湖北省武汉市2021届新高考数学三模试卷含解析

湖北省武汉市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C D【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．2．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 3．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 4．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <” 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误； 命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确； 命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误； 命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误．本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题. 5．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.6．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．7．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1 B ．)31±C ．)31±D ．5【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c=，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBMV -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．2y x =±C ．52y x =± D ．22y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 11．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ）A ．52-B ．2-C ．2D ．72【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，可得2x z y +=，2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2z y =-，代入即得解 【详解】由x ，y ，z 成等差数列， 所以2x zy +=，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，所以220x xz z⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-，因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，所以2x z =-，此时2zy =-， 所以15222x y z +=--=-． 故选：A 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b ab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>> D ．1log log a bb aa b a b >>> 【答案】D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题3.9 函数的实际应用练基础1.（2021·广东高三专题练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（）A．0.33米B．0.42米C．0.39米D．0.43米2.（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（）A．1800 B．1000 C．790 D．5603．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）A ．36mB ．39mC ．315mD ．318m4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级()f x (单位：dB)由声音强度x (单位：2W/m )决定．科学研究发现，()f x 与lg x 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为2100W/m 声音强弱的等级为140dB ；某动物发出的鸣叫，声音强度为21W/m ，声音强弱的等级为120dB ．若某声音强弱等级为90dB ，则声音强度为（ ）2W/mA ．0.001B ．0.01C ．0.1D ．15．（2021·全国高三其他模拟（理））2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1⨯年扶贫资金（元）+4.3⨯年自投资金（元）900+⨯自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为()51.1 1.6≈（ ）A ．48100元B ．57900元C ．58100元D ．64800元 6．（2021·全国高三其他模拟（理））生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足关系式()1e t y λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数，当23t =时，910y λ=，则λ的值约为（ln10 2.3≈）（ ）A ．110B ．10C ．100D ．11007．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级I L （单位：dB ）由公式1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB ，平时常人交谈时声强级约为60dB ，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）A ．104倍B ．105倍C ．106倍D ．107倍8．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N粒.则红豆和白豆共有________粒.9．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：lg 20.30,lg13 1.11≈≈)10．（2021·浙江高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润()f x （单位：元）表示成月产量x 的函数（2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）1．（2021·四川高三三模（理））一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg ，才有疗效；而低于500mg ，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时0020的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（ ）A ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎤- ⎥--⎝⎦ B ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎫- ⎪--⎝⎭ C ．(]51log 3,1- D ．()51log 3,1-2．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：t h m a =⋅.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（ ）(已知lg 20.3≈，结果四舍五入取整数)A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天3．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足数学函数关系式()1t y e λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数．经测试发现，当23t =时，910y λ=，则抗生素的残留系数λ的值约为（ ）()ln10 2.3≈练提升A ．10B ．110C ．100D ．11004．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q 成正比，且当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：①v 与3log 100Q 的正比例系数为13k =； ②当2m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速1m /s v e=. 则说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量()P t (t 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为()0.420.4211tt e P t e K =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中K 为环境最大容量.当()027.31KP t K K e=-+时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为（ ） A ．63B ．65C ．66D ．69 6．（2021·四川眉山市·高三三模（理））2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（ ）（参考数据：log 19034.7≈-，log 6834881≈-）A ．公元前1400年到公元前1300年B ．公元前1300年到公元前1200年C ．公元前1200年到公元前1100年D ．公元前1100年到公元前1000年7．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：max 0lg A M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ）A ．2AB ．10AC ．100AD ．1000A8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T 型病毒的变化规律，将T 型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y 与天数n 近似满足1*3()n y n N -=∈.已知T 型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T 型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：lg30.477=).9．（2021·浙江高一期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则①θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．②若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．10．（2021·浙江高一期末）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入可变成本()C x 万元，在年产量不足8万件时，21()33C x x x =+（万元）；在年产量不小于8万件时，100()837C x x x=+-（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．（1）写出年利润()f x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）；（2）年产量x 为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.63.（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．694．（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 5．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通练真题讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++. 设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD6.（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0<x <100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )={30 ， 0<x ≤302x +1800x−90 ， 30<x <100 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．。

