(完整)高考新课标全国1卷理科数学试题及答案,.docx

绝密★启用前2021 年一般高等学校招生全国一致考试( 全国卷Ⅰ)理科数学本卷须知：1．答卷前，考生务必然自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。

1i1．设 z2i ，那么 | z|1i A．0 B ．1C． 1D． 2 22．会集 A { x | x2x 2 0} ，那么 e R AA． { x | 1 x 2}B． { x | 1≤ x≤ 2}C { x | x1} U { x | x 2} D． { x | x ≤ 1} U { x | x≥ 2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地认识该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比率，获取以下饼图：那么下面结论中不正确的选项是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和高出了经济收入的一半理科数学试题第 1页〔共 17页〕4．记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 假设 3S 3S 2 S 4 ， a 1 = 2 ，那么 a 5 = A ． 12 B ． 10C ．10D ．125．设函数 f (x) x 3切线方程为A ． y2 x6．在 △ ABC 中， AD A ． 3 uuur 1 uuur 4AB AC 4 C ． 3 uuur 1 uuur 4AB AC 4 (a 1)x 2 ax . 假设 f ( x) 为奇函数，那么曲线yf ( x) 在点 (0,0) 处的B ． y xC ． y 2 xD ． y xuur 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，那么 EBB ． 1 uuur 3 uuur4 AB AC4 D ． 1 uuur 3 uuur4 AB AC47．某圆柱的高为2，底面周长为 16，其三视图如右图 .圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到 N的路径中，最短路径的长度为A ．2 17B ． 2 5C ． 3D ． 28．设抛物线 C ： y 2= 4x 的焦点为 F ，过点 (- 2,0)且斜率为2的直线与 C 交于 M ，Nuuur uuur3两点，那么 FM ?FNA ． 5B ． 6C ． 7D ． 89．函数 f ( x)e x , x ≤ 0, g (x)f ( x) xa . 假设 g( x) 存在 2 个零点，那么 a的ln x,x 0,取值范围是A ． [ 1,0)B ． [0, )C ． [ 1, )D ． [1, )10．以下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC ． △ABC 的三边 所围成的地区记为Ⅰ，黑色局部记为Ⅱ，其他局部记为Ⅲ . 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ的概率分别记为 p 1 ， p 2 ， p 3 ，那么A ． p 1 p 2B ． p 1 p 3C ． p 2 p 3D ． p 1 p 2 p 3理科数学试题第 2页〔共 17页〕11．双曲线 C：x2-y2 = 1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过F的直线与 C的3两条渐近线的交点分别为M ， N. 假设△OMN为直角三角形，那么 | MN |=3B． 3C．2 3D．4 A．212．正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，那么截此正方体所得截面面积的最大值为A．3 3B．2 3C．3 2D．3 4342二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

2021年高考全国卷一理科数学(含答案)绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号1．设，则（）A．0 B．C．D．2．已知集合，则（）A．B．C．D．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5 B．6 C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{|4,}B x x x Z =≤∈,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}(2)已知复数23(13)iz i +=-z 是z 的共轭复数，则z z •=A.14 B.12C.1D.2 (3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或(D) {|22}x x x <->或（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) -2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B) 273a π(C)2113a π (D) 25a π（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 (A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B)22145x y -=(C) 22163x y -= (D)22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,3]D ．[1,2)-2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3-4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是 A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称 C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k <<D ．11133k ≤≤9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于 A 32 B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x = 12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是 A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于 A ．5003πB ．2563πC ．50πD ．96π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。

