沪科版-数学-八年级上册-走进“平面直角坐标系”

八年级上册数学知识汇总(HK)第十一章平面直角坐标系1、定义：在平面内由两条互相垂直且共原点的数轴组成，水平的数轴叫做x轴或横轴，取右为正，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取上为正. y(1)x轴上坐标（x,0）； (－,＋) (＋,＋)(2)y轴上坐标（0,y）； O x(3)原点坐标（0，0）. (－,－) (＋,－)2、对称问题： x轴P1 (a,－b)P(a,b)关于 y轴的对称点P2 (－a,b)原点3 (－a,－b)口诀：关于谁对称，谁不变，另一个互反.3.距离问题：(1) P(a,b)到x轴的距离是︱b︱；(2) P(a,b)到y轴的距离是︱a︱；(3) P(a,b)到原点的距离是√a2＋b2；(4)A、B中点公式：A(x1，y1)、B(x2，y2) P( x1＋x22，y1＋y22)；(5)A(x1，y1)、B(x2，y2)距离公式:AB=√(x1－x2)2＋(y1－y2)2(6)象限角平分线：P（a，a）在一三象限角平分线上，P（a，－a）在二四象限角平分线上.4.平行（或垂直）问题：A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)AB∥x轴(或⊥y轴) 1=y2且x1≠x2同时AB=︱x1－x2︱；(2)AB∥y轴(或⊥x轴) 1=x2且y1≠y2同时AB=︱y1－y2︱.第十一章一次函数1.函数的表示方法：列表、图象（列表、描点、平滑线）、解析法.2.函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x,y.如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.(1)x,y为代表，其它字母均可；(2)每一个x有唯一的y与之对应，但一个y可能有多个x与之对应；y y ···x , x1x n(3)函数图象的判定：若移动y轴时，与图象始终有唯一的交点，则图象为函数图象.3.函数自变量（x）的取值范围：(1)整式型，x∈R；(2)分式型（或负指数），分母不为零（非字母）；(3)二次根式型，被开方数≥0（非字母）；(4)复合型，列不等式求解集；(5)实际问题型，符合客观解.4.常见函数的图象：(1)一次函数y=kx＋b：直线；(2)二次函数y=a x2＋bx＋c：抛物线；5.一次函数的定义：形如y=kx＋b（k≠0）的函数，当b=0时，y=kx叫做正比例函数.(1)k、b的几何意义：斜率k决定直线倾斜方向与程度；截距b：直线与y轴交点的y坐标；(2)正比例函数图象与性质：y yx xk＞0 k＜0性质：①图象经过（0，0）与（1，k）；②当k＞0时，经过一、三象限，直线增而增（或减而减），当k＜0时，经过二、四象限，直线增而减（或减而增）；③︱k︱越大，直线越陡（靠近y轴）；(3)一次函数图象与性质：y y y yx x x x①②③④①k＞0,b＞0 二三②k＞0,b＜0 一三四③k＜0,b＞0 二四④k＜0,b＜0 二三四(4)一次函数的移动：上下移动直接改变b,左右移动要数学结合（或用点截式截解析式）；6.待定系数法：一设二代三求四写,具体如下：(1)两点式；(2)点斜式；(3)点截式；(4)斜截式；(5)求k公式：k=△y△x ＝y1－y2x1－x2＝y2－y1x2－x1(6)2.5坐标策略（斜率法）.7.分段函数：先求每个x取值范围的分函数，后合并.(1)一般步骤：求分函数合成画图（或求自变量）给x求y 给y求x；(2)拐点的作用：作图时，承上启下；代指时，对应范围求值.8.优化方案：(1)先求y1与y2；(2)在利用数形结合或作差法选择方案.8.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系（数形结合）锁定形而求形的范围：x轴上方：kx＋b＞0；x轴相交：kx＋b＝0；x轴下方：kx＋b＜0.9.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)二元一次方程的解可转化为有序实数对，取两点可得对应直线.l1: y1＝k1x＋b1①k1≠k2有唯一交点（k1·k2＝－1）(2)k与b的作用：②k1﹦k2, b1﹦b2重合l2: y2＝k2x＋b2③k1﹦k2, b1≠b2平行第十三章三角形的边角关系、命题与证明1.三角形的定义、元素、表示、分类(边角都是两类)、性质等.2.边的性质：两角之和大于第三边，两角之差小于第三边.(1)三角形的存在：a小＋a中＞a大；(2)给定a,b求第三边x的范围：∣a－b∣＜x＜∣a＋b∣(3)等腰三角形：2腰＞底3.等腰三角形（以底或以角）易产生双解，几何体不给图也易产生双解.4.角的性质：三角形的内角和为180°，外角和为360°（性质定理）.(1)RT△的两锐角互余（性质定理）；(2)两锐角互余的三角形是RT△（判定定理）；(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角（性质定理）；5.直角三角形的判定方法：(1)求出最大角为90°；(2)两角之和等于第三个角（可以是比例）；(3)两角之差等于第三个角（可以是比例）；6.三角形特殊线段三角形特殊线段项目结论类别图形条数交点作用特殊角角平分线三内内部(内心I) 角平分线三段论1.二分角(1)ɑ內内＝90°＋∠A2(1)ɑ內外＝∠A2(1)ɑ外外＝90°－∠A2中线三内内部（重心G）1.中线三段论2.等面积3.等积变换高线锐角三角形三内内部（垂心H）1.直角（90°）2.高3.等积变换直角三角形两边一内直角顶点 2.高平角ɑ高平＝∣∠B－∠C∣2钝角三角形两外一内外部（靠钝）3.高高角ɑ高高＝180°－∠A7.命题的定义：(1)分类：公理（基本事实）、定理、推理、（习题的结论）；(2)元素：条件（p）与结论（q）；(3)互逆.第十四章全等三角形1.定义：能够重合的两个三角形；2.记作:△ABC≌△A1B1C1；3.对应元素：对应顶点、对应角、对应边；4.性质：（1）对应角相等，（2）对应边相等，（3）对应周长、面积相等，（4）对应角平分线、中线、高线相等；5.判定定理：① AAA 假反例：一大一小的等边三角形；② ASA 真公理尺规作图（1）一般三角形的判定③ AAS 真定理由②推理④ SAS 真公理尺规作图 A(A 1)⑤ ASS 假反例： B(B 1)⑥ SSS 真公理尺规作图 C 1 C(2)直角三角形的判定（4＋1）：HL（尺规作图）.6.三角形全等的证明思路（求角与边，可能联想证明；求高时可能使用等积变换公式）：①找夹角：S A S三 (1)已知两边对应相等②找一边：SS S角③找直角：HL形 (2)已知一边一角对应相等①找一角：A A S或AS A全②找一边：SA S等 (3)已知两角对应相等①找夹边：A S A②找一边:AA S7.证明的格式（易：一次证明；较难：两次证明）：(1)准备：根据策略找足条件···(2)正文：在△ABC与△A1B1C1中···(3)结论与应用：△ABC≌△A1B1C1···第十五章轴对称图形与等腰三角形1.轴对称与轴对称图形的异同点：(1)构成：两个图象关于对称轴（2＋1）是对称的（adj）, 轴对称图形(1)是n；(2)图象:A l A1 AB C 1 B1 B C△ABC与△A1B1C1关于直线l是对称的等腰三角形ABC是一个轴对称图形（常见的有角、线段、长方形等）2.线段的垂直平分线（中垂线）的定义：(1)画法（尺规作图,理由：先SSS后SAS）；(2)性质定理：线段垂直平分线的点到线段两端的距离相等（理由：先SSS后SAS）；(3)判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（理由：先SSS后SAS）.3.等腰三角形：有条边相等的三角形（即AB＝AC 等腰三角形ABC）.(1)性质：①两底角相等；②两腰相等；③轴对称图形；④顶角三线合一；(2)判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两边相等的三角形是等腰三角形；4.等边三角形：三边都相等的三角形（即AB＝BC＝CA ABC）.(1)性质：①三边相等；②三角相等；③轴对称图形（有3条对称轴）；(2)判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角为60°的等腰三角形；(3)（直角三角形的一个）定理：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；5.角的平分线：(1)画法（尺规作图，理由：SSS）；(2)性质性质：角平分线上的点到角的两边距离相等（理由：AAS）；(3)判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上（理由：HL）.6.过已知点作已知直线的垂线(尺规作图)：(1)点在线外；(2)点在线上.。

