《高中数学：直线的两点式、截距式方程-王禾》进阶练习(二)

第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。

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2。

1.2 第二课时直线方程的两点式和一般式[学业水平训练］1.过（2,5)和（2，－5）两点的直线方程是( )A．x＝5 B．y＝2C．x＋y＝2 D．x＝2解析：选D。

因为点（2,5）和（2，－5)横坐标相同，因此过（2，5）和(2，－5）两点的直线方程为x＝2.错误!直线－错误!＋错误!＝－1在x轴,y轴上的截距分别为( ）A．2，3 B．－2,3C．－2，－3 D．2,－3解析:选D.由－错误!＋错误!＝－1得错误!＋错误!＝1，则在x轴，y轴上的截距分别为2,－3.3.直线(m＋2)x＋（m2－2m－3）y＝2m在x轴上的截距是3，则实数m的值是( )A。

错误!B．6C．－错误!D．－6解析：选D.令y＝0，则x＝错误!，由2mm＋2＝3，解得m＝－6。

错误!直线x＋y－1＝0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．135°D．30°解析：选C。

由x＋y－1＝0得直线的斜率为k＝－1，则倾斜角为135°.错误!直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0）的图像只可能是( ）解析：选B。

直线的两点式方程与截距式方程一、知识梳理知识点一：直线方程的两点式思考1：已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案：y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.思考2：过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 结论梳理：思考1：过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案：能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2：已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案：由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，即x a ＋yb ＝1.结论梳理： 类型一：直线的两点式方程1、过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为x-y ＋3=02、经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为y ＝23、已知点A (3,2)，B (－1,4)，则过点C (2,5)且过线段AB 的中点的直线方程为2x －y ＋1＝04、过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是－325、已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN所在直线方程为2x ＋y －8＝06、已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__327、若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝－2 8、在△ABC 中，已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 答案：(1) 2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2) 10x ＋11y ＋8＝0. 类型二：直线方程的截距式1、直线x －2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为－2，－32、直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是－b 23、过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是x 2＋y3＝14、直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为－15、过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x －y ＋1＝0或3x －2y ＝06、已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l 的方程为 答案：0632022=-+=-+y x y x 或7、过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是___ 答案：x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08、过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为x ＝3，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为___答案：y ＝－29、已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为x －3y ＋24＝010、已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为___答案： 6x －y ＋12＝0 类型三：直线图像识别1、如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb ＝1，则有 ( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <02、两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( A )3、两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个 ( B )4、已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( D )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0C ．若c ＜0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b ＞0 5、直线x a ＋yb＝1过第一、二、三象限，则( C )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0 类型四：判断直线的条数1、过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条，方程为：023=-y x 、05-=+y x2、过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有2条方程为：043=+y x 、01-=+y x3、过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条，方程为：03=+y x 、02-=+y x 、04--=y x 、4、经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为 答案：x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 类型五：与三角形有关的直线方程1、已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为±22、过点P (1,3)且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是3x ＋y －6＝03、斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是3或－34、直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( D )A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |5、求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程． 答案： 8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 类型六：直线方程的简单应用1、平面直角坐标系中，直线x ＋3y ＋2＝032、已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 答案：点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)， 截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4， 一般式方程：3x －y －4＝0.3、若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( A )A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜0 4、直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是15x －3y －7＝0 5、光线从A (－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点 C (1，6)，则BC 所在直线的方程为5x －2y ＋7＝0 6、求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 答案：（1）y ＝43x ±3；（2）当m ≠1时，直线l 的方程是y ＝1m －1(x －1)；当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.(3) x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .7、设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 答案：(1) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1，故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．8、(选做题)如图所示，已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程． 解：设A (a ，0)，B (0，b )，显然a >3，b >2， 则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，因为P (3，2)在直线l 上，所以3a ＋2b ＝1，于是b ＝2aa －3，所以S △AOB ＝12ab ＝a 2a －3，整理得a 2－S △AOB ·a ＋3S △AOB ＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S 2△AOB －12S △AOB ≥0，又因为S △AOB >0，所以S △AOB ≥12，S △AOB 最小值＝12．将S △AOB ＝12代入(*)式，得a 2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4． 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0．。

