中考专题19 坐标系中的特殊角-最新中考数学二次函数压轴题核心考点突破

二次函数中的角度问题(4大题型)专练通用的解题思路：1、角的数量关系处理的一般方法如下：(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； (2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； (3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．2.特殊角问题处理的一般方法如下： (1)运用三角函数值；(2)遇45°构造等腰直角三角形； (3)遇30°，60°构造等边三角形； (4)遇90°构造直角三角形．题型一：角相等问题对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

1(2024·山西太原·三模)综合与探究如图1，经过原点O 的抛物线y =-2x 2+8x 与x 轴的另一个交点为A ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，已知点B 的横坐标为1，点M 为抛物线上一动点．(1)求出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．(2)如图2，若点M 是直线l 上方的抛物线上的一个动点，直线OM 交直线l 于点C ，设点M 的横坐标为m ，求MC OC的最大值．(3)如图3，连接OB ，抛物线上是否存在一点M ，使得∠MOA =∠BAO ，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．(1)请直接写出A、B、D三点坐标．(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值；(3)如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；3(23-24九年级下·湖南永州·开学考试)综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB=∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4(2024·上海嘉定·二模)在平面直角坐标系xOy(如图)中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(-2,3)两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；(3)已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC=∠BAC，请求出点D的坐标．5(2023·海南·模拟预测)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)．直线y=x+1与抛物线交于A，D两点．点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；(2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形PCAD的面积；(3)抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAD？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点M、N是对称轴上的两个动点，且MN=1，点M在点N的上方，求四边形ACMN的周长的最小值．6(2024·上海静安·二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x=52对称，且经过点A(0,3)和点B(3,0)，横坐标为4的点C在此抛物线上．(1)求该抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC=45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ=∠BAC，并求点P的坐标．7(2024·广西·一模)如图，已知抛物线y =-13x 2+bx +c 交x 轴于A -3,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ，P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP ，BP ，若S △BOP =2S △AOC ，求点P 的坐标；(3)若∠PBA =∠ACO ，直接写出点P 的坐标．8(2024·山东济南·一模)如图，二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0). 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC 、BD ．(1)若m =1,，求B 点和C 点坐标；(2)若∠ACO =∠CBD ,求m 的值；(3)若在第一象限内二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0)的图象上，始终存在一点P ，使得∠ACP =75°.请结合函数的图象，直接写出m 的范围．9(2024·广东·一模)综合应用．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y =-23x 2+43x +2的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使∠PCB =∠ABC ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．10(2024·江苏宿迁·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B、C三点，已知A-1,0，B3,0．，C0,3(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上任意一点，若∠PBC=∠ACO，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上任意一点，若以M、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标．题型二：二倍角关系问题对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。

二次函数与角有关的问题整理二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题是各地中考和模拟考试的热点问题。

这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

为此，我们将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。

首先，我们将这些题大致分成两大类：相等角问题和半角或倍角问题。

相等角问题又分为三种：第一种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

例如，在例1中，抛物线y=-x2+3x+4与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

我们可以发现符合条件的点M有两个，一个在OP上方，一个在OP下方。

当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA，则M与C点重合。

当M在OP下方时，这两角组成的三角形是等腰三角形。

设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长，根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

第二种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。

这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例如，在例2中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.1）求抛物线的解析式及点D的坐标；2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标。

通过已知条件易得抛物线表达式为y=x2-2x-6及各定点坐标。

第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。

在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=2，则tan∠FAB=2.过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据XXX∠FAB=AH/FH，列方程求解即可。