湖北省武汉市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞UB ．6(0,)[5,)5+∞U C ．(1,5] D ．6(,5]5【答案】A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.2．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.3．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±= B．20x ±=C20y ±=D0y ±=【答案】B 【解析】【分析】0-=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为(),0c -0-=，由左焦点到渐近线的距离为2，可得2==，所以渐近线方程为y =20x =, 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 4．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确； 因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．5．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） AB．C ．12D【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.6．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎭B ．3⎛ ⎝⎭C ．5⎛ ⎝⎭D ．6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.9．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差. 【答案】D 【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ．10．已知平面向量a br r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.11．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B 【解析】 【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.12．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年湖北省新中考数学三模试题（省统考）本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. -2024的绝对值是（ ）A. 2024B.C. D. 2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．保健食品B ．绿色食品C ．有机食品D ．速冻食品3. 如图，正六棱柱，它的左视图是( )A. B. C. D.4. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. a 4·a 2=a 85. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来，在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O 的距离L （单位：）及弹簧秤的示数F （单位：N ）满足．以L 的数值为横坐标，F 的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F 关于L 的函数图象大致是（ ）2024-1202412024-224()a a =2a a a +=22232a a a ÷=100cm ()125cm 25cm O L =()19.8N 9.8N F =cm 11FL F L =A. B.C. D.6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）A. 或B. 或2C. 2D. 7．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为，则坡面AC 的长度为（ ）A ．mB ．10mC ．mD ．m8. 如图，中边AB 垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE=3cm ，的周长为9cm ，则的周长是（ ）的x 2220x kx k k -++=12x x ，22124x x +=k 1-2-1-1-ABC ADC △ABCA. 12cmB. 15cmC. 21cmD. 18cm9.如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x 轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）11. 化简的结果是_____．12．2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为 ．13.一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品．14.如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________．ABCD O 100BOD ∠=︒ECD ∠50︒55︒60︒65︒xOy ()20y ax bx c a =++≠1x =()2,0()3,020a b +>0bc <13a c <-1x 2x 20ax bx c ++=1230x x ⋅-<<()232y xy -ABCD 6AD =E F BD CD EF =15. 把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是_____．三、解答题（本大题共9个题，满分75分）16.计算：．17．如图，已知△ABC ，D是AC 的中点，DE ⊥AC 于点D ，交AB 于点E ，过点C 作CF ∥BA 交ED 的延长线于点F ，连接CE ，AF ．求证：四边形AECF 是菱形．18. 《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？19.小敏利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的D 处测得山顶A 的仰角为，测得山脚C 的俯角为，已知的坡度为1∶0.75，点A ，B ，C ，D 在同一平面内，请帮小敏计算此山的垂直高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）20. 如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知(0123--AB BC 22︒63.5︒AC AB sin63.50.89︒≈tan 63.5 2.00︒≈sin 220.37︒≈tan 220.40︒≈Rt AOB 90AOB ∠=︒O AB C AO E CE．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．21.某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生调查内容你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A ．篮球B ．乒乓球C ．足球D ．排球E ．羽毛球调查结果建议……结合调查信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了多少名学生？（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．（3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．22．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某2AOC ACE ∠=∠AB O 20AO =15BO =CE商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x 的范围．23. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．（1）当点在线段上时，①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°；②如图2，当时，求的值；（2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值．24.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．ABC AB AC =BAC α∠=D AC BD BD D αDE BE CE D AC 60α=︒CE AD DCE ∠=90α=︒AD CE90α=︒D AC A AN DE ∥BD N 2AD CD =AN CEABCD A B x 2y x bx c =++B ()4,5D -DC E（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．2024年湖北省新中考数学三模试题（省统考）（解析）本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. -2024的绝对值是（ ）A. 2024B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．【详解】解：的绝对值是2024．故选：A ．2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．保健食品B ．绿色食品C ．有机食品D ．速冻食品【答案】A ．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；F Q Q F E B BE F P y P M ME BP EM MP PB ++M 2024-1202412024-2024-D ．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 如图，正六棱柱，它的左视图是( )A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】解：由几何体可知，该几何体的三视图依次为．主视图为：左视图为：俯视图：故选B【点睛】本题考查了简单几何体三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．4. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. a 4·a 2=a 8【答案】A【解析】为的224()a a =2a a a +=22232a a a ÷=【分析】利用幂的乘方，合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的除法法则逐个计算判断．【详解】解：因为，所以A 正确；因为，所以B 错误；因为，所以C 错误；因为，所以D 错误；故选A ．【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．5. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来，在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O 的距离L （单位：）及弹簧秤的示数F （单位：N ）满足．以L 的数值为横坐标，F 的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F 关于L 的函数图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．【详解】解：∵，，，224()a a =2a a a +=2233a a ÷=44262a a a a +==⋅100cm ()125cm 25cm O L =()19.8N 9.8N F =cm 11FL F L =11FL F L =245F L=11FL F L =125cm L =19.8N F =∴，∴，函数为反比例函数，当时，，即函数图象经过点．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）A. 或B. 或2C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键．由题意得，，，解得，，由，可得，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：∵，∴，，，解得，，∵，∴，解得，或（舍去），故选：D ．7．