第11章 平面直角坐标系一、确定平面上物体的位置1、有序实数对：有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，． 【注意】当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2、首先把物体所在的平面分成若干列和若干行，然后用列数和行数组成一个有序数对，表示平面上物体的位置．3、方位角：从某个参照点看物体，视线与正北（或正南）方向射线的夹角称为方位角．4、首先在平面内确定一个点作为参照点，然后用由此点测得的物体的方位角和物体到此点的距离来表示该物体的位置．二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系：在平面内有两条公互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．2、象限：x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．【注意】①两条坐标轴不属于任何一个象限．②如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．3、点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，． 【注意】①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．②横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．4、坐标平面内特殊点的坐标特征（1）各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，； 点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，； 点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，； 点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，． （2）坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数； 点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数； 点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，． （3）两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =；点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=． （4）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．（5）坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，． 5、用坐标表示距离（1）点()P x y ，到x 轴的距离是y ；点(,)P x y 到直线y m =的距离是y m -； （2）点()P x y ，到y 轴的距离是x ；点(,)P x y 到直线x n =的距离是x n -；（3）点()P x y ，()111P x y ，到点()222P x y ，的距离12PP 【注意】特别地，当12P P 平行于x 轴时，1212PP x x =-；当12P P 平行于y 轴时，1212PP y y =-．三、坐标与图形的位置1、利用平面直角坐标系，既可以表示图形的位置，也可以描述图形的形状．2、建立平面直角坐标系的方法很多，在不同的平面直角坐标系中，同一个图形的顶点坐标也不同，应根据具体情况建立适当的平面直角坐标系．四、坐标与图形的变化1、点的平移将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，； 将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位，可得对应点()x y b +，或()x y b -，． 2、关于x 轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴成轴对称的两个图形，各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．3、将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k （或()11k k >），所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k 倍（或缩小到原来的()11k k >），且连接各对应顶点的直线相交于一点．。

