3.2对数概念及运算性质(教师)

对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。

设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。

其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。

对数的底数a通常取2、e或者10。

1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。

以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。

接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。

二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。

下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。

通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。

接下来，我们来介绍对数的运算规则。

2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。

（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。

3.2.1对数及其运算一、教学内容解析本节课是人教B版第三章第二节对数与对数函数中第一小节对数及其运算的第一课时。

对数对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习了指数和指数函数的有关知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。

本节内容的学习主要是为让学生理解对数的概念，为学习对数函数作好准备。

同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、教学目标设置通过对本节课教材的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定出如下三个方面的教学目标：1、知识与技能目标：理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。

2、过程与方法目标：通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。

小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。

3、情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。

三、学生学情分析我校在营口市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力很强，思维较活跃。

我校的教学模式为小组合作交流学习模式，学生已经养成了小组合作学习的习惯。

即学生通过预习，结合学案，自主学习、探究的模式。

前面学生已经学习了指数和指数函数的有关知识。

在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学重点是：重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化。

难点：对数概念的理解，对数性质的理解。

四、教学策略分析为了最大程度发挥学生的主观能动性，实践人本教育，我校采用“主动、合作、交流”学习方法学习，把学生分成四人小组，分工合作，进行讨论探究逐渐培养学生“会观察”、 “会分析”、“会论证” 、“会合作”的能力。

高中数学知识点全总结对数一、对数的概念与性质对数是数学中一个重要的概念，它与指数函数有着密切的关系。

对数的定义是基于指数的逆运算，其形式为：如果 \(a^x=b\)，那么 \(x\) 就是以 \(a\) 为底 \(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)，其中\(a\) 称为对数的底数，\(b\) 称为真数。

1.1 常用对数在实际应用中，以 10 为底的对数被称为常用对数，记作 \(\log_{10} b\)，简写为 \(\log b\)。

以自然数 \(e\)（约等于 2.71828）为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。

1.2 对数的性质对数具有以下基本性质，这些性质在解决对数方程和简化对数表达式时非常有用：- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)- \(\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y\)- \(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)- \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)（换底公式）二、对数的运算法则对数的运算法则与指数的运算法则相对应，是解决高中数学问题时不可或缺的工具。

掌握对数的运算法则，可以帮助我们更快地解决涉及乘法、除法、幂运算的对数问题。

2.1 乘法变加法当面对两个相同底数的对数相乘时，可以将乘法转换为加法：\(\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x\)2.2 除法变减法同样地，当进行相同底数的对数相除时，可以将除法转换为减法：\(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)2.3 幂运算对于对数的幂运算，可以将幂移到对数前面：\(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)三、对数的应用对数在实际问题中有广泛的应用，特别是在处理涉及增长和衰减的问题时。

3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。

对数的运算对数运算是高等数学中的一个重要概念，在数学和科学领域起到了广泛的应用。

它是指一个数以另一个数为底的幂，可以用来解决各种实际问题，帮助我们处理和分析复杂的数学关系。

本文将详细介绍对数运算的基本概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、对数基本概念1.1 对数的定义对数的定义如下：如果aⁿ⁽˟⁾=b，那么称n为以a为底b的对数，记作n=logₐb，其中a称为底数，b称为真数，n称为对数。

1.2 对数的特性与性质对数有以下几个重要的性质：（1）logₐa=1，即以a为底a的对数为1；（2）logₐ1=0，即以a为底1的对数为0；（3）logₐ(mn)=logₐm+logₐn，即对数的乘法公式；（4）logₐ(m/n)=logₐm-logₐn，即对数的除法公式；（5）logₐ(mᵏ)=klogₐm，即对数的幂运算公式。