拓展延伸应用点一 两点式方程【例1】求经过点A (2，1)与B (6，－2)的直线的方程．思路分析：利用直线的两点式方程求解．解：因为直线过点A (2，1)，B (6，－2)，所以直线的两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2，即3x ＋4y －10＝0.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)．求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．应用点二 截距式方程【例2】已知直线l 过点P (－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．思路分析：关键是求出斜率k 或求出直线在两坐标轴上的截距，即寻找关于k 的方程或两截距的方程组．解：方法一：显然，直线l 与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪3k ＋2＝4，即(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝8，则整理得4k 2＋4k ＋9＝0，无解；若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝－8，则整理得4k 2＋20k ＋9＝0，解之，得k ＝－12，k ＝－92. ∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)或y －3＝－92(x ＋2)， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.方法二：显然，直线在两坐标轴上的截距均不为零．设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵点P (－2，3)在直线上，∴－2a ＋3b ＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4，∴12|a |·|b |＝4，即|a |·|b |＝8.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －2b ＝8，ab ＝8，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝－8，ab ＝－8. 解(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－43，b ＝－6，且方程组(2)无解．∴所求直线的方程为x 4＋y 2＝1或x －43＋y －6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．应用点三 一般式方程【例3】已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，求直线的方程．思路分析：利用斜率－A B＝5和已知式子求出B ，C 的关系，代入直线方程消去未知系数．解：方法一：∵直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，∴B ≠0，且－A B＝5，即A ＝－5B ．① 又∵A －2B ＋3C ＝0，②由①②得，－5B －2B ＋3C ＝0，∴C ＝73B ．③ 把①③代入直线方程，得－5Bx ＋By ＋73B ＝0. 又∵B ≠0，∴－5x ＋y ＋73＝0. 故所求直线方程为15x －3y －7＝0.方法二：∵A －2B ＋3C ＝0，∴A ·13＋B ·⎝⎛⎭⎫－23＋C ＝0， ∴直线经过点⎝⎛⎭⎫13，－23. 又∵斜率为5，∴所求直线方程为y ＋23＝5⎝⎛⎭⎫x －13， 即15x －3y －7＝0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值．(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.迁移1.解：过B (3，－3)，C (0，2)的直线的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0.整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3＋02，－3＋22，即⎝⎛⎭⎫32，－12.过A (－5，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，－12的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5.整理得12x ＋132y ＋52＝0，即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上的中线所在直线的方程．迁移2.解：由题意可知，直线l 在x 轴，y 轴上的截距都不为0，设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以设直线l 的方程为x a ＋y 6－a＝1.因为点(1，2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1.即a 2－5a ＋6＝0，解得a 1＝2，a 2＝3.当a ＝2时，直线方程为x 2＋y 4＝1，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线方程为x 3＋y 3＝1，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.迁移3.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3.② 由②解得m ＝3或m ＝－53. 分别代入①检验可知m ＝－53. (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④ 由④解得m ＝－1或m ＝－2.分别代入③检验得m ＝－2.。

练习2：课本第41页 2
例1、三角形的顶点是 A(-5, 0), B(3,-3), C(0, 2), 求这个三角形三边所在直线的方 程。
例2、菱形的对角线长分别为8和6，并 且分别位于x 轴和 y轴上，求菱形的各 边所在直线的方程。
例3、过点P(-5,4)的直线L与x轴、y轴分别
交于A、B两点，且P分有向线段 AB
的比是2，求L的方程。
例4、求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上 的截距相等的直线的方程。
变题1：上题中改为求截距的绝对值相 等的直线方程，结果如何？ 变题2：求过点P(2, 3)，并且在x轴上的 截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程。
例5、求过点P( 2, 1)的直线与两坐标轴正 半轴所围成的三角形的面积最小时的直 线方程
（2）截距式： x y 1 ab
注意：两种形式方程的适用范围。
直线的两点式、截距式方程
北师大版必修2第二章
§7.1 直线的方程（2） 一、复习
1、什么是直线的点斜式方程？ 2、求分别过以下两点直线的方程 (1)A(8, -1) B (-2 , 4) (2) C (x1, y1) D (x2 ,y2) (x1≠x2, y1≠y2)
二、新课
1、直线方程的两点式
练习3： 1、直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面 积是___________; 2、已知一直线在x轴上的截距比在y轴上的截 距大1，并且经过点P (6, -2),求此直线的方程。
§7.1 直线的方程（2） 小结：
（1）两点式： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并
且x1≠x2，则它的斜率
k y2 y1 x2 x1

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内：已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点：会求直线的方程：给出直线的点斜式方程：能观察直线的斜率和直线经过的定点：能化直线方程成截距式：并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡：训练学生由一般到特殊的处理问题方法：通过直线的方程特征观察直线的位置特征：培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况：截距式方程是两点式方程的特殊情况：教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后：说明得到的就是直线的方程：即直线上每个点的坐标都是方程的解：反过来：以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程：但化为y-y1=k(x-x1)后：点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k：并且经过点P1(x1：y1)：直线是确定的：也就是可求的：怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x：y)是直线l上不同于P1的任意一点：根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)：因此：点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上：方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程：可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解：对上面的过程逆推：可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上：所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的：叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)：k=0：直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)：直线的斜率不存在：它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1：所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b：斜率为b：求直线的方程．这个问题：相当于给出了直线上一点(0：b)及直线的斜率k：求直线的方程：是点斜式方程的特殊情况：代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时：斜截式方程就是直线的表示形式：这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1：y1)、P2(x2：y2)：(x1≠x2)：直线的位置是确定的：也就是直线的方程是可求的：请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时：为了便于记忆：我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的：叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线：当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时：可直接写出方程：(2)要记住两点式方程：只要记住左边就行了：右边可由左边见y就用x代换得到：足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0：b≠0)：求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题：由学生自己完成．解：因为直线l过A(a：0)和B(0：b)两点：将这两点的坐标代入两点式：得就是学生也可能用先求斜率：然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的：叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距：可以直接代入截距式求直线的方程：(2)将直线的方程化为截距式后：可以观察出直线在x轴和y轴上的截距：这一点常被用来作图：(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5：0)、B(3：-3)、C(0：2)(图1-27)：求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到：为简化计算：我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的：要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．练习第1题)写出下列直线的点斜式方程：并画出图形：(1)经过点A(2：5)：斜率是4：(4)经过点D(0：3)：倾斜角是0°：(5)经过点E(4：-2)：倾斜角是120°．解：2．练习第2题)已知下列直线的点斜方程：试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1：2)：k=1：α=45°：(3)(1：-3)：k=-1：α=135°：3．练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°：y轴上的截距是3．4．练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程：再化成截距式方程：并根据截距式方程作图．(1)P1(2：1)、P2(0：-3)：(2)A(0：5)、B(5：0)：(3)C(-4：-3)、D(-2：-1)．解：(图略)六、板书设计。

