公式多、难度大故应在这方面多下功夫．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．考点：数列的应用；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，由此及彼入手能够推导出．．解答：解：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，所以数列{a n}组成了一个公比为的等比数列，其首项，．∴a n﹣a1=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=，∴．．点评：本题考查数列的性质和应用及极限知识，解题时要认真审题，合理选取公式．。

[Key]五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.
解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.
记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.
六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:
[Key]七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.
解:由已知条件可知,直线l1的方程是
y=k(x+1),①
把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②
因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:
(2k2-4)2-4k2·k2>0,③
及k≠0.④
二、只要求直接写出结果.
(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.
[Key]二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.
(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面
(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面
【】
[Key] (8)A;
(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是
【】
[Key] (9)D;
(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是
【】
[Key](10)C.
1986年全国高考数学试题及答案解析

年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--． 二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤； 当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。

1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ）（A ）)4sin 4(cos2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4cos 4(sin 2π-π-i（2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是 （ C ） （A ）1log 5+=x y （B ）15log +=x y （C ）)1(log 5-=x y （D ）1log 5-=x y（3）极坐标方程34cos =θρ表示 （ B ） （A ）一条平行于x 轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线 （C ）一个圆 （D ）一条抛物线（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ A ）（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数（5）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899 （6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件（7）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ A ） （A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F（8）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG 中必有 （ A ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面 （B ）SD ⊥△EFG 所在平面 （C ）GF ⊥△SEF 所在平面 （D ）GD ⊥△SEF 所在平面（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ D ）]0,1[-∈x C ） （A ）21arcsin )arccos(x x -=--π （B ）21arccos )arcsin(x x -=--π （C ）21arcsin arccos x x -=-π （D ）21arccos arcsin x x -=-π 二．（本题满分24分） （1）求方程4)5.0(5252=-+x x 的解S 3FG 1 G 2 E（A ） （B ） （C ） （D ） X X答：.23,2121-==x x （注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值 答：0 .