冲刺中考《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴专题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)13，4；【解法提示】∵二次函数y＝－13x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，∴b c=b c=--+⎧⎪⎨-++⎪⎩33016403，解得b=c=⎧⎪⎨⎪⎩134，1(2)可能是，理由如下：∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°，∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，如解图①，设PQ与y轴交于点D，第1题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°，2∴∠DQO＝∠DCP，∴tan∠DQO＝APPQ＝tan∠DCP＝AOCO＝34，∵AP＝t,∴PQ＝43 t，由勾股定理得：AQ2＝AP2＋PQ2，即(t＋3)2＝t2＋(43t)2，解得t＝92或t＝－98(舍去)，根据题意，点Q在线段OB上，∴0≤t≤4，∴不存在这样的t值满足题意，即△APQ不可能是直角三角形；（3）假设存在点M使得△PMQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，过P作PE⊥x轴于E，过M作MN⊥PE交PE的延长线于点N，34第1题解图②∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°， ∠MPN ＋∠QPE ＝90°， ∴∠PMN ＝∠QPE ， 在△PMN 和△QPE 中，∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩PMN=QPE PNM=PEQ MP=PQ ， ∴△PMN ≌△QPE (AAS)， ∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos∠CAO ＝AO AC ＝35， sin∠CAO ＝OC AC ＝45，5∴AE ＝35t ，PE ＝45t ，∴MN ＝45t ，EN ＝EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t －35t －45t ＝3－25t ， ∴x M ＝x E －MN ＝35t －3－45t ＝－15t －3，∴点M 的坐标为(－15t －3，25t －3)，在x 轴下方，∵点M 在抛物线上，∴－13(－15t －3)2－13(15t ＋3)＋4＝25t －3，整理得t 2＋65t ＝225，解得t ＝－65＋52052或t ＝－65－52052(舍)，综上，存在满足条件的点M ，此时运动时间t 为－65＋52052秒．2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B . (1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最6小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第2题图解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得 ⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；7(2)如解图，连接MA ，第2题解图∵MA ＝MB ， ∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M (－1，2);(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．83. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△PAC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将C 、A 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得⎩⎨⎧36＋6b ＋c ＝0c ＝－6，解得⎩⎨⎧b ＝－5c ＝－6，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6； (2)当y ＝0时，则有：x 2－5x －6＝0， 即(x ＋1)(x －6)＝0， ∴解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)， ∴B (－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝2＝49，AC 2＝(6－0)2＋2＝72， AB 2＝(－1－0)2＋2＝37，9∵AB 2＋BC 2>AC 2， ∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点P ，使得△PAC 是以AC 为底的等腰三角形 理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂线交抛物线于点P ，第3题解图直线MP 与抛物线必有两个满足条件的交点P ， ∵A (0，－6)，C (6，0)，∴点M 的坐标为(3，－3)，且OA =OC ， ∴直线MP 过点O ，设直线MP 的解析式为y ＝kx ， 将点M (3，－3)代入得，k ＝－1， 即直线MP 的解析式为y ＝－x ， 联立⎩⎨⎧y ＝－x y ＝x 2－5x －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－10y 1＝10－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋10y 2＝－2－10，∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连接AC ，BC . (1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；10(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，PA ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵直线y ＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点， ∴A (5，0)，B (0，10)，设过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx (a ≠0)， 把点A (5，0)和C (8，4)代入可得⎩⎨⎧25a ＋5b ＝064a ＋8b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16b ＝－56，∴抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ；∵A (5，0)，B (0，10)，C (8，4)， ∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，11∴△ABC 是直角三角形．(2)如解图，连接AP ，AQ ，当P ，Q 运动t 秒，即OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，第4题解图在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中， ⎩⎨⎧AC ＝OA PA ＝QA， ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ ， ∴OP ＝CQ ， ∴2t ＝10－t ，∴t ＝103， ∵t <5，∴当运动时间为103秒时，PA ＝QA ；(3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52，设点M的坐标为( 52，b)，利用点的坐标可求得AB2＝102＋52＝125，MB2＝(52)2＋(b－10)2，MA2＝(52)2＋b2，∵△MAB是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB＝MA时，即125＝(52)2＋b2，解得b＝±519 2，即点M的坐标为(52，5192)或(52，－5192)；②当AB＝BM时，即125＝(52)2＋(b－10)2，解得b＝10±519 2，即点M的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192)；12③当MB＝MA时，即(52)2＋(b－10)2＝(52)2＋b2，解得b＝5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在．综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(52，5192)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192)．5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．解：(1)由题意得⎩⎨⎧32＋3b＋c＝0c＝3，解得⎩⎨⎧b＝－4c＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；13(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第5题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∵△CEF∽△GEP∴EF＝22CF＝22(3－m), PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，14∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2 (t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第5题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．6.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；15(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN的值最小，求出此时点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，∴c=a a c=⎧⎨-+⎩41680，解得a=c=⎧-⎪⎨⎪⎩124，∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋4；(2)由y＝－12x2＋x＋4＝－12(x－1)2＋92可得抛物线的顶点坐标为N(1，92)，如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求点，1617第6题解图①设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把N ，C′两点坐标代入可得：k b=b=⎧+⎪⎨⎪-⎩924，解得k=b=⎧⎪⎨⎪-⎩1724，∴直线C′N 的解析式为y ＝172x －4， 令y ＝0，解得x ＝817， ∴点K 的坐标为(817，0)； (3)存在．要使△ODF 是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①DO ＝DF ，∵A (4，0)，D (2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2，18在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°， ∴∠ADF ＝90°.此时，点F 的坐标为(2，2)； 由－12x2＋x ＋4＝2得，x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.此时，点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)； ②FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M .第6题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，19∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3得，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.此时，点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)； ③OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为2 2.而OF ＝OD ＝2<22，∴在AC 上不存在点F 使得OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．7. 如图①，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8与x 轴交于点A (－6，0)，点B (点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC .(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)连接AC 交直线l 于点D ，则在点P 运动过程中，当点D 为EP 中点时，求S △ADP ∶S △CDE ；(3)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG 是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．第7题图解：(1)∵点A(－6，0)在抛物线y＝－13x2＋bx＋8上，∴0＝－13×(－6)2＋(－6b)＋8，解得b＝－2 3，∴抛物线的表达式为y＝－13x2－23x＋8，令x＝0，得y＝8，∴C(0，8);(2)设点E(t，－13t2－23t＋8)，∴P(t，0)，∵点D为EP的中点，2021∴DP ＝DE ，D (t ，－16t 2－13t ＋4)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (－6，0)，C (0，8)，代入得：k b=b=-+⎧⎨⎩608，解得k=b=⎧⎪⎨⎪⎩438，∴直线AC 的解析式为y ＝43x ＋8，∵点D 在直线AC 上， ∴43t ＋8＝－16t 2－13t ＋4， 解得t 1＝－6(舍去)，t 2＝－4， ∴P (－4，0)， ∴AP ＝2，OP ＝4，∴S △ADP S △CDE ＝1212g g DP AP DE OP ＝AP OP ＝12； (3)存在．如解图①，连接EG ，AG ，过点G 作GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，第7题解图①∵EC∥x轴，∴EP＝CO＝8，把y＝8代入y＝－13x2－23x＋8，则8＝－13x2－23x＋8，解得x＝0(舍去)或x＝－2，∴P(－2，0)，∴AP＝AO－PO＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG＝90°时，∵∠MEG＋∠AEP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠MEG＝∠EAP，又∵∠APE＝∠EMG＝90°，∴△EMG∽△APE，22∴EMAP＝MGEP，设点G(m，－13m2－23m＋8)(m＞0)，则GN＝MP＝－13m2－23m＋8，∴EM＝EP－MP＝8－(－13m2－23m＋8)＝13m2＋23m，MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m，∴13m2＋23m4＝2＋m8，∴m＝－2(舍去)或m＝3 2，∴G(32，254)；(ⅱ)如解图②，当∠EAG＝90°时，23第7题解图②∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠NAG＝∠AEP，∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE，∴GNAP＝ANEP，设点G(n，－13n2－23n＋8)(n＞4)，∴GN＝13n2＋23n－8，AN＝AO＋ON＝6＋n，∴2128334+-n n＝68+n，∴n＝－6(舍去)或n＝11 2，∴G(112，－234)，综上，符合条件的G点的坐标为(32，254)或(112，－234)．24258. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE .已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)分别求出点B 和点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m )，直线PB 与直线l 交于点Q .试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．第8题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A (－2，0)，D (6，－8)， ∴将A 、D 两点的坐标代入得⎩⎨⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8；(2)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(8，0)．设直线l的函数表达式为y＝kx，∵点D(6，－8)在直线l上，代入得6k＝－8，解得k＝－4 3，∴直线l的函数表达式为y＝－43x，∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，即点E的坐标为(3，－4)；(3)需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，第8题解图①∵点E的坐标为(3，－4)，26∴OE＝32＋42＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则OMOP＝OEOQ，∴OM＝OE＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，∴3k1－5＝－4，解得k1＝1 3，∴直线ME的函数表达式为y＝13x－5，令y＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，∴OPOM＝OBOH，即－m5＝815，∴m＝－8 3；②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如解图②，27第8题解图②∵当x＝0时，y＝12x2－3x－8＝－8，∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝32＋（8－4）2＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为y＝k2x－8，E（3，-4）在直线CE上，∴3k2－8＝－4，解得k2＝43，28∴直线CE的函数表达式为y＝43x－8，令y＝0，得43x－8＝0，∴x＝6，∴点N的坐标为(6，0)．∵CN∥PB.∴OPOC＝OBON，∴－m8＝86，解得m＝－323.综上所述，当m的值为－83或－323时，△OPQ是等腰三角形．9.如图，抛物线y＝13x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上；(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2930第9题图解：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1；(2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1，抛物线的顶点D 的坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a)，∴x D ＝－－232×13＝1，y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43，∴D(1，－43)．把x＝1代入y＝－2x中得y＝－2，∵－43≠－2，∴顶点D不在直线y＝－2x上；(3)存在．理由如下：如解图，过点C作x轴的平行线，与该抛物线交于点P1，P2，连接BP1，BP2.第9题解图∵直线BC⊥x轴，∴△P1BC、△P2BC都是直角三角形．把x＝－1代入y＝－2x中得：y＝－2×(－1)＝2，∴C(－1，2)．31∴把y＝2代入y＝13x2－23x－1中得13x2－23x－1＝2，解得x1＝10＋1，x2＝－10＋1.∴P1(10＋1，2)，P2(－10＋1，2)．10.如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求sin∠ABC的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第10题图解：(1)将点A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线y＝－12x2＋bx＋c中得，⎩⎨⎧－12－b＋c＝0c＝2，解得⎩⎨⎧b＝32c＝2，32∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)令y＝－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴点B的坐标为(4，0)，在Rt△BOC中，BC＝OC2＋OB2＝22＋42＝25，∴sin∠ABC＝OCBC＝225＝55；(3)存在，点P坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y＝－12x2＋32x＋2得对称轴为直线x＝32，∴点D的坐标为(32，0)．∴CD＝OC2＋OD2＝22＋（32）2＝52.∵点P在对称轴x＝32上，且△PCD是以CD为腰的等腰三角形，∴当点D为顶点时，有DP＝CD＝52，33此时点P的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C为顶点时，如解图，连接CP，则CP＝CD，过点C作CG⊥DP于点G，则DG＝PG，第10题解图∵DG＝2，∴PG＝2，PD＝4，∴点P的坐标为(32，4)．综上，存在点P使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，点P的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．34。