二、对数的应用2.1 对数在数学领域的应用对数在数学领域的应用非常广泛，它可以被应用于各个数学分支中。

其中，对数在代数学、微积分学、概率论、数论以及数值计算等方面起到了重要的作用。

在代数学中，对数可以简化复杂的指数运算，使得问题更易于处理和分析。

在微积分学中，对数可以被应用于解决各种复杂的微分方程问题，提供更为便捷的求解方法。

在概率论中，对数可以计算概率的对数，从而简化计算并降低计算量。

在数论中，对数可以帮助研究数与数之间的关系，解决各种数论问题。

2.2 对数在科学领域的应用对数在科学研究中也有重要应用。

例如，在天文学领域，对数可以帮助测定恒星的亮度和距离；在物理学领域，对数可以处理物体的变化趋势和相关性；在化学领域，对数可以计算溶液的浓度和酸碱度。

此外，对数还被广泛应用于数据处理、信号处理、图像处理等领域。

在这些领域中，对数运算可以提高数据的处理效率，并简化复杂性的计算。

2.3 对数在经济领域的应用在经济领域，对数运算也有着重要的应用。

例如，在经济增长模型中，对数可以被应用于计算经济增长速率和预测经济发展趋势。

3.2.1 对数及其运算(二)【学习要求】1.加深对数的概念;2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式;3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【学法指导】通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M .2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a(或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？探究点一 积、商、幂的对数问题1 指数的运算法则有哪些？答：a m ·a n ＝a m ＋n ;a m ÷a n ＝a m －n ;(a m )n ＝a mn ;m a n ＝a n m. 问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？答：指数式与对数式的互化公式为:a b ＝N ⇔log a N ＝b.问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？(1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ;(2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN).解：(1)由log a 2＝m,得a m ＝2,由log a 3＝n,得a n ＝3,所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝2×3＝6,即a m ＋n ＝6.(2)由log a M ＝m,得a m ＝M,由log a N ＝n,得a n ＝N.所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M×N,把指数式化为对数式得:log a (MN)＝m ＋n.小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到log a (MN)＝m ＋n,又由log a M ＝m,log a N ＝n,进行m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即:log a (MN)＝log a M ＋log a N.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:log a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k .问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？答:令M ＝a m ,N ＝a n ,则M N＝a m ÷a n ＝a m －n , ∴m －n ＝log a M N.又由M ＝a m ,N ＝a n , ∴m ＝log a M,n ＝log a N,即:log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N; 当n≠0时,令log a M ＝p,由对数定义可以得M ＝a p ,∴M n ＝(a p )n ＝a np ,∴log a M n ＝np,将log a M ＝p 代入,即证得log a M n ＝nlog a M.当n ＝0时,显然成立.∴log a M n ＝nlog a M.小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”.有时用逆向运算性质:如log 105＋log 102＝log 1010＝1.例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z . 解:(1)log a xy z＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z;(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y;(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a x －(log a y ＋log a z)＝12log a x －log a y －log a z; (4)log a x 2y 3z ＝log a (x 2y)－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z. 小结:真数的取值范围是(0,＋∞),log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)不成立,log 10(－10)2＝2log 10(－10)也不成立.要特别注意log a (MN)≠log a M·log a N,log a (M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练1计算:(1)lg 5100; (2)log 2(47×25); (3)lg 4＋lg 25; (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.解:(1)lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25; (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19;(3)lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2;(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.探究点二 换底公式与自然对数导引 在实际应用中,常常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数呢？如何求log 35?问题1:假设log 25log 23＝x,则log 25＝xlog 23,即log 25＝log 23x ,从而有3x ＝5,进一步可得到什么结论？ 答:把3x ＝5化为对数式为:log 35＝x,又因x ＝log 25log 23,所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 问题2 如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,那么log c b log c a与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 答:结论为log c b log c a＝log a b. 证明如下:令log c b log c a ＝x ⇒log c b ＝xlog c a ⇒log c b ＝log c a x ⇒b ＝a x ⇒x ＝log a b ⇒log c b log c a＝log a b. 小结:(1)log a b ＝log c b log c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)叫做换底公式. (2)由换底公式可得两个结论:①log a b n ＝n m log a b; ②log a b ＝1log b a(或log a b·log b a ＝1). 问题3:什么叫做自然对数？自然对数如何表示？答:以e ＝2.718 28…为底的对数叫做自然对数.记作ln N. 例2 已知log 23＝a,log 37＝b,用a,b 表示log 4256.解:因为log 23＝a,则1a＝log 32, 又∵log 37＝b,∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 小结:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底. 跟踪训练2 求log 89·log 2732的值. 解:log 89·log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝23×53＝109. 例3 计算下列各式的值:(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245; (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解:(1)方法一原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 2＋lg(72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.方法二:原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.小结:这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值. 跟踪训练3 (1)已知lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1,求lg 45;(2)已知lg x ＝2lg a ＋3lg b －5lg c,求x.解： (1)lg 45＝12 lg 45＝12lg 902＝12[lg 9＋lg 10－lg 2]＝12[2lg 3＋1－lg 2]＝lg 3＋12－12lg 2＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6;(2)由已知得:lg x ＝lg a 2＋lg b 3－lg c 5＝lg a 2b 3c 5,∴x ＝a 2b 3c 5.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.log a x·log a y ＝log a (x ＋y)B.(log a x)n ＝nlog a xC .log a x n ＝log a nxD.log a xlog a y ＝log a x －log a y解析：因log a x n ＝1n log a x ＝log a x ＝log a nx,所以选C.2.log 327＋lg 25＋lg 4＋7＋(－9.8)0＝__________.解析：原式＝12log 333＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.3.求证:(1)log x ylog y z ＝log x z;(2)log a b n ＝log a b.证明：(1)因为log x ylog y z ＝log x y log xzlog x y ＝log x z,所以log x ylog y z ＝log x z.(2)log a b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a bnlog a a ＝log a b.课堂小结：1.对数的运算法则:如果a>0,a≠1,M>0,N>0有:(1)log a (MN)＝log a M ＋log a N(2)log a M N ＝log a M －log a N(3)log a M n ＝nlog a M (n ∈R)2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b ＝log c blog c a (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0).。