第21课时 直线的两点式方程课时目标1.能识记和描述两点式方程及其使用X 围．2．能识记和描述截距式方程及其使用X 围．3．能应用两点式和截距式公式求直线方程．识记强化 1．我们把经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中的x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0或x ＝x 1.当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0或y ＝y 1.2．我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．课时作业一、选择题(每个5分，共30分) 1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( )A.y ＋11＋1＝x B.y －1－1＝x －1－1 C.y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x 答案：A解析：由直线的两点式方程，得y －－11－－1＝x －01－0，整理得y ＋11＋1＝x ，选A. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C．b2 D．±b 答案：B解析：令x＝0，得y＝－b2，即直线xa2－yb2＝1与y轴的交点是(0，－b2)，所以该直线在y轴上的截距是－b2.3．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )A．20千克 B．25千克C．30千克 D．80千克答案：C解析：由图知点A(60,6)，B(80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB的方程是y－610－6＝x－6080－60，即y＝15x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克行李．4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A．y＝－3x－4 B．y＝3x－4C．y＝3x＋4 D．y＝－3x＋4答案：A解析：因为A(1,3)，B(－5,1)，所以线段AB的中点坐标为(－2,2)，直线AB的斜率为3－11－－5＝13，所以线段AB的中垂线的斜率为－3，所以以A，B为端点的线段的垂直平分线的方程是y－2＝－3(x＋2)，即y＝－3x－4，选A.5．经过点(2,0)，且与坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程为( )A.x3±y2＝1 B.x6±y3＝1C.x2±y3＝1 D.x2±y6＝1答案：C令y ＝0，则x ＝1m ，所以S ＝12·|1n |·|1m |＝12|mn |. 三、解答题10．(12分)已知直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以直线l 的方程为x a ＋y 6－a ＝1.因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a＝1，a 2－5a ＋6＝0，解得a ＝2或a ＝3. 当a ＝2时，直线的方程为x 2＋y 4＝1，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x 3＋y 3＝1，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.11．(13分)已知直线l 经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．解：当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上的截距均等于0，符合题意．又直线l 过点(7,1)，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0. 当直线l 不经过原点时，设其方程为x a ＋y b ＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，② 由①②，得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0. 故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0.能力提升12．(5分)直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的X 围是( )A ．k ≥－1B ．k ≤1C ．－1≤k ≤1且k ≠0D ．k ≤－1或k ≥1答案：C解析：令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，得x ＝－2k .∴三角形的面积S ＝12|xy |＝k 2 又S ≤1，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1.又k ＝0不合题意，∴－1≤k <0或0<k ≤1.13．(15分)一条直线从点A (3,2)出发，经过x 轴反射，通过点B (－1,6)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．解：点A (3,2)关于x 轴的对称点A ′(3，－2)，由两点式可得直线A ′B 的方程为 y －－26－－2＝x －3－1－3，整理得2x ＋y －4＝0；点B 关于x 轴的对称点B ′(－1，－6)，由两点式得直线AB ′方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，整理得2x －y －4＝0. 即入射光线所在的直线方程为2x －y －4＝0；反射光线所在的直线方程为2x ＋y －4＝0.。

y0 xa b0 0a
思考2:直线l的方程可化为 其中a，b的几何意义如何？
x y 1， a b
方程
x y 1叫做直线的截距式方程， a b
思考3:过原点的直线方程能用截
距式表示吗？
思考4:与坐标轴垂直的直线方
程能用截距式表示吗？
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:通过变形整理，我们发现直 线的点斜式、斜截式、两点式、截 距式方程都可以变形成右边为0，左 边是关于x，y的方程。 即：任意一条直线的方程都可以 写成Ax+By+C=0的形式（A，B不同 时为0）。
思考2:任意一条直线的方程都可以 写成Ax+By+C=0的形式，同时，关于 x，y的二元一次方程都表示直线， 方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0） 叫做直线的一般式方程.
讨论、交流（约6分钟）
（一）讨论目标： 通过讨论每位同学要掌握两点式、截距式和一般式的特点， 并能应用其解决相关的问题。
1.求经过点P(0，5)，且在两坐 标轴上的截距之和为2的直线方程.
2.已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 3 ，求直线的点斜式和一般 式方程.
3.把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
当堂小结
老师 • 知识
学科 • 课堂情况 班长
1、6
探究（一）：直线的两点式方程
思考1:设直线l经过两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则 直线l斜率是什么？ y y
k
2 1
x2 x1
结合点斜式直线l的方程如何？ y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1

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3.2。

2 直线的两点式方程［课时作业]［A组基础巩固]1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是（)A.错误!＋错误!＝1B.错误!＋错误!＝1C。

错误!－错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1解析：代入截距式方程即得．答案:A2．直线l过点(－1，0）和(2，6),点(1 007，b）在直线l上，则b的值为（）A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016解析:由两点式可得直线方程为错误!＝错误!，即y＝2（x＋1)．点（1 007,b）代入直线方程得，b＝2×(1 007＋1）＝2 016.答案：D3．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( ）A．1 B．－2 C．－2或1 D．2或1解析:①令x＝y＝0得a＝－2，②令x＝0，得y＝a＋2；令y＝0,得x＝错误!.由a＋2＝错误!得a＝1.答案:C4．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为（)A．x－y－1＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1,∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点（0，1）和（1，0），由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，即x＋y－1＝0.故选C。

