全等三角形及等腰三角形专项复习.docx

初中数学试卷金戈铁骑整理制作全等三角形、等腰三角形专题复习一、知识回想1. 全等三角形的性质：全等三角形对应边；全等三角形对应角.2. 全等三角形的判断方法有：，，，，〔简记形式〕3. 等腰三角形：〔1〕定义；〔2〕性质：①等腰三角形的两底角；简记为②“三线合一〞是指.③对称性，等腰三角形有条对称轴，是.〔3〕等腰三角形的判断：①两边相等的三角形是〔定义〕②；简记.4. 等边三角形：〔1〕定义：腰和底边相等的等腰三角形是；〔2〕性质：①等边三角形的三边，②等边三角形三内角，都为.③等边三角形对称性，等边三角形有条对称轴，是.④在直角三角形中，300角所对的的一半.〔3〕等边三角形的判断方法：①三边相等的三角形是；②三内角相等的三角形是，③有两个角为600的三角形是；④有一个角为600的是等边三角形.二、典例解说1. 利用相等线段的和差找对应边相等证明三角形全等.例 1. 如图，在△ ABC与△ FED中， AD=CF， BC=DE， BC∥ DE；求证 :AB∥ FE.BCFA DE2. 利用相等角的和差找对应角相等证明三角形全等.例 2. 如图，假定AB=AE,∠ 1=∠ 2=∠ EFB，那么AF=AC吗？说明原因.AE12B F C3.利用三角形全等找出对应相等的边或角，再次证明三角形全等解题〔两次全等〕例 3. 如图，在四边形 ABCD中，AE⊥ BD,CF⊥BD, AB=CD, AE=CF，试判断 AD与 BC有何关系？并说明原因 .ADFEB C4. 经过增添协助线，达成解题.例 4．如图，在△ ACB中，∠ C=900， AD均分∠ CAB，DB=DE，〔1〕假定 AC=8,AB=10 , S△ABC=24 , 求 CD的长 .〔2〕研究线段AB、AC、 CE之间的数目关系，并证明你的结论.AECD B5.等腰三角形问题 .例 5. 如图，点 E 在△ ABC的 AC边的延伸线上， D 点在 AB 边上，DE交 BC于点 F，DF=EF，BD=CE.求证：△ ABC是等腰三角形 .ADB F CE6.等边三角形问题 .例 6. 如图，△ ABC、△ ADE是等边三角形 .(1) 找出图中一对全等三角形 , 并证明 .(2)猜想线段 AC、 CE、 CD三者有何数目关系，说明原因 .EAB DC知识应用：1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一局部，很快他就依据所学知识画出一个与书上完整同样的三角形，那么这两个三角形完整同样的依照是〔〕BED CAEC AB D F1 题图2题图 3 题图4题图2. 如图，∠ 1=∠ 2，要使△ ABD≌△ ACD，需增添一个条件 ,那么增补以下一个条件后, 仍无法判断△ ABD≌△ ACD的是 ()A.∠ B=∠CB.∠BAD=∠ CADC. BD=CDD. AB=AC3．如图，是屋架设计图的一局部，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、 DE垂直于横梁 AC，AB=8m，∠ A=30°，那么 DE等于〔〕C,3m4. 如图，∠ EAF=15°， AB=BC=CD=DE=EF，那么∠ DEF等于〔〕A.90 °B. 75°°°5．以下列图，∠ BAC =108° ,AB =AC=BE=CD , 那么图中共有等腰三角形〔〕A.6 个个个个A DB EC F5题图6题图8题图6．，如图： AB∥ DE， AB=DE，要使ABC≌Δ DEF.(1)假定以“ SAS〞为依照，还要增添的条件为__；(2)假定以“ ASA〞为依照，还要增添的条件为_____；(3)假定以“ AAS〞为依照，还要增添的条件为_；7. 假定等腰三角形的一个内角是800,那么它的另两个角是；假定等腰三角形的两边长 a, b ；知足a24a b26b 130，那么周长为.8.如图，∠ BAC=30o，点 D 为∠ BAC 角均分线上一点， DE⊥A B 于 E， DF//AB ，交 AC于点 F，DE=5 ，那么△ AFD的面积为.C9. 如图， AB=BC=10, AD⊥ BC, AF ⊥ CD, BD=4 , 求 CE的长 .EFA B D10. 如图，在△ ABC中， BD=DC，∠ 1=∠2，求证： AD均分∠ BAC.A1D2B C11. 如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， CE⊥ AB 于点 E， AD=AC， AF 均分∠ CAB?交 CE于点F，DF的延伸线交 AC于点 G，求证：〔 1〕DF∥ BC；〔 2〕 FG=FE.12. 如图，长方形ABCD中， E 是 AD上一点，∠ EBC=30o，∠ ECD=15o，求证： BC=2CD.EA DB C13. 如图，在△ ABC中， AB AC， AD为∠ A 的均分线，求证：AB AC BD CD.14.如图，△ ABC 和△ DCE都是等边三角形， B、 C、 E 共线， BD 与 AC、AE 订交于 M、 P， AE 与 CD订交于 N.求证：〔 1〕△ BCD≌△ ACE； (2) ∠ APB=度； (3) PC均分∠ BPE吗？说明原因 .ADPM NBCE 15.如图，点 P 是等腰 Rt △ ACB内随意一点〔 AC=BC〕，连结 AP、 BP、 CP，以 CP为腰作等腰Rt△ PCE ，连结 BE，(1) 图中的全等三角形是.〔说明：结论中不得含有未表记的字母〕；(2) 当∠ APB=115 时，求∠ PBE的度数；(3) 在 (2) 的条件下，设∠APC= x，尝试究：△PBE能够是等腰三角形吗？假定能，求知足条件的 x 的值；假定不可以，说明原因.APCB。

共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

全等三角形专题讲解〔一〕知识储藏1、全等三角形的概念：1〕能够重合的两个图形叫做全等形。

2〕两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

3〕全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌〞表示全等，读作“全等于〞。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【例1】如图，△ABC≌△DEF，那么有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：“边角边〞公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例2】“角边角〞公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。