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为，则坡面AC 的长度为（ ）的259.8245FL =⨯=245F L=35cm L =245735F ==245F L =()35,7x 2220x kx k k -++=12x x ，22124x x +=k 1-2-1-1-()()22Δ240k k k =--+≥122x x k +=212x x k k ⋅=+0k ≤22124x x +=()()()222221212122224x x x x x x k k k +=+-⋅=-+=2220x kx k k -++=()()22Δ240k k k =--+≥122x x k +=212x x k k ⋅=+0k ≤22124x x +=()()()222221212122224x x x x x x k k k +=+-⋅=-+=1k =-2k =A ．mB ．10mC ．mD ．m【分析】在Rt △ABC 中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC 的长度．【解答】解：由在Rt △ABC 中，cos ∠ACB，设BC ＝4x ，AC ＝5x ，则AB ＝3x ，则sin ∠ACB；又∵AB ＝6m ，∴AC ＝10m ；故选：B ．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键．8. 如图，中边AB 垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE=3cm ，的周长为9cm ，则的周长是（ ）A. 12cmB. 15cmC. 21cmD. 18cm【答案】B【解析】【分析】由DE 是△ABC 中边AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD ，AB=2AE ，又由△ADC 的周长为9cm ，即可得AC+BC=9cm ，继而求得△ABC 的周长．【详解】解：由DE 是边AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，AE=BE ，的ABC ADC △ABC由△ADC 的周长为9cm ，∴AC+BC=9，∵AE=3，∴AB=6，∴△ABC 的周长是15cm ，故选：B ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意等量代换与整体思想的应用．9.如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可.【详解】解：∵，∴，又∵四边形内接于，∴，又∵，∴，故选A.10. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x 轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③；④若ABCD O 100BOD ∠=︒ECD ∠50︒55︒60︒65︒12BAD BOD ∠=∠DCE A ∠=∠100BOD ∠=︒111005022BAD BOD ∠=∠=⨯︒=︒ABCD O 180BCD A ∠+∠=︒180BCD DCE ∠+∠=︒50DCE A ∠=∠=︒xOy ()20y ax bx c a =++≠1x =()2,0()3,020a b +>0bc <13a c <-，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由图象得，，由对称轴得，，；抛物线与x 轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知；【详解】解：开口向下，得 ，与y 轴交于正半轴，，对称轴，，，故①错误； 故②错误；抛物线与x 轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，∴，得，故③正确；由，，知，∵，为方程的两个根，∴∴，故④正确；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利1x 2x 20ax bx c ++=1230x x ⋅-<<a<00c >12b x a=-=20b a =->20a b +=0bc >()2,0()3,0(1,0)-(0,0)0y a b c =-+<13a c <-30c a-<<1230x x -<< a<00c >12b x a=-=20b a =->20a b +=20a b +>0bc >0bc <()2,0()3,01x =(1,0)-(0,0)=1x -0y a b c =-+<(2)0a a c --+<13a c <-13a c <-13a c <-a<00c >30c a-<<1x 2x 20ax bx c ++=12cx x a= 1230x x -<<二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）11. 化简的结果是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了积的乘方和单项式的乘法，根据积的乘方和单项式的乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，故答案为：．12．2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为 ．【分析】将一个数表示成a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：34.45亿＝3445000000＝3.445×109，故答案为：3.445×109．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．13.一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品．【答案】4【解析】【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．【详解】解：∵产品的抽样合格率为，∴产品的抽样不合格率为∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品故答案为：4．【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．14.如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________．()232y xy -2312x y ()222233212y x y x y =⨯-=2312x y 75％1175254-==％％ABCD 6AD =E F BD CD EF =【答案】3【解析】【分析】由平行四边形的性质可得，由三角形的中位线定理可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵点E ，F 分别是、的中点，∴是的中位线，∴故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．15. 把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是_____．【答案】11．【解析】【分析】根据已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律即可求解．【详解】解：根据图示可得：，位置（4，2）对应的正整数是11，6BC AD ==ABCD 6BC AD ==BD CD EF DBC △132EF BC ==故答案为：11．【点睛】本题考查了规律的探究，根据已知推出规律是解题关键．三、解答题（本大题共9个题，满分75分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，分别化简绝对值，零指数次幂，负整数指数幂的运算、二次根式的化简，再进行实数运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，．17．如图，已知△ABC ，D 是AC 的中点，DE ⊥AC 于点D ，交AB 于点E ，过点C 作CF ∥BA交ED 的延长线于点F ，连接CE ，AF．求证：四边形AECF 是菱形．【分析】证明△AED ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ，然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC＝EA ，FC ＝FA ，从而得到EC ＝EA ＝FC ＝FA ，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF 为菱形．【解答】证明：∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，，∴△AED ≌△CFD （AAS ），AE CF (0123--3-112133=-+-+3=∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，中垂线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．18. 《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？【答案】井深为8尺，绳长36尺【解析】【分析】分析题意，不变的量是井深，根据等量关系：将绳三折测之，绳多4尺；绳四折测之，绳多1尺，设绳长为尺，井深为尺，列出方程组求解．【详解】解：设绳长为尺，井深为尺，依题意得：，解得答：井深为8尺，绳长36尺．【点睛】考查了二元一次方程组的应用，此题不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．19.小敏利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的D 处测得山顶A 的仰角为，测得山脚C 的俯角为，已知的坡度为1∶0.75，点A ，B ，C ，D 在同一平面内，请帮小敏计算此山的垂直高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）【答案】米x y x y ()()3441x y x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩368x y =⎧⎨=⎩AB BC 22︒63.5︒AC AB sin63.50.89︒≈tan 63.5 2.00︒≈sin 220.37︒≈tan 220.40︒≈222.9【分析】如图，过点D 作于点H ，过点C 作于点R ，设米，则米，构造方程求解即可．【详解】过点D 作于点H ，过点C 作于点R ，设米，则米，，米，米，在中，米，， ， 解得，米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是关键．20. 如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．DH AB ⊥CR DH ⊥AB x =()130AH x =-DH AB ⊥CR DH ⊥AB x =()130AH x =-:1:0.75AB BC = 0.75BC RH x ∴==130BH CR ==Rt DCR △13065tan 63.5 2.00CR DR ===︒tan AH ADH DH∠= 1300.40650.75x x -∴=+222.9x ≈222.9AB ∴≈Rt AOB 90AOB ∠=︒O AB C AO E CE 2AOC ACE ∠=∠AB O 20AO =15BO =CE【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；（2）过点作于点，先利用勾股定理可得，从而可得，再在中，解直角三角形可得，从而可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】证明：（1），，，，，，，即，，即，又是的半径，为的切线；（2）如图，过点作于点，，，OCE OEC ∠=∠OCE A ACE ∠=∠+∠90ACE OCE ∠+∠=︒OC AB ⊥E ED AB ⊥D 25AB =34sin ,cos 55A A ==Rt AOC △12,16OC AC ==8AE =AED AOC ~ 2432,55DE AD ==485CD =Rt CDE △OC OE = OCE OEC ∴∠=∠OEC A ACE ∠=∠+∠ OCE A ACE ∴∠=∠+∠180AOC OCE ACE A ∠+∠+∠+∠=︒ 2AOC ACE ∠=∠2180ACE OCE OCE ∴∠+∠+∠=︒90ACE OCE ∠+∠=︒90ACO ∴∠=︒OC AB ⊥OC O AB ∴O E ED AB ⊥D ,1520,90A AOB B O O =︒=∠= 25AB ∴==，，在中，，，解得，，，，，，即，解得，，在中，．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．21.某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生调查内容你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A ．篮球B ．乒乓球 C．足球 D ．排球 E．羽毛球3sin 5BO A AB ∴==4cos 5AO A AB ==Rt AOC △3sin 205OC OC A AO ===4cos 205AC AC A AO ===12,16OC AC ==20128AE AO OE AO OC ∴=-=-=-=,ED AB OC AB ⊥⊥ //ED OC ∴AED AOC ∴~ DE AD AE OC AC AO ∴==8121620DE AD ==2432,55DE AD ==32481655CD AC AD ∴=-=-=Rt CDE △CE ===调查结果建议……结合调查信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了多少名学生？