高一升高二精品衔接材料（直线的两点式、截距式方程） 一：基础知识1：已知直线l 经过两点))(,(),,(21222111x x y x p y x p ≠，则直线l 的斜率为=k ，代入点斜式方程，得 ，当21y y ≠时，方程可以写成 ，这个方程是由直线上两个点确定的，所以叫做直线方程的2：若直线与x 轴的交点为(a ,0)()0≠a ,与y 轴的交点为)0)(,0(≠b b 则直线l 的两点式方程为 ，即为 ，它是由直线在x 轴，y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的二：例题讲解例1：已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．（3）求△ABC 的重心、外心、垂心的坐标。

例2：已知直线过点P （－2，3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程变式：1：过点P （2，1）作直线l ，且l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，求PB PA ⋅最小时，直线l 的方程变式2：直线l 在y 轴上的截距为－4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求直线l 的方程变式练习：1．ABC ∆中()1,3-A ,AB 边上的中线CM 所在直线方程为059106=-+y x ,B ∠的平分线方程BT 为0104=+-y x .（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【解析】（1）设()00,y x B ，则AB 的中点在直线CM 上. ① 又点B 在直线BT 上，则010400=+-y x ②由① ②可得5,1000==y x ，即B 点的坐标为()5,10. 设点()1,3-A 关于直线BT 的对称点D 的坐标为()b a ,，则点D 在直线BC 上.2：过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）A ：5=+y xB ：5=-y xC ：5=+y x 或04=-y xD ：5=-y x 或04=-y x 课堂练习：1：过),(11y x 和),(22y x 两点的直线方程是（ ）A 121121x x x x y y y y --=--B 212121x x x x y y y y --=-- C ：()()0))((112112=-----y y x x x x y y D ：()()0))((112112=-----y y y y x x x x2、 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）A.3x －y －8=0 B .3x +y +4=0 C. 3x －y +6=0 D. 3x +y +2=03、方程012)1(=++--a y x a )(R a ∈表示的直线( )A.恒过(－2, 3)B. 恒过(2, 3)C. 恒过(－2, 3)或(2, 3)D.都是平行直线4.已知直线l 经过点（3，－2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程5.已知直线l 经过点（3，－2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等相等，求直线l 的方程。