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题--角度问题1．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y =2x −2x −3 与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点， D 为抛物线顶点．(1)A 点坐标： ；顶点D 的坐标： ；(2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T ，使得线段TA 绕点T 顺时针旋转90°后，点A 的对应点A '恰好也落在此拋物线上? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上第四象限的一个动点，连接 AP 、BE 交于点G ，设BGP ABGSw S=， 则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？(4)点Q 是抛物线对称轴上一动点， 连接OQ 、AQ ，设 AOQ △ 外接圆圆心为H ， 当 sin OQA ∠的值最大时， 变直接写出点H 的坐标 ．2．如图，抛物线222433y x x =-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．(1)A ，B ，C 三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接AP ，交线段BC 于点D ， ①当CP 与x 轴平行时，求PDDA的值； ①当CP 与x 轴不平行时，求PDDA的最大值； (3)连接CP ，是否存在点P ，使得290BCO PCB ∠+∠=︒，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于()()2,08,0A B -、两点，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC 沿AC 所在直线折叠，得到ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标．并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当PCB ABC ∠=∠时，求点P 的坐标．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为M （1，4），且经过点N （2，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点P 在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM 与x 轴交于点D ，若DME APE ∠∠=，求点P 的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P ，使ANB 2APE ∠∠=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线()22212y x t x t t =--+--+与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 右边），与y 轴交于C 点． （1）当12t =时，直接写出点A 、B 、C 的坐标； （2）在（1）的条件下，点P 在y 轴的负半轴上，延长PB 至点M ，使CBM OBC ∠=∠，求直线PM 的解析式；（3）如图2，若点Q 是抛物线上点B ．C 之间的动点，直线QA ．QB 分别交y 轴于D ．E 两点，设点Q 的横坐标为m ，求DEm的值．6．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，OB OC =，点()2,3D -在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(,1)4P m km +（n 为任意实数），当m 变化时，点P 在直线l 上运动，若点A ，D 到直线l 的距离相等，求k 的值；（3）M 为抛物线在第二象限内一动点，若45AMB ∠>︒，求点M 的横坐标M x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为C(3，6)，与y 轴交于点B(0，3)，点A 是对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，直线AB 交抛物线于点E ，连接BC 、CE ，求①BCE 的面积； （3）如图①所示，在对称轴AC 的右侧作①ACD ＝30°交抛物线于点D ，求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q ，使①CQD ＝60°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点小B ，与y 轴分别交于点C ，其中点()1,0A -，点()0,2C ．（1）求抛物线的解析式并确定ABC 形状；（2）点P 是线段AB 上一动点，过P 作//PD AC 交BC 于D ，当PCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）点M 是位于线段BC 上方的抛物线上一点，当ABC ∠恰好等于ABCM 中的某个角时，直接写出M 的坐标．9．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标 （2）求抛物线的解析式（3）D 为直线AB 上方抛物线上一动点①连接DO 交AB 于点E ，若DE①OE ＝3①4，求点D 的坐标①是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 的2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，请说明理由．10．如图，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点()2,0A -和B 两点，点()6,4C 在抛物线上．（1）直接写出B 点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）；（2）如图1，D 为y 轴左侧抛物线上一点，且2∠=∠DCA CAB ，求点D 的坐标； （3）如图2，直线y mx n =+与抛物线交于点E 、F ，连接CE 、CF 分别交y 轴于点M 、N ，若·3=OM ON ，求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标．11．如图1，已知抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于A 、C 点，与y 轴交于B 点，并与直线4y x =-交于A 、B 两点．（1）点A 的坐标为____；点B 的坐标为___；抛物线的解析式为___．（2）若在直线AB 的下方抛物线上有一点D （不与A ，B 重合），使得2DBA BAC ∠=∠，求点D 的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，过点D 作DE x ⊥轴于E ，在平面内是否存在点M ，使得DEA △绕M 点逆时针旋转90度后得到111D E A △，使111D E A △的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在请求出点1D 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，直线3y kx =-与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，经过A ，B 两点的抛物线2(1)=-+y x m 与x 轴负半轴交于点C ．（1）求m 和k 的值；（2）过点B 作//BD x 轴交该抛物线于点D ，连结CD 交y 轴于点E ，连结CB ． ①求BCD OBC ∠+∠的度数；①在x 轴上有一动点F ，直线BF 交抛物线于点P ，若ABP BCD ∠=∠时，求此时点P 的坐标．13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝12；连接AC ，BC ，S △ABC ＝15． （1）求抛物线的解析式；（2）①点M 是x 轴上方抛物线上一点，且横坐标为m ，过点M 作MN ①x 轴，垂足为点N ．线段MN 有一点H （点H 与点M ，N 不重合），且①HBA +①MAB ＝90°，求HN 的长； ①在①的条件下，若MH ＝2NH ，直接写出m 的值； （3）在（2）的条件下，设d ＝MANNBHS S ∆∆，直搂写出d 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围．14．已知，点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()4,3B 和抛物线214y x =，将抛物线214y x =沿着y 轴方向平移经过点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画出平移后的抛物线如图所示．（1）平移后的抛物线是否经过点 ()4,3B ？说明你的理由；（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图像上是否存在点P ，使7PABS =？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平移后的抛物线上有点M ，过点M 作直线2y =-的垂线，垂足为N ，连接OM ON 、，当60MON ∠=︒时，求点M 的坐标．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2(0)y x bx c c =++<的顶点为A ，且与y 轴的交点为B ，过点B 作//BC x 轴交抛物线于点(4,4)C --，在CB 延长线上取点D ，使12BD BC =，连接OC ，OD ，AC 和AD ．（1）求抛物线的解析式；（2）试判断四边形ADOC 的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P ，使得45POC ∠=︒．若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，直线:2l y x =-+与y 轴相交于点A ，抛物线21:(1)L y x m =-+也经过点A ，其顶点为B ．将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 上的点D 处，点D 的横坐标为(1)n n >．（1）求点B 坐标；（2）求平移后的抛物线2L 的解析式（用含n 的式子表示）；（3）若平移后的抛物线2L 与原抛物线1L 相交于点C ，且点C 的横坐标为a ． ①请求出a 关于n 的函数关系式；①如图2，连接AC 、CD ，若90ACD ∠=︒，求a 的值．17．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线过点A （-4，0），顶点坐标为C （-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式．（2）点B 在抛物线上，且B 点的横坐标为-1，点P 在x 轴上方抛物线上一点，且①PAB=45°，求点P 的坐标．（3）点M 在x 轴下方抛物线上一点，点M 、N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ．连结MD 交两坐标轴于E 、F 点. 求证：OE=OF ．19．如图1，已知：抛物线2y ax bx c =++过点()()()104358，、，、，，交x 轴于点C ，点B （C在B 左边），交y 轴于点A ． （1）求抛物线的解析式；（2）D 为抛物线上一动点，ABD CAB ABC ∠=∠+∠，求点D 的坐标；（3）如图2，():370l y kx k k =-+≠交抛物线于,M N 两点（,M N 不与,C B 重合），直线,MC NC 分别交y 轴于点I ，点J ，试求此时OI OJ 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．20．如图，为已知抛物线25y ax bx =++经过()()5,0,4,3A B ---两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B C 、不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当3PBC S ∆=时，求t 的值；①该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，OA ＝OB ，点C 的坐标为（﹣1，0），OA ：OC ＝3：1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，顶点为D ．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝13x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求①BAF﹣①BAD的值；①若直线EF上有点H，使①AHC＝90°，求n的取值范围．参考答案：1．(1)（-1，0），（1，-4）(2)点T 的坐标为(1，3)或(1，-2)；(3)w 有最小值，最小值为2425； (4)（-12-12，）2．(1)()2,0A -;()3,0B ;()0,4C (2)①15；①940 (3)存在点P ，74m =3．(1)213442y x x =-++ (2)()8,8,24D -(3)()6,4P 或34100,39⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （1，2）或（1，-2）；（3）P （1）或（1，1）．5．（1）5(,0)2A -、1(,0)2B 、5(0,)4C ；（2）20102121y x =-；（3）36．（1）223y x x =--；（2）54-或14-；（3）1M x ＜﹣17．（1）21233y x x =-++；（2）27；（3）D 点坐标为()33D +-，存在，Q 点坐标为(0，或(0，8．（1）213222y x x =-++，直角三角形；（2）3(,0)2p ；（3）M 点坐标为()3,2或528,39⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（1）()()4,0,0,2A B -；（2）213222y x x =--+；（3）①()1,3D -或()3,2D -；①存在，()2,3D -． 10．（1）()4,0，211242y x x =--；（2）D 坐标为()6,10-；（3）定点坐标为45,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．（1）()()4,0,0,4-，234y x x =--；（2）()2,6D -；（3）存在，1543,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）4m =-，1k =；（2）①45︒；①(5,12)或720,39⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（1）y ＝﹣x 2+x +6；（2）①1；（3）d ＝（m +2）2（﹣2＜m ＜3）．14．（3）M （2）或（，23-）． 15．（1）244y x x =+-；（2）四边形ADOC 是平行四边形，见解析；（3）存在，P 的坐标是(2--或(0,4)-16．（1）()1,1B ；（2）2()2=--+y x n n ；（3）①2n a =；①117．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或． 18．（1）y=214x x +；（2）（125，9625）； 19．（1）243y x x =-+；（2）不存在点D ；（3）是，720．（1）265y x x =++；（2）①2t =-或3t =-或t =或t =①点P 的坐标为(32-，74-)或（0，5）21．（1）a =-1，b=2，c=3；（2）①①BAF ﹣①BAD ＝45°；①n 的取值范围n。