（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．（3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．【答案】（1）100 （2）360（3）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数；（2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可；（3）从图中观察或计算得出，合理即可．【小问1详解】被抽查学生数：，答：本次调查共抽查了100名学生．【小问2详解】被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：，∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：，∴（人）．答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360．【小问3详解】答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．3030%100÷=1005%5⨯=100301015540----=40900360100⨯=【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题．22．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x 的范围．【分析】（1）销售量＝原来的销售量﹣10×提升的价格，把相关数值代入化简即可；（2）利润＝每件纪念品的利润×销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和最大利润；（3）让（2）中的利润﹣200得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价x的取值范围．【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x﹣29600．∴抛物线的对称轴为：x57．∵﹣10＜0，44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；（3）∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，∴w﹣200≥2200．∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．当﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200时，﹣10x2+1140x﹣32000＝0．x2﹣114x+3200＝0，（x﹣50）（x﹣64）＝0．∴x1＝50，x2＝64．∵﹣10＜0，44≤x ≤52，∴为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x ≤52．答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x 的范围为：50≤x ≤52．【点评】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．应注意结合二次函数的对称轴，开口方向及自变量的取值范围确定相关函数的最值．23. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．（1）当点在线段上时，①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°；②如图2，当时，求的值；（2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值．【答案】（1）①，（2【解析】【分析】（1）①根据题意可证明和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，得到，，即可求解；②通过证明，可得；（2）由得到，设，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解．ABC AB AC =BAC α∠=D AC BD BD D αDE BE CE D AC 60α=︒CE ADDCE ∠=90α=︒ADCE 90α=︒DAC A AN DE ∥BD N 2AD CD =AN CEAD CE =120ABC DBE ABD CBE ≌AD CE =60BCE A ∠=∠=︒ABD CBE ∽△△AB DB AD BC BE CE ===AN DE 90AND BDE ∠=∠=︒22AD CD a ==BD =CE ==1122ABD S AB AD BD AN =⨯⨯=⨯⨯V AN =【小问1详解】解：①，，是等边三角形，，，由旋转得：，，是等边三角形，，，在和中，，，，，，故答案为：，；②，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，AB AC =60BAC α∠==︒∴ABC ∴AB AC BC ==60ABC ACB ∠=∠=︒BD ED =60BDE ∠=∴BDE △∴60ABC DBE ∠=∠=︒∴60ABD CBE DBC ∠=∠=︒-∠ABD △CBE △AB CBABD CBE BD BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD CBE ≌∴AD CE =60BCE A ∠=∠=︒∴6060120DCE ACB BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒AD CE =12090α=︒ 90A BDE ∴∠=∠=︒AB AC = DB DE =ABC ∴ DBE 45ABC DBE ∴∠=∠=︒ABC DBC DBE DBC ∴∠-∠=∠-∠ABD CBE ∴∠=∠ABDBBC BE === ABD CBE ∴△∽△AB DB AD BC BE CE ∴===【小问2详解】如图3所示，，，设，，在中，，由（1）②可知，，，即，解得，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质．24.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．AN DE 90AND BDE ∴∠=∠=︒22AD CD a ==AB AC a ∴==∴Rt △ABD BD ==CE ==1122ABD S AB AD BD AN ∴=⨯⨯=⨯⨯△AB AD BD AN ∴⨯=⨯2a a AN ⋅=⋅∴AN=AN CE ∴==ABCD A B x 2y x bx c =++B ()4,5D -DC E（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小，此时点M 的坐标为．【解析】【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B 、D 代入求解即可；（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形为正方形，，∴，，∴，∴OB =1，F Q Q F E B BE F P y P M ME BP EM MP PB ++M 223y x x =+-Q F E B BE F (-(1,-(1,5-(1,5-EM MP PB ++1+51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭5AD AB ==()4,0A -()10B ,()1,F a -Q F E B BE BF BE =EF BE =1EM MP PB DM MO ++=++EM MP PB ++1DM MO ++1DM MO ++ABCD ()4,5D -5AD AB ==()4,0A -4AO =∴，把点B 、D 坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，∵点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，∴，∴由两点距离公式可得，设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当时，如图所示：∴由两点距离公式可得，即，解得：，∴点F 的坐标为或；②当时，如图所示：()10B ,164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩23b c =⎧⎨=-⎩223y x x =+-()10B ,223y x x =+-=1x -()2,5E ()()222120526BE =-+-=()1,F a -Q F E B BE BF BE =22BF BE =()()2211026a ++-=a =(-(1,-EF BE =∴由两点距离公式可得，即，解得：∴点F 的坐标为或；综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，，∴，DM =EM ，∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，∴，∴四边形BOMP是平行四边形，22EF BE =()()2221526a ++-=5a =±(1,5--(1,5-+Q F E B BE F (-(1,-(1,5--(1,5-+()10B ,1OB =P M 1,//PM OB PM OB ==∴OM =BP ，∴，若使的值为最小，即为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∵，∴∴，即，设线段OD 的解析式为，代入点D 的坐标得：，∴线段OD 的解析式为，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．1EM MP PB DM MO ++=++EM MP PB ++1DM MO ++1DM MO ++()4,5D -OD ==1DM MO ++1+EM MP PB ++1+y kx =54k =-54y x =-51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2021年高三三模数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题6分，满分84分）1．设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是．2．已知复数z=（1+i）（1﹣2i）（i为虚数单位），则z的实部为．3．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：复数z=（1+i）（1﹣2i）=1﹣2i+i+2=3﹣i，∴z的实部为3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在故答案为：﹣4点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果解答：解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．点评：本题考查古典概型，考查对数的性质，是一个比较简单的综合题，解题的关键是看清楚有几个数字使得对数的值是一个正整数．7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．解答：解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查焦点和渐近线方程的求法，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．8．在等差数列{a n}中，若a n+a n+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式a n= 2n+1 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a n+a n+2=4n+6，①∴a n+2+a n+4=4（n+2）+6，②②﹣①可得a n+4﹣a n=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入a n+a n+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，∴通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1故答案为：2n+1点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．9．给出下列三个命题：①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；③“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为③．