新高考数学全国（1）卷高考真题（带解析）一、单选题1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知2i z=-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3．其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立二、多选题9．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本中位数相同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P三、双空题13．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四、填空题14．已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.15．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 16．函数()212ln f x x x =--的最小值为______.五、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F 、()21217,02F MF MF -=，点M 的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 22．已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.参考答案1．B 【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B . 2．C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 3．B 【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =故选：B. 4．A 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 5．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ． 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.6．C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7．D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 8．B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 9．CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD 10．AC 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α====，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误； 故选：AC 11．ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误. 【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=， 圆心M 到直线AB 的距离为22525411545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为11542-<，最大值为115410+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-=4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=CD 选项正确.故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+. 12．BD 【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数． 【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确． 对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110A P BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以01,2AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 13．5 ()41537202n n -+-【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )； 故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑，则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++， 两式作差得：()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n nn -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-， 因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为：5；()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 14．1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值. 【详解】因为()()322x xx a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =， 故答案为：1 15．32x =- 【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为：32x =-. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 16．1 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.17．（1）122,5b b ==；（2）300. 【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项. （2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++= 又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈ 故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-. （2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 18．（1）见解析；（2）B 类． 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=． 因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题． 19．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BDb=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC===，应用余弦定理求cos ADB∠、cos CDB∠，又ADB CDBπ∠=-∠，可得42221123b baa+=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC∠. 【详解】（1）由题设，sinsina CBDABC=∠，由正弦定理知：sin sinc bC ABC=∠，即sinsinC cABC b=∠，∴acBDb=，又2b ac=，∴BD b=，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC===，∴22222241399cos24233b bb c cADBb bb+--∠==⋅，同理2222221099cos2233b bb a aCDBb bb+--∠==⋅，∵ADB CDBπ∠=-∠，∴2222221310994233b bc ab b--=，整理得2221123ba c+=，又2b ac=，∴42221123b baa+=，整理得422461130a ab b-+=，解得2213ab=或2232ab=，由余弦定理知：222224cos232a cb aABCac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20．(1)详见解析(2) 6【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ， 因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形 因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11111332BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b的值，即可得出轨迹C 的方程； （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值. 【详解】因为12122217MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点， 不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22．（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立. 设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->， 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=， 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i -- B.1i -+ C.1i - D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1 D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m - C.3mD.3m5.）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]-D.[0,)+∞7.当]2,0[π∈x 时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f > B.(20)1000f > C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X >< C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =-B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为3，求c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案一、单选题1、【答案】A【解析】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，又12<<，则A B = {}1,0-。

全国新课标1卷高考理科数学试题， 本试题适用于河南、河北、山西几个省份。

绝密★启封并使用完毕前普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页， 第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页， 第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成， 答在本试题上无效。