（3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）x 轴旋转一周所得到的几何体的体积答：π325（4）求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n 答：31（5）求52312(x x -展开式中的常数项答：-40（6）已知θ-θ=θ-θ33cos sin ,21cos sin 求的值答：.611 三．（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，PA ⊥平面α，又BC 在平面α内， 因此PA ⊥BC因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥ACP而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四．（本题满分12分）当sin2x ＞0,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集解：满足sin2x ＞0的x 取值范围是,,2Z k k x k ∈π+π<<π （1） 而由)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧>+>--+<--)4(013)3(0152)2(1315222x x x x x x 解得：-4＜x ＜-3,5＜x ＜7 (5)由（1）、（5）可知所求解集为).7,2()3,(π⋃-π- 五．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B 试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值解：设点A 的坐标为（0，a )、点B 的坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，又设所求点C 的坐标为（x,0)记β+α=∠β=∠α=∠OCA OCB BCA 则,, 显然，.20π<α<现在有Y A.1)(1)(])[(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+-=ββ+α+β-β+α=β-β+α=αx abab x ab ba x ab x ba xab x b x a tg tg tg tg tg tg 记xababx y +=，那么，当ab x =时，y 取得最小值2 因此，当ab x =时，αtg 取得最大值.2abb a -因为在)2,0(π内αtg 是增函数，所以当ab x =时，∠ACB 取最大值.2abb a arctg-故所求点C 的坐标为（,ab 0）六．（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）B A C ⋃⊂且C 中含有3个元素，（2）φ≠⋂A C （φ表示空集）解：因为A 、B 各含12个元素，A ∩B 含有4个元素，因此A ∪B 元素的个数是12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是320C ，在上面集合中，还满足A ∩C=φ的集合C 的个数是38C因此，所求集合C 的个数是320C -38C =1084（解二略）七．（本题满分12分）过点M （-1，0）的直线L 1与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点记：线段P 1P 2的中点为P;过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为L 2;L 1的斜率为k 试把直线L 2的斜率与直线L 1的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数解：由已知条件可知，直线L 1的方程是 y=k(x+1) ① 把①代入抛物线方程y 2=4x ， 整理后得到0)42(2222=+-+k x k x k ②因此，直线L 1与该抛物线有两个交的充要条件是：04)42(2222>⋅--k k k ③及.0≠k ④ 解出③与④得到)1,0()0,1(⋃-∈k 现设点P 的坐标为(y x ， 则直线L 1的斜率,1+=x y k 而直线L 2的斜率,12-=x y k 记,)(2kk k f =则11)(-+=x x k f 今记L 1与抛物线的两个交点P 1与P 2的横坐标分别为x 1和x 2，由韦达定理及②得))1,0()0,1((,242221⋃-∈-=+k kk x x )1,0()0,1(,11)(,2222221⋃--=-=+=定义域是由此得到因此k k f k k x x xL 2显然，1-k 2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，211)(kk f -=在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数 八．（本题满分12分）已知x 1＞0,x 1≠1，且).,2,1(,13)3(221=++=+n x x x x n n n n 试证：数列{x n }或者对任意自然数n 都满足x n ＜x n+1,或者对任意自然数n 都满足x n ＞x n+1.证：首先，,13)1(213)3(22221+-=-++=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x 由于x 1＞0，由数列{x n }的定义可知 x n ＞0，（n=1,2,…） 所以，x n+1-x n 与1-x n 2的符号相同（1）假定x 1<1,我们用数学归纳法证明1-x n 2＞0（N n ∈) 显然，n=1时，1-x 12＞0设n=k 时1-x k 2＞0,那么当n=k+1时,0)13()1(13)3(11223222221>+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+k k k k k k x x x x x x 因此，对一切自然数n 都有1-x n 2＞0， 从而对一切自然数n 都有x n ＜x n+1（2）若x 1＞1,用理可证，一切自然数n 都有x n ＞x n+1. 九．（附加题，本题满分10分） （1）求2xarctgx y =的导数（2）求过点（-1，0）并与曲线21++=x x y 相切的直线方程解：（1）.12422x x arctgx y ++='（2）,)2(12+='x y 而点（-1，0）在曲线21++=x x y 上，,1|1='-=x y 所以所求的切线方程为y=x+1。