第2课时对数的运算1．对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k(N i＞0，i＝1,2，…，k)；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M__(n∈R)．2．换底公式与自然对数(1)对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特别地：log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．(2)自然对数以e为底的对数叫自然对数，log e N通常记作ln_N.思考：如何准确的应用换底公式？[提示](1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①log a b ＝1log ba ；②log amb n ＝nm log a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R .1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C ．83 D ．38 C [原式＝log 3224·log 2334＝42log 32·43log 23＝83.]3．下列结论正确的是( ) A ．log a (x －y )＝log a x －log a y B ．log a xlog ay ＝log a x －log a yC ．log a xy ＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a xlog ayC [由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确．] 4．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________.2－a [∵3a ＝2，∴a ＝log 32，∴2log 36－log 38＝2(log 32＋log 33)－3log 32＝－log 32＋2＝2－a .]【例1】 (1)计算8－23＋2lg 2－lg 125的值为________． (2)计算：log 327＋lg 4＋lg 25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－180＝________.(3)计算：①lg 5 100；②log2(47×25)；③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.(1)94(2)92[(1)原式＝(23) －23＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝14＋lg(4×25)＝14＋2＝9 4.(2)原式＝32＋lg 102＋1＝32＋2＋1＝92.](3)解：①lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25.②log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[解] (1)原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 232＋lg(72×5)12＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2 ＝2＋1＝3.33(2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108. [思路探究] 对数运算⇒对数运算法则的应用． [解] (1)log 312＝log 3(3×4)＝1＋2log 32＝a ， 所以log 32＝a －12，log 324＝log 3(8×3) ＝1＋3log 32＝1＋3×a －12＝3a －12.(2)因为108＝4×27＝22×33，所以 lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b .1．(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a ，b 表示lg 95？ [解] lg 95＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2) ＝2b ＋a －1.2．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a ，lg 15＝b ”，结果如何？ [解] 由已知得⎩⎨⎧ lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋lg 5＝b ，即⎩⎨⎧lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋1－lg 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝a －b ＋12，lg 3＝a ＋b －12，所以lg 108＝12lg 108 ＝12lg(22×33)＝12(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋32lg 3 ＝a －b ＋12＋32×a ＋b －12 ＝2a －2b ＋2＋3a ＋3b －34＝5a ＋b －14.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.[探究问题]1．假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？提示：进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23.2．由探究1，你能猜测log c blog c a 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？提示：log c b log ca ＝log ab .假设logc blog ca ＝x ，则log cb ＝x logc a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以logc blog ca ＝log ab .【例3】 已知3a ＝4b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求实数c 的值．[思路探究] 先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．[解] 由3a ＝4b ＝c ，得：a ＝log 3c ，b ＝log 4c ， 所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c ＝log c 4.又1a ＋1b ＝2，所以logc 3＋log c 4＝log c 12＝2， 即c 2＝12，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝2 3.3．(变条件)将本例中的条件“1a ＋1b ＝2”改为“1a －1b ＝2”，则实数c 又为多少？[解] 由3a ＝4b ＝c 得： a ＝log 3c ，b ＝log 4c ，所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c ＝log c 4.又1a －1b ＝2，所以log c 3－log c 4＝log c 34＝2， 即c 2＝34，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝32.4．(变结论)将本例条件改为“已知正数a ，b ，c ，满足3a ＝4b ＝6c ”，求证：1c －1a ＝12b .证明：设3a ＝4b ＝6c ＝k (k >1)， 则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，所以1c－1a＝1log6k－1log3k＝log k6－log k3＝log k 63＝log k2，12b＝12log4k＝12log k4＝log k2，所以1c－1a＝12b.应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1．本节课的重点是掌握对数运算性质、对数换底公式，难点是对数运算性质的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握对数运算性质的应用技巧．(2)弄清对数换底公式在求值中的应用．3．本节课的易错点是应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误．1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)log a xy＝log a x·log a y. ()(3)log a(－2)3＝3log a(－2)．()[解析](1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy＝log a x＋log a y；(3)×.公式log a M n＝n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数．[答案](1)√(2)×(3)×2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④C [lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，则③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，则④错误．]3．若a >0，a 23＝49，则log 23a ＝________. 3 [因为a 23＝49， 所以log23a 23＝log 2349，所以23log23a ＝log23⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2，所以log23a ＝3.] 4．计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎪⎫322. [解] (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2lg 5＋lg 2－3lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1.(2)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎪⎫3222＝log 78×989＝log 71＝0.。

