小学奥数第十一讲：数学思想与方法-从特殊情况考虑

中级奥数教程数学思想方法系列：从特殊考虑【内容摘要】有的同学在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

先说说最基本最重要的：从特殊情况考虑对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．得以．．“．突破．．”．，这种方法称为特殊化。

．．．．．．．．．．．对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。

运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。

通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。

【例题精选】例1：如左下图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，且边长均为2cm 。

又E 点是正方形 ABCD 的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S 。

分析：我们先考虑正方形EFGH 的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD 的各边对应平行的情况（见右上图）。

此时，显然有得出答案后，这个问题还得回到一般情况下去解决，解决的方法是将一般情况变成特殊情况。

解：自E 向AB 和AD 分别作垂线EN 和EM （右图），则有:S=S △PME +S 四边形AMEQ又S △PME =S △EQN ，故:S=S △EQN +S 四边形AMEQ =S 正方形AMEN例2 如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a ，b ，c ，d ，e ，f,g,h,其中每个数都等于相邻3个顶点处的数的和的1/3 求（a+b+c+d ）-（e+f+g+h ）的值。

小学四年级奥数练习及答案解析十一讲小学四年级奥数题：统筹规划（一）【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。

【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。

共需要1+10=11分钟。

【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。

为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×27+5×1=275(公升)【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。

两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。

四年级奥数题：统筹规划问题（二）【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。

第十一讲 数学游戏在今天这节课中，我们来研究数学游戏中的必胜策略．由于策略的制定是没有固定模式的，教师在本节课中要引导学生通过具体问题具体分析，不断积累经验，以提高观察和分析问题的能力. 知识点：1、取火柴以及与其同类型的游戏中的策略2、其他游戏中的取胜策略.分析：孙膑的策略是：叫田忌用自己的下等马和齐威王的上等马比赛，先输一场；接着再用自己的上等马对齐威王的中等马，用中等马对齐威王的下等马，取胜两场，结果赢得千金.我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.这类问题也属于我们所说的“博弈问题”.在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同.但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算.其核心思想有：逆推和对称分组.（一） 智取火柴以及与其同类型的游戏中的取胜策略专题精讲教学目标想 挑 战 吗 ？春秋战国时期，有一个齐国，每月都要进行赛马，齐国当时的君主是齐威王，他和大将军田忌经常下赌注赛马，由于田忌的马不如齐威王的马强，接连输了好几场.田忌的门客孙膑是大军事家孙武的后代，他要田忌将赛马的情况告诉他，听完田忌介绍的情况后，他说：“你明天约齐威王再赛一次，我包你赢.”田忌说：“你能保证我赢，我就下赌注千金.”第二天，两人比赛三场.孙膑教给田忌一种妙策，保证能赢.田忌照计行事，虽败一场，但胜两场，结果赢得千金.同学们，你知道孙膑用的是什么策略使田忌取胜的吗？【例1】桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：我们采用逆推法分析这道题.获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜.现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜.同学们再想一想为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？提问：（1）甲取几根，乙取3减几根可以吗？不可以，那样的话，甲取3根，乙就没法取了.（2）甲取几根，乙取5减几根可以吗？不可以，那样的话甲取1根，乙就没法取了.所以关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4.利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么.由此出发，对于例题的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法.[前铺]桌子上放着10根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～2根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：如果获胜方在最后取得最后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方3根，要想留给对方3根，倒数第三次取时，必须留给对方6根.要想留给对方6根，倒数第四次取时必须留给对方9根，而甲每次取完都能留给乙3的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜.[拓展一]在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？分析：由例题的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜.因为60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜.由本题可以看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜.[拓展二]将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？分析：最后留给对方1根火柴者必胜，按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜.甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜.由此看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数加1根火柴，谁将获胜.[小结]我们可以把解决这类问题的一般方法总结为余数问题.，即如果有余数，则先取者胜，且取余数根数；如果没有余数，则后取者胜，每“回合”共取N+1根.【例2】今有两堆火柴，一堆26根，另一堆28根.两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取.规定取得最后一根者为赢.问：先取者有何策略能获胜？分析：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同.先取者在28根一堆火柴中取2根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同.以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴.只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者总可获胜.请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是28根火柴，那么先取者还能获胜吗？[拓展]甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.分析：采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.[拓展]有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴.甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜.如果采用最佳方法，那么谁将获胜？分析：根据上一例题的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜.甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根.无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜.【例3】两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。

小学数学与数学思想方法小学数学与数学思想方法1之前一提到数学思想方法，总是感觉似乎知道一些，想过应用它来指导自己的教学，但是自身对数学思想方法的理解不深透，另外又觉得数学思想方法的渗透教学在课堂教学中短时期难以见成效。

所以，本人的教学现状中对数学思想渗透的深度远远不够。

而读了《小学数学与数学思想方法》这本书，王永春老师对数学各类思想方法的梳理和对新教材思想方法的解读，让我对新课标的新理念有了更深一层的理解，对小学数学思想方法的内涵有了较为深刻的认识，明确了教材使用和课堂环节中的渗透策略。

《小学数学与数学思想方法》首先对数学数学思想方法的概念、对小学数学教学的意义、对小学数学进行教学的可行性与方法做了简介。

其次，梳理了与抽象有关的数学思想：包括抽象思想、符号化思想、分类思想、集合思想、变中有不变思想、有限与无限思想；与推理有关的数学思想：包括归纳思想、类比思想、演绎思想、转化思想、数形结合思想、几何变换思想、极限思想、代换思想；与模型有关的数学思想包括：模型思想、方程思想、函数思想、优化思想、统计思想、随机思想；其他数学思想方法包括：数学美思想、分析法和综合法、反证法、假设法、穷举法、数学思想方法的综合应用。

最后，对小学数学1-6年级共十二册教材中数学思想方法案例进行了解读。

经过研读我发现，数学教材的教学内容始终反映着数学知识和数学思想方法这两方面，数学教材的每一章、每一节乃至每一道题，都体现着这两者的有机结合，数学思想方法有助于数学知识的理解和掌握。

如本人执教的三年级下册第八单元搭配，就突出体现了分类思想、符号化思想。

第一课时，我让学生体会解决排列组合问题时，就用到了分类讨论的方法有序全面的解决问题。

如在用数字0、1、3、5组成没有重复数字的两位数时，多数学生没有分类有序思考，而是比较杂乱地写了组成的两位数，只有少数学生有序地书写。

当我让几个学生把他们的方法展示在黑板上，引导学生交流比较后，发现，有学生漏写，有孩子写重复，其中一个孩子书写时分成三类：十位上是1的是10、13、15，十位上是3的有30、31、35，十位上是5的有50、51、53，保证有序全面地排列出来，肯定了有序思考的重要性。