直线的两点式方程与截距式方程1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为______【答案】【解析】【分析】已知两点坐标，代入两点式公式，化简即可得出结果.【详解】将两点坐标代入两点式公式可得：，化简得：.【点睛】本题考查直线方程的两点式求法，熟练掌握公式，代入化简即可，注意符号问题.2. 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为_____【答案】【解析】【分析】由于两点纵坐标相等，所以过两点的直线不能用两点式求，根据两点的位置可知，该直线为平行于x轴的直线，所以可以直接写出方程.【详解】因为两点纵坐标均为2，所以不能用两点式求，由其在坐标轴的位置可确定为平行于x轴的直线，所以直线方程为：.【点睛】直线的方程求法有多种，但大多有其限制条件，两点式要求两点横坐标、纵坐标均不相等，否则无法得出结果.3. 已知点A(3,2)，B(－1,4)，则过点C(2,5)且过线段AB的中点的直线方程为______【答案】【解析】【分析】由两点的坐标可求出中点坐标，与点C横纵坐标均不相同，所以代入两点式，求出直线方程.【详解】A、B中点坐标为，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：，化简得：.【点睛】本题考查中点坐标的求法以及两点式方程的求法，代入时注意符号不要出错，注意两点式求直线方程的约束条件.4. 过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是_____【答案】【解析】【分析】因为两点横纵坐标均不相等，由两点式公式，代入两点求直线方程，令，即可求得x轴上的截距.【详解】将两点代入两点式公式可得：，化简可得：，令，得，即为截距.【点睛】根据两点式公式可求得直线方程，令可得x轴上截距，令，可得y轴上截距，注意求截距时，截距有正负.5. 已知△ABC三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为______【答案】【解析】【分析】由两点坐标分别求解中点坐标，因为两中点横纵坐标均不相等，由两个中点坐标结合，代入两点式方程即可求得直线方程.【详解】由中点坐标公式可求得中点坐标：，，代入两点式公式可得：，化简得：.【点睛】本题考查两点式公式求直线方程，注意中点坐标的求法，以及两点式的限制条件.6. 已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)、N(－3,4)两点的直线上，则m＝_____【答案】【解析】由M(2，－1)、N(－3,4)得直线MN方程为：，即x+y-1=0又点P(－1,2m－1)在直线MN上∴－1+2m－1-1=0∴m＝故答案为：点睛：点在两点的连线上的处理方法：①此点满足两点直线方程；②利用斜率相等布列方程；（3）利用距离相等布列方程，比较繁琐；（4）利用向量共线处理等等.7. 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____【答案】【解析】【分析】点A、点B的坐标均不相等，可利用两点式求直线方程，因为点P在直线上，故可将点的坐标代入直线方程，即可求出m.【详解】将点A、点B代入两点式方程可得：，化简得：，将点P代入直线方程，可得：，解得：.【点睛】本题考查两点式求直线方程和点在直线上两个知识点，注意两点式的应用条件，注意计算的准确性.8. 直线在x轴，y轴上的截距分别为____【答案】【解析】【分析】由截距式标准形式可直接得出截距.【详解】由截距式的标准方程：，其中a、b为截距，可直接得出截距分别为：-2、-3.【点睛】本题考查截距式的标准形式，注意截距有正负即可.9. 直线在y轴上的截距是_____【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，即可得到y轴上截距.【详解】将直线方程化为截距式标准形式：，则y轴上截距为.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据截距式求截距，一定注意变化为标准形式，注意正负号. 10. 过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_______【答案】【解析】【分析】由两点坐标可知，两点在x轴、y轴上，求出截距，由截距式即可求得方程.【详解】由两点坐标可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为2、3，由截距式方程可得：.【点睛】本题考查截距式直线方程的求法，写出截距，代入标准方程即可.11. 直线在两坐标轴上的截距之和为______【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，求出截距，再求和即可.【详解】将直线方程化为截距式：，所以截距分别为：3、-4，所以截距之和为：-1.【点睛】本题考查截距式的标准形式与截距的读取，注意计算的准确性.12. 过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_______【答案】或【解析】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为y=x，即3x−2y=0.当直线不过原点时，设方程为，把点P(2,3)代入可得，故直线的方程为x−y+1=0，故答案为3x−2y=0，或x−y+1=0.点睛：本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.13. 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l的方程为_______【答案】【解析】【分析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可将直线表示出来，因为直线某过点，所以将点代入，即可求得a，得到直线方程.【详解】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可得：，将代入直线方程，解得：或3，所以代入直线方程化简可得，或.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，注意截距式的标准形式与限制条件.14. 过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是___【答案】或【解析】设所求直线方程为，将点代入上式可得或.考点：直线的方程15. 过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为x＝3，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为___【答案】【解析】【分析】与x轴垂直的直线为：，a为横截距，与y轴垂直的直线为：，b为纵截距，则由题意可直接写出直线方程.【详解】与y轴垂直的直线为，b为纵截距，故直线方程为：.【点睛】本题考查特殊位置直线方程，熟练掌握各类直线的表示方法，注意各种直线方程的限制条件，避免无解或错解.16. 已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_____【答案】【解析】【分析】分别求出两直线的斜率与截距，从而由题意求得直线l的斜率与截距，由直线方程的斜截式可求出直线方程，化简即可.【详解】将直线化为斜截式：，斜率为，所以直线l的斜率为，令直线中，，求得y轴上截距为4，所以直线l的纵截距为8，根据斜截式可得直线l的方程为，化简得：.【点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令或，要熟练直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.17. 已知直线l的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l的方程为___【答案】【解析】设直线l的方程为：令x=0得：纵截距为b令y=0得：横截距为又截距之和为10，即b，∴∴此直线l的方程为故答案为：18. 如右图所示，直线l的截距式方程是＋＝1，则有 ( )A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<0【答案】B【解析】【分析】由直线与坐标轴交点的位置及截距式中参数的几何意义直接得出参数的符号.【详解】直线与x轴交于正半轴，与y轴交于负半轴，所以横截距与纵截距符号一正一负，根据截距式参数的意义可知：.故选B.【点睛】本题考查直线的图像与解析式的关系，根据直线方程中参数的几何意义解题，只需要观察图像以及确定直线方程为标准形式即可.19. 两条直线l1：和l2：在同一直角坐标系中的图象可以是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由方程得出直线的截距，逐个选项验证可得．详解：由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a，﹣b，直线l2的横、纵截距分别为b，﹣a，选项A，由l1的图象可得a＜0，b＞0，可得直线l2的截距均为正数，故正确；选项B，只有当a=﹣b时，才有直线平行，故错误；选项C，只有当a=b时，才有直线的纵截距相等，故错误；选项D，由l1的图象可得a＞0，b＞0，可得直线l2的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误．故选：A．点睛：本题考查直线的截距式方程，属基础题，对于已知表达式求函数图像的题目，可代入特殊点验证，可通过定义域排除，由表达式的奇偶性进行排除等方法.20. 两直线与的图象可能是图中的哪一个 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】当m＜0，n＞0时，直线＝1在x轴上的截距m＜0，在y轴上的截距﹣n＜0；＝1的在x轴上的截距n＞0，在y轴上的截距﹣m＞0．只有B满足．故选：B．21. 已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )A. 若c＞0，则a＞0，b＞0B. 若c＞0，则a<0，b＞0C. 若c＜0，则a>0，b<0D. 若c<0，则a>0，b＞0【答案】D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.22. 直线过第一、二、三象限，则( )A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜0【答案】C【解析】【分析】由题意作出直线过第一、二、三象限的简图，通过与坐标轴交点的位置，即可判断参数的符号，得出结果. 【详解】由题意可作出直线的简图：由图像可知纵截距大于，横截距小于0，所以.故选C.【点睛】本题考查直线的位置与直线方程截距式中参数的关系，根据与坐标轴交点确定截距参数的符号. 23. 