指数与对数的基本概念教案这是一份关于指数与对数的基本概念教案。

在本教案中，我们将介绍指数和对数的定义、性质、运算规则以及在实际问题中的应用。

通过本教案的学习，学生将能够深入理解指数与对数，并能够运用它们解决实际问题。

一、指数的基本概念1.1 指数的定义指数是数学中一种表示幂运算的方法。

当一个数以指数形式表示时，它由两个部分组成：底数和指数。

底数表示要乘的数，指数表示这个底数要乘的次数。

例如，3²中，3是底数，2是指数，表示3乘以自身2次。

1.2 指数的性质指数具有以下性质：- 同底数相乘，指数相加：aᵐ* aⁿ = a^(m+n)- 同底数相除，指数相减：aᵐ/ aⁿ = a^(m-n)- 指数相乘，底数不变：(aᵐ)ⁿ = a^(m*n)- 指数为0，结果为1：a⁰ = 1二、对数的基本概念2.1 对数的定义对数是指数运算的逆运算。

给定一个正数a和一个大于0且不等于1的正数b，b是以a为底的对数，记作logₐb。

其中a为底数，b为真数，结果为指数。

例如，log₂8 = 3表示以2为底的对数8等于3。

2.2 对数的性质对数具有以下性质：- 对数的底数不能为0或1：logₐa ≠ 0, 1- 对数的真数不能为0或负数：logₐ0, logₐ(-x)不存在- 对数的底数、真数相等时结果为1：logₐa = 1- 对数的底数相同，真数相乘，结果为指数相加：logₐ(m * n) =logₐm + logₐn- 对数的底数相同，真数相除，结果为指数相减：logₐ(m / n) = logₐm - logₐn三、指数与对数的运算规则3.1 指数运算规则- 指数的乘方运算：(aᵐ)ⁿ = a^(m*n)- 指数的除法运算：(a / b)ⁿ = aⁿ /bⁿ- 指数与0的乘方运算：a⁰ = 1（a ≠ 0）3.2 对数运算规则- 对数的乘法运算：logₐ(m * n) = logₐm + logₐn- 对数的除法运算：logₐ(m / n) = logₐm - logₐn- 对数的换底公式：logₐb = logₐc / logₐb（其中a、b、c为底数）四、指数与对数的应用指数与对数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 经济学中的复利计算- 科学实验中的指数增长或衰减- 统计学中的指数分布- 工程学中的衰减与振荡通过应用指数与对数的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。

对数的基本概念概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在数学中，对数是一种非常重要的概念，它有着广泛的应用。