【例3】“角角边〞公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

【例4】“边边边〞公理：三边对应相等的两个三角形全等。

【例5】“斜边直角边“公理1斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。

【例6】〔二〕双基回眸1、以下说法中，正确的个数是〔〕①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4B．3C．2D．12、如果ABC≌ΔDEF，那么AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于〔〕A．6B．5C．4D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，假设∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，那么∠EAC的度数为〔〕A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是〔〕．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，△ABC的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是〔〕A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙2〔三〕例题经典例1：如图，ABC≌ΔDCB．1〕假设∠D＝74°∠DBC＝38°，那么∠A＝_____，∠ABC＝_____；〔2〕对应边AC＝，AB=；〔3〕如果AOB≌ΔDOC，那么AO= _，BO= _，∠A=_，∠ABC=．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．3例6：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：〔1〕AB＝DC：〔2〕AD∥BC．例6图例7：阅读下题及一位同学的解答过程，答复以下问题：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C。

等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。

【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 【答案】D【解答】解：当相等的两边是4cm时.4+4＞5.能够组成三角形.则它的周长是4+4+5＝13（cm）；当相等的两边是5cm时.4+5＞5.能够组成三角形.则它的周长是5+5+4＝14（cm）．故选：D．2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°【答案】A【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线.∠BAC＝60°.性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°.∵AD＝AC.∴∠ADC＝∠C＝＝75°.∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．故选：A．3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．【答案】5【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.∴∠DBF＝∠FBC.∠ECF＝∠BCF.∵DE∥BC.交AB于点D.交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF.∠CFE＝∠ECF.∴BD＝DF＝3cm.FE＝CE＝2cm.∴DE＝DF+CE＝5（cm）．故答案为：5．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°【答案】A【解答】解：①如图.等腰三角形为锐角三角形.∵BD⊥AC.∠ABD＝40°.∴∠A＝50°.即顶角的度数为50°．②如图.等腰三角形为钝角三角形.∵BD⊥AC.∠DBA＝40°.∴∠BAD＝50°.∴∠BAC＝130°．故选：A．5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．【答案】（1）BE＝DE（2）∠BDE的度数为30°【解答】解：（1）证明：在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC.∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°.∠C＝40°∴∠ABC＝60°.∵∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°.故∠BDE的度数为30°．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．【答案】（1）略（2）∠DEF＝70°【解答】证明：∵AB＝AC.∴∠ABC＝∠ACB.在△DBE和△ECF中.∴△DBE≌△ECF.∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF.∴∠1＝∠3.∠2＝∠4.∵∠A+∠B+∠C＝180°.∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．【答案】（1）△OCD是等边三角形（2）△AOD是直角三角形（3）α＝110°或125°或140°【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC.∴OC＝DC.∵∠OCD＝60°.∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形.∴∠ODC＝60°.∵△BOC≌△ADC.α＝150°.∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°.∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°.∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形.∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°.∠ADC＝∠BOC＝α.∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α.∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°.∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时.190°﹣α＝α﹣60°.∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时.190°﹣α＝50°.∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时.α﹣60°＝50°.∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时.△AOD 是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】A【解答】解：∵△ABC 是等边三角形.∴AC ＝AB .∠CAB ＝60°.∵将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC∴△CP 1A ≌△BP A .∴AP 1＝AP .∠CAP 1＝∠BAP .∴∠CAB ＝∠CAP +∠BAP ＝∠CAP +∠CAP 1＝60°.即∠P AP 1＝60°.∴△APP 1是等边三角形.∴P 1P ＝P A ＝4.性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长.h 是任意边上的高9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC中.AB＝AC.点E为AC的中点.延长BC 到点D.使得CD＝CE．延长DE交AB于点F.若∠A＝60°.EF＝4cm.则DF的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【答案】A【解答】解：∵AB＝AC.∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形.∴∠ACB＝60°.∴∠ACB＝∠CED+∠D.∵CD＝CE.∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°.∴∠AEF＝∠CED＝30°.∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°.∵EF＝4cm.∴设AF＝x.则AE＝2x.∴由勾股定理得：x2+42＝4x2.∴x＝.∴AF＝.AE＝.∴BF＝AB﹣AF＝2AE﹣AF＝.∵∠D＝30°.∴BD＝2BF＝.∴DF2＝BD2﹣BF2＝3BF2.∴DF＝BF＝×＝12．10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°【答案】D【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠ABC＝60°.∵△BQC≌△BP A.∴∠BP A＝∠BQC.BP＝BQ＝4.QC＝P A＝3.∠ABP＝∠QBC.∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°.∴△BPQ是等边三角形.∴PQ＝BP＝4.∵PQ2+QC2＝42+32＝25.PC2＝52＝25.∴PQ2+QC2＝PC2.∴∠PQC＝90°.即△PQC是直角三角形.∵△BPQ是等边三角形.∴∠BOQ＝∠BQP＝60°.∴∠BP A＝∠BQC＝60°+90°＝150°.∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC.∵∠PQC＝90°.PQ≠QC.∴∠QPC≠45°.即∠APC≠135°.∴选项A、B、C正确.选项D错误．故选：D．11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．【答案】略【解答】证明：∵BM＝CN.BC＝AC.∴CM＝AN.又∵AB＝AC.∠BAN＝∠ACM.∴△AMC≌△BNA.则∠BNA＝∠AMC.∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°.∴∠AQN＝∠ACB.∵∠BQM＝∠AQN.∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC.∠A＝40°.∴∠ABC＝∠C＝＝70°.∵AD＝BD.∴∠DBA＝∠A＝40°.∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°.故选：B．2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC.BE＝CE.∴AE⊥BC.故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.故选：D．3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：连接AD.则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC.即：×8•DF+8•DE＝24.可得：DE+DF＝6.∵DF＝2DE.∴DF＝4.故选：A．5．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解答】解：如图.分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时.符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时.符合条件的C点有4个．故选：C．55．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【解答】解：延长BD交AC于E.如图.∵CD平分∠ACB.BD⊥CD.∴△BCE为等腰三角形.∴DE＝BD＝1.CE＝CB＝3.∵∠A＝∠ABD.∴EA＝EB＝2.∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：A．6．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．【答案】34°【解答】解：∵AB＝AD.∴∠B＝∠ADB.∵∠BAD＝44°.∴∠ADB＝＝68°.∵AD＝DC.∠ADB＝∠C+∠DAC.∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°.故答案为：34°．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【答案】（1）48°（2）AE＝FE【解答】解：（1）∵AB＝AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD.∠ADC＝90°.又∠C＝42°.∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD.∵EF∥AC.∴∠F＝∠CAD.∴∠BAD＝∠F.∴AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．【答案】（1）30°（2）CD＝CF【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝60°.∵DE∥AB.∴∠B＝∠EDC＝60°.∵DE⊥EF.∴∠DEF＝90°.∴∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB.∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F+∠CEF.∠F＝30°.∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝CF.∴CD＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．【答案】（1）＝；（2）＝（3）3【解答】解：（1）当E为AB的中点时.AE＝DB；（2）AE＝DB.理由如下.过点E作EF∥BC.交AC于点F.证明：∵△ABC为等边三角形.∴△AEF为等边三角形.∴AE＝EF.BE＝CF.∵ED＝EC.∵∠DEB＝60°﹣∠D.∠ECF＝60°﹣∠ECD.∴∠DEB＝∠ECF.在△DBE和△EFC中..∴△DBE≌△EFC（SAS）.∴DB＝EF.则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时.如图所示.同理可得△DBE≌△EFC.∴DB＝EF＝2.BC＝1.则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD.∴∠C＝∠ABC＝30°.又∵CD＝CE.∵∠C+∠D+∠CED＝180°.即30°+2∠D＝180°.∴∠D＝75°．故选：B．2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0.∴.解得：.当b为底时.三角形的三边长为2.2.3.周长为7；当a为底时.三角形的三边长为2.3.3.则周长为8.∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D．3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3【答案】C【解答】解：连接OA.∵OC⊥AB.∴∠ADC＝90°.∴∠DAC+∠ACD＝90°.∵∠BAC＝30°.∴∠ACO＝60°.∵OA＝OC.∴△AOC为等边三角形.∵OC⊥AB.∴OD＝OC＝2.故选：C．4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4【答案】C【解答】解：根据等边三角形：三线合一.设它的边长为x.可得：.解得：x＝4.x＝﹣4（舍去）.故选：C．5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°【答案】B【解答】解：过C点作CD∥m.∴∠ACD＝∠1＝25°.∵m∥n.∴CD∥n.∴∠2＝∠DCB.∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB.∴∠2＝∠ACB﹣25°.∵△ABC为等边三角形.∴∠ACB＝60°.∴∠2＝60°﹣25°＝35°.故选：B．6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．【答案】B【解答】解：连接AD交BC于点O.取AC中点N.连接ON.如图.∵△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC＝8.∠ABC＝60°.∵△BCD是等腰三角形.∴BD＝DC.∴AD垂直平分BC.∴BO＝CO＝4.∵AN＝CN.∴ON＝AB＝4.ON∥AB.∵AB∥DE.∴ON∥DE.∴.∴＝2.∴OD＝AO.∴tan∠ABO＝.即.∴AO＝4.∴OD＝2.在Rt△BOD中.BD＝＝2．故选：B．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠BAC＝60°.∵AD是BC边上的中线.∴∠BAD＝BAC＝30°.AD⊥BC.BD＝CD＝BC.∴∠CDE＝90°.∵DE＝BC.∴DE＝DC.∴∠DEC＝∠DCE＝45°.∴∠AEF＝∠DEC＝45°.∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°.故选：B．8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．【答案】6【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∴EF＝2.∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝∠C＝60°.又∵DE∥AB.DF∥AC.∴∠DEF＝∠B＝60°.∠DFE＝∠C＝60°.∴△DEF是等边三角形.∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．【答案】2【解答】解：如图.连接AC交BD于点O∵AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.∴AC垂直平分BD.△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°.AB＝AD＝BD＝8.BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°.∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4.OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝210．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．【答案】（.4）或（.4）或（10.4）【解答】解：设点P的坐标为（x.4）.分三种情况：①PM＝P A.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴PM＝x.P A＝.∵PM＝P A.∴x＝.解得：x＝.∴点P的坐标为（.4）；②MP＝MA.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴MP＝x.MA＝＝.∵MP＝MA.∴x＝.∴点P的坐标为（.4）；③AM＝AP.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴AP＝.MA＝＝.∵AM＝AP.∴＝.解得：x1＝10.x2＝0（舍去）.∴点P的坐标为（10.4）；综上.点P的坐标为（.4）或（.4）或（10.4）．故答案为：（.4）或（.4）或（10.4）．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10【答案】C【解答】解：∵在△ABC中.AB＝BC＝10.∠A＝36°.∴∠C＝∠A＝36°.∵AB的垂直平分线是DE.∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝36°.∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°.∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°∴∠BEC＝∠EBC.∴CE＝BC＝10.故选：C．2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°【答案】D【解答】解：∵AB＝AD＝DC.∠BAD＝α.∴∠B＝∠ADB.∠C＝∠CAD＝β.∵DE⊥AD.∴∠ADE＝90°.∴∠CAD+∠AED＝90°.∵∠CDE＝γ.∠AED＝∠C+∠CDE.∴∠AED＝γ+β.∴2β+γ＝90°.故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC.∴AD是△ABC的中线.∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB.∵S△ABC＝AC•BF.∴AC•BF＝2AB.∵AC＝AB.∴BF＝2.∴BF＝4.故选：B．4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：如图.在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）．故选：D．5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°【解答】解：由翻折可知：△BED≌△BCD.∴∠EBD＝∠CBD.∠E＝∠C＝90°∵△EDF是等腰三角形.∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°.∴∠CBF＝45°.∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°.∴∠BDC＝67.5°.故选：C．6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°【答案】C【解答】解：∵m∥n.∴∠ACB＝∠1＝70°.∵AB＝BC.∴∠BAC＝∠ACB＝70°.故选：C．7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定【答案】B【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.∴∠ABE＝∠CBE.∠ACE＝∠BCE.∴∠CBE＝∠BEM.∠BCE＝∠CEN.∴∠ABE＝∠BEM.∠ACE＝∠CEN.∴BM＝＝NE.∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC.∵AB＝AC＝4.∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2【答案】C【解答】解：延长AP交BC于E.∵AP垂直∠B的平分线BP于P.∴∠ABP＝∠EBP.∠APB＝∠BPE＝90°.在△APB和△EPB中.∴△APB≌△EPB（ASA）.∴S△APB＝S△EPB.AP＝PE.∴△APC和△CPE等底同高.∴S△APC＝S△PCE.∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2.故选：C．9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128【答案】A【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形.∴∠B1A1A2＝60°.∵∠MON＝30°.∴∠OB1A1＝30°∴A1B1＝OA1＝1.∴A2B1＝1.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形.∴A1B1∥A2B2∥A3B3.B1A2∥B2A3.∴A2B2＝2B1A2.B3A3＝2B2A3.∴A3B3＝4B1A2＝4.A4B4＝8B1A2＝8.A5B5＝16B1A2＝16.以此类推：△A7B7A8的边长为26＝64.故选：A．10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．【答案】（1）略（2）EF＝．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD.∠ADB＝90°∠CAD.∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD.∵∠ADB+∠CDA＝180°.∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD.∴∠ACB＝∠ADC.∴AD＝AC；（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G.∵∠CFD＝∠CAB.∠CFD＝∠CAD+∠ACE.∠CAB＝∠CAD+∠DAB.∴∠ACE＝∠DAB.又∵∠ACD＝∠ADC.∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE.∠B＝∠ADC﹣∠DAB.∴∠ECB＝∠B.∴CE＝BE.∵DG∥CE.∴∠ECB＝∠BDG.∴∠BDG＝∠B.∴DG＝BG.∵∠AEC＝∠DGA.AC＝DA.∠ACE＝∠DAG.∴△AEC≌△DGA(AAS).∴DG＝AE.又∵AE＝BD.∴DG＝BD＝BG.∴△BDG为等边三角形.∴∠ABC＝60°；②EF＝．过点D作DH∥AB交CE于点H.由①知△EBC和△HDC均为等边三角形.设AE＝BD＝x.则BE＝BC＝8﹣x.∴DH＝CD＝8﹣2x.∵DH∥AB.∴＝.即＝.∴x＝2.∵∠ACE＝∠DAB.∵△F AE∽△ACE.∴＝.∵AC＝AD＝3AF.∴＝.EF＝AE＝．。