1986年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）函数y=5x +1的反函数是（ ）A ． y =log 5（x+1）B ． y =log x 5+1C ． y =log 5（x ﹣1）D ． y =log （x ﹣1）53．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（ ）4．（5分）函数是（ ） A ． 周期为的奇函数 B ．周期为的偶函数 C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数5．（5分）已知c ＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）A ． c ＞2cB ．C ．D ．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（ ）A ． 1789B ． 1799C ． 1879D ． 18997．（5分）已知某正方体对角线长为a ，那么，这个正方体的全面积是（ ）A ．B ． 2a 2C ．D ．8．（5分）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ． D =EB ． D =FC ． E =FD ． D =E=F9．（5分）（2004•重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b （ab≠0）的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解． 12．（5分）已知的值．13．（5分）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（5分）求 A ． A ∪B B ． A ∩B C ．（∁I A ）∪（∁I B ） D ．（∁I A ）∩（∁I B ）15．（5分）求展开式中的常数项．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．1986年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（5分）函数y=5x+1的反函数是（）A．y=log5（x+1）B．y=log x5+1 C．y=log5（x﹣1）D．y=log（x﹣1）5考点：反函数．分析：本题考查指数式和对数式的互化、反函数的求法、函数值域的求法等相关知识；根据已知，利用反函数的定义结合指对互化即可得到x，再由原函数确定值域即可．解答：解：由y=5x+1及指数式与对数式的互化得x=log5（y﹣1）又函数y=5x+1的值域为y＞1∴函数y=5x+1的反函数是y=log5（x﹣1）（x＞1）故选C点评：本题小巧，所用知识单一，较为容易，尽管题目简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．注意反函数结果是否把定义域写入的问题，本题选项没有注明定义域，这是因为反函数解析式确定的x的范围和原函数的值域相同，所以省略，我们在求反函数时，一般是给出定义域的．3．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（）A．A∪B B．A∩B C．（∁I A）∪（∁I B）D．（∁I A）∩（∁I B）考点：交集及其运算．分析：可以看出2，7，8既不在A中，也不再B中，故需求补集．解答：解：∁I A={1，2，6，7，8}∁I B={2，4，5，7，8}（∁I A）∩（∁I B）={2，7，8}故选D．点评：本题考查集合的交集和补集运算，较简单．4．（5分）函数是（）A．周期为的B．周期为的偶函数奇函数D．周期为的偶函数C．周期为的奇函数考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答：解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（5分）已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（）A．c＞2c B．C．D．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：注意指数函数的单调性跟底的范围有关．解答：解：故点评：本题是对指数函数性质的考查，属简单题．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．7．（5分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）A．B．2a2C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：先求正方体的棱长，然后求全面积．解答：解：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所以正方体的表面积是6x2=2a2．故选B．点评：本题考查正方体的对角线和边长的关系，是基础题，学生必须会做题目．8．（5分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点：圆的一般方程．分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选A．点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．9．（5分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．