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“a＞b”⇔“3a＞3b”，即可判断正误；②取α=，β=，则cosα=cosβ；反之取α=，β=2π，满足cosα＜cosβ，即可判断出正误；③函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（﹣x）+f（x）=0⇔2ax2=0，∀x∈R，⇔a=0．即可判断出正误．解答：解：①“a＞b”⇔“3a＞3b”，因此“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件，故不正确；②取α=，β=，则cosα=cosβ；反之取α=，β=2π，满足cosα＜cosβ，因此“α＞β”是“cosα＜cosβ”的既不必要也不充分条件，不正确；③函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（﹣x）+f（x）=0⇔2ax2=0，∀x∈R，⇔a=0．因此“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．因此其中正确命题的序号为③．故答案为：③．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V= cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：三视图复原几何体分两部分，下面是一个边长为1的正方体、上面是一个棱长为1的正四棱锥，分别计算出边长为1的正方体及棱长为1的正四棱锥的体积即可．解答：解：由三视图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1，上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为=，故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力，注意解题方法的积累，属于基础题．11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为5﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cos θ，sinθ），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．解答：解：如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cos θ，sinθ）；∴•（﹣cosθ，2﹣sinθ）=（2﹣cosθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ），tanφ=；∴sin（θ+φ）=1时，取最小值．故答案为：5﹣2．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．12．已知函数若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（﹣5，0）．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由分段函数知，分段讨论函数的单调性，从而求导可知f（x）在上是增函数，从而化为函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．解答：解：当0≤x≤1时，f（x）=2x3+3x2+m，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）≥0；故f（x）在上是增函数，故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；故m＜0，故，解得，m∈（﹣5，0）；故答案为：（﹣5，0）．点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或﹣2 ．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．解答：解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN•k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．点评：本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．解答：解：设xy=m，则x=，∵，∴++3y+=10，整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，∵x，y是正实数，∴△≥0，即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，解得1≤m≤，或m≤0（舍去）∴xy的取值范围是故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性，属中档题．二、解答题（共5小题，满分76分）15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．解答：解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可知A的值，由T=2=2π，可求ω==1，又，且，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式．（2）由，得．从而由再根据二倍角公式即可求值．解答：解：（1）由图可知，A=2，…2分由T=2=2π，故ω==1，所以，f（x）=2sin（x+φ）．…4分又，且，故．于是，f（x）=．…7分（2）由，得．…9分所以，…12分=．…14分．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，c=，a2=b2+3，（，）代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程及离心率；（2）①利用斜率公式，即可求k1k2的值；②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=﹣4y1y2．利用OB2+OC2=，求OB2+OC2的值．解答：解：（1）依题意，c=，a2=b2+3，…2分由，解得b2=1（b2=，不合，舍去），从而a2=4．故所求椭圆方程为：，离心率e=．…5分（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），于是k1k2===．…8分②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=﹣4y1y2．所以（x1x2）2=（﹣4y1y2）2，即（x1x2）2==，所以，=4．…11分又2==，故．所以，OB2+OC2==5．…14分点评：本题考查椭圆方程与性质，考查斜率公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；导数的综合应用；解三角形．分析：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；（2）利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．解答：解：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，，即，…2分所以，，…4分所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．6分（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，所以∠DOE=θ，由CD≤200，得．8分在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．又在△AOE中，，故EF=200cosθ﹣25.10分所以，==，．…12分令，，，，又y=及y=cos2θ在上均为单调递减函数，故f'（θ）在上为单调递减函数．因＞0，故f'（θ）＞0在上恒成立，于是，f（θ）在上为单调递增函数．…14分所以当时，f（θ）有最大值，此时S有最大值为．答：当时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为m2．…16分．点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查利用导数知识解决最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知数列{a n}，{b n}，a1=1，b n=（1﹣），n∈N+，设数列{b n}的前n项和为S n（1）若a n=2n﹣1，求S n（2）是否存在等比数列{a n}，使b n+2=S n对任意n∈N+恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n}的通项公式；若不存在，说明理由（3）若a1≤a2≤…≤a n≤…，求证：0≤S n＜2．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过an=2n﹣1可得bn=，利用等比数列的求和公式计算即可；（2）设an=q n﹣1，通过b n+2=S2，令n=1即b3=b1计算可得q=±1，进而可得结论；（3）通过1=a1≤a2≤…≤an≤…，易得Sn≥0，利用放缩法可得b n≤2（﹣），并项相加即得结论．解答：（1）解：当an=2n﹣1时，bn=（1﹣）•=．∴Sn=（1+++…+）=﹣；（2）结论：满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=（﹣1）n﹣1．证明：在b n+2=S2中，令n=1，得b3=b1．设an=q n﹣1，则bn=，由b3=b1，得=•．若q=±1，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=（﹣1）n﹣1．若q≠±1，则=，即q2 =1，矛盾．综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=（﹣1）n﹣1．（3）证明：∵1=a1≤a2≤…≤an≤…，∴a n＞0，0＜≤1，于是0＜≤1．∴b n=（1﹣）≥0，n=1，2，3，…∴Sn=b1+b2+…+bn≥0，又b n=（1﹣）=（1+）（1﹣）•=（1+）（﹣）•≤2（﹣）．∴Sn=b1+b2+…+bn≤2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴0≤Sn＜2．点评：本题考查求数列的通项，考查求数列的和，利用放缩法及并已改项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．29807 746F 瑯K6V34634 874A 蝊)33741 83CD 菍36143 8D2F 贯234719 879F 螟25342 62FE 拾I340608 9EA0 麠37844 93D4 鏔。

湖北省荆门市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =I （ ） A ．{}1|0x x << B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|0x x >【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =<所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 故选:A 【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.2．已知x ，y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14【答案】D 【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.3．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.4．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．18D ．20【答案】B【解析】【分析】由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）412xx++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）412xx+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案. 【详解】函数F（x）＝f（x）412xx++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）412xx+=--图象在[9,10]-上交点的个数，由f（x）＝f （2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，g（x）44191221242x xx x x++=-==+---，作出函数f（x）与g（x）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F（x）＝f（x）412xx++-在区间[9,10]-上零点的个数为10.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 5．