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有___条，方程为：_______【答案】(1). 2(2). ，【解析】【分析】由题意假设截距不为0，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程，当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有2条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.24. 过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有___条方程为：________【答案】(1). 2(2). ，【解析】【分析】由题意假设截距不为0，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程，当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有2条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.25. 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有____条，方程为：_____【答案】(1). 3(2). 、、【解析】【分析】本题分三种情况讨论：①截距不为0，且截距相等，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；②截距不为0，且截距互为相反数，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；③当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】①当截距不为0，且截距相等时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；②当截距不为0，且截距互为相反数时，设直线的横截距为a，则纵截距为-a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；③当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有3条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.26. 经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为________【答案】或【解析】【分析】由题意：假设截距不为0时，设出纵截距，利用截距的关系表示出横截距，再用截距式表示直线方程，将点A代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；当截距为0时，设相应的直线方程，代入点A坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的纵截距为b，则横截距为，直线方程为：，将点A坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点A，可得：，直线方程为：.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.27. 已知直线与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为_____【答案】【解析】【分析】由截距式定义可知直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，在y轴上截距为6，此面积为三角形面积，则利用截距表示面积，列出方程，即可求出a.【详解】由题意得：直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，直线在y轴上截距为6，由于此面积为三角形，所以面积为：，解得：.【点睛】本题考查截距式与图像相结合，根据截距的几何意义，与几何图形相联系，注意截距的符号问题，长度只能为正数.28. 过点P(1,3)且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是______【答案】【解析】【分析】分别假设直线横截距a与纵截距b，由于与坐标轴正半轴相交，所以截距为正数，由截距列出直线方程并将点P代入，可得关于a、b的方程，由截距表示三角形的边长，列出有关面积的方程，解方程组即可求得截距，从而求出直线方程.【详解】设直线横截距为a与纵截距为b，则，直线方程为：，将点P代入可得：，三角形面积：，解方程可得：，故直线方程为：.【点睛】本题考查直线方程截距式与直线图像相结合，考查截距的几何意义，利用截距表示长度，注意截距的正负与三角形面积的求法，一般求三角形面积可采用直接求或者割补法，本题直接求即可.29. 斜率与直线4x＋3y＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是______【答案】或【解析】【分析】将已知直线化为斜截式，求出斜率，设未知直线在y轴上的截距，列出直线方程，求出该直线在x轴上的截距，列出三角形面积方程，解出未知数，代入x轴上截距的表达式即可.【详解】将已知直线化为斜截式：，斜率为，设直线在y轴上截距为b，则直线方程为：，在x轴上截距为：，所以三角形面积为：，解得，所以x轴上截距为.【点睛】本题考查斜截式、截距的求法以及截距的几何意义，已知斜率可设纵截距，用斜截式表示直线，以截距表示长度时要用截距的绝对值，求三角形面积可用割补法或直接法.30. 直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝.选D.31. 平面直角坐标系中，直线的斜率为________【答案】【解析】【分析】将直线一般方程化为斜截式，即可求出斜率.【详解】直线方程移项，系数化为1，可得：，可知斜率为：.【点睛】本题考查直线一般方程与斜截式之间的互化，移项、系数化为1即可，注意符号的变化，计算的准确性.32. 已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．【答案】(1). (2). (3). (4).【解析】【分析】由直线倾斜角可得直线斜率，又已知在y轴上的截距和交点坐标，，故可直接得到直线的斜截式方程与点斜式方程，由直线方程求出在x轴上的截距，即可求出截距式，最后将方程化简为一般方程的形式即可. 【详解】由倾斜角可得斜率：，因为纵截距为-4，所以斜截式方程为：；由于与y轴交点坐标为，所以点斜式方程为：；由直线方程可求得在x轴上的截距为：，所以截距式为：；将直线方程化为一般式：.【点睛】本题考查直线的各种方程之间的互化以及斜率的求法，要熟练掌握各种方程所需的基本条件，并注意其限制条件，注意计算的准确性.33. 若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( )A. A，B，C同号B. AC＜0，BC＜0C. C＝0，AB＜0D. A＝0，BC＜0【答案】A【解析】【分析】由题意可知直线通过第二、三、四象限，故其斜率为负数，纵截距为负数，以三个系数分别表示斜率和纵截距，即可判断三个系数符号关系.【详解】将直线化为斜截式：，因为直线过第二、三、四象限，所以：，所以A、B、C同号.故选A.【点睛】本题考查一般式与斜截式之间的互化，以及直线的纵截距与斜率对直线图像的影响，注意转化时计算的准确性，熟练掌握各系数的作用即可.34. 直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是______【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A、B之间的关系，将此关系式代入A、B、C三者的关系式，即可得出B、C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为以B表示的式子，消去B，即可得到直线方程. 【详解】直线的斜截式为：，所以，即，将A、B关系代入，可得：，将直线方程中参数全部化为关于B的式子：，消去B，化简可得：.【点睛】本题考查斜率的求法与直线方程的求法，由于参数较多，方程较少，所以无法解出各个参数的值，只能用同一个参数表示其他参数，最后消掉参数即可，注意计算的准确性.35. 光线从A(－3，4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC所在直线的方程为_____【答案】【解析】【分析】由光的反射原理可知，直线AB与直线BC斜率互为相反数，设点B的坐标，分别表示两个斜率，令其之和为0，可解得点B的坐标，由两点式方程可求出直线BC的方程.【详解】设点B的坐标，则直线AB的斜率为：，直线BC的斜率为：，由光的反射原理可知两直线斜率互为相反数，则：，解得：，由B、C的坐标求得直线方程为：.【点睛】本题考查物理知识与几何知识相结合，入射角等于反射角，则斜率互为相反数，此类题型辅助作图会更好理解，求直线方程时注意已知条件，选择最简单的求法.36. 设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a的值，代入方程即可得到直线方程；（2）由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围. 【详解】（1）令方程横截距与纵截距相等：，解得：或0，代入直线方程即可求得方程：，；（2）由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当解得a≤－1，故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．【点睛】本题考查直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，避免漏解.37. 如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．【答案】【解析】【分析】假设直线与坐标轴交点，设直线的截距式，将点P代入直线方程，求出a、b关系，根据三角形面积的公式，用a表示三角形面积，整理为关于a的二次方程，令，求得三角形面积的最小值，然后求出参数值，即可得出直线方程.【详解】设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，则直线l的方程为＋＝1，因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S－12S △AOB≥0，又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．将S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0．【点睛】本题考查直线方程与几何图形之间的关系，学会用直线的系数表示几何长度及面积等，根据方程的性质求最值，同时解题时注意题目中条件的限制，注意参数的取值范围等情况.。