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；2．如图△，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan△ACB的值；（3）如图△，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数的图象经过点A （4，4）、B （5，0）和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B .（1）求抛物线的解析式；（2）设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.△当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹.并直接写出直线CD 的解析式；△点()(),0P m n m >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR ∆.在△的条件下，记PQR ∆与COD ∆的公共部分的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值.5．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB△x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l△x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且△DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y 轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式及A点坐标；(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围.8．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN△x 轴于点N ，交抛物线于点M ，当△BCM 面积最大时，求△BPN 的周长． （3）在（2）的条件下，当△BCM 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线243y x x =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点.（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为直线BD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF BD ⊥于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM EP ⊥，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点'B ，'D ，y 轴上有一动点M ，连接'MB ，'MD ，''MB D ∆是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由.11．如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -、()30B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点为点M ．（1）求这条抛物线的解析式及直线BM 的解析式；（2）P 段BM 上一动点（点P 不与点B 、M 重合），过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使NMC ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图,已知抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3).(1)该抛物线的对称轴是直线___________， (2)求抛物线的解析式；(3)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：13．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．△是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；△若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．15．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且△MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．17．已知：直线122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y ＝12x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AE 上一动点，当△PBC 周长最小时，求点P 坐标； （3）动点Q 在x 轴上移动，当△QAE 是直角三角形时，求点Q 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点M ，使得点M 到C 点的距离与到直线AD 的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由； （3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．19．如图，抛物线2y ax bx c =++ 经过点()2,5A -，与x 轴相交于()1,0B -，()3,0C 两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿沿直线BD 翻折得到BC D '∆，若点D '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.20．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1,tan 3OB ABO =∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过,,A B C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于,M N 两点． △若2PMN S ∆=，求k 的值；△证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；△当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案：1．（1）B （0，2），抛物线解析式为y=﹣43x 2+103x+2；（2）m 的值为12；（3）当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）． 2．（1）B （3m ，0）；（2）tan△ACB ＝12；（3）点P 的坐标是：）或）． 3．（1）y ＝﹣x 2+5x ；（2）当点P 在直线OA 的上方时，线段PC 的最大值是4；（3）存在，P 的坐标是（4，2﹣）或（6，﹣6）或（5，0）． 4．（1）()21154y x =--+；（2）；4y x =-+；△S 27448x x =-+-；S 的最大值为47.5．（1）5；（2）a ＝﹣1（3）m ＝3n 2+2 6．（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）P （﹣25，6625）；（3）点M 的坐标为（32，298）或（32，﹣58）或（32，52）或（32，32）．7．(1)y=x 2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；m ＜6或 3m ＜28．（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）在y 轴上存在点M ，点M 的坐标为(0,3)，(0,3-或(0,3-，（3）P （4，﹣3）．9．（1）y ＝﹣x 2+2x+3 （2）310．（1）43y x =-+（2（3）(0,,,.11．（1）2y x 2x 3=-++，26y x =-+；（2）四边形ACPQ S 29322t t =-++，t 的取值范围是13t <<；（3）716,55N ⎛⎫⎪⎝⎭或14N ⎛ ⎝⎭或()2,2N 12．（1）1x = （2）2y x 2x 3=-++；（3）存在，⎝⎭或（2.3）13．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.14．（1）211384y x x =--+；（2）△存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；△点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭15．(1)y=-23x 2-43x+2；(2)S 的最大值为174；(3)存在，点N或)或)或)．16．（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 17．（1）215222y x x =-+；（2）P （1213，3213）；（3）Q 点坐标为（1，0）或（172，0）；（4）存在；M 点坐标为M （0，﹣8）.18．（1）抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P （2，﹣3）．19．（1）223y x x =--；（2）点'C 坐标为(点D 的坐标为⎛ ⎝⎭；（3）直线BP 的函数表达式为y =y x =20．（1）2y x 2x 3=-++,()1,4P ;（2）△k =±△2241y x x =-++．。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。