专题01全等及等腰三角形重难突破知识点一全等三角形判定定理及性质1．全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等②全等三角形的对应角相等2．全等三角形的常用判定方法①三边分别相等的两个三角形全等（SSS）②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）典例1（2021春•龙华区期中）如图，锐角ABC∠∠=︒，则A=，若20CBD∆的两条高BD、CE相交于点O，且CE BD的度数为()A．20︒B．40︒C．60︒D．70︒（2021春•福田区校级期中）如图，已知90∆与Rt ABD∆C D∠=∠=︒，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt ABC全等．以下给出的条件适合的是()A．ABC ABD=D．AC BC=∠=∠C．AC AD∠=∠B．BAC BAD知识点二等腰三角形性质及判定1．等腰三角形的性质性质：等腰三角形的两个底角相等；简述为：等边对等角.推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．总结：（1）等边对等角①在同一个三角形中，将边相等转化为角相等；②结合三角形内角和定理，解决三角形中有关角度的计算问题.（2）三线合一①证明角相等；②证明线段相等；③证明线段垂直.2．等腰三角形的判定①定义：两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：等角对等边．典例1（2021春•罗湖区期中）如图，ABC=，AD平分BACBC cm∠交BC于点D，点E为∆中，10==，8AB AC cm∆的周长为()AC的中点，连接DE，并且//DE AB，则CDEA．20cm B．12cm C．13cm D．14cm（2021春•南山区校级期中）一个等腰三角形的周长为16cm，其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为()A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm典例3（2020春•龙岗区校级期末）如图，在以BC为底边的等腰ABCAC=，则ABC∆的面积是()A∆中，30∠=︒，8A．12B．16C．20D．24知识点三等边三角形性质及判定1．等边三角形的定义三边都相等的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60︒．注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的性质，即也具有“三线合一”的性质；（2）根据定义，等边三角形还有一个性质，等边三角形的三边都相等；（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.3．等边三角形的判定方法①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．典例1（2020春•顺德区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE CD=，则E∠的度数为()A．15︒B．20︒C．30︒D．40︒如图，E 是等边ABC ∆中AC 边上的点，12∠=∠，BE CD =，则ADE ∆的形状是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状知识点四含30°角的直角三角形的性质定理性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意：（1）此性质只适用于含30°角的直角三角形，而非一般的直角三角形或非直角三角形；（2）应用时，要找准30°角所对的直角边，明确斜边.典例1（2020秋•天河区期末）在ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2AC =．则AB 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．4典例2（2021春•罗湖区期中）如图ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，23BC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，则EBD ∆的面积为()A ．334B ．338C ．34D ．38巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2021春•罗湖区校级期中）如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，若4AC BE =，则下面结论正确的是()A ．6ABC BDE S S ∆∆=B ．7ABC BDE S S ∆∆=C ．8ABC BDE S S ∆∆=D ．9ABC BDES S ∆∆=2．（2021春•福田区校级期中）如图，在Rt AEB ∆和Rt AFC ∆中，90E F ∠=∠=︒，BE CF =，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，EAC FAB ∠=∠．有下列结论：①B C ∠=∠；②CD DN =；③CM BN =；④ACN ABM ∆≅∆．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020•龙岗区模拟）平面直角坐标系中，已知(1,2)A 、(3,0)B ．若在坐标轴上取点C ，使ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是()A ．5B ．6C ．7D ．84．（2020春•钦北区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，8AB =，将ABC ∆沿CB 方向向右平移得到DEF ∆．若四边形ABED 的面积为8，则平移距离是()A ．1B ．2C ．4D ．85．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，若15C ∠=︒，8EC =，则AEC ∆的面积为()A ．32B ．16C ．64D ．1286．图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的1)2后，得图③，④，⋯，记第(3)n n 块纸板的周长为n P ，则1n n P P --的值为()A ．11(4n -B ．1()4nC ．11(2n -D ．1()2n二、填空题（共5小题）7．（2021春•龙华区期中）已知实数x ，y 满足|6|30x y --=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是．8．（2019春•槐荫区期末）如图，AB AC =，DB DC =，若ABC ∠为60︒，3BE cm =，则AB =cm ．9．（2020秋•罗湖区校级期末）ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，0.5BC cm =，则AB 的长是cm ．10．（2019春•龙岗区期末）如图，已知////a b c ，a 与b 之间的距离为3，b 与c 之间的距离为6，a 、b 、c 分别经过等边三角形ABC 的三个顶点，则此三角形的边长为．11．（2021春•宝安区校级月考）如图，△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，点D 为BC 边上的点，点E 为线段CD 上一点，且CE ＝1，AB ＝2，∠DAE ＝60°，则DE 的长为．三、解答题（共2小题）12．（2021春•龙华区期中）已知：如图，在ADC ∆中，AD CD =，且//AB DC ，CB AB ⊥于B ，CE AD ⊥交AD 的延长线于E ，连接BE ．（1）求证：CE CB =；（2）若30CAE ∠=︒，2CE =，求BE 的长度．13．已知：如图，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接AC ，BD ，且D 、E 、C三点在一直线上，AD =，2DE EC =．（1）求证：ADB AEC ∆≅∆；（2）求线段BC 的长．。