4. 考试结束， 将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分， 共60分。

在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝， B=｛x |－5＜x ＜5｝， 则 ( B )A 、A ∩B=B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |， 则z 的虚部为 ( D )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45 3、为了解某地区的中小学生视力情况， 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查， 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异， 而男女生视力情况差异不大， 在下面的抽样方法中， 最合理的抽样方法是 ( C )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样4、已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a ＞0， b ＞0)的离心率为52， 则C 的渐近线方程为 ( C ) A 、y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x5、执行右面的程序框图， 如果输入的t ∈[－1， 3]， 则输出的s 属于 ( A )A 、[－3,4]B 、[－5,2]C 、[－4,3]D 、[－2,5]6、如图， 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ， 如果不计容器的厚度， 则球的体积为 ( A )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 37、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， S m －1＝－2， S m ＝0， S m ＋1＝3， 则m ＝ ( C )A 、3B 、4C 、5D 、68、某几何函数的三视图如图所示， 则该几何的体积为( A )A 、18+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π 开始输入tt <1 s =3t s = 4t －t 2输出s结束 是 否9、设m 为正整数， (x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ， 若13a =7b ， 则m ＝ ( B )A 、5B 、6C 、7D 、810、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)， 过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设z=+2i, 则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}, 则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）（2018•新课标Ⅰ）某地域经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番．为更好地了解该地域农村的经济收入变动情况, 统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 获得如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后, 种植收入减少B．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D．新农村建设后, 养殖收入与第三财富收入的总和超越了经济收入的一半4．（5分）（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4, a1=2, 则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数, 则曲线y=f（x）在点（0, 0）处的切线方程为（）A．y=﹣2xB．y=﹣xC．y=2xD．y=x6．（5分）（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中, AD为BC边上的中线, E为AD的中点, 则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱概况上的点M在正视图上的对应点为A, 圆柱概况上的点N在左视图上的对应点为B, 则在此圆柱正面上, 从M到N的路径中, 最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F, 过点（﹣2, 0）且斜率为的直线与C交于M, N两点, 则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=, g （x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点, 则a的取值范围是（）A．[﹣1, 0）B．[0, +∞）C．[﹣1, +∞）D．[1, +∞）10．（5分）（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC, 直角边AB, AC．△ABC的三边所围成的区域记为I, 黑色部份记为Ⅱ, 其余部份记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点, 此点取自Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ的概率分别记为p1, p2, p3, 则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2=1, O为坐标原点, F为C的右焦点, 过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M, N．若△OMN为直角三角形, 则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角都相等, 则α截此正方体所得截面面积的最年夜值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）（2018•新课标Ⅰ）若x, y满足约束条件,则z=3x+2y的最年夜值为．14．（5分）（2018•新课标Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1, 则S6=．15．（5分）（2018•新课标Ⅰ）从2位女生, 4位男生中选3人介入科技角逐, 且至少有1位女生入选, 则分歧的选法共有种．（用数字填写谜底）16．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=2sinx+sin2x, 则f（x）的最小值是．三、解答题：共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步伐.第17～21题为必考题, 每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中, ∠ADC=90°, ∠A=45°, AB=2, BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2, 求BC．18．（12分）（2018•新课标Ⅰ）如图, 四边形ABCD为正方形, E, F分别为AD, BC的中点, 以DF为折痕把△DFC折起, 使点C 达到点P的位置, 且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．19．（12分）（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A, B两点, 点M的坐标为（2, 0）．（1）当l与x轴垂直时, 求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点, 证明：∠OMA=∠OMB．20．（12分）（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产物成箱包装,每箱200件, 每一箱产物在交付用户之前要对产物作检验, 如检验出分歧格品, 则更换为合格品．检验时, 先从这箱产物中任取20件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产物作检验．设每件产物为分歧格品的概率都为p（0＜p＜1）, 且各件产物是否为分歧格品相互自力．（1）记20件产物中恰有2件分歧格品的概率为f（p）, 求f （p）的最年夜值点p0．（2）现对一箱产物检验了20件, 结果恰有2件分歧格品, 以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产物的检验费用为2元, 若有分歧格品进入用户手中, 则工厂要对每件分歧格品支付25元的赔偿费用．（i）若分歧毛病该箱余下的产物作检验, 这一箱产物的检验费用与赔偿费用的和记为X, 求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下的所有产物作检验？21．（12分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1, x2, 证明：＜a﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中, 曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点, 求C1的方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a=1时, 求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0, 1）时不等式f（x）＞x成立, 求a的取值范围．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考谜底与试题解析一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设z=+2i, 则|z|=（）A．0B．C．1D．【考点】A8：复数的模．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后, 然后求解复数的模．【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i,则|z|=1．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算, 复数的模的求法, 考查计算能力．2．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}, 则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【考点】1F：补集及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5J ：集合；5T ：不等式．【分析】通过求解不等式, 获得集合A, 然后求解补集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0},可得A={x|x＜﹣1或x＞2},则：∁R A={x|﹣1≤x≤2}．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法, 补集的运算, 是基本知识的考查．3．（5分）（2018•新课标Ⅰ）某地域经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番．为更好地了解该地域农村的经济收入变动情况, 统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 获得如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后, 种植收入减少B．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D．新农村建设后, 养殖收入与第三财富收入的总和超越了经济收入的一半【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计；5L ：简易逻辑．