2019-2020年人教B版数学选修4-5讲义：第1章+1.5 1.5.3 反证法和放缩法及答案
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1.5.3反证法和放缩法学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．教材整理1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B教材整理2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于放大(缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大，则相应分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方式．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝a3＋a92，Q＝a5·a7，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．无法确定[解析] 由等比知识得Q ＝a 5·a 7＝a 3·a 9. 又P ＝a 3＋a 92，且a 3>0，a 3≠a 9， ∴a 3＋a 92>a 3·a 9＝a 5·a 7，故P >Q . [答案]A大于14.[精彩点拨] 当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、唯一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．[自主解答] 假设三式同时大于14， 即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14. 三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164. ①∵0＜a ＜1，∴(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于零，∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤164，②因此①式与②式矛盾．故假设不成立，即原命题成立．1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件，通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．1．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c 不成等差数列．[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.[精彩点拨](1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论；(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[自主解答] (1)由于f (x )＝x 2＋px ＋q ， ∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12， 则有|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.(*) 又|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)| ≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )＝2. ∴|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥2与(*)矛盾，假设不成立． 故|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.1．在题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明． 2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中它们的判别式都小于0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)<0，(a －1)2－4a 2<0，(2a )2＋4×2a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，∴－32<a <－1，这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解.＞32(x ＋y ＋z )．[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．[自主解答]x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2，同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换． 2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地放或缩是放缩法基本策略．3．若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.[证明] 假设a ＋b >2，而a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，但取等号的条件为a ＝b ＝0，显然不可能， ∴a 2－ab ＋b 2>0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>2(a 2－ab ＋b 2)， 而a 3＋b 3＝2， 故a 2－ab ＋b 2<1. ∴1＋ab >a 2＋b 2≥2ab ， 从而ab <1. ∴a 2＋b 2<1＋ab <2.∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <2＋2ab <4.而由假设a ＋b >2，得(a ＋b )2>4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即a ＋b ≤2.1．反证法的一般步骤是什么？[提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？[提示] (1)添加或舍去一些项，如a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122.(2)将分子或分母放大(或缩小)，如1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ；1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1.(3)利用真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则ab＜a＋mb＋m.(4)利用基本不等式，如a2＋b2≥2ab.(5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(6)利用函数的单调性．【例4】求证：32－1n＋1＜1＋122＋…＋1n2＜2－1n(n为正整数，且n≥2)．[精彩点拨]本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[自主解答]∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴1k(k＋1)＜1k2＜1k(k－1)，即1 k －1k＋1＜1k2＜1k－1－1k(k为正整数，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得1 2－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…1 n －1n＋1＜1n2＜1n－1－1n，将这些不等式相加得1 2－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n，即1 2－1n＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－1n，∴1＋12－1n＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜1＋1－1n，即3 2－1n＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n为正整数，且n≥2)成立．1．放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b.2．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论寻找．4．已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，从而3|y|<23＋16＝56，所以|y|<518.1．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c ＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数D．abc＜0[解析]a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数．[答案] C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数[解析]三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．[答案] D3．已知a>0，b>0，设P＝a1＋a＋b1＋b，Q＝a＋b1＋a＋b，则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P＝Q D．无法确定[解析]∵a>0，b>0，∴P＝a1＋a ＋b1＋b>a1＋a＋b＋b1＋a＋b＝a＋b1＋a＋b＝Q，∴P>Q.[答案] A4．用反证法证明命题：三角形的内角和中至少有一个不大于60°时，假设应为________．[解析]“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．[答案]假设三内角都大于60°5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2.求证：1＋b a，1＋ab中至少有一个小于2.[证明] 假设1＋b a ，1＋ab 都不小于2， 则1＋b a ≥2，1＋ab ≥2.∵a ＞0，b ＞0， ∴1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，∴2＋a ＋b ≥2(a ＋b )， 即2≥a ＋b ， 这与a ＋b ＞2矛盾． 故假设不成立．即1＋b a ，1＋ab 中至少有一个小于2.。