完整版-全等三角形总复习完整版全等三角形总复习全等三角形是初中数学中的重要内容，它不仅是几何证明的基础，也是解决许多实际问题的工具。

在这篇文章中，我们将对全等三角形进行一次全面的复习。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角相等。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。

比如，若△ABC ≌△DEF，则 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等。

例如，△ABC ≌△DEF 时，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等、面积相等。

三、全等三角形的判定1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5、“斜边、直角边”（HL）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

四、全等三角形的常见模型1、平移型两个三角形沿着某一条直线平移，对应边平行且相等，对应角相等。

2、对称型两个三角形沿着某一条直线对称，对应边相等，对应角相等。

3、旋转型两个三角形绕着某一点旋转一定的角度，对应边相等，对应角相等。

五、证明全等三角形的步骤1、分析题目仔细阅读题目，找出已知条件和需要证明的结论。

2、确定方法根据已知条件和图形特点，选择合适的全等三角形判定方法。

3、书写证明按照逻辑顺序，清晰地书写证明过程，每一步都要有依据。

六、全等三角形的应用1、测量可以利用全等三角形测量无法直接测量的距离或长度。

2、证明线段和角的相等关系通过证明两个三角形全等，得出对应线段和角相等。

等腰三角形的复习等腰三角形是初中数学中的重要内容，它具有独特的性质和判定方法。

在这篇文章中，我们将对等腰三角形进行全面的复习。

一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

3、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。

三、等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

2、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

四、等腰三角形中的常见结论1、等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边。

2、等腰直角三角形的两个底角都是 45°，且两条直角边相等。

五、等腰三角形的相关计算1、已知等腰三角形的顶角或底角，求其他角的度数。

例：等腰三角形的顶角为 80°，则底角为（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。

2、已知等腰三角形的腰长和底边长，求周长。

例：等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，则周长为 5 ＋ 5 ＋ 6 ＝16。

3、已知等腰三角形的边长和角度，求面积。

例：等腰三角形的腰长为 10，底角为 30°，过顶点作底边的垂线，根据直角三角形中 30°所对的直角边是斜边的一半，可得高为 5，则面积为 1/2 × 6 × 5 ＝ 15。

六、等腰三角形的证明题证明一个三角形是等腰三角形是常见的题型。

通常需要通过已知条件，运用等腰三角形的性质和判定来证明。

例：已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BC 于点 D。

证明：△ABC 是等腰三角形。

证明：因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。

期末数学专题复习（一）等腰三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴,简称为.⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，9简称为.⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是.3、等腰三角形的判定：⑴定义法：是等腰三角形.⑵.4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于.⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴5、等边三角形的判定：⑴是等边三角形.⑵有一个角是度的三角形是等边三角形.二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到的距离相等.3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在.角的平分线：1、性质：.2、判定：.【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例1 在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点二：线段垂直平分线例2 如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．B．2 C．D．4对应训练2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3B．2 C．D．1考点三：角的平分线例3如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．对应训练3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是．【课后练习】一、选择题1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．20或16B．20C．16 D．以上答案均不对3．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A为顶点的三角形是等腰三角形， 则满足条件的点P共有（ ）A ．2个B．3个 C ．4个 D ．5个5．如图在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6， DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ， 连接AE ，则△ACE 的周长为（ ） A ．16 B ．15 C ．14 D ．136．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点， PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ． 若BF=2，则PE 的长为（ ） A ．2B ．C ．D ．37．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ， 过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9， 则线段MN 的长为（ ） D ．98．如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长 为（ ）二、填空题11．已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为 ． 12．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长 ． 13．如图，在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，在A 1B 上取一点C ， 延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到 A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数 ．14．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作 DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若AB=5，AC=4，则△ADE 的周长是 ．15． 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交 AC 于点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为 ．16．用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 个正三角形．17． Rt △ABC 中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，且∠ACP=30°，则PB 的长为 ．三、解答题18．如图，已知AE ∥BC ，AE 平分∠DAC ． 求证：AB=AC ．19．如图所示，∠ABC 内有一点P ，在BA 、BC 边上各取一点P 1、P 2，使△PP 1P 2的周长最小．20．如图，已知△ABC 的三个顶点在格点上．（1）作出与△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1（2）求出△A 1B 1C 1的面积．21．如图，△ABC 为等边三角形，点M 是线段BC 上的任意一点，点N 是线段CA 上任意一点，且BM=CN ，直线BN 与AM 交于点Q ． （1）求证: △BAN ≌△ACM （2）求∠BQM 的大小．22．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的中点为O ，过点O 作AC 的垂线分别与AD 、BC 相交于点E 、F ，连接AF ．求证：AE=AF ．23．如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，若∠ABE ＝40°，BE =DE ，求∠CED 的度数．24．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高线，求证：AD ⊥EF 。