中考数学总复习《二次函数压轴题（角度问题）》专项提升练习题（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标是(4,0)-，点B 的坐标是(1,0)，与y 轴交于点C ，P 是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，线段PD 与直线AC 相交于点E(1)求该抛物线的解析式；(2)连接OP ，是否存在点P ，使得2OPD CAO ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y ax ax c =-+与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，直线443y x =+经过A ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，PD AC ∥交y 轴于点D ，若设线段PD 的长为d ，点P 的横坐标为t ，求d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，如图3，连接AD ，点E 为抛物线上第四象限上一点AD AE =，连接CE 交x 轴于点F ，若180ACE ADE ∠+∠=︒，求点P 的横坐标．3．如图，抛物线2y x bx c =--+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点()0,4C -，作直线AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为线段AC 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，垂足为点E ，连接AD OD BP BD ，，，，当四边形ADBP 的面积最大时①求证：四边形OCPD 是平行四边形；①若点F 是OC 的中点，在抛物线上是否存在点Q ，使得经过点F 、Q 的直线与y 轴所夹的锐角与BPD ∠相等，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -和(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；（3）请判断：PQ QB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点(2,0)A -和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D 是第一象限抛物线上一点，过D 作DM x ⊥轴于点M ，交BC 于点N ．若点N 为DM 中点，求点D 的坐标，并直接写出此时直线DC 的表达式．（3）在（2）的条件下，点E 为y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线DC 的垂线，垂足为P ，若ECP DAB ∠=∠，请直接写出点E 的坐标．6．抛物线23y ax bx =++顶点为点()1,4D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a 和b 的值；（2）是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45︒？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．7．抛物线213y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，//PD y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ⊥于E 点．设1021m PD DE =+，求m 的最大值及此时P 点坐标； （3）如图2，点N 在y 轴负半轴上，点A 绕点N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M 处，且180ANM ACM ∠+∠=︒，求N 点坐标．8．如图，顶点为(),P m m （0m >）的二次函数图象与x 轴交于点()2,0A m ，点B 在该图象上，直线OB 交二次函数图象对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式（用含m 的式子表示）．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB 的形状，并说明理由． ①求证：BNM ONM ∠=∠．9．如图1，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ．（1）求直线BD 的解析式；（2）P 为抛物线上一点，当点Р到直线BD 的距离为22时，求点P 的坐标；（3）如图2，直线y t =交抛物线与M ，N 两点，C 为抛物线上一点，当90MCN ∠=︒时，请探究点C 到MN的距离是否为定值．10．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB 的函数解析式、点M 的坐标和ABO ∠的余弦值．（3）连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将AOC 的面积分成1:2的两部分，求点P 的坐标为______．11．如图1，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点A （2，0）B （6，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ． （1）求抛物线的表达式；（2）求ACB ∠的正切值；（3）如图2，过点C 的直线交抛物线于点D ，若45ACD ∠=︒，求点D 的坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线C 外：217166y x x =--+，抛物线C 内：2y ax bx =+的对称轴为直线1110x =-，且C 内的图象经过点(3,2)A --，动直线x t =与抛物线C 内交于点M ，与抛物线C 外交于点N ．（1）求抛物线C 内的表达式（2）当AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C 外与y 轴交于点B ，连结AM 交y 轴于点P ，连结PN ．①在P 点上方的y 轴上是否存在点K ，使得KNP ONB ∠=∠？若存在，求出点K 的坐标，若不存在，说明理由．①若平面内有一点G ，且1PG =，是否存在这样的点G ，使得GNP ONB ∠=∠？若存在，直接写出点G 的坐标，若不存在，说明理由．13．已知抛物线过点A （-4，0），顶点坐标为C （-2，-1）．（1）求这个抛物线的解析式．（2）点B 在抛物线上，且B 点的横坐标为-1，点P 在x 轴上方抛物线上一点，且①PAB=45°，求点P 的坐标．（3）点M 在x 轴下方抛物线上一点，点M 、N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ．连结MD 交两坐标轴于E 、F 点. 求证：OE=OF ．14．如图1，已知：抛物线2y ax bx c =++过点()()()104358，、，、，，交x 轴于点C ，点B （C 在B 左边），交y轴于点A ．（1）求抛物线的解析式；（2）D 为抛物线上一动点ABD CAB ABC ∠=∠+∠，求点D 的坐标；（3）如图2，():370l y kx k k =-+≠交抛物线于,M N 两点（,M N 不与,C B 重合），直线,MC NC 分别交y 轴于点I ，点J ，试求此时OI OJ 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B(﹣2，0)，点C(8，0)，直线y ＝443x -+经过点A ，与x 轴交于D 点． （1）求该二次函数的表达式；（2）点E 为线段AC 上方抛物线上一动点，若①ADE 的面积为10，求点E 的坐标；（3）点P 为抛物线上一动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转到AP'，并使①P′AP ＝①DAO ，是否存在点P 使点P′恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)抛物线的解析式为213222y x x =--+； (2)点P 的横坐标为3734--．2．(1)211433y x x =-++(2)53t d = (3)点P 的横坐标是31092-+3．(1)254y x x =---；(2)①存在，()1,0-或()2,2-或741412,9⎪--⎛⎫ ⎪ ⎝⎭+或7414192,-⎪-⎛⎫- ⎝-⎪ ⎭4．（1）234y x x =--+；（2）151588y x =-+；（3）PQ QB 有最大值为45，P 点坐标为()2,6- 5．（1）211322y x x =-++；（2）D (2，2) 132y x =-+ （3点E 的坐标为(1，3)或(113，179-) 6．（1）a -1=，b=2；（2）P （1，2）或（1，-6）7．（1）211433y x x =-++；（2）m 最大值是3 ()3,2P （3）130,3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 8．（1）()12y x x m m=--；（2）①等腰直角三角形 9．（1）1y x =-；（2）117717,22P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或117717,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）C 到MN 的距离为定值1. 10．（1）2122y x x =+；（2）4y x =+ ()2,2M -- 2cos 2ABO ∠=；（3）(2,2)P -或(0,4) 11．（1）21462y x x =-+；（2）12；（3）D 57,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．（1）251166y x x =--；（2）2t =；（3）①存在，K(0，－4)；①存在，满足条件的G 点坐标为：()0,4- ()1,5-- 577,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1260,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．（1）y=214x x +；（2）（125，9625） 14．（1）243y x x =-+；（2）不存在点D ；（3）是，715．（1）213442y x x =-++； （2）(103，569)；（3）存在，P 点的横坐标为23或9161+或9161-。