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.6．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ） 变量x 01 2 3 变量y m35.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A【解析】【分析】计算,x y，代入回归方程可得．【详解】由题意01231.54x+++==，3 5.5715.544m my++++==，∴15.52.1 1.50.854m+=⨯+，解得0.9m=．故选：A.【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y．7．若点(3,4)P-是角α的终边上一点，则sin2α=（）A．2425-B．725-C．1625D．85【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得43sin,cos55αα==-，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点(3,4)P-是角α的终边上一点，根据三角函数的定义，可得43 sin,cos55αα==-，则4324sin22sin cos2()5525ααα==⨯⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）A．21250元B．28000元C．29750元D．85000元【答案】A【解析】【分析】根据2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.【详解】因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%所以就医费用8000010%8000⨯=因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，所以2019年的就医费用12750元，而2019年的就医费用占总收人15%所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%=而储畜费用占总收人25%所以储畜费用：850002521250⨯%=故选：A【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.9．已知x,y满足不等式组220210x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y所在区域的面积是( )A．1 B．2 C．54D．45【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =11555224BCD S BD BC ∆=⋅==. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 10．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ；对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=>⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥ D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥【答案】D 【解析】A. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂，故A 错误；B. 若,m αβα⊥⊥，则//m β或m β⊂故B 错误；C. 若//,m ααβ⊥，则//m β或m β⊂，或m 与β相交；D. 若,//m ααβ⊥，则m β⊥，正确. 故选D.2．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A B ．3C D ．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B.3．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.4．已知集合{}1,2,3,,M n =L （*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ） A ．{}1,5 B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的基底定义求解. 【详解】因为11213=-⨯+⨯，21203=⨯+⨯， 30213=⨯+⨯， 41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯， 61313=⨯+⨯，所以{}2,3能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底， 故选：C本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2- B ．2C ．43-D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =， 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-， 代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.6．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围．解：i j a a +Q ，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a或者92a a 是该数列中的项， 又Q 数列{}n a 是递增数列， 1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<，∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+【答案】A 【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为211144834233Vπ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．下列不等式成立的是（）A．11sin cos22>B．11231122⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．112311log log32<D．11331123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于A，124π<<Q，11sin cos22∴<，A错误；对于B，12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭Q在R上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B错误；对于C，1221log log313=>Q，1331log log212=<，112311log log32∴>，C错误；对于D，13y x=Q在R上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D正确.故选：D.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.9．设()11i a bi+=+，其中a，b是实数，则2a bi+=（）A．1 B．2 CD【答案】D【解析】【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b == 则22212125a bi i +=+=+= 故选：D 【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.10．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】a ，b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【详解】令()23=+xf x x ，()32xg x x =+， 作出图象如图，由()23=+x f x x ，()32xg x x =+的图象可知，()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确； (1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.11．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x在上单调递增，当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x =()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 12．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()U A B =I ð（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≥-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的基本运算求解即可． 【详解】解：全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，{}U |1A x x ∴=≥ð则(){}{}{}|1|12|12U A B x x x x x x =-=I I 厔剟?ð， 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省黄石市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数， 所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.2．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ）A ．4-B ．8-C ．4D ．8【答案】B【解析】【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可.【详解】因为(2)x y ax e =+， 所以(2)xy e ax a '=++，故0|22x k y a ='==+=-，解得4a =-，又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =，所以8ab =-，故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．5【答案】B【解析】【分析】 还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

绝密★启用前021届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．复数z 满足zi z=，则复平面上表示复数z 的点位于（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限 C ．实轴 D ．虚轴答案：B设复数()=,z a bi a b R +∈，根据zi z=，求得,a b 的关系判断. 解：设复数()=,z a bi a b R +∈，则()=,z a bi a b R -∈，因为zi z=， 所以a bii a bi-=+，即a bi b ai -=-+， 所以=-a b ，所以在复平面上表示复数z 的点位于第二或第四象限， 故选：B2．“tan θ=”是“sin 22θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A先求解tan θ=，sin 2θ=这两个方程，再由充分条件与必要条件的定义去判断.解：由tan θ=得,3k k Z πθπ=+∈，由sin 2θ=得6k πθπ=+或,3k k Z πθπ=+∈，所以“tan θ=”是“sin 22θ=”的充分不必要条件. 故选：A3．设0.53a =，0.44b =，0.35c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a c b <<答案：C先计算101010,,a b c ，再根据幂函数的单调性比较大小即可. 解：1051041033243,4256,5125ab c ======，所以101010c a b <<，故有c a b <<. 故选：C4．已知正整数7n ≥，若1(1)n x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中不含4x 的项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10答案：B利用二项式定理展开求系数即可. 解：11(1)(1)(1)n nn x x x x x x x=⎛⎫---- -⎪⎝⎭ (1)n x -的展开式的通项为()1kkk n C x - (1)n x x -中4x 的系数为()331n C -1(1)n x x-中4x 的系数为()551n C - 故1(1)n x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的项系数为()()3535110n n C C ---= 故35n n C C =故8n = 故选：B(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 5．