第九讲全等三角形，等腰三角形综合【例题讲解】1.如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF ②CE=AB+AE ③∠BDC=∠BAC ④∠DAF+∠CBD=90°其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．3.如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：（1）∠BAC=2∠BEC；（2）∠CAE+∠BEC=90°．4.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB=AC，点P是ABC内一点，且∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数．5.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：．（不需证明）（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．6.如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F 按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为相等，位置关系为垂直（不需要证明）．（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．7.平面直角坐标系内，直线AB过一，二，三象限，分别交x，y轴于A，B两点，直线CD ⊥AB于D，分别交x，y轴于C，E．已知AB=AC=10，S△ACD=24，且B（0，6），（1）①求证：△AOB≌△ADC；②求A点的坐标；（2）连接OD，AE，求证：OD⊥AE；（3）点M为线段OA上的动点，作∠NME=∠OME，且MN交AD于点N，当点M运动时，求的值．8.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．9.如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE于N．（1）求证：BE=BC；（2）求证：∠ANB=∠EPC；（3）当P点运动时，求BP﹣BN的值．10.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A 点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0）．（1）求C点的坐标；（2）D为△ABC内﹣点（AD＞2），连AD．并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．连CD、BE，试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；（3）旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M．求证：①EM=CM；②BD=2AM．11.已知，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作AC⊥BQ交y轴于点D．（1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN 的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明．【作业】1.已知一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，则这个等腰三角形的顶角等于．2.如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH﹣GF=HG，其中正确结论的个数有（）3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明．4.如图1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：（1）BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时（BD＜CE），其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由．（3）若直线AE绕A点旋转到如图3位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？请写出结果，不必证明．5.已知B（﹣2，0），C（2，0），点A是y轴正半轴上一点，CD⊥AC交y轴于D，M为AC上一动点．N为AB延长线一动点，且满足AM+AN=2AC，MN交BC于E，连DE．（1）求证：CM=BN；（2）过M作MK⊥BC于K，求证：①ME=NE，②DE⊥MN；（3）在（2）的条件下问的值是否发生变化？若不变，求其值．6.如图，直线BE交x轴正半轴于点B（a，0），交y轴正半轴于点E（0，b），且a、b满足，点A为BE的中点，（1）写出A点坐标为；（2）如图，若C为线段OB上一点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连BD，求证：OA∥BD；（3）如图，P为x轴上B点右侧任意一点，以EP为边作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直线MB交y轴点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变；求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．7.如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，DM⊥AC于M．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE；（3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．第九讲全等三角形，等腰三角形综合参考答案1.解：过点D作DG⊥BC∵DG垂直平分BC，∴BD=CD角平分线到角两边的距离相等，∴DE=DF，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠BDF=∠CDE，CE=BF，∠FBD=∠DCE，∵DE=DF，且DE⊥AC，DF⊥AB∵AD=AD，∴Rt△AFD≌Rt△AED，∴AE=AF，∴CE=BF=AB+AF=AB+AE∴∠BDC=∠180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠DBC+∠ACB+∠DCA）=180°﹣（∠FBD+∠DBC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=∠BAC∴①②③正确，故选A．2.证明：作EF⊥AC于F，∵EA=EC，∴AF=FC=AC，∵AC=2AB，∴AF=AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE=∠AFE=90°．∴EB⊥AB．3.解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=∠ACD=（∠BAC+∠ABC），∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+∠ABC，∴∠BEC+∠ABC=（∠BAC+∠ABC）∴∠BEC=∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=∠CAN=（180°﹣∠BAC），∴∠CAE+∠BEC=（180°﹣∠BAC）+∠BAC=90°．4.解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠CDB=140°=∠BPC，又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∵∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=10°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．故答案为：70°．5.解：（1）如图1，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠CBF=∠EBA，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，CF=，AE=，∴EF=BE=BF=AE+CF；（2）如图2，延长FC至G，使AE=CG，连接BG，∴△BAE≌△BCG（SAS），∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，∴∠GBF=∠EBF，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴EF=GF=CF+CG=CF+AE；（3）不成立，但满足新的数量关系．如图3，在AE上截取AH=CF，连接BH，∴△BAH≌△BCF（SAS），∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵∠EBF=60°=∠FBC+∠CBE∴∠ABH+∠CBE=60°，∵∠ABC=120°，∴∠HBE=60°=∠EBF，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴EF=EH，∴AE=EH+AE=EF+CF．6.解：（1）∵∠BFE=90°，点P为DE的中点∴PF=PD=PE，同理可得PC=PD=PE，∴PC=PF，又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，∴∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．故答案为：相等、垂直；（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，∵点P为DE的中点，∴△PDG≌△PEF，∴DG=EF=BF．∴∠PEF=∠PDG，∴EN∥DG，∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°﹣∠NBF=90°﹣（45°﹣∠FBC）∴∠FBC=∠GDC，∴△BFC≌△DGC，∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．∴∠FCG=∠BCD=90°．