知识导航除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： (1)平行：两直线平行，同位角、内错角相等； (2)角平分线：角平分线分的两个角相等； (3)等腰三角形：等边对等角； (4)全等(相似)三角形：对应角相等；(5)三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； (6)圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．圆周角定理：∠1=∠221三角函数：若tan ∠1=tan ∠2，则∠1=∠212全等三角形：∠1=∠212等腰三角形：∠1=∠212角平分线：∠1=∠212平行：∠1=∠3，∠2=∠3321想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．方法突破如图，已知抛物线过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，-4)． (1)求抛物线的解析式；(2)点C 和点1C 关于抛物线的对称轴对称，点P 在抛物线上，且1PAB CAC ∠=∠，求点P 的横坐标．【分析】 (1)抛物线：2142y x x =--； (2)由题意得：1C 坐标为(2，-4)，考虑到A 、C 、1C 三点坐标均已知，故可求1CAC ∠的三角函数值． 思路1：构造直角三角形过点1C 作1C H ⊥AC 交AC 于H 点，不难求得H 点坐标为(1，3)，故1HC =HA =∴11tan 3CAC ∠=，则1tan 3PAB ∠=．转化“1tan 3PAB ∠=”为“13PA k =”，即13PA k =±． ①当13PA k =时，设P A 解析式为13y x b =+，将A (4，0)代入，得：1433y x =-，联立方程：21144233x x x --=-，解得：14x =，243x =-，故1P 坐标为416,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②当13PA k =-时，设P A 解析式为13y x b =-+，将A (4，0)代入，得：1433y x =-+，联立方程：21144233x x x --=-+，解得：14x =，283x =-，故2P 坐标为820,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为43-或83-．思路2：发现特殊角．MyxCB A OC 1如图构造等腰直角三角形AMC ，易解M 点坐标为(4，-4)， 故△AMC 是等腰直角三角形．∠MAC =45°， 考虑11tan 2MAC ∠=，可知11tan 3CAC ∠=， 下同思路1求解P 点坐标．专项训练1．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【分析】(1)运用待定系数法即可求解；(2)先求出点C 的坐标，根据抛物线与x 轴的两个交点，可求对称轴，找到点C 关于对称轴的对应点；先运用待定系数法求出直线BC 的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC 平行的直线AP 的解析式，联立抛物线解析式即可求解．【解答】解：(1)根据题意得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩．故抛物线的解析式为223y x x =-++；(2)二次函数223y x x =-++的对称轴是(13)21x =-+÷=， 当0x =时，3y =， 则(0,3)C ，点C 关于对称轴的对应点1(2,3)P ， 设直线BC 的解析式为3y kx =+， 则330k +=， 解得1k =-．则直线BC 的解析式为3y x =-+，设与BC 平行的直线AP 的解析式为y x m =-+， 则10m +=， 解得1m =-．则与BC 平行的直线AP 的解析式为1y x =--， 联立抛物线解析式得2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩， 解得1145x y =⎧⎨=-⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩(舍去)．2(4,5)P -．综上所述，1(2,3)P ，2(4,5)P -．【点评】此题考查了二次函数综合题，综合运用待定系数法求二次函数解析式的方法和对称轴，以及互相平行的两直线的关系．2．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180︒，得到新的抛物线C '．(1)求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； (2)如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为(2)m m <-，连接DO 并延长，交抛物线C '于点E ，交直线l 于点M ，若2DE EM =，求m 的值；(3)如图3，在(2)的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标；(2)根据抛物线C 绕点O 旋转180︒，可求得新抛物线C '的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK MDH ∆∆∽，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；(3)连接BG ，易证ABG ∆是Rt △，90ABG ∠=︒，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE =过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．【解答】解：(1)将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； (2)抛物线C 绕点O 旋转180︒，得到新的抛物线C '．∴新抛物线C '的顶点为：(2,4)G '-，二次项系数为：1a '=∴新抛物线C '的解析式为：22(2)44y x x x =--=-将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--， 设2(,4)D m m m --，D 、E 关于原点O 对称，OD OE ∴=2DE EM =2OM OD ∴=，过点D 作DF x ⊥轴于F ，过M 作MR x ⊥轴于R ， OFD ORM ∴∠=∠， DOF MOR ∠=∠ ODF OMR ∴∆∆∽∴2OR RM OMOF DF OD=== 2OR OF ∴=，2RM DF =2(2,28)M m m m ∴-+231228(2)55m m m ∴+=-⋅--，解得：13m =-，225m =-，2m <-m ∴的值为：3-；(3)由(2)知：3m =-，(3,3)D ∴-，(3,3)E -，OE =，如图3，连接BG ，在ABG ∆中，222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =222AB BG AG ∴+=ABG ∴∆是直角三角形，90ABG ∠=︒，1tan 3BG GAB AB ∴∠===， DEP GAB ∠=∠1tan tan 3DEP GAB ∴∠=∠=， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE ==过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； (3,3)E -， 45EOT ∴∠=︒ 90EOH ∠=︒ 45HOT ∴∠=︒(1,1)H ∴--，设直线EH 解析式为y px q =+， 则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EH 解析式为1322y x =--， 解方程组213224y x y x x⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，x ∴=∴点P 的横坐标为：7734+-或7374-．【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．3．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，已知抛物线的对称轴为直线32x =，B 、C 两点的坐标分别为(23B ，0)，(0,3)C -．点P 为直线BC 下方的抛物线上的一个动点(不与B 、C 两点重合)．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图1，连接PB 、PC 得到PBC ∆，问是否存在着这样的点P ，使得PBC ∆的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．(3)如图2，连接AP 交线段BC 于点D ，点E 为线段AD 的中点，过点D 作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接EM 、EN ，则在点P 的运动过程中，MEN ∠的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】(1)将点(23B ，0)，(0,3)C -代入抛物线解析式，再结合32b a -=，联立即可求a 、b 、c 的值； (2)设213(,3)2P m m -，由PBC BOC OCPB S S S ∆∆=-四边形，分别求出OCPB S 四边形和BOC S ∆的面积得到23333)PBC S m ∆=-+PBC ∆面积的最大值； (3)先求出(3A -0)，在Rt AOC ∆中，tan 3OCOAC OA ∠==求出60MAC ∠=︒，由ME NE AE DE ===，可得点M 、A 、D 、N 在以E 为圆心的圆上，由圆周角定理可得2120MEN MAC ∠=∠=︒． 【解答】解：(1)对称轴为直线3x ， 32b a ∴-， (23B ，0)，(0,3)C -在抛物线上，∴122303a b c c ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，解得123a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，2132y x ∴=-； (2)存在点P ，使得PBC ∆的面积最大，设21(,3)2P m m -，连接OP ，则1322POC S OC m m ∆=⨯⨯=，22113(3)222POB S OB m m ∆=⨯⨯-++=++23OPC POB OCPB S S S m ∆∆∴=+=++四边形12OBC S OC OB ∆=⨯⨯=2PBC BOC OCPB S S S m ∆∆∴=-=-+四边形， ∴当m 时，PBC ∆，此时点P的坐标为3)-； (3)MEN ∠为定值．当0y =时，21302x -=，解得x =x =，(A ∴，0)，在Rt AOC ∆中，tan OCOAC OA∠== 60MAC ∴∠=︒，DM AB ⊥，DN AC ⊥，E 是AD 的中点，ME NE AE DE ∴===，∴点M 、A 、D 、N 在以E 为圆心的圆上，由圆周角定理可得2120MEN MAC ∠=∠=︒， MEN ∴∠为定值．【点评】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合直角三角形与圆的知识综合解题是关键．4．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象(记为抛物线)L 与y 轴交于点C ，与x 轴分别交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别记为1x ，2x ，且120x x <<．(1)若a c =，3b =-，且过点(1,1)-，求该二次函数的表达式；(2)若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=．求证：当52b <-时，二次函数21(1)y ax b x c =+++的图象与x 轴没有交点．(3)若2226c c AB c -+=，点P 的坐标为0(x -，1)-，过点P 作直线l 垂直于y 轴，且抛物线的L 的顶点在直线l 上，连接OP 、AP 、BP ，PA 的延长线与抛物线L 交于点D ，若OPB DAB ∠=∠，求0x 的最小值．【分析】(1)根据题意，把a c =，3b =-，点(1,1)-，代入解析式，即可求出解析式；(2)利用根的判别式进行判断，即可得到结论；(3)根据二次函数的性质，得到244b ac a -=，结合根与系数的关系，得到2426c c a c-+=，然后证明OAP OPB ∆∆∽，得到OA OP OP OB =，然后得到01c x a =-，利用二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：(1)由题意得：23y ax x a =-+，函数过点(1,1)-，31a a ∴-+=-，1a c ∴==，231y x x ∴=-+；(2)由题意，一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=．