解答：解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选A．点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．10．（5分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（5分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（5分）求考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母同时除以n2，把转化为，由此可得的值．解答：答：==．点评：本题考查型函数的极限问题，解题时要注意公式的正确选取．15．（5分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5r令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．解答：解：椭圆的焦点为（±，0）设双曲线方程为=1则a2+b2=5=，联立解得a=2，b=1故双曲线方程为点评：本题主要考查了求双曲线标准方程的问题．常用待定系数法，设出双曲线的标准方程，根据题设条件求出a和b．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：首先明确z对应点的轨迹，再进一步求解．解答：解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是﹣3从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求的复数∵，设点B对应的复数为1，∴∠BOA=150°，|OA|=，∠QOA=180°﹣∠BOA=30°∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°，∠BOP=180°﹣∠QOP=120°，|OP|=|OA|cos∠AOP=．∴所求的复数Z=．点评：本题是复数的几何意义和简单解析结合的综合的考查．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型．解答：解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则∴∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1，将（1），（2）代入此方程，得化简得3y2﹣2y﹣2x+1=0，，因此轨迹为抛物线点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，可得共C83•C51•C42•C22=1680（种）答：共有1680种承包方式．点评：本题考查组合的应用，难度不大，解题时须注意元素数目的变化．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题；压轴题．分析：（1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明．（2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论．解答：证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A=2sin cos+sin3A=2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A），∴sin3A（1+2cos2A）=a ①同理有cos3A（1+2cos2A）=b ②两式相除，即得tan3A=（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，①cos3A（1+2cos2A）=b，②∴①2+②2sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2，∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2，∴（1+2cos2A）2=a2+b2．点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系等．公式多、难度大故应在这方面多下功夫．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．考点：数列的应用；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，由此及彼入手能够推导出．．解答：解：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，所以数列{a n}组成了一个公比为的等比数列，其首项，．∴a n﹣a1=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=，∴．．点评：本题考查数列的性质和应用及极限知识，解题时要认真审题，合理选取公式．。

1986年全国化学高考试题可能用到的数据原子量:H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Fe 56 Cu 64一、(本题共34分)下列每题各有一个或两个正确答案.试将每题正确答案的标号(A、B、C、D、E)填入括号内.若试题中只有一个正确答案的,选答两个或多于两个者不给分;若试题中有两个正确答案的,只选一个答案或选了一个正确答案和一个错误答案或选了多于两个答案者,都不给分.其中第1-16题,每题1分;第17-25题,每题2分.1.能把Na2SO4、NH4NO3、KCl、(NH4)2SO4四瓶无色溶液加以区别(必要时可以加热)的一种试剂是(A)BaCl2 (B)Ba(NO3)2 (C)Ba(OH)2 (D)AgNO3 (E)NaOH2.下列仪器中能直接加热的是(A)集气瓶 (B)容量瓶 (C)蒸发皿 (D)试管 (E)表面皿答〔〕3.使pH试纸显蓝至深蓝色的溶液是(A)0.1M硫酸 (B)0.1M氨水 (C)0.1M硫化钠(D)0.1M氯化铵 (E)0.1M硫酸钠答〔〕4.