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对数的运算性质

§2.7.2 对数的运算性质

教学目标

（一）教学知识点

1. 对数的基本性质.

2. 对数的运算性质.

(二) 能力训练要求

1. 进一步熟悉对数的基本性质.

2. 熟练运用对数的运算性质.

3. 掌握化简,求值的技巧.

教学重点

对数运算性质的应用.

教学难点

化简,求值技巧.

教学方法

启发引导法

教学过程.

一、复习回顾

上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得：

log b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >）

本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质.

二、讲授新课

1 . 对数的基本性质

由对数的定义可得：log 10a = log 1a a = （0a >且1a ≠）把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >）上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数形式。

把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠）

通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。

例如： log 222log a a a a == （0a >且1a ≠）

2 . 对数的运算性质

接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。

指数的运算性质 p q p q a a a +?=

在上式中设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a +=

将指数式转化为对数式可得：

log a p M = log a q N = log a p q MN +=

∴ log log log a a a M N MN += （0M > 0N > 0a >且1a ≠）

这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。

请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何

log log log a a a M M N N

-= 证明如下：∵ log log log log a a a a M M N N N N

=+- log ()log a a M N N N

=?- log log a a M N =-

对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘，

即 1212log log log log a a a N a n N N N N N N +++=L L 若 12N N N N M ====L

则上式可化为 log log n a a n M M = n N +∈

若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立

下证 log log n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）

证明：设 log a M p = 则有 p M a =

∴ n np M a =

∴ log n a M np =

即 log log n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。

例如：3222log 8log 23log 23===

提问：2lg 2lg a a = 这个等式会成立吗

强调：真数为偶次幂时，必须保证等式两边的对数式有意义，即真数大于0。 3 . 例题讲解

[例1]用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。

（1）log a xy z （2）log a 分析：运用对数的运算性质求解。

解：（1）log log log log log log a a a a a a xy xy z x y z z

=-=+-

（2）2log log (log log log log a a a a a a x x =-=+ 112log log log 23

a a a x y z =+- [例2]求下列各式的值。

（1）752log (42)? （2）分析：运用对数的运算性质求解。

解：（1）757522222log (42)log 4log 27log 45log 272519?=+=+=?+=

（2）125

122lg100lg10lg10555==== 三、课堂练习

1．计算下列各式的值

（1）23log (279)? （2）7log

（3）7lg142lg lg 7lg183

--- （4）lg 243lg 9

（5 解：（1）22333333log (279)log 27log 9log 32log 9347?=+=+=+=

（2）2777112log log 49log 7333

=== （3）7lg142lg lg 7lg183--- lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 2=+-+---

（4）52lg 243lg 35lg 35lg 9lg 32lg 32

===

（5lg511lg5==-=-

2．已知lg 2a =，103b =，求

lg12lg5。解：依题意得：lg3b =

∴ lg12lg32lg 22b a =+=+

10lg5lg

lg10lg 212a ==-=- ∴ lg122lg 51a b a

+=- 四、课时小结

通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值。

五、课后作业

（一）课本P79 习题 4.

（二）学案P79 §

3.2对数概念及运算性质(教师)

创一教育学科教师辅导讲义

1．若2x ＝16，(13 )x ＝9，x 的值分别为多少？【提示】 4，－2 2．若2x ＝3，(13 )x ＝2，你现在还能求得x 吗？【提示】不能． 1．对数一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．常用对数通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg N . 3．自然对数以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N . 一、指数式与对数式的互化例1、 (1)将下列指数式化为对数式： ①3－3＝127；②843＝16；③5a ＝15. (2)将下列对数式化为指数式： ①log 3243＝5；②log 13127＝3；③lg 0.1＝－1. 【思路探究】根据对数的定义a b ＝N (a >0，且a ≠1)?log a N ＝b (a >0且a ≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．【自主解答】 (1)①由3－3＝127，得log 3127＝－3. ②由843＝16，得log 816＝43. ③由5a ＝15得，log 515＝a . (2)①由log 3243＝5得35＝243. ②由log 13127＝3得(13)3＝127. ③由lg 0.1＝－1得10－1＝0.1.