∴△244b ac =-=，244ac b ∴=-，在函数21(1)y ax b x c =+++中，2221(1)4(1)(4)25b ac b b b =+-=+--=+，52b <-， 250b ∴+<，即函数图象与x 轴没有交点；(3)因为函数顶点在直线l 上，则有2414ac b a-=-， 即244b ac a -=①，2226c c ABc-+=， ∴222126()c c x x c-+-=， 即22121226()4c c x x x x c-++-=， ∴222426b ac c c a c--+=， 由①得：2426c c a c -+=②， OAP DAB ∠=∠，OPB DAB ∠=∠，OAP OPB ∴∠=∠，OAP OBP APB ∠=∠+∠，OPB OPA APB ∠=∠+∠，OBP OPA ∴∠=∠，则OAP OPB ∆∆∽． ∴OA OP OP OB=， 2OA OB OP ∴⋅=，∴2212((1)x x =+-． ∴01c x a=+，∴01c x a =-． 由②得：202614c c x -+=-， ∴2011(1)44x c =-+， ∴当1c =时，01()4min x =． 【点评】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．5．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++过点B 且与直线相交于另一点5(2C ，3)4． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一动点，当PAO BAO ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)点(N n ，50)(0)2n <<在x 轴的正半轴上，点(0,)M m 是y 轴正半轴上的一动点，且满足90MNC ∠=︒． ①求m 与n 之间的函数关系式；②当m 在什么范围时，符合条件的N 点的个数有2个？【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)如图1，作点B 关于x 轴的对称点(0,2)B '-，连接AB '交抛物线于点()P P '，则PAO BAO ∠=∠，即可求解，另外当点P 与B ，C 重合时也满足条件．(3)①证明tan tan MNO NCH ∠=∠，即OM NH ON CH =，即5234n m n -=，即可求解；②241033m n n =-+，当54n =时，m 的最大值为2512，即可求解． 【解答】解：(1)直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，则点A 、B 的坐标分别为(4,0)、(0,2)， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得22553()32242b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得762b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：227236y x x =-++①；(2)如图1，作点B 关于x 轴的对称点(0,2)B '-，连接AB '交抛物线于点()P P '，则PAO BAO ∠=∠，设直线AB '的解析式为y kx m =+，∴402k m m +=⎧⎨=-⎩， ∴122k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，直线AB '的表达式为：122y x =-②， 联立①②并解得：3x =或2-，故点P 的坐标为1(3,)2-或(2,3)--， 当点P 与B ，C 重合时，也满足条件，此时(0,2)P 或5(2，3)4， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为1(3,)2-或(2,3)--或(0,2)或5(2，3)4．(3)①过点C 作CH x ⊥轴于点H ，90MNC ∠=︒，90MNO CNH ∴∠+∠=︒，又90CNH NCH ∠+∠=︒，MNO NCH ∴∠=∠，tan tan MNO NCH ∴∠=∠，即OM NH ON CH=，即5234n m n -=， 解得：241033m n n =-+； ②241033m n n =-+，403-<，故m 有最大值，当54n =时，m 的最大值为2512， 而0m >， 故25012m <<时，符合条件的N 点的个数有2个． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．6．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-过点(3,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为直线CD 上的一个动点，连接BC ；①如图1，是否存在点P ，使PBC BCO ∠=∠？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P 在x 轴上方，连接PA 交抛物线于点N ，PAB BCO ∠=∠，点M 在第三象限抛物线上，连接MN ，当45ANM ∠=︒时，请直接写出点M 的坐标．【分析】(1)23(3)(1)y ax bx a x x =+-=+-，即可求解；(2)①分点()P P '在点C 的右侧、点P 在点C 的左侧两种情况，分别求解即可；②证明()AGR RHM AAS ∆≅∆，则点(,3)M m n n m +--，利用点M 在抛物线上和AR NR =，列出等式即可求解．【解答】解：(1)23(3)(1)y ax bx a x x =+-=+-，解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =+-；(2)由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为(0,3)-、(1,4)--，由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：3y x =-①；1tan 3BCO ∠=，则cos 10BCO ∠=； ①当点()P P '在点C 的右侧时，P BC BCO '∠=∠，故//P B y '轴，则点(1,2)P '-；当点P 在点C 的左侧时，设直线PB 交y 轴于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，P BC BCO '∠=∠，BCH ∴∆为等腰三角形，则222cos 23110BC CH BCO CH =∠=⨯=+ 解得：53CH =，则433OH CH =-=，故点4(0,)3H -， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为：4433y x =-②， 联立①②并解得：58x y =-⎧⎨=-⎩， 故点P 的坐标为(5,8)--；②PAB BCO ∠=∠，而1tan 3BCO ∠=， 故设直线AP 的表达式为：13y x s =+，将点A 的坐标代入上式并解得：1s =， 故直线AP 的表达式为：113y x =+③， 联立①③并解得：43139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点4(3N ，13)9； 设AMN ∆的外接圆为圆R ，当45ANM ∠=︒时，则90ARM ∠=︒，设圆心R 的坐标为(,)m n ，90GRA MRH ∠+∠=︒，90MRH RMH ∠+∠=︒，RMH GAR ∴∠=∠，AR MR =，90AGR RHM ∠=∠=︒，()AGR RHM AAS ∴∆≅∆，3AG m RH ∴=+=，RG n MH =-=，∴点(,3)M m n n m +--，将点M 的坐标代入抛物线表达式得：23()2()3n m m n m n --=+++-④，由题意得：AR NR =，即2222413(3)()()39m n m n ++=-+-⑤， 联立④⑤并解得：29109m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故点4(3M -，35)9-． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中(2)①，要注意分类求解，避免遗漏．7．如图，二次函数23y x bx =++的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点(1,0)C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．(1)填空：b = 4- ；(2)点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；(3)点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【分析】(1)将点C 坐标代入解析式可求解；(2)分两种情况讨论，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE AB ⊥于E ，设BD 与x 轴交于点F ，可得点(1,3)E ，3CE BE ==，1AE =，可得45EBC ECB ∠=∠=︒，1tan 3AE ACE EC ∠==，45BCF ∠=︒，由勾股定理逆定理可得90BCD ∠=︒，可求ACE DBC ∠=∠，可得ACB CFD ∠=∠，可得点F 与点Q 重合，即可求点P 坐标； 当点Q 在点D 下方时，过点C 作CH DB ⊥于H ，在线段BH 的延长线上截取HF QH =，连接CQ 交抛物线于点P ，先求直线BD 解析式，点F 坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ 解析式，联立方程组，可求点P 坐标；(3)设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH BD ⊥于H ，过点N 作MN x ⊥轴，过点E 作EM MN ⊥，连接CG ，GF ，先求出45CNH ∠=︒，由轴对称的性质可得EN NF =，45ENB FNB ∠=∠=︒，由“AAS ”可证EMN NKF ∆≅∆，可得95EM NK ==，MN KF =，可求6CF =，由轴对称的性质可得点G 坐标，即可求解． 【解答】解：(1)抛物线23y x bx =++的图象过点(1,0)C ，013b ∴=++，4b ∴=-，故答案为：4-；(2)4b =-，∴抛物线解析式为243y x x =-+抛物线243y x x =-+的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，∴点(0,3)A ，2343x x =-+， 10x ∴=(舍去)，24x =，∴点(4,3)B ，2243(2)1y x x x =-+=--， ∴顶点D 坐标(2,1)-，如图1，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE AB ⊥于E ，设BD 与x 轴交于点F ，点(0,3)A ，点(4,3)B ，点(1,0)C ，CE AB ⊥， ∴点(1,3)E ，3CE BE ==，1AE =， 45EBC ECB ∴∠=∠=︒，1tan 3AE ACE EC ∠==， 45BCF ∴∠=︒， 点(4,3)B ，点(1,0)C ，点(2,1)D -， 9932BC ∴=+，112CD =+=22(42)(31)25BD =-++= 22220BC CD BD +==，90BCD ∴∠=︒，21tan tan 332CD DBC ACE BC ∴∠====∠， ACE DBC ∴∠=∠，ACE ECB DBC BCF ∴∠+∠=∠+∠， ACB CFD ∴∠=∠，又CQD ACB ∠=∠，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，2043x x ∴=-+，11x ∴=，23x =，∴点(3,0)P ；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH DB ⊥于H ，在线段BH 的延长线上截取HF QH =，连接CQ 交抛物线于点P ，CH DB ⊥，HF QH =，CF CQ ∴=，CFD CQD ∴∠=∠，CQD ACB ∴∠=∠，CH BD ⊥，点(4,3)B ，点(2,1)D -，∴直线BD 解析式为：25y x =-，∴点5(2F ，0)，∴直线CH 解析式为：1122y x =-+， ∴112225y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得11535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点H 坐标为11(5，3)5-， FH QH =，∴点19(10Q ，6)5-， ∴直线CQ 解析式为：4433y x =-+， 联立方程组2443343y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：1110x y =⎧⎨=⎩或225389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点5(3P ，8)9-； 综上所述：点P 的坐标为(3,0)或5(3，8)9-； (3)如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH BD ⊥于H ，过点N 作MN x ⊥轴，过点E 作EM MN ⊥，连接CG ，GF ，点(0,3)A ，点(1,0)C ，∴直线AC 解析式为：33y x =-+，∴3325y x y x =-+⎧⎨=-⎩，∴8595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点N 坐标为8(5，9)5-， 点H 坐标为11(5，3)5-， 2221139(1)()555CH ∴=-+=，222118399()()55555HN =-+-+=， CH HN ∴=，45CNH ∴∠=︒，点E 关于直线BD 对称的点为F ，EN NF ∴=，45ENB FNB ∠=∠=︒，90ENF ∴∠=︒，90ENM FNM ∴∠+∠=︒，又90ENM MEN ∠+∠=︒，MEN FNM ∴∠=∠，()EMN NKF AAS ∴∆≅∆95EM NK ∴==，MN KF =， ∴点E 的横坐标为15-，∴点1(5E -，18)5， 275MN KF ∴==， 8271655CF ∴=+-=， 点F 关于直线BC 对称的点为G ，6FC CG ∴==，45BCF GCB ∠=∠=︒，90GCF ∴∠=︒，∴点(1,6)G ，AG ∴=【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出45CNH ∠=︒是本题的关键．