向含有下列离子的溶液中分别加入氢氧化钠固体(溶液体积变化忽略不计),能引起该离子浓度减小的是5.100毫升0.6MHCl与等体积0.4MNaOH溶液混和后的溶液的(A)pH=2 (B)pH=0.2 (C)[OH-]=1×10-13M (D)[H+]=0.2M (E)pH=0.1 答〔〕6.含有碳酸氢钙的硬水的软化方法可以是(A)加稀盐酸 (B)把水煮沸 (C)加硫酸(D)加适量氢氧化钙 (E)通二氧化碳答〔〕7. 46克金属钠在空气中充分燃烧得到淡黄色粉末,该粉末跟水反应放出气体的体积(标准状况)是(A)44.8升 (B)11.2升 (C)22.4升 (D)5.6升 (E)89.6升答〔〕8. 用氢气还原某二价金属的氧化物使成为单质.每40克氧化物需要1克氢气,则该金属的原子量是(A)24 (B)32 (C)40 (D)56 (E)64 答〔〕9.溴有两种同位素,在自然界中这两种同位素大约各占一半.已知溴的原子序数是35,原子量是80,则溴的这两种同位素的中子数分别等于(A)79,81 (B)45,46 (C)44,45 (D)44,46 (E)34,36 答〔〕10.在人类已知的化合物中,品种最多的是(A)过渡元素的化合物 (B)第二主族元素的化合物(C)第三主族元素的化合物 (D)第四主族元素的化合物(E)第五主族元素的化合物答〔〕11.A和B在溶液中进行如下的可逆反应:反应开始时,溶液中只有A和B,反应过程中A、B、AB的摩尔浓度随时间变化的曲线图正确的是答〔〕12.下列化合物中阳离子与阴离子的半径比最小的是(A)CsI (B)LiI (C)CsF (D)LiF (E)NaF 答〔〕13.在一定温度和压强下,1体积X2(气)跟3体积Y2(气)化合生成两体积气体化合物,则该化合物的分子式是(A)XY3 (B)XY (C)X3Y (D)X2Y3 (E)X3Y2答〔〕14.下列物质中含有共价键的离子晶体是(A)KOH (B)HCl (C)CaCl2 (D)Cl2 (E)CCl4答〔〕15.硬脂酸甘油酯经皂化后,反应得到的硬脂酸钠在水里形成的分散系属于(A)溶液 (B)乳浊液 (C)悬浊液(D)胶体 (E)分为两层,硬脂酸钠在水层上面答〔〕16.某有机物在氧气中充分燃烧,生成的水蒸气和二氧化碳的摩尔比为1:1,由此可以得出结论是(A)该有机物分子中C:H:O原子个数比为1:2:3(B)分子中C:H原子个数比为1:2(C)有机物中必定含O(D)有机物中必定不含O(E)无法判断有机物中是否含O 答〔〕17.0.1M醋酸溶液加水稀释时电离度不断增大,溶液的氢离子浓度随加入的水量的变化曲线图正确的是答〔〕18.与Ne的核外电子排布相同的离子跟与Ar的核外电子排布相同的离子所形成的化合物是(A)MgBr2 (B)Na2S (C)CCl4 (D)KCl (E)KF 答〔〕19.砹(At)是原子序数最大的卤族元素,推测砹或砹的化合物最不可能具有的性质是(A)HAt很稳定 (B)砹易溶于某些有机溶剂(C)AgAt不溶于水 (D)砹是有色固体(D)NaAt的熔点较高答〔〕20.将等体积的硫化氢溶液与亚硫酸钠溶液混和,并加入适量硫酸,有黄色沉淀产生.微热,无酸性气体产生,这表明原混和溶液中H2S与Na2SO3的摩尔比是(A)3:2 (B)1:2 (C)2:1 (D)1:1 (E)2:3 答〔〕21.下列装置的线路接通后,经过一段时间,溶液的pH值明显下降的是答〔〕22.某含结晶水的化合物分子式为A·nH2O,A的分子量为M.如果加热a克该化合物,直至结晶水全部失去,剩余的残渣为b克,则n的计算关系式是23.甲烷分子是以碳原子为中心的正四面体结构,而不是正方形的平面结构,理由是(A)CH3Cl不存在同分异构体 (B)CH2Cl2不存在同分异构体(C)CHCl3不存在同分异构体 (D)CH4是非极性分子(E)CH4中的四个价键的键角和键长都相等答〔〕24.HClO是比H2CO3还弱的酸,反应:Cl2+H2OHCl+HClO达平衡时,要使HClO浓度增加可加入(A)H2S(气) (B)HCl (C)CaCO3(固)(D)H2O (E)NaOH(固) 答〔〕25.下列离子方程式中正确的是(A)碳酸钠溶液跟盐酸反应 Na2CO3+2H+=2Na++CO2↑+H2O(B)氯气跟溴化钠溶液反应 2NaBr+Cl2=2NaCl+Br2(C)过量三氯化铁溶液跟锌反应 Fe3++Zn=Fe2++Zn2+(D)硝酸跟氢氧化钠溶液反应 H++OH -=H2O答〔〕二、填空(本题共20分)1.十九世纪初,英国科学家提出了近代原子学说,意大利科学家首先提出了分子的概念.2.地壳里含量最高的非金属元素是 ,金属元素是 .3.一个氧原子可以跟两个氢原子结合成水分子,并且两个O-H键间的夹角是104.5°,这个事实说明共价键具有性和性.4.在第三周期中,原子半径最大的金属元素是 ;元素的最高价氧化物所对应的酸最强的是 ;单质中熔点最高的是 ,最低的是 .5.写出下列反应的名称:蛋白质在蛋白酶和胰蛋白酶的作用下变成氨基酸 ;由棉花制硝酸纤维 ;由甲苯制TNT ;由苯粉和甲醛制酚醛树脂 .6.现有下列十种有机物:(A)乙醇 (B)甲苯 (C)苯酚 (D)苯甲酸 (E)溴乙烷(F)葡萄糖 (G)蔗糖 (H)苯 (I)乙烯 (J)乙酸其中:(1)能跟银氨溶液发生银镜反应的有机物是(都用标号填写)：(2)能跟氢氧化钠水溶液发生反应的是 ;(3)能使FeCl3溶液变紫色的是 ;(4)能跟强碱的醇溶液共热生成烯烃的是 ;(5)能使酸性高锰酸钾溶液褪色的是 ;(6)在常温下能跟溴水发生反应的是 ;(7)在一定条件下,能跟羧酸发生酯化反应的是 .(1)用pH试纸试验,表明溶液呈强酸性;(2)取部分溶液,加入少量CCl4及数滴新制的氯水,经摇荡后CCl4层呈紫红色;(3)另取部分溶液,逐滴加入稀NaOH溶液,使溶液从酸性逐渐转变为碱性,在滴加过程中及滴加完毕后,溶液中均无沉淀生成;(4)取部分上述碱性溶液,加Na2CO3溶液,有白色沉淀生成;(5)将(3)得到的碱性溶液加热,有气体放出,该气体能使湿润的红色石蕊试纸变蓝.根据上述实验事实确定:在该溶液中肯定存在的离子是 ,肯定不存在的离子是还不能确定是否存在的离子是 .三、填空(本题共18分)1.制造水泥的主要原料是 ;制造普通玻璃的主要原料是 .2.