高一数学必修2(两点式、截距式)一、选择题1、过点(2,3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )条A 1B 2C 3D 42、直线l 过点P(1,3)，且与x,y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程A 3x+y-6=0B x+3y-10=0C 3x-y=0D x-3y+8=03、直线ax+by=1(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是A ab 21B ||21abC ab21 D ||21ab 4、直线ax+by+c=0(ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a,b,c 满足的条件是A a=bB |a|=|b|C a=b 且c=0D c=0或c ≠0且a=b5、已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB 上运动，则xy 的最大值为A 2B 3C 4D 56、如果直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x 轴和y 轴上的截距之和为5，那么这样的直线共有( )条A 4B 3C 2D 1二、填空题1、△OAB 三个顶点O(0,0)，A(-3,0)，B(0,6)，则过点O 将△OAB 的面积分为1:2的直线l的方程是_____________;2、直线l过点P(4,3)且在x轴、y轴上的截距之比为1:2，则直线l 的方程_______;3、经过点A(-2,2)且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小时的直线方程为_______。

三、解答题1、△ABC的三个顶点为A(0,4)，B(-2,6)，C(8,2)，求此三角形各边上中线所在直线的方程2、直线mx+ny-1=0的倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于6，试求m和n的值3、已知直线l过点A(1,2)，在x轴上的截距在(-3,3)的范围内，求直线在y轴上的截距的取值范围答案一、BADDBA 二、1、x+y=0或4x+y=0; 2、2x+y-11=0; 3、x-y+4=0 三、1、y=4,x+2y-10=0,x+3y-14=02、⎪⎩⎪⎨⎧==4131n m 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4131n m 3、),3()23,(+∞-∞。

第一章直线与圆§1直线与直线的方程1.3直线的方程第2课时直线方程的两点式、截距式课后篇巩固提升合格考达标练1.经过A(3,2),B(4,3)两点的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0由直线的两点式方程得y-23-2=x-34-3,即x-y-1=0.2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为()A.2B.-3C.-27D.27由两点式得直线方程为x+32+3=y-65-6,即y=-x5+275,令y=0,得x=27,故选D.3.(2020安徽无为中学高二月考)直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,y)在直线l上,则y的值为()A.2 019B.2 020C.2 021D.2 022l的两点式方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),化简得y=2x+1,将x=1010代入y=2x+1,得y=2021.4.(多选题)(2020山东宁阳一中高二期中)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A.y=-x+5B.y=x+5C.y=xD.y=-x4,直线方程为y=x4;当直线不过坐标原点时,设直线方程为xa +ya=1,代入点A(4,1),可得a=5,即y=-x+5.故选AC.5.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是.3x+6(2,0),又直线过点(1,3),由两点式可得y-03-0=x-21-2,整理得y=-3x+6.6.过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是.+y7=1或x5+y3=1设直线的方程为xa+yb =1,∵点(5,0)在直线上,∴a=5.由|5-b|=2得b=7或b=3,∴所求直线的方程为x 5+y 7=1或x 5+y3=1.7.若直线y=x+2m 与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,则实数m 的取值范围为 .m|m ≥2或m ≤-2}y=x+2m ,得x-2m +y2m =1,由直线y=x+2m 与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,则12|2m|×|-2m|≥8,解得m ≥2或m ≤-2,故实数m 的取值范围为{m|m ≥2或m ≤-2}. 8.已知直线l 经过点A (-2,1),B (3,-3),求直线l 的方程,并求直线l 在y 轴上的截距.A ,B 两点的横坐标不相等,而且纵坐标也不相等,所以直线的两点式方程为y -1-3-1=x -(-2)3-(-2),整理得y=-45x-35. 因此直线l 在y 轴上的截距为-35.9.已知直线l 过点P (4,1),(1)若直线l 过点Q (-1,6),求直线l 的方程;(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求直线l 的方程.∵直线l 过点P (4,1),Q (-1,6),∴直线l 的方程为y -16-1=x -4-1-4,即y=-x+5.(2)由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,所以设直线l 的斜率为k ,则其方程为y-1=k (x-4). 令x=0,得y=1-4k ;令y=0,得x=4-1k .∴1-4k=24-1k ,解得k=14或k=-2.∴直线l 的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x4或y=-2x+9.等级考提升练10.过点A (3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条,直线为y=-13x ,当截距不为零时,设直线方程为xa+yb=1,∴{3a+-1b=1,|a |=|b |,∴{a =2,b =2或{a =4,b =-4,即直线方程为x2+y2=1或x4+y-4=1,∴满足条件的直线共有3条.故选B.11.两条直线l 1:xa−yb=1和l 2:xb−ya=1在同一直角坐标系中的图象可以是( )l 1,l 2的方程化为截距式分别为xa+y-b=1,xb+y-a=1.假定l 1,判断a ,b ,确定l 2的位置,知A 项符合.12.过点P (1,3),且与x 轴,y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0设所求的直线方程为xa +yb =1(a>0,b>0),由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,因此有{1a +3b =1,12ab =6,解得{a =2,b =6,故所求直线的方程为y=-3x+6,故选A.13.(2020北京大兴高二期中)已知两点A (3,0),B (0,4),动点P (x ,y )在线段AB 上运动,则xy ( ) A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值 C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值解析线段AB 的方程为x3+y4=1(0≤x ≤3),于是y=41-x 3(0≤x ≤3),从而xy=4x 1-x 3=-43x-322+3,显然当x=32时,xy 取最大值为3;当x=0或x=3时,xy 取最小值为0.14.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( ) A.x+y-3=0 B.x+y+3=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0由题意设直线方程为xa +ya =1或xa+y-a =1,把点(2,1)代入直线方程得2a+1a=1或2a+1-a=1,解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为x3+y 3=1或x 1+y-1=1,即x+y=3或x-y=1.15.过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ,B 两点,若P 为AB 的中点,则直线l 的截距式方程是 .+y6=1A (m ,0),B (0,n ),由P (1,3)是AB 的中点可得m=2,n=6, 即A ,B 的坐标分别为(2,0),(0,6), 则l 的截距式方程是x2+y6=1.16.过点P (1,2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ,此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 .1 12,可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数,且不为0.可设直线方程为xa +-a=1,因为直线过P (1,2),所以1a +2-a =1,即a=-1,直线方程为y=x+1. 当直线方程为y=x+1时,与x 轴的交点坐标为(-1,0),与y 轴的交点坐标为(0,1), 所以三角形面积为12×1×1=12.17.过点M (2,1)作直线l ,分别交x 轴,y 轴的正半轴于点A ,B. (1)当M 为AB 中点时,求直线l 的方程;(2)设O 是坐标原点,当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程.设A (a ,0),B (0,b )(a>0,b>0),则直线l 的方程为xa +yb =1,∴M (2,1)为AB 中点, ∴a2=2,b2=1, ∴a=4,b=2,则直线l 的方程为x4+y2=1. (2)设A (a ,0),B (0,b )(a>0,b>0), 则直线l 的方程为xa+y b =1,又点M (2,1)在直线l 上,∴2a +1b =1.∵1=2a +1b ≥2√2ab ,∴ab ≥8,当且仅当2a =1b,即a=4,b=2时,等号成立,∴S=12ab ≥4,∴直线l 的方程为x 4+y2=1.新情境创新练18.直线过点P43,2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件: (1)△AOB 的周长为12; (2)△AOB 的面积为6?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 设直线方程为xa+yb =1(a>0,b>0),若满足条件(1),则a+b+√a 2+b 2=12. ① 又∵直线过点P43,2,∴43a+2b=1.②由①②可得5a 2-32a+48=0, 解得{a =4,b =3或{a =125,b =92,∴所求直线的方程为x 4+y 3=1或5x 12+2y 9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. 若满足条件(2), 则ab=12, ③ 由题意得43a +2b =1, ④由③④整理得a 2-6a+8=0, 解得{a =4,b =3,或{a =2,b =6,∴所求直线的方程为x 4+y 3=1或x 2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.。