8．已知抛物线22y ax ax c =-+过点(1,0)A -和(0,3)C ，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；(2)如图1，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF BC ⊥，垂足为F ，EM x ⊥轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG CF =时，求EFG ∆的面积；(3)如图2，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使OPB AHB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求出a 的值即可得到解析式，进而得到顶点D 坐标；(2)先求出BC 的解析式3y x =-+，再设直线EF 的解析式为y x b =+，设点E 的坐标为2(,23)m m m -++，联立方程求出点F ，G 的坐标，根据22BG CF =列出关于m 的方程并求解，然后求得G 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)过点A 作AN HB ⊥，先求得直线BD ，AN 的解析式，得到H ，N 的坐标，进而得到45H ∠=︒，设点2(,23)P n n n -++，过点P 作PR x ⊥轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS PR =，证明OPS OBP ∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例得到关于n 的方程，求解后即可得到点P 的坐标．【解答】(1)把点(1,0)A -，(0,3)C 代入22y ax ax c =-+中，203a a c c ++=⎧⎨=⎩， 解得13a c =-⎧⎨=⎩， 223y x x ∴=-++， 当12b x a=-=时，4y =，(1,4)D ∴；(2)如图1，抛物线223y x x =-++，令0y =，1x ∴=-，或3x =，(3,0)B ∴．设BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(0,3)C ，(3,0)B 代入，得330b k b =⎧⎨+=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩， 3y x ∴=-+．EF CB ⊥．设直线EF 的解析式为y x b =+，设点E 的坐标为2(,23)m m m -++，将点E 坐标代入y x b =+中，得23b m m =-++，23y x m m ∴=-++，联立得233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩． ∴22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩． ∴226(,)22m m m m F --++． 把x m =代入3y x =-+，得3y m =-+，(,3)G m m ∴-+．BG CF =．22BG CF ∴=，即222222(3)(3)()()22m m m m m m ---+-=+． 解得2m =或3m =-．点E 是BC 上方抛物线上的点，3m ∴=-，(舍去)．∴点(2,3)E ，(1,2)F ，(2,1)G，EF ==FG ==∴112EFG S ∆==； (3)如图2，过点A 作AN HB ⊥于N ，点(1,4)D ，(3,0)B ，26DB y x ∴=-+．点(1,0)A -，点(0,3)C ，33AC y x ∴=+，联立得3326y x y x =+⎧⎨=-+⎩， ∴35245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴324(,)55H ． 设12AN y x b =+，把(1,0)-代入，得12b =， ∴1122y x =+，联立得112226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩， ∴11585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴118(,)55N ， ∴22222118168(1)()()()5555AN =++=+，222816()()55HN =+， AN HN ∴=．45H ∴∠=︒．设点2(,23)P n n n -++．过点P 作PR x ⊥轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS PR =，45RSP ∴∠=︒且点S 的坐标为2(33n n -++，0)．若45OPB AHB ∠=∠=︒在OPS ∆和OPB ∆中，POS POB ∠=∠，OSP OPB ∠=∠，OPS OBP ∴∆∆∽． ∴OP OS OB OP =． 2OP OB OS ∴=．2222(1)(3)3(33)n n n n n ∴++-=-++．0n ∴=或152n ±=或3n =(舍去)． 1(0,3)P ∴，21555(,)22P ++，31555(,)22P --．【点评】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．9．已知抛物线2(2)y a x c =-+经过点(2,0)A -和点9(0,)4C ，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)如图，点E ，F 分别在线段AB ，BD 上(点E 不与点A ，B 重合)，且DEF DAB ∠=∠，DE EF =，直接写出线段BE 的长．【分析】(1)利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．(2)根据0y =，解方程可得A 和B 两点的坐标，根据两点的距离公式可得5AD BD ==，证明()ADE BEF AAS ∆≅∆，可得结论．【解答】解：(1)将点(2,0)A -，9(0,)4C 代入2(2)y a x c =-+， 得：160944a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得：3163a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为23(2)316y x =--+，即23391644y x x =-++； ∴顶点D 的坐标为(2,3)；(2)当0y =时，23(2)3016x --+=， 解得：12x =-，26x =，(2,0)A ∴-，(6,0)B ，DEB DEF BEF DAB ADE ∠=∠+∠=∠+∠，DEF DAB ∠=∠，ADE BEF ∴∠=∠，22(22)35AD =++=，22(62)35BD -+，AD BD ∴=，DAE EBF ∴∠=∠，DE EF =，()ADE BEF AAS ∴∆≅∆，5BE AD ∴==．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想解决问题．10．抛物线2y x bx c =++经过点(3,0)A -和点(2,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是该抛物线上的动点，且位于y 轴的左侧．①如图1，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，作PE y ⊥轴于点E ，当2PD PE =时，求PE 的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P ，使得ACP OCB ∠=∠？若存在，请求出所有点P 的坐标：若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A ，点C 坐标代入解析式，可求b ，c 的值，即可求解；(2)设点2(,6)P a a a +-，由2PD PE =，可得2|6|2a a a +-=-，可求a 的值；(3)由勾股定理可求AC ，BC 的长，通过证明ACH BCO ∆∆∽，可得BC BO OC AC AH HC==，可求AH ，HC 的长，由两点距离公式可求点H 坐标，再求出直线HC 的解析式，即可求点P 坐标．【解答】解：(1)抛物线2y x bx c =++经过点(3,0)A -和点(2,0)B ，∴042093b c b c =++⎧⎨=-+⎩， 解得：16b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：26y x x =+-；(2)①设点2(,6)P a a a +-， 点P 位于y 轴的左侧，0a ∴<，PE a =-，2PD PE =，2|6|2a a a ∴+-=-，262a a a ∴+-=-或262a a a +-=， 解得：13332a --=，23332a -+=(舍去)或32a =-，43a =(舍去) 2PE ∴=或3332+； ②存在点P ，使得ACP OCB ∠=∠， 理由如下，抛物线26y x x =+-与y 轴交于点C ， ∴点(0,6)C -，6OC ∴=，点(2,0)B ，点(3,0)A -， 2OB ∴=，3OA =，22436210BC OB OC ∴=+=+=， 2293635AC OA OC =+=+=， 如图，过点A 作AH CP ⊥于H ，90AHC BOC ∠=∠=︒，ACP BCO ∠=∠，ACH BCO ∴∆∆∽， ∴BC BO OC AC AH HC==，∴26AH HC==，AH ∴=HC =， 设点(,)H m n ，222(3)m n ∴=++，222(6)m n =++， ∴9232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或910310m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点9(2H -，3)2-或9(10-，3)10， 当9(2H -，3)2-时， 点(0,6)C -，∴直线HC 的解析式为：6y x =--，266x x x ∴+-=--，解得：12x =-，20x =(舍去)，∴点P 的坐标(2,4)--； 当9(10H -，3)10时， 点(0,6)C -，∴直线HC 的解析式为：76y x =--，2676x x x ∴+-=--，解得：18x =-，20x =(舍去)，∴点P 的坐标(8,50)-；综上所述：点P坐标为(2,4)-．--或(8,50)【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，两点距离公式，相似三角形的判定和性质等知识，综合性比较强，求出点H坐标是本题的关键．。

九年级二次函数压轴题详解：求点的坐标的两种套...
九年级二次函数压轴题详解：
求点的坐标的两种套路：
(1)求出点所在直线或曲线的解析式，联立解方程;
(2)根据点在直线或曲线上，引参设点，转化关键条件中
藏着的等量关系式，建立方程求解.
找关键条件中的等量关系式的方法：
(1)特殊角指引：构建含45°,30°,60°,120°,135°,150°的直角三角形;
这些特殊的直角三角形存在等量关系.
(2)发现或构造直角三角形全等或相似，从而得到等量关系;
(3)发现直角三角形的角相等，利用三角函数得到等量关系;
设点引参与数形结合
(1)数⇒代数：依据解析式引参设点，进而列出相关线段的代数式;
(2)形⇒几何：转化关键几何条件，发现或构造全等或相似或三角
函数,建立相关线段的等量关系式.
(3)结合⇒将代数得出的代数式代入到几何得到的等量关系式中,
建立方程，进而求解.
说实在的，就算有天赋也是长期坚持的积累，各种基本功的整合，才是解压轴题的根本！。