∴△FCG为等腰Rt△，∴PC⊥PF，PF=PC；（3）画图：线段PC、PF有何数量关系：相等，位置关系：垂直．7.解：（1）①证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠AOB=90°，∴△AOB≌△ADC（AAS）；②∵△AOB≌△ADC，B（0，6），∴S△AOB=S△ACD=24=OA×6÷2=3OA，解得：OA=8，即A点坐标为（﹣8，0）；（2）∵△AOB≌△ADC，∴AD=AO，又∵AD⊥EC，AO⊥EO，∴点A在∠OED的角平分线上，∴OD⊥AE；（3）过点E作EF⊥MN于点F，连接NE，∵∠NME=∠OME，EF⊥MN，EO⊥MO，∴EF=EO，MF=MO，由（2）知，点E在∠OAD平分线上，ED⊥AD，EO⊥AO，∴EO=ED，∴EF=ED，∴RT△EDN≌RT△EFN（HL），∴ND=NF，∴===1．8.解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．∴△ABD≌△ACE （SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．∴△ABD≌△ACE （SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD．9.（1）证明：∵A（﹣2，0），B（2，0），∴AD=BD，AB=4，∵∠ODB=30°，∴∠ABD=90°﹣30°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=4，∵B（2，0），C（6，0），∴BC=6﹣2=4，∴BC=BD，又∵BE=BD，∴BE=BC；（2）证明：由三角形的外角性质得，∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，所以，∠ANB=∠EPC；（3）解：∵BE=BD=BC，∠CBE=∠ABD=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BC=CE，∵AB=BC=4，∴AB=CE，∵∠ABD=∠BCE=60°，∴∠ABN=∠ECP=120°，∴△ABN≌△ECP（AAS），∴BN=CP，∵BP﹣CP=BC，∴BP﹣BN=BC=4，故BP﹣BN的值为4，与点P的位置无关．10.解：（1）如图1，过C作CD⊥y轴于D，∴∠CDA=∠AOB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠OAB=90°，∴∠ACD=∠OAB，∴△ACD≌△ABO，∴CD=AO，AD=OB，∵A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0），∴OA=2，OB=4，∴CD=2，OD=6，∴C（2，6）；（2）CD⊥BE，CD=BE，如图2，延长CD交AB于F，交BE于G，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，∴△ABE≌△CAD，∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，∵∠ACD+∠AFC=90°，∴∠ABE+∠AFC=90°，∵∠AFC=∠BFG，∴∠ABE=∠BFG=90°，∴∠BGF=90°，∴CD⊥BE；（3）①如图3，过C作CP⊥y轴于P，过E作EQ⊥y轴于Q，∴∠APC=∠AQE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠ACP，∴△ABO≌△ACP，∴AO=CP，同理△ADO≌△AEQ，∴AO=EQ，∴CP=EQ，∴△EQM ≌△CPM，∴CM=EM，②如图4，在y轴上截取MK=AM，连接CK，∴△AME≌△CMK，∴CK=AE，∠MKC=∠MAE，∵AE=AD，∠ACK=180°﹣∠CKM﹣∠CAK，∠BAD=180﹣∠EAM﹣∠CAK，∴CK=AD，∠ACK=∠BAD，∴△ABD≌△ACK，∴BD=AK，∵AK=2AM，∴BD=2AM．11.（1）证明：∵A（﹣3，0），点B（0，3），∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵AC⊥BQ，∴∠ACB=90°，又∵∠AOB=90°，∴点O、C、B、A四点共圆，∴∠OCQ=∠BAO=45°，故：∠OCQ的度数不变，是45°；（2）解：如图，分别以AN、AB为直角边构造出等腰直角△AND和△ABC，连接BD、CN，∵∠BAD+∠BAN=∠CAN+∠BAN=90°，∴∠BAD=∠CAN，∴△ABD≌△ACN（SAS），∴BD=CN，∠ABD=∠ACN，∴∠DBO+∠NCO=∠ABO+∠ACO=90°，∴BD⊥CN，∵点P为BN的中点，∴MP、OP分别是△BDN和△BCN的中位线，∴MP∥BD且MP=BD，OP∥CN且OP=CN，∴MP=OP且MP⊥OP．【作业】1. 74．2.解：①正确．因为S△EBD=BD•BE•sin∠EBD，S△FBD=BD•BF•sin∠DBF，所以S△EBD：S△FBD=BD•BE•sin∠EBD：BD•BF•sin∠DBF，因为BD是∠EBC的平分线，所以sin∠EBD=sin∠DBF，所以S△EBD：S△FBD=BE：BF；②正确．过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，∵DE是∠AEF的平分线，∴AD﹣DO，∵DB是∠ABC的平分线，∴DA=DN，∴DO=DN，∴DF是∠EFC的平分线，∴∠EFD=∠CFD；③错误．因为HD∥BF，所以∠HDB=∠FBD，又因为BD平分∠ABC，所以∠HBD=∠CBD，于是∠HBD=∠HDB，故HB=HD．但没有条件说明HF与HB必然相等；④正确．由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，故D为△BEF的旁心，于是FD为∠EFC的平分线，故∠CFD=∠EFD，又因为DH∥BC，所以∠HDF=∠CFD，故∠GDF=∠DFE，于是GF=GD，又因为HB=HD，所以HD﹣GD=HG，即BH﹣GF=HG．故①②④正确．故选B．3.证明：（1）∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，又∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，又∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，∴BD=AD，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=60°，∵∠CDE=∠BDE=60°，∴DE平分∠BDC；（2）ME=BD，连接MC，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM=CD，∵EC=CA，∠EMC=120°，∴∠ECM=∠BCD=45°∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME=BD．4.解：证明如下：（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE；（2）DE=BD+CE．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE；（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD=DE﹣CEDE=BD+CE．5.（1）证明：过N作NF⊥x轴于F，如图1所示：∵NF⊥x轴，MK⊥BC，∴∠NFC=∠MKF=90°，∵B（﹣2，0），C（2，0），点A是y轴正半轴上一点，∴AB=AC，∴∠ABC=∠MCK，∵∠NBF=∠ABC，∴∠NBF=∠MCK，∵AM+AN=2AC，∴CM=BN；（2）证明：①∴△BFN≌△MCK（AAS），∴NF=MK，∴△EFN≌△MEK（AAS），∴ME=NE；②连接BD、MD、DN，如图2所示：∵CD⊥AC，∴∠DCA=90°，∵BD⊥AN，∴∠DBN=90°，∵B（﹣2，0），C（2，0），点D在y轴上，∴BD=CD，∴△BND≌△MCD（SAS），∴DN=DM，∵NE=ME，∴DE⊥MN；（3）解：的值不变，理由如下：∵△ENF≌△MEK，∴EF=EK，∵△BFN≌△MKC，∴BF=CK，∴EK=EF=FK=（BF+OB+OC﹣CK）=（OB+OC）=BC，∴=．6.解：（1）∵∴a=4，b=4，∴△EOB为等腰直角三角形．∴点A的坐标为（2，2），故答案为（2，2）；（2）∵以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，∴∠CAB+∠BAD=45°，又∵∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，∴∠CAB=∠CDB，∴∠ABD=90°=∠OAB，∴OA∥BD；（3）过M作MD⊥x轴，垂足为D．∵∠EPM=90°，∴∠EPO+MPD=90°．∵∠QOB=∠MDP=90°，∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．∴△PEO≌△MPD，MD=OP，PD=BO，OP=OB+BP=PD+BP=BD，∴MD=BD，∠MBD=45°．∵∠QBO=45°，∴△BOQ是等腰直角三角形．∴OB=OQ=4．∴无论P点怎么动OQ的长不变．7.证明：（1）在△ABC中，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠BDO，∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣2∠BDO，①在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°﹣∠ADC，∵BO=CO=1，∴∠BDC=2∠BDO，∴∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°﹣2∠BDO，②①﹣②得，∠ABD﹣∠ACD=0，∴∠ABD=∠ACD；（2）过D作DN⊥BE于N，由于BD=CD，∠ABD=∠ACD；∴△BDN≌△CDM，∴DM=DN，∴AD是∠CAE的角平分线；（3）的值不发生变化，理由：∵△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∵AD是∠CAE的角平分线，∴AN=AM，∵BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC﹣AM，∴AM+AB=AC﹣AM，∴AC﹣AB=2AM，∴=2是定值．第11页。