炼钢时用氧气降低钢中碳的含量,其原理可用两个化学方程式来表示,它们是:(1)(2)3.某元素原子的电子总数小于18,有未成对电子,它的单质跟水或盐酸都不起反应,在氧中燃烧可得最高化合价氧化物.在不充足的氯气中燃烧生成低价氯化物,在过量的氯气中燃烧生成最高化合价氯化物.从上面事实推知该元素的元素符号是 ,该元素原子最外层电子排布式为 ,该元素最高化合价氧化物的分子式是 ,氢化物的分子式是 .4.用铜、银和硝酸银溶液设计一个原电池,这原电池的负极是 ,负极反应式是 .5.60℃时,50克水中最多能溶解55克硝酸钾,把60℃时的210克硝酸钾饱和溶液蒸发掉50克水后再降到60℃,析出晶体后溶液的百分比浓度是 .6.醋酸钠水溶液中,各种离子摩尔浓度由大到小的顺序是.7.配平下列化学方程式,将系数填在空格内:(1)□KMnO4+□HCl=□MnCl2+□KCl+□Cl2+□H2O(2)□K2Cr2O7+□H2C2O4+□H2SO4=□K2SO4+□Cr2(SO4)3+□CO2+□H2O四、(本题共8分)1.下图所示的实验装置和操作有无错误?如果有,请用文字指出错在哪里和如何改正(不必再画图).(1)石油的蒸馏装置:(2)固体物质的称量:2.为了证实(I)项中的结论,请从(II)项中选出相应的实验方法,并从(III)项中选出所观察到的相应的实验现象.将每题正确答案的标号填写在答案栏里.五、(本题共8分)1.用化学方程式来表示以黄铁矿和磷矿石为原料制造过磷酸钙的过程.2.以CH2=CH2和H-OH为原料，并自选必要的无机试剂，合成CH3CO OC2H5.用化学方程式表示实现上述合成最合理的反应步骤.六、(本题共12分)1.在一定温度、压强和有催化剂存在时,将N2和H2按1:3(体积比)混和,当反应达到平衡时,混合气体中NH3占25%(体积比).如果混和前N2为100摩尔,那么有多少摩尔N2转化为NH3?2.在2升Fe2(SO4)3和CuSO4的混和溶液中,加入30克纯铁粉,最后得到2升0.25M 的FeSO4溶液以及26克固体沉淀物.求原混和溶液中Fe2(SO4)3和CuSO4的摩尔浓度.附加题(本题共10分,不计入总分)1.在第二周期的元素中,电负性最大的是 ,电负性最小的是 .2.水的离子积(K w)随温度升高而增大,在100℃时,K w为1×10-12,这时纯水的pH值为 ,这时的水是否仍呈中性 .3.催化剂能增大反应速度的原因是(A)它能增加反应的活化能 (B)它能降低反应的活化能(C)它使平衡常数增大 (D)它使化学平衡移动(E)它使反应物分子的运动加快答〔〕4.在相同温度时,下列两个反应放出的热量分别用Q1和Q2表示,则2H2(气)+O2(气)=2H2O(液)+Q2(A)Q1>Q2 (B)Q1=Q2 (C)2Q1<Q2答〔〕5.1.0M醋酸溶液的pH值为2.4,把这溶液稀释到0.10M后,该溶液的pH值是多少?(可能用到的数据:1g1.2=0.079 1g1.3=0.11 1g1.4=0.15 1g3.0=0.481g4.0=0.60)1986年试题答案及评分标准一、(共34分)1.(C)2.(C、D)3.(B、C)4.(E)5.(C)6.(B、D)7.(B)8.(E)9.(D) 10.(D)11.(E) 12.(B) 13.(A) 14.(A) 15.(D)16.(B、E) 17.(C) 18.(B、E) 19.(A) 20.(C)21.(D) 22.(A) 23.(B) 24.(C) 25.(D、E)1-16题各1分,共16分;17-25题各2分,共18分(评分标准请参照试题说明)二、(共20分)1.道尔顿阿佛加德罗 (每空0.5分,共1分)2.氧铝 (每空0.5分,共1分)3.饱和方向 (每空0.5分,共1分)4.Na HClO4 Si Ar (每空0.5分,共2分)5.水解反应酯化反应硝化反应缩聚反应 (每空0.5分,共2分)6.(1)(F) (2)(C)(D)(E)(J) (3)(C) (4)(E)(5)(B)(F)(I) (6)(C)(I) (7)(A)(F)(每个标号0.5分,共7分)在填空中,每填一个错的标号扣0.5分,本题总分最低为零,不出现负分.三、(共18分)1.石灰石和粘土纯碱、石灰石和石英 (每空1分,共2分)3.P 3s23p3 P2O2(或P4O10) pH3 (每空1分,共4分)4.铜 Cu-2eCu2+(或CuCu2++2e) (每空1分,共2分)5.52.4% (2分)6.[Na+]>[CH3COO-]>[OH-]>[H+] (2分)7.(1)2KMnO4+16HCl=2MnCl2+2KCl+5Cl2+8H2O (2分)(2)K2Cr2O7+3H2C2O4+4H2SO4=K2SO4+Cr2(SO4)3+6CO2+7H2O (2分)四、(共8分)1.(1)温度计插在溶液中是错误的,温度计水银球应位于蒸馏瓶侧管口处.(1分)(2)被称量的药品放在右边托盘里是错误的,应放在左边托盘中.(1分)药品不能直接放在托盘上,两个托盘上应各放一张大小相同的同种的纸.潮湿的或具有腐蚀性的药品必须放在玻璃器皿(如表面皿、烧杯)里称量.(1分)2.(每空0.5分,共5分)五、(共8分)1.4FeS2+11O22Fe2O3+8SO22SO2+O22SO3SO3+H2OH2SO4Ca3(PO4)2+2H2SO4Ca(H2PO4)2+2CaSO4 (每个方程式1分,共4分)2.CH2=CH2+H-OH CH3CH2OH2CH2=CH2+O22CH3CHO2CH3CHO+O22CH3COOHCH3COOH+CH3CH2OH CH3CO OC2H5+H2O(每个方程式1分,共4分)若用CH2=CH2和HOH制成C2H5OH,再制得CH3CHO同样给分.若上述四个方程式都对,但没有采用18O或18O写错位置,全题只给2分.六、(共12分)1.设100摩尔N2中有x摩尔转化为NH3,则N2 +3H2= 2NH3达平衡时100-x 300-3x 2x (1分)在同温同压下气体的摩尔比等于体积比 (1分)∴ x=40(摩尔)(2分)2.最后得到的2升FeSO4溶液中共含FeSO40.50摩尔,若它全部是由CuSO4和Fe 起反应而得到的,则需铁粉0.50摩尔,即28克.若一部分FeSO4由CuSO4和Fe起反应得到,另一部分由Fe2(SO4)3和Fe起反应得到,则铁粉需要量必定少于28克.