1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x ＝N ?x ＝log a N . 2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：下列指数式与对数式互化正确的一组是________． ①(－2)2＝4与log (－2)4＝2； ②8－13＝12与log 812＝－3； ③lg 5＝0.7与e 0.7＝5； ④log 77＝1与71＝7. 【解析】 ①错误，因为log (－2)4没有意义，在转化时应先化简再互化；②错误，将8－13＝12化成对数式为log 812＝－13；③错误，将lg 5＝0.7化成指数式为100.7＝5；④正确．【答案】 ④ 二、求对数的值计算下列各式的值： (1)lg 0.001；(2)log 48；(3)ln e. 【思路探究】对数式化为指数式→化为同底的幂→列方程→结论【自主解答】 (1)设lg 0.001＝x ，则10x ＝0.001，即10x ＝10－3 解得x ＝－3，所以lg 0.001＝－3. (2)设log 48＝x 则4x ＝8，即22x ＝23，解得x ＝32，所以log 48＝32. (3)设ln e ＝x ，则e x ＝e ，即e x ＝e 12，解得x ＝12，所以ln e ＝12 . 1．对数式的求值问题，一般是转化成指数式，解指数方程． 2．在b ＝log a N 中有三个量a ，b ，N ，知二求一的关键是实现对数式与指数式的互化．求下列各式的值．

教案对数的运算法则

教案对数的运算法则【教学目标】知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则．能力目标：会运用对数的运算法则进行计算．【教学重点】对数的概念和对数的运算法则．【教学难点】对数的运算法则．【教学过程】一、课程导入以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟）问题1：2的多少次幂等于8？问题2：2的多少次幂等于9？显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数．二、新课教学 1．新概念法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：（1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .

解（1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ；（2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --；（3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）：（1）)34ln(75?；（2）18ln . 分析关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解（1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值：（1）lg2lg5+；（2）lg600lg2lg3--．分析逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算．解（1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==；（2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：（1）（2）lg xy z ；（3）2lg()y x ；（4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）：（1）ln 36；（2）ln 216；（3）ln12；（4）911ln(23)?．答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容

高中数学《对数的概念与运算性质》精品公开课教案设计

《对数与对数运算》（第一课时）一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析

对数运算性质

2.2.1对数与对数运算（二）（一）教学目标 1．知识与技能：理解对数的运算性质． 2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识． 3．情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神（二）教学重点、难点 1．教学重点：对数运算性质及其推导过程. 2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明. （三）教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?=（a＞0，且a ≠1，N＞0），学生口答，教师板书．对数的概念和对数恒等式是学习本

指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷=(); m n m n mn n m a a a a == 节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．提出问题探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如： ,,m n m n m n a a a M a N a +?===设. 于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,m a M a m M =?=log n a N a n N =?=log m n a MN a m n MN +=?+=log log log () a a a M N MN ∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．

对数函数性质及练习(有答案)

\ 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征：特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． , 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ．解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质

(1)图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较

对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

2.1 对数与对数运算 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底

对数的概念与运算性质

《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.

对数的运算性质(公开课教案)

§2.7.2 对数的运算性质教学目标（一）教学知识点 1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质. (二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点对数运算性质的应用. 教学难点化简,求值技巧. 教学方法启发引导法教学过程. 一、复习回顾上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： l o g b a a N b N =?= （0a >且1a ≠，0N >）本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质由对数的定义可得：log 10a = l o g 1a a = （0a >且1a ≠）把log a b N = 代入 b a N = 可得 log a N a N =（0a >且1a ≠，0N >）上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N 转化为以a 为底的指数形式。把b a N = 代入 log a b N = 可得 log b a b a = （0a >且1a ≠）通过上式可将任意实数b 转化为以a 为底的对数形式。例如： log 2 2 2log a a a a == （0a >且1a ≠）