从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．23答案：C由古典概型的概率公式，三双不同的鞋子共有6只，共有3620C =种可能，满足条件的有1134=12C C 种可能，进而可得结果.解：三双不同的鞋子共有6只，共有3620C =种，三只鞋子中有两只可以是一双，则可以是三双中的一双，其余一只为剩余4只中任意一只，共有1134=12C C 种，则概率为123205P == 故选：C6．某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．1答案：A如图截面为SMN ，P 为MN 的中点，设(03)=<≤OP x x ，22(1)4=--+SMNS x ，进而可得面积最大值.解：如图所示，截面为SMN ，P 为MN 的中点，设(03)=<≤OP x x2,3,1==∴=SB OB SO ,221,23=+=-SP x MN x 222211123(1)422==+-=--+SMNSMN SP x x x当1x =时，2=SMNS ，此时截面面积最大.故选：A易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.7．过抛物线E ：()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别向E 的准线作垂线，垂足分别为C ，D ，若ACF 与BDF 的面积之比为4，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±1 B ．3± C ．2±D ．22±答案：D由抛物线的定义可得,AC AF BD BF ==，然后由4ACFBDFS S=可得2AF BF =，设()()1122,,,A x y B x y ，直线:2pAB x my =+，然后可得122y y =-，21212,2y y pm y y p +==-，然后求出218m =即可. 解：由抛物线的定义可得,AC AF BD BF == 因为sin sin CAF DBF∠=∠，2211sin ,sin 22ACFBDFS AF CAF S BF DBF =∠=∠，4ACFBDFS S=所以2AF BF =，设()()1122,,,A x y B x y ，直线:2p AB x my =+ 由2AF BF =可得122y y =-联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2220y pmy p --=，所以21212,2y y pm y y p +==-结合122y y =-可得22222,2y pm y p -=-=-，可解得218m =所以直线AB 的斜率为2122m±=± 故选：D8．设函数()()()2sin 10f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：Bt x ωϕ=+，只需要研究1sin 2t 的根的情况，借助于sin y t =和12y =的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围.解：令()0f x =，则()1sin 2x ωϕ+= 令t x ωϕ=+，则1sin 2t则问题转化为sin y t =在区间3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上至少有两个，至少有三个t ，使得1sin 2t，求ω的取值范围. 作出sin y t =和12y =的图像，观察交点个数，可知使得1sin 2t的最短区间长度为2π，最长长度为223ππ+，由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：1643ω≤<. 故选：B研究y=Asin(ωx+φ)+B 的性质通常用换元法（令t x ωϕ=+），转化为研究sin y t =的图像和性质较为方便. 二、多选题9．图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）A ．()UA B ⋂B ．()BABC ．()()UUA B ⋂D ．A BA ⋃答案：ABD根据Ven 图，分U 为全集，B 为全集，AB 为全集时，讨论求解.解：由图知：当U 为全集时，表示集合A 的补集与集合B 的交集， 当B 为全集时，表示A B 的补集，当AB 为全集时，表示A 的补集，故选：ABD10．已知函数2,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨>⎩，则有（ ）A ．存在00x >，使得()00f x x =-B ．存在00x <，使得()200f x x =C ．函数()f x -与()f x 的单调区间和单调性相同D ．若()()12f x f x =且12x x ≠，则120x x +≤ 答案：BC根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出()f x -的解析式，判定()f x -与()f x 的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错. 解：因为2,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨>⎩， 当00x >时，200()f x x =，由()00f x x =-可得020x x =-，解得00x =或1-，显然都不满足00x >，故A 错；当00x <时，00()f x x =-，由()200f x x =可得200x x -=，解得00x =或1-，显然01x =-满足00x <，故B 正确；当0x <时，()f x x =-显然单调递减，即()f x 的减区间为(),0-∞；当0x >时，2()f x x =显然单调递增，即()f x 的增区间为()0,∞+；又22,0,0(),0,0x x x x f x x x x x -<>⎧⎧-==⎨⎨-><⎩⎩，因此()f x -在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；即函数()f x -与()f x 的单调区间和单调性相同，故C 正确； D 选项，若不妨令12x x <，()()1214f x f x ==，则114x =-，212x =，此时12104x x +=>，故D 错； 故选：BC. 关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.11．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +答案：AB对于A ，利用对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.解：对于A ，因为为等差数列，所以=+即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确； 对于D，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键. 12．设函数2()86xx f x ee x =-+，若曲线()yf x =在点()()00,P x f x 处的切线与该曲线恰有一个公共点P ，则选项中满足条件的0x 有（ ） A ．ln 2- B ．ln 2C ．ln 4D ．ln 5答案：BCD讨论当每个选项做为切点时，其切线与()f x 的交点个数即可.解：A选项：切点15,6ln 2l 24n P ⎛⎫--⎝-⎪⎭，切线的斜率为()2ln 2ln 2528l 2n 26f e e --'=-+=- 切线方程为：15715ln 2224y x =--设()()1g x f x y =-，其中()20ln g -= 又()7130ln 2024g =-<，()25715186ln 20224g e e =-+-++> 故()g x 在()0,1内必有一个零点，则()f x 与切线有两个交点，故A 错；B 选项：切点(),6ln ln 1222P -，切线的斜率为()2ln2ln228ln 622f ee '=-+=- 切线方程为：226ln 212y x =-+- 设()()2g xf x y =-，其中()ln 20g =()()()22862,42x x x x g x e e g x e e '''=-++=-()g x '在(),ln 2-∞单调减，在()ln 2,+∞单调增，所以()()ln 20g x g ''≥=恒成立，则()g x 单调增只有一个零点，则()f x 与切线有1交点，故B 正确； C 选项：切点(),6ln ln 1446P -，切线的斜率为()2ln4ln428ln 664f e e '=-+=切线方程为：3616y x =-设()()3g x f x y =-，其中()0ln 4g =()()22824x x x x g x e e e e '=-=-又()ln 40g '=，()g x 在(),ln 4-∞单调减，在()ln 4,+∞单调增，所以()()ln 40g x g ≥=恒成立，则()g x 只有一个零点，则()f x 与切线有1交点，故C 确；D 选项：切点(),6ln ln 1555P -，切线的斜率为()2ln5ln528ln 1656f ee '=-+= 切线方程为：4161510ln 5y x =-- 设()()4g xf x y =-，其中()0ln5g =()228616x x g x e e '=-+-，()ln50g '=，()g x '在(),ln5-∞小于0，在()ln5,+∞大于0，所以()()ln50g x g ≥=恒成立，则()g x 只有一个零点，则()f x 与切线有1交点，故D 正确. 故选：BCD本题的关键在于讨论当每个选项做为切点时，其切线与()f x 的交点个数.三、填空题13．两个单位向量1e ，2e 满足112e e e =+，则21e e -=__________. 答案：3根据112e e e =+，两边平方求得12e e ⋅，再由()22121e e e e -=-求解.解：因为单位向量1e ，2e ,且112e e e =+， 所以22112e e e =+，即1212e e ⋅=-， 所以()22121e e e e -=-，22122123e e e e =-⋅+=故答案为：314．双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，若双曲线E 与圆：()2229x c y a -+=恰有三个公共点，则E 的离心率为___________.答案：2由题意可得圆：()2229x c y a -+=恰好经过双曲线的左顶点，从而得到双曲线的离心率.解：∵双曲线E 与圆：()2229x c y a -+=恰有三个公共点， ∴圆：()2229x c y a -+=恰好经过双曲线的左顶点， ∴3,a a c =+ ∴2ce a==， 故答案为：2方法点睛：求解离心率的常用方法1.利用公式ce a=，直接求e . 2.找等量关系，构造出关于a ，c 的齐次式，转化为关于的方程求解．3.通过取特殊位置或特殊点求解． 4变用公式,整体求出e：以椭圆为例,如利用22222221c a b b e a a a-===-,2222211c e b c b c==++15．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量()~,X B n p ，记()1n kk kk n p C p p -=-，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅.在研究k p 的最大值时，小组同学发现：若()1n p +为正整数，则()1k n p =+时，1k k p p -=，此时这两项概率均为最大值；若()1n p +为非整数，当k 取()1n p +的整数部分，则k p 是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大. 答案：18直接根据X 服从二项分布1~80,6X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合127(1)8113.562k n p =+=⨯==取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.解：继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数X 服从二项分布1~80,6X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由127(1)8113.562k n p =+=⨯==，结合题中结论可知，13k =时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18.16．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六边形作为基底，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成.若某个正六角反棱柱各棱长均为1，则其外接球的表面积为___________.答案：(33π+根据题中所给的条件，分析图中点、面之间的关系，判断出外接球球心所处的位置，列出等量关系，求得半径，进而求得球的表面积.