所以可以判断在此铁粉是过量的,溶液中不可能有剩余的Fe3+存在. (1分)两个有关的化学方程式是:①Fe2(SO4)3+Fe=3FeSO4 (1分)②CuSO4+Fe=FeSO4+Cu (1分)设原混和溶液中Fe2(SO4)3的浓度为xM,CuSO4的浓度为yM,则2升溶液中含Fe2(SO4)32x摩尔,含CuSO42y摩尔.反应后溶液中共含0.50摩尔FeSO4,其中由反应①产生的6x摩尔,由反应②产生的为2y摩尔,所以0.50=6x+2y (2分)26克固体沉淀物包含由反应②产生的Cu及剩余的Fe粉,所以26=30-(2x+2y)×56+2y×64 (2分)解上述二元联立方程式得:x=0.05(M)[Fe2(SO4)3的浓度]y=0.10(M)(CuSO4的浓度) (1分)注①用其他合理方法判断铁过量同样给分;②在计算过程中明确铁过量,而未单列说明者可不扣分;③写出正确的离子方程式同样给分.附加题(共10分)1.氟锂 (每空1分,共2分)2.6 是中性 (每空1分,共2分)3.(B) (1分)4.(C) (1分)5.pH=2.4, -lg[H+]=2.4lg[H+]=-2.4=3.6∴[H+]=4.0×10-3M (1分)CH3COOHH++CH3COO-[H+]=1.3×10-3(M)∴ pH=3-lg1.3=3-0.11=2.9 (2分)。

1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ）（A ）)4sin 4(cos2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4cos 4(sin 2π-π-i（2）函数15+=x y 的反函数是 （ C ） （A ）)1(log 5+=x y （B ）15log +=x y （C ）)1(log 5-=x y （D ）5log )1(-=x y（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是 （ D ）（A ）A ∪B （B ）A ∩B （C ）A ∪B （D ）A ∩B （4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ A ）（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数（5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是 （ C ） （A)c c 2> (B)c c )21(> (C)c c )21(2< (D)c c )21(2> （6）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899(7)已知某正方体对角线长为a ，那么，这个正方体的全面积是( B ) （A ）222a （B ）22a （C ）232a （D ）223a（8）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ A ） （A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F （9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件（10）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ D ）（1）求方程4)5.0(5252=-+x x 的解答：.23,2121-==x x （注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值 答：0（3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）x 轴旋转一周所得到的几何体的体积答：π325（A ） （B ） （C ） （D ） X X X（4）求.4572lim 22+++∞→n n n n 答：52（5）求52312(x x -展开式中的常数项答：-40（6）求椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程答：.1422=-y x三．（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，PA ⊥平面α，又BC 在平面α内， 因此PA ⊥BC因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥AC而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四．（本题满分10分）求满足方程3|33|=-+i Z 的辐角主值最小的复数Z .P解：满足方程3|33|=-+i Z 的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A 对应的复数为i 33+-，半径为3，因而圆与x 轴相切于点Q ，点Q 对应的复数是-3从点O 作圆的另一条切线OP ，P 为切点，则点P 所对应的复数为所求的复数 ∵),150sin 150(cos 3233︒+︒=+-i i设点B 对应的复数为1，∴∠BOA=1500，|OA|=32，∠QOA=1800-∠BOA=300∵OP 、OQ 是同一点引出的圆的两条切线，A 是圆心， ∴∠AOP=∠QOA=300，∠QOP=2∠QOA=600， ∠BOP=1800-∠QOP=1200，|OP|=|OA|cos ∠AOP=.32332=⋅ ∴所求的复数Z=.32323)2321(3)120sin 120(cos 3i i i +-=+-=︒+︒ 五．（本题满分12分）已知抛物线y 2=x+1，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP:PA=1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线解：设点B 的坐标（X,Y)，点P 的坐标为（x,y)，则X,2123,012231)1(23)13(21,)2(),1(,1,)2(),13(21)1(),1(23312211121,3322113212222+-==+--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∴-=-=∴+=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y x y X Y P y Y x X Y Y y X X x 即化简得得代入此方程将在抛物线上点因此轨迹为抛物线六．