对数可以将复杂的指数运算简化为加法和乘法运算，使得计算更加方便和高效。

对数的概念最初由苏格兰数学家约翰·内皮尔斯发展而来，并在许多领域中发挥着重要作用，如科学、工程、经济学等。

1.2 目的本文旨在介绍对数的基本概念、性质、运算规则以及常见对数函数，帮助读者更好地理解和应用对数这一重要数学工具。

1.3 结构文章将按照以下顺序展开：首先介绍对数的基本定义和性质，然后说明其应用领域；接着讨论对数的运算规则包括加法性质、减法性质和乘法性质；之后详细介绍常见的对数函数包括自然对数函数、十进制对数函数等；最后总结所学知识并展望未来可能探索的方向。

通过这样有条理的结构，读者能够系统地了解和掌握关于对数这一主题的知识。

2. 对数的基本概念对数是一种数学工具，常用于简化复杂计算和表示大量数字。

在计算中，对数可以帮助我们将乘法和除法运算转换成加法和减法运算，从而更容易进行计算。

2.1 定义对数可以理解为一个指数的反运算。

例如，在以10为底的对数中，如果我们说log10(100) = 2，意思是10的几次方等于100。

这里的2就是对数。

2.2 性质- 对数公式：logₐ(b) = x 可以写成a^x = b- 特殊情况：logₐ(a) = 1 （任何正整数以自身为底取对数结果都是1）- 零和负值：0无法作为一个正实际值进行求幂操作；而负值仍然可以作为求幂并获得实际值2.3 应用应用领域非常广泛，例如在科学、工程、经济等领域中经常会见到对数的应用。

另外，在统计学中，也常常使用对数来处理数据，比如在绘制图表时将数据取对数可以使不同数量级之间更容易比较。

通过了解和掌握对数的基本概念，能够帮助我们更好地理解和应用在实际生活与工作中。

3. 对数运算规则：3.1 加法性质对数的加法性质是指对数相乘等于它们的真数相乘的性质。

对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。

设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。

其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。

1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。

②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。

③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。

④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。

（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。

1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。

对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。

1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。

在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。

此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。

二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。

（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。

2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。

2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。

在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。

在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。

三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。

对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。

3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。

2018高考高三数学3月月考模拟试题01时量120分钟满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（）A .{}0=⋂B A B. U B A =⋃C. {}1)(=⋂B C A UD. B B A C U =⋃)( 2、下列说法中正确的是（）．A ．“5x >”是“3x >”必要不充分条件；B ．命题“对x R ∀∈，恒有210x +>”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≤”．C ．∃m ∈R ，使函数f(x)＝x 2＋mx (x ∈R)是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题；3、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )A.模型1（相关指数2R 为0.97）B.模型2（相关指数2R 为0.89）C.模型3（相关指数2R 为0.56 ）D.模型4（相关指数2R 为0.45）4、在三角形OAB 中，已知OA=6，OB=4，点P 是AB 的中点，则=⋅AB OP （） A 10 B -10 C 20 D -205、如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（）A 33B 335C 332 D 36、已知54)6cos(=+πα（α为锐角），则=αsin （） A ．10433+B ．10433- C ．10343-D ．10343+ 7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点(3,)A y 向准线l 作垂线，垂足为B ,若ABF ∆为等边三角形,则抛物线的标准方程是 ( ）． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x = D. 24y x =8、已知函数f (x )=x x ln 22-与 g(x )=sin )(ϕω+x 有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x )=（） A ．)22sin(ππ-x B ．)22sin(ππ-x C ．)2sin(ππ-x D ．)2sin(ππ+x二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 的参数方程是）t t y t x 为参数(sin 3cos 4⎩⎨⎧==，直线l 的极坐标方程是01)sin (cos =+-θθρ，则直线l 与曲线C 相交的交点个数是______.10. 如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，且24AB PA ==．PC 切圆O 于C ，Q 是PC 的中点， 直线QA 交圆O 于D 点．则QA QD =g ． 11、设x R ∈，则函数y = 2||2x x +-的最大值是 ．(二) 必做题（12~16题） 12、设复数iiz -=1 (其中i 为虚数单位)，则2z 等于 13、已知()n x -1的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 则含2x 项的系数= ______.14、执行右边的程序框图，若输出的T=20，则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号） 。