初中数学专题复习——全等三角形一.知识点结构梳理及解读1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等3.三角形全等的判定：（1）边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。

角角边（AAS）：两个角和其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

二、找全等三角形的方法（1）从结论出发，看要证明相等的线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）从已知出发，看可以确定哪两个三角形全等；（3）从条件和结论综合考虑，看能一同确定哪两个三角形全等；（4）考虑辅助线，构造全等三角形。

三．全等三角形中几个重要结论（1）全等三角形对应角的平分线、中线、高分别相等(对应元素都分别相等)（2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；等腰三角形三线合一；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°；Rt⊿30°角的对边等于斜边的一半，反之，Rt⊿中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。

（4）三角形三内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边的距离相等），三角形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距离相等），到三角形三边所在直线等距离的点有四个经典例题例1．如图：BE 、CF 相交于点D ，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E 、F ，且DE=DF 。

第14章《全等三角形》期末总复习资料（通用5篇）第14章《全等三角形》期末总复习资料篇1本章需要理解掌握的知识点有：一、全等三角形的定义（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）；二、在全等三角形中找对应边和对应角1、公共边是对应边；2、对应角的对边是对应边；3、公共角是对应角；4、对顶角是对应角；5、对应边的对角是对应角。

三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

全等三角形的周长相等、面积相等全等三角形的对应线段都相等四、判定三角形全等的方法：基本事实：sas,asa,sss, 定理aas,判定直角三角形全等的方法：基本事实：sas,asa,sss, 定理aas, hl五、证明题的思考思路：拿到证明题首先看是证明什么的，比如是要证明线段相等，那就要看这两条线段在哪两个三角形中，结合图形看一看这两个三角形是否全等，结合全等证明的依据看全等条件可够，不够的条件能否从其他已知条件中得到；再结合已知条件看从给的已知条件能得到什么，两头一凑，基本上证明思路就出来了。

六、证明角相等的依据1、由角平分线得角相等；2、同角或等角的余角相等3、同角或等角的补角相等3、由平行线得角相等或角的互补；4、三角形内角和是180度；5、全等三角形的对应角相等；6、三角形的外角等于与它不相邻的两内角和；七、证明线段相等的依据全等三角形的对应边相等八、证明角不等的依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角九、证明线段不等的依据三角形两边之和大于第三边图形平移不改变图形形状和大小，只改变位置。

第14章《全等三角形》期末总复习资料篇2教师在吃透教材、简析教材内容、教学目的、教学重点、难点的基础上，遵循整体构思、融为一体、综合论述的原则，分块写清，分步阐述教学内容，以进一步提高教学效果。

下面是由小编为大家带来的关于《全等三角形》，希望能够帮到您!尊敬的各位评委老师：大家好!今天我说课的题目是人教版数学八年级上册第十一章第1节《全等三角形》。

一、全等三角形注: ① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等. 2. 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1: 如图, 在△ABE 中, AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证: （1） △ABC ≌△AED ； （2） OB ＝OE .例2: 如图所示, 已知正方形ABCD 的边BC.CD 上分别有点E 、点F, 且BE ＋DF ＝EF, 试求∠EAF 的度数.AD F例3.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, AE是BC的中线, 过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB 交CF的延长线于点D。

(1)求证：AE=CD, （2)若BD=5㎝,求AC的长。

例4:如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB.AC边翻折180°形成的, 若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3, 则∠a的度数为例5: 如图: 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D是AB上一点, AE⊥CD于E, BF⊥CD交CD的延长线于F.求证: AE=EF+BF。

练习:1.已知: 如图5—129, △ABC 的∠B.∠C 的平分线相交于点D, 过D 作MN ∥BC 交AB.AC 分别于点M 、N, 求证:BM ＋CN ＝MN2.如图（13):已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD , BC=DE ,请你判断AC 垂直于CE 吗？ 并说明理由。

3.如图(14）,已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D , 试说明（1)DE ∥BF (2)AE=CFFDCABE(14)4.如图: 在△ABC中, ∠BAC=90°,∠ABD= ∠ABC, DF⊥BC, 垂足为F, AF交BD于E。

等腰三角形全等三角形专题复习等腰三角形全等三角形专题复习1.如图，AB AC BD BC ==，，若40A Ð= ，则ABD Ð的度数是（的度数是（）A ．20B ．30C ．35D ．402.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º(1) 求证：△ABF ≌△CAE (2) 求∠DBF 的度数3.一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为，则这个三角形的三个角应该为 。

4. 如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°AOB=60°..恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．5、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =Ð=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE Ð=Ð=°． （1）求DBC Ð的度数；的度数；（2）求证：BD CE =．6.如图所示，∠BAC =∠ABD ，AC =BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点.试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明. 【解析】OE ⊥AB ． 证明：在△BAC 和△ABD 中，中，AC =BD ，∠BAC =∠ABD ， AB =BA ．∴△BAC ≌△ABD ． ∴∠OBA =∠OAB ,，∴OA =OB ． 又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB ．7.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ， AD 与BE 相交于点F ．(1)求证：ABE D ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．的度数．（1）证明：∵ABC △为等边三角形，为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA 在△ABE 和△CAD 中，中， AB=CA ，∠BAE=∠C,AE=CD, ∴△ABE ≌△CAD (2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD ， 又∵△ABE ≌△CAD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°AD E勾股定理专题复习勾股定理专题复习1.如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD^BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。