教学目标：【知识目标】1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。

2、认识并能画出平面直角坐标系。

3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。

【能力目标】1、通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展学生的数形结合、合作交流意识。

2、通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力。

【情感目标】由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。

教学重点：1、理解平面直角坐标系的有关知识。

2、在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标。

3、由点的坐标观察，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点。

教学难点：1、横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究。

2、坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。

教学过程设计：一、导入新课1、新的学期开始，我们已经是八年级的学生了，老师为同学们的成长感到骄傲。

同学们，你们会怎么向你们的爸爸妈妈介绍你新学期在教室中的座位呢？2、老师下面与大家做个游戏，我描述出现在教室里大家的座位，请在这些座位上的同学迅速站起来，让我们看看哪些同学反应更快。

第二排第三列、第五排第一列、第七排第四列----这样说挺麻烦的，我们规定2、3表示第二排第三列，再试试！5、6； 4、7； 2、6.3、同学们还能举出生活中类似这样描述位置的例子吗？（地图上找某个城市的位置，书架上找某本书的位置，同学们的课程表，看电影找座位，GPS导航系统……）--------板书课题：12.1 平面上点的坐标二、问题探讨问题1.你能描述吴小明和王建的位置吗？ 5、2和3、5；（规定行前、列后）能否将它们的位置描述为2、5；5、3？为什么？------有顺序、两个数A B C D E F 1yx G（有序数对）问题2.我们在七年级学习了数轴，我们知道数轴上任一点都表示一个实数，并且数轴上的点与实数是一一对应关系。

2、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。

【能力目标】根据已知条件有不同的解决问题的方式，灵活地选取既简便又易懂的方法求解是本节课的重点，通过多角度的探索既可以拓宽学生的思维，又可以从中找到解决问题的捷径，让学生的解决问题的能力得以提高。

【情感目标】1、通过学习建立直角坐标系有多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造。

2、通过确定旅游景点的位置，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣。

教学重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。

教学难点：根据已知条件，建立适当的坐标系。

教具准备：方格纸若干张。

教学过程设计：一、创设问题情境，引入新课 同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图，要研究这样的问题，首先跟老师来看一个正方形：二、探索新知1. 老师在黑板上画一个边长为4的正方形，它的四个点坐标是多少呢？和同学们一起讨论一下！能找到多少种方法？2.如图，矩形ABCD 的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

用大家刚才找到的方法解决这个问题吧！ 看看谁的方法更简单！一、随堂练习1. P 8 12.（补充）某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市A 、B 、C 、D 附近新建机场E ，试建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标。

4 6ECDB页习题12.1 2\4 1.书P82.基础训练DCAB EDCBEDCEDCAB EDCB ED。

沪科版八年级上册数学第11章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系中，点(-7,-2m+1)在第三象限，则m的取值范围是（）A. B. C. D.2、在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a（a ＞1），那么所得的图案与原图案相比（）A.形状不变，大小扩大到原来的a倍B.图案向右平移了a个单位长度 C.图案向左平移了a个单位长度，并且向下平移了a个单位长度 D.图案向右平移了a个单位长度，并且向上平移了a个单位长度3、在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、如图，小手盖住的点的坐标可能为( )A.（-4，-6）B.（-6，3）C.（5，2）D.（3，-4）5、将A（1，1）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点B，则点B的坐标是（）A.（－1，－1）B.（3，3）C.（0，0）D.（－1，3）6、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）A.4个B.5个C.6个D.8个7、在平面直角坐标系中，点M（﹣6，4）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8、已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2007的值为（）A.1B.﹣1C.7 2007D.﹣7 20079、如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A.45°B.60°C.65°D.70°的坐标为（4，5），那么点P坐标是10、如果点P关于x轴的对称点P1（）A.（﹣5，﹣4）B.（4，﹣5）C.（﹣4，﹣5）D.（﹣4，5）11、在平面直角坐标系中，点（4，-5）关于x轴对称点的坐标为（）A.（4，5）B.（-4，-5）C.（-4，5）D.（5，4）12、若点A(1+m,2)和点B(-3,1-n)关于y轴对称，则的值为（）A.-5B.-3C.1D.313、如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，则这四个点组成的四边形ABB′A′的面积是（）A.4B.6C.9D.1314、直角坐标系中,点A(-3，4)与点B(-3，-4)关于（）A.原点中心对称B.y轴轴对称C.x轴轴对称D.以上都不对15、如图，点，，，在上，是的一条弦，则（）.A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+cosα=________．17、如图，∠C=90°，CB=CO，且点B坐标为（-2，0），则点C坐标为________．18、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，)，以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A′，则点A′坐标为________．19、已知点M（2a﹣b，2b），点N（3，a）关于y轴对称，则a+b=________．20、在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，抛物线与x轴交与A,B 两点（点A在点B的左侧），与y轴相交与点C，如果点Ｍ在ｙ轴右侧的抛物线上，S△AMO =S△COB，那么点Ｍ的坐标是________ 。