2 . 对数的运算性质接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。指数的运算性质 p q p q a a a +?= 在上式中设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a += 将指数式转化为对数式可得： l o g a p M = l o g a q N = l o g a p q M N += ∴ l o g l o g l o g a a a M N M N += （0M > 0N > 0a >且1a ≠）这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？ log log log a a a M M N N -= 证明如下：∵ l o g l o g l o g l o g a a a a M M N N N N = +- l o g ()l o g a a M N N N =?- l o g l o g a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘，即 1212 l o g l o g l o g l o g a a a N a n N N N N N N +++= 若 12N N N N M ==== 则上式可化为 l o g l o g n a a n M M = n N +∈ 若将n 的取值范围扩展为实数集R ，上式是否还会成立？下证 l o g l o g n a a n M M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）证明：设 l o g a M p = 则有 p M a = ∴ n np M a = ∴ log n a M np = 即 l o g l o g n a a M n M = （0M > 0a >且1a ≠ n R ∈）对数的乘法法则：M 的n 次方的对数会等于M 的对数的n 倍。例如：3222log 8log 23log 23===

对数的基本概念及运算

第十讲对数的基本概念及运算一：问题思考问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数。注意：①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数指数（指数函数的自变量） ← b → 对数幂（指数函数的函数值） ← N → 真数

3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数）注意：对数的书写课堂练习 1 将下列指数式写成对数式：（1）（2）（3）（4） 2 将下列对数式写成指数式：（1）（2）（3） 3 求下列各式的值：（1）（2） 2. 对数运算（1）基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2）运算法则如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计

指数对数概念和运算公式

指数函数及对数函数重难点根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例求值（1）3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值

（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么（1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）例：比较下列各题中的个值的大小（1）与 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 与例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为（A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1 （C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<1

对数的运算性质教案

2.2.1对数与对数运算性质（二）教学目标（1）知识与技能：理解对数的运算性质．（2）过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．（3）情感、态态与价值观： 1、利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神。 2、对数运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加减乘除运算，加快了运算速度、简化了计算方法、显示了对数计算忧越性，体现了所学知识实践中的应用。教学重点、难点教学重点：对数运算性质及其推导过程. 教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明. 教学过程（一）复习巩固，引入新课：（1）对数的定义 b N a =log ，掌握其中 a 与 N 的取值范围；（2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式；（3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． 2、请同学判断以下几组数是否相等？（1） 10 1lg 100lg +，)101100lg(?；（2）8 1log 4log 22+，21 log 2；提出问题：由（1）（2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。新课讲解：请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。

对数的概念与对数运算性质

对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质（二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析

(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。三、问题诊断分析对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。四、教学支持条件分析

人教版高中数学-对数的概念与运算性质

课题：2.2.1对数与对数运算一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。二、教学目标设置 1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念； 2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质； 3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。三、学生学情分析知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的

对数式及运算性质

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1 对数式及运算性质【课前预习】阅读教材P 62-68完成下面填空 1．?=N a x ；（a>0,a 1≠） 2．=N a a log ；（a>0,a 1≠） 3．=1log a ，=a a log .（a>0,a 1≠） 4．当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()=MN a log ；⑵=?? ? ??N M a log ；⑶=n a M log . 5．换底公式：=b a log .()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6．a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 练习： 1．计算（1）3log -6log 22＝。（2）02lg 5lg +＝。（3）3 1 log 3log 55+＝。（4）15log 5log 33-＝。 2．利用对数的换底公式化简下列各式：边听边练边落实 1.化简 3 log 9 log 28＝____________. 2．对于a >0且a ≠1，下列结论正确的是 ( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②④ 3． 11 log log a a b b -之值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2log a b D ．2log a b - 4．已知35a b m ==，且112a b +=，则m 之值为 ( ) A ．15 B 15 C ．±15 D ．225 5.若2a ＝5b ＝10，则 b a 1 1+＝________. 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2 －4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2 的值是( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．计算： (1)lg14－2lg 3 7 +lg7－lg18 (2) ２5log 25＋３2log 64 (3)3log 8log 4log 843??

指数与对数的性质和运算及答案详解

指数与对数的运算（1）有关规定：事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n m k ∈>= ，m n n m n k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n m 的是次方根，即：n m n m a a = （2）同样规定：)1*,,0(1 >∈>= - n N n m a a a n m n m 且；0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质： ) ,0,0()() ,,0()() ,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ （2）基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； ③1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。（3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。（4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 两个非常有用的结论①1log log =?a b b a ；②b m n b a n a m log log =。 1、已知3234+?-=x x y 的值域为[1，7]，则x 的取值范围是（） A.［２，４］ B.)0,(-∞ C.]4,2[)1,0( D.]2,1[)0,( -∞ 2、若,310 ,210 ==y x 则=-2 310 y x 3、【08重庆卷13】已知1 249 a = (a>0) ，则23 log a = .