第2课时 对数的运算性质学 习 目 标核 心素 养1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数． 3．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n ＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )． ( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)． ( )『答案』 (1)× (2)× (3)×『提示』根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．2．(1)log2 25－log2254＝________；(2)log2 8＝________.(1)2(2)3『(1)log2 25－log2254＝log225×425＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.』3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.ab『log75＝lg 5lg 7＝ab.』对数运算性质的应用(1)lg 2＋lg 5；(2)log535＋2log122－log5150－log514；(3)『(1－log63)2＋log62·log6 18』÷log6 4.思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．『解』(1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.(2)原式＝log535×5014＋2log12212＝log5 53－1＝2.(3)原式＝『(log6 6－log6 3)2＋log62·log6(2·32)』÷log6 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log6632＋log6 2(log6 2＋log6 32)÷log6 22＝『(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log62·log6 3』÷2log6 2＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a＝1，a log a N＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log 5 3.『解』 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.『例2』 化简：(1)log 2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24； (3)用log a x ，log a y ，log a z 表示log a (xy 2z －12)．思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 『解』 (1)log 2(28×82)＝log 2『28×(23)2』＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.(3)log a (xy 2z －12)＝log a x ＋log a y 2＋log a z －12＝log a x ＋2log a y －12log a z .这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 1327－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.『解』 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1.(3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .换底公式及其应用『例3』 (1)已知3a ＝5b＝c ，且a ＋b＝2，则c 的值为________． (2)已知x ，y ，z 为正数，3x＝4y＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.思路点拨：用换底公式统一底数再求解．(1)15 『由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b ＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.』(2)『解』 ①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34＝4log 32.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log am N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．对数运算在实际问题中的应用我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解． 『解』 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x. 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．『解』 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．含对数式的方程的解法1．对数的运算性质有哪些？『提示』 log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c blog c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .2．解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？『提示』 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.『例5』 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y的值．思路点拨：根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 『解』 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －4＝0，故xy ＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴xy＝4. ∴log 12 xy ＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点 (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．5．解方程：1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n；②log a (MN )＝log a M ·log a N ；③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．1．如a >0，a ≠1，x >0，y >0，则下列式子正确的是( ) A ．log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y ) B ．log a x －log a y ＝log a (x －y ) C ．log a xy＝log a x ÷log a y D ．log a (xy )＝log a x ＋log a yD 『由对数的运算性质知D 正确．』2．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么用a ，b 表示log 8 98＝________.a ＋2b 3a 『log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a.』 3．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.1 『因为m ＝log2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.』4．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．『解』 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。

(完整版)对数的运算总结及方法归纳的手册1. 对数的定义对数是数学中一种常见的运算方法。

给定一个正数 a 和一个大于 1 的正数 b，若 b 的某个幂等于 a，则称这个幂为 a 关于以 b 为底的对数。

常用记法为 logb(a)。

2. 对数运算规则对数运算涉及以下几个基本规则：2.1. 对数的乘法法则logb(a * c) = logb(a) + logb(c)2.2. 对数的除法法则logb(a / c) = logb(a) - logb(c)2.3. 对数的幂法法则logb(ac) = c * logb(a)2.4. 对数的换底法则logb(a) = logc(a) / logc(b)3. 对数运算方法3.1. 计算对数的步骤计算对数的步骤如下：1. 确定底数和真数；2. 应用对数运算规则计算结果。

3.2. 常用对数常用对数指以 10 为底的对数，记作 lg(a) 或 log10(a)。

常用对数的计算方法很简单，只需要将给定的数在对数表中查找对应的值即可。

3.3. 自然对数自然对数是以无理数 e（约等于2.）为底的对数，记作 ln(a)。

自然对数的计算方法可以通过级数展开或数学函数计算等多种方式。

4. 应用举例以下是一些对数运算的应用举例：1. 计算 log2(8) = 3；2. 计算 log3(27) = 3；3. 计算 ln(e^2) = 2。

对数运算在数学、物理、金融等领域中有广泛的应用，它能够帮助我们简化复杂的计算和问题求解过程。

以上是对数运算的简要总结及方法归纳，希望对您有所帮助！。