2.2.2 直线的两点式方程基础练巩固新知夯实基础1.(多选)下列说法正确的是()A.直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)C.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝02.若直线l的横截距与纵截距都是负数，则()A.l的倾斜角为锐角且不过第二象限B.l的倾斜角为钝角且不过第一象限C.l的倾斜角为锐角且不过第四象限D.l的倾斜角为钝角且不过第三象限3.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A.可以写成两点式或截距式B.可以写成两点式或斜截式或点斜式C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式4.直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是()A．|b| B．－b2C．b2D．±b5.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝06.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.7.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________________．8.在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的截距式方程.能 力 练综合应用 核心素养9.直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12△(1，＋∞) C.()－∞，1△⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D.()－∞，－1△⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 10.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )11.已知△ABC 三顶点坐标A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝012.(多选)下列说法正确的是( )A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋y a＝1表示 B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行y 轴的直线C ．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝013.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.14.已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________．15.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，求直线l 的方程________．16.已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0).(1)求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边上的中垂线的方程.【参考答案】1.AB 解析 A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，B 中⎝⎛⎭⎫0＋12，2＋12 在直线y ＝x ＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B 正确，C 选项需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y ＝x.2.B 解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y －b＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.3.B 解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.4.B 解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.5.B 解析 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)， 所以所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.6.3x ＋y －6＝0 解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，y －03－0＝x －21－2，整理得3x ＋y －6＝0. 7 x 2＋y 6＝.1 解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y 6＝1. 8.解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3. 即C (－5，－3).(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y －52＝1. 9.D 解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)△⎝⎛⎭⎫12，＋∞.10.A 解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置.11.A 解析 由中点坐标公式可得M (2,4)，N (3,2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即2x ＋y －8＝0.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．12.BD 解析 若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程x a ＋y a＝1表示，所以A 不正确； 当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程形式为x ＝2，所以B 正确；若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确； 设点P ()x ，y 是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，根据P 1P 2∥P 1P 可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确．13.3 解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，△xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 14. 12 解析 AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12. 15. x ＋3y ＋2＝0 解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3， 即P (－5,1)，Q (7，－3)．由两点式可得y －1－3－1＝x ＋57＋5，化简得，l 的方程为x ＋3y ＋2＝0. 16. 解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y 4＝1，即x －2y ＋8＝0. 由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0. (2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －－4－2－－4， 即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)， 由点斜式，得AC 边上的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.。