对数的概念与运算性质

《对数与对数运算》（第一课时）（人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1 第二章第二节）一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A 版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急. 苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用. 对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性三、学生学情分析 1. 认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习. 从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经

完整对数的运算性质练习题提高

对数的运算性质(二) 1. ( 2014秋？龙泉驿区校级期中)若ab>0,则下列四个等式： ①lg (ab) =lga+lgb ②lg (f) =lga - Igb ③弓g V)2="g V) ④lg (ab)= ?中正确等式的符号是( ) |1 叫10 A .①②③④B.①② C .③④ D .③ 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】对于①②当a, b v 0时，lg (ab) =lga+lgb , lg (j) =lga - lgb，不成立. ③弓g (f) 2=lg (f)，正确； ④ab=1时不正确. 【解答】解：①②?/ ab> 0, ??? a, b v 0时，下列等式：lg (ab) =lga+lgb , lg (j) =lga - lgb，不成立. ???①②不正确； ③吉ig (半)2=lg ({),正确； ④lg (ab) =--------------- ,ab=1时不正确. 综上可得：只有③正确. 故选：D. 【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题. 【考点】对数的运算性质；函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 2. ( 2015?吉林校级四模)已知函数f (x) ( ) A . 2 B. - 2 C. 0 D. 1 _z =-x+log 2 . I+x +1，则f (2)+f (-亍)的值为

+ +1) =2. 故选：A . 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用. log 3（K- 1） J 贅>1 3. （ 2015?四川模拟）已知函数 f （ X ）= 则f （ f （ log 32））的值是 3H +2, I <1 （） A . 1 B . 2 C . 5 D . 1+log 32 【考点】对数的运算性质；函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的表达式代入进行求解即可. 【解答】解：T log 32 v 1, 1辱2 ??? f （log 32） = - +2=2+2=4 , /? f （4） =log 3 （4 - 1） =log 33=1 , 故选：A 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据表达式直接代入是解决本题的关键. 4. （ 2015秋？台州校级月考）设 a >0, b >0,则（） A .若 2a +log 2a=2b +log 3b ，贝U av b a b B .若 2 +log 2a=2 +log 3b ,贝U a > b a b C. 若 2 +log 2a=3 +log 2b ,贝U av b D. 若 2a +log 2a=3b +log 2b ,则 a >b 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 f ( 2)+f (- 丄） =(-丄 3 2 2 +胆^4+1），由此能求出结果. 【解答】解：T 函数f (X ) = - X+lOg 2— ■' H-K +1, +f (- =(4+ 由已知得 L 4 I - .: -------- +1)

对数的概念及其运算

4.4 对数概念及其运算（1）一、教学内容解析《对数概念及其运算（1）》是沪教版高中数学课本，高一年级第二学期第四章（下）第一节，属概念性知识，承接第四章（上）指数函数，对数概念及运算是在学习了“指数幂x a的意义及运算性质”、“指数函数的性质”基础上进行的，同时本节也是学习对数函数的准备知识. 对数既可以看作是一个算式，又可以看作是一个数值. 与指数幂具有共同的本质——指数（对数）与幂（真数）之间的对应关系. 对数作为重要而简便的计算技术，被恩格斯誉为17世纪三大重要数学成就之一，在数学和其他许多知识领域都有广泛的应用. 虽然随着计算工具的飞速发展，它的地位已由计算机（器）逐步代替，但对数函数在数学中的地位是不可动摇的. 对数概念及其运算性质的学习过程，可以提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀. 【教学重点】理解和掌握对数的概念，掌握对数式与指数式的互化. 二、教学目标设置理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；知道常用对数、自然对数的概念；掌握对数式与指数式的互化，理解同底的对数式与指数式之间的关系；经历计算-观察-猜想-论证的过程，掌握对数的常用性质；会使用计算器计算对数的值；经历“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的研究过程，提升数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养. 三、学生学情分析本节课为借班上课，课前未与学生有过接触．授课对象为上海市一所普通高中的高一普通班，该年级经过入学前的分流，资优生集中在两个“特色班”，普通班学生相对底子比较薄，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难. 授课学