解：根据题意，其上下底面为全等的正六边形，且是错开的，所以侧面才会形成12个棱长为1的正三角形， 如图，为上下底面在下底面形成的投影，且31,OA OB ==31AB =-， 过侧面任一三角形上顶点做底面垂线，设垂足为A ，设d 为上下底面距离， 则有22233(131d =-=， 设球的半径为R ，则有222231331()112444d d R =+=+=+=， 所以其外接球的表面积为24(33)S R ππ==+， 故答案为：(33π+.关键点点睛：该题考查的是有关几何体外接球的表面积的求解问题，在解题的过程中，分析得出几何体外接球球心的位置以及放到相应三角形中来求解是正确解题的关键. 四、解答题17．已知公比不为1的等比数列{}n a 满足135a a +=，且1a ，3a ，2a 构成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为{}n a 的前n 项和，求使238k S >成立的最大正整数k . 答案：（Ⅰ）1142n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）3.（Ⅰ）依题意转为等比数列基本量计算即可求得首项与公比，则通项可得； （Ⅱ）利用公式求和并结合不等式解得k 范围即可得最值.解：（Ⅰ）由题意1232a a a +=，∴()21120a q q +-=，∴12q =-或1（舍）. 又∵135a a +=，∴()2115a q +=，∴14a =.∴1142n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）141281113212n nn S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭. ∵238k S >，∴81231328k ⎡⎤⎛⎫-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴51642k⎛⎫<-- ⎪⎝⎭. 显然，k 为奇数，即15264k⎛⎫> ⎪⎝⎭.解得3k ≤.所以满足条件的最大正整数k 为3.掌握等比数列的通项公式与求和公式是本题的解题关键.18．在ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b =. （Ⅰ）若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积； （Ⅱ）试问111a c+=能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由. 答案：（Ⅱ）不能成立，理由见解析. （Ⅰ）由于3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-，得1sin sin 6A C =，结合正弦定理与面积公式可得结果； （Ⅱ）假设111a c+=能成立，得a c ac +=，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-可得3ac =，结合基本不等式判断即可. 解：（Ⅰ）由23B π=，得3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-， 即1cos cos sin sin 2A C A C =-. 又∵2cos cos 3A C =，∴1sin sin 6A C =.∵sin sin a cA C===a A =，c C =.∴1sin 4sin sin sin 2ABC S A C B A B C =⋅⋅⋅=△146=⨯=.（Ⅱ）假设111a c+=能成立，∴a c ac +=. 由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，∴226a c ac =++.∴2()6a c ac +-=，∴2()60ac ac --=，∴3ac =或-2（舍），此时3a c ac +==. 不满足2a c ac +≥，∴111a c+=不成立. 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.19．如图，四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，//AB CD ，1AB =，2CD =，M 为棱PC 上一点.（1）若BM CD ⊥，证明：//BM 平面PAD ；（2）若2PA PD AD ===，且//PA 平面BMD ，求直线PC 与平面BMD 所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（236. （1）取CD 中点N ，连接MN 和BN ，推导出CD ⊥平面BMN ，可得出平面//BMN 平面PAD ，再利用面面平行的性质可得出//BM 平面PAD ；（2）取AD 中点O ，作//OQ AB 交BC 于Q ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OQ 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PC 与平面BMD 所成角的正弦值. 解：（1）取CD 中点N ，连接MN 和BN ，//AB CD ，2CD AB =，且N 为CD 的中点，//AB DN ∴且AB DN =，所以，四边形ABND 为平行四边形，则//BN AD . 又CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，CD AD ∴⊥，//BN AD ，CD BN ∴⊥.又CD BM ⊥，BN BM B ⋂=，CD 平面BMN .又CD ⊥平面APD ，∴平面//BMN 平面PAD ，BM ⊂平面BMN ，//BM ∴平面PAD ；（2）取AD 中点O ，作//OQ AB 交BC 于Q ，连接PO ，PA PD =，PO AD ∴⊥，CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，CD PO ∴⊥， 又CDAD D =，PO ∴⊥平面ABCD .CD AD ⊥，////OQ AB CD ，OQ AD ∴⊥，以O 为坐标原点，OA 、OQ 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，()1,0,0A 、()1,0,0D -、()1,1,0B 、()1,2,0C -、(3P .设平面BMD 的法向量(),,n x y z =，(1,0,3PA ∴=-，()2,1,0DB =.由//PA 平面BMD ，得3020PA n x z DB n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =3y =-1z =，则()3,23,1n =-.(1,2,3PC =--，36cos ,8n PC n PC n PC⋅∴<>==-⋅. 因此，直线PC 和平面BMD 所成角正弦值为368. 方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos,a nθ=<>.20．在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；（Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表：是否佩戴头盔年龄是否[)20,40[]40,70（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，答案：（Ⅰ）39；（Ⅱ）列联表见解析；（Ⅲ）没有把握. （Ⅰ）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.. （Ⅱ）根据统计表完成列联表.（Ⅲ）根据列联表，利用公式求得2K 的值，然后与临界值表对照下结论. 解：（Ⅰ）该市电动自行车骑行人员平均年龄为250.25350.35450.2550.15650.0539⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）（Ⅲ）221000(6054060340)125 5.682 6.63560040088012022K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故而没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.答案：（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）29t =-或103t =.（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，将点24,33P ⎛⎫⎪⎝⎭代入方程可得22b =则方程可求；（Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理得1212,y y y y +，再联立AP 方程得M 同理得N 坐标，结合MD ND ⊥恒成立得1MD ND k k ⋅=-，化简计算可得参数t 值.解：（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b +=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=.（Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立. 得()224322039m m y y ++-=. 设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.①此时直线AP 方程为11(2)2y yxx ，与x t =联立.得点11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理，点22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.由MD ND ⊥，1MD ND k k ⋅=-.即()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 将①代入得：()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.化简得：()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭.即222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭.解得29t =-或103t =.解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．已知函数()()1ln x af x x ex -=--.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立. 答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析. （Ⅰ）1a =时，1()(1)ln x f x x ex -=--，求导1)1(x xe xf x -'=-，利用导函数研究函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）要证当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立，即证(1)ln ln 0x ax e x a ----≥，构造函数()(1)ln ln x ah a x ex a -=---，即证()0h a ≥恒成立，研究该函数在(0,)+∞上单调区间，求函数()0h a ≥. 解：（Ⅰ）1a =时，1()(1)ln x f x x e x -=--，定义域为(0,)+∞，求导1)1(x xex f x -'=-，设()()g x f x '=， 121(1)0()x g x x e x-+=+'>，()f x '∴在(0,)+∞单调递增.又()10f '=，故当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴单调递减；当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增.故()f x 在1x =处取得最小值()10f =. （Ⅱ）设()(1)ln ln x a h a x e x a-=---，求导()(1)11(1)x a xaa x e e x e e a e h a a '⎡⎤-=-=--⎢⎥⎣⎦. 设()()1xs x x e =-，()xe t x x=，()0x s x xe '=-<，∴0x >时，()s x 单调递减，()()01s x s <=.21()xx t x e x-'=，令()0t x '=，得1x =， 当01x <<时，()0t x '<，()t x 单调递减；当1x >时，()0t x '>，()t x 单调递增，()()1t x t e ∴≥=，故0a >，0x >时，()11axe x e e a-<<≤.即()0h a '<，()h a ∴在(0,)+∞上单调递减，则01a <≤时，()()()111ln x h a h x e x -≥=--.由（Ⅰ）知，()11ln 0x x e x ---≥，故01a <≤时，()0h a ≥.即()1ln ln x ax ex a ---≥恒成立.方法点睛：本题考查利用导数研究函数的最小值及利用导数证明不等式，利用导数证明不等式的方法：证明()()),,(f x g x x a b <∈，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <．。