（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式略解：共有：168022241538=⋅⋅⋅C C C C （种）（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8分） 七．（本题满分12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a ,cosA+cos3A+cos5A=b. 求证：（1）当b ≠时，tg3A=ba.(2).)2cos 21(222b a A +=+证：由已知sinA+sin3A+sin5A=a ,利用和差化积公式得2sin3Acos2A+sin3A=a ,∴sin3A(1+2cos2A)=a ,① 又由已知cosA+cos3A+cos5A=b ，利用和差化积公式得 2cos3Acos2A+cos3A=b, ∴cos3A(1+2cos2A)=b,②Y当b ≠时，①÷②得,3cos 3sin b a A A =从而证得tg3A=ba. 又①2+②2得sin 23A(1+2cos2A)2+cos 23A(1+2cos2A)2=a 2+b 2, ∴(1+2cos2A)2(sin 23A+ cos 23A)=a 2+b 2, ∴.)2cos 21(222b a A +=+ 八．（本题满分12分）已知数列{a n },其中,913,3421==a a 且当n ≥3时， ).(31211----=-n n n n a a a a（1）求数列{a n }的通项公式（2）求.lim n n a ∞→ 解：（1）设,11--=-n n n x a a 则由已知条件得,3121--=n n x x 所以数列{a n }组成了一个公比为31的等比数列，其首项,91121=-=a a x,)31(161311)31(1)31()31()31()31()()()(.)31()4,3,2(,)31()31(112321*********⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++=-++-+-=-∴=-===------n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n x x 即.23023)31(21lim 23)31(2123lim lim )2(.)31(2123)31(16111=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∴∞→∞→∞→-n n n n n n n n n a a a。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷I ，解析版）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

【教师简评】本试卷整体上明显比去年加大了难度，整套题对程度中等的学生来说有比较有难度，估计最后的考试分数不会特别理想。

试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。

体现了“稳中求变，深化能力”的主导思想。

知识分布还是比较广的，题的形式稳定，延续以前试题格式。

本套试卷基础与能力并重，前6题都是常见题，在考场上能够稳定学生情绪，第10、11、12三题是较为综合性的试题，这是近几年来全国1套试卷难度最大的，填空题难度不算大。

主观题试题类型都是常规题，难度和运算量仍然不小。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)cos300︒=(A)12 (C)12【答案】C【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值。

普通高等学校招生全国统一考试高考数学86本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

全卷共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=baA. 41B. 4C. 21D. 2 3、已知2sin 23A =＝32，A ∈（0，π），则sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53-4、在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9A. 81B. 27527C.3 D. 2435、甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③7、设f(x)＝x x -+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为 A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4)8、在2431⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项9、设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2且⋅=，则点P 的轨迹方程是A. )0,0(123322>>=+y x y x B. )0,0(123322>>=-y x y x C.)0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132322>>=+y x y x 10、关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。