【分析】设建设前经济收入为a, 建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后, 经济收入情况, 利用数据推出结果．【解答】解：设建设前经济收入为a, 建设后经济收入为2a．A项, 种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0,故建设后, 种植收入增加, 故A项毛病．B项, 建设后, 其他收入为5%×2a=10%a,建设前, 其他收入为4%a,故10%a÷＞2,故B项正确．C项, 建设后, 养殖收入为30%×2a=60%a,建设前, 养殖收入为30%a,故60%a÷30%a=2,故C项正确．D项, 建设后, 养殖收入与第三财富收入总和为（30%+28%）×2a=58%×2a,经济收入为2a,故（58%×2a）÷2a=58%＞50%,故D项正确．因为是选择不正确的一项,故选：A．【点评】本题主要考查事件与概率, 概率的应用, 命题的真假的判断, 考查发现问题解决问题的能力．4．（5分）（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4, a1=2, 则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【考点】83：等差数列的性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：界说法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程, 能求出a5的值．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和, 3S3=S2+S4, a1=2, ∴=a1+a1+d+4a1+d,把a1=2, 代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第五项的求法, 考查等差数列的性质等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 是基础题．5．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数, 则曲线y=f（x）在点（0, 0）处的切线方程为（）A．y=﹣2xB．y=﹣xC．y=2xD．y=x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．【分析】利用函数的奇偶性求出a, 求出函数的导数, 求出切线的向量然后求解切线方程．【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax, 若f（x）为奇函数, 可得a=1, 所以函数f（x）=x3+x, 可得f′（x）=3x2+1,曲线y=f（x）在点（0, 0）处的切线的斜率为：1,则曲线y=f（x）在点（0, 0）处的切线方程为：y=x．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法, 考查计算能力．6．（5分）（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中, AD为BC边上的中线, E为AD的中点, 则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】34 ：方程思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】运用向量的加减运算和向量中点的暗示, 计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中, AD为BC边上的中线, E为AD的中点, =﹣=﹣=﹣×（+）=﹣,故选：A．【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点暗示, 考查运算能力, 属于基础题．7．（5分）（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱概况上的点M在正视图上的对应点为A, 圆柱概况上的点N在左视图上的对应点为B, 则在此圆柱正面上, 从M到N的路径中, 最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图对应的几何体的形状, 利用正面展开图, 转化求解即可．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱, 底面周长16, 高为：2, 直观图以及正面展开图如图：圆柱概况上的点N在左视图上的对应点为B, 则在此圆柱正面上, 从M到N的路径中, 最短路径的长度：=2．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系, 正面展开图的应用, 考查计算能力．8．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F, 过点（﹣2, 0）且斜率为的直线与C交于M, N两点, 则•=（）A．5B．6C．7D．8【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5A ：平面向量及应用；5D ：圆锥曲线的界说、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标, 直线方程, 求出M、N的坐标, 然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1, 0）, 过点（﹣2, 0）且斜率为的直线为：3y=2x+4,联立直线与抛物线C：y2=4x, 消去x可得：y2﹣6y+8=0,解得y1=2, y2=4, 无妨M（1, 2）, N（4, 4）, , ．则•=（0, 2）•（3, 4）=8．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用, 向量的数量积的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=, g （x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点, 则a的取值范围是（）A．[﹣1, 0）B．[0, +∞）C．[﹣1, +∞）D．[1, +∞）【考点】5B：分段函数的应用．【专题】31 ：数形结合；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a, 分别作出两个函数的图象, 根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a,作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1, 即a≥﹣1时, 两个函数的图象都有2个交点,即函数g（x）存在2个零点,故实数a的取值范围是[﹣1, +∞）,故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的应用, 利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．10．（5分）（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC, 直角边AB, AC．△ABC的三边所围成的区域记为I, 黑色部份记为Ⅱ, 其余部份记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点, 此点取自Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ的概率分别记为p1, p2, p3, 则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3【考点】CF：几何概型．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4O：界说法；5I ：概率与统计．【分析】如图：设BC=2r1, AB=2r2, AC=2r3, 分别求出Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ所对应的面积, 即可获得谜底．【解答】解：如图：设BC=2r1, AB=2r2, AC=2r3,∴r12=r22+r32,∴SⅠ=×4r2r3=2r2r3, SⅢ=×πr12﹣2r2r3,SⅡ=×πr32+×πr22﹣SⅢ=×πr32+×πr22﹣×πr12+2r2r3=2r2r3,∴SⅠ=SⅡ,∴P1=P2,故选：A．【点评】本题考查了几何概型的概率问题, 关键是求出对应的面积, 属于基础题．11．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2=1, O为坐标原点, F为C的右焦点, 过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M, N．若△OMN为直角三角形, 则|MN|=（）A．B．3C．2D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4 ：解题方法；5D ：圆锥曲线的界说、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程, 求出直线方程, 求出MN的坐标, 然后求解|MN|．【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=, 渐近线的夹角为：60°, 无妨设过F（2, 0）的直线为：y=, 则：解得M（, ）,解得：N（）,则|MN|==3．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．12．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角都相等, 则α截此正方体所得截面面积的最年夜值为（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】利用正方体棱的关系, 判断平面α所成的角都相等的位置, 然后求解α截此正方体所得截面面积的最年夜值．【解答】解：正方体的所有棱中, 实际上是3组平行的棱, 每条棱所在直线与平面α所成的角都相等, 如图：所示的正六边形平行的平面, 而且正六边形时, α截此正方体所得截面面积的最年夜,此时正六边形的边长,α截此正方体所得截面最年夜值为：6×=．故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成角的年夜小关系, 考查空间想象能力以及计算能力, 有一定的难度．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）（2018•新课标Ⅰ）若x, y满足约束条件,则z=3x+2y的最年夜值为 6 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31 ：数形结合；4R：转化法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2, 0）时, 直线的截距最年夜, 此时z最年夜,最年夜值为z=3×2=6,故谜底为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．14．（5分）（2018•新课标Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1, 则S6= ﹣63 ．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】先根据数列的递推公式可得{a n}是以﹣1为首项, 以2为公比的等比数列, 再根据求和公式计算即可．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和, S n=2a n+1, ①当n=1时, a1=2a1+1, 解得a1=﹣1,当n≥2时, S n﹣1=2a n﹣1+1, ②,由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1,∴a n=2a n﹣1,∴{a n}是以﹣1为首项, 以2为公比的等比数列,∴S6==﹣63,故谜底为：﹣63【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式, 属于基础题．15．（5分）（2018•新课标Ⅰ）从2位女生, 4位男生中选3人介入科技角逐, 且至少有1位女生入选, 则分歧的选法共有16 种．（用数字填写谜底）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4O：界说法；5O ：排列组合．【分析】方法一：直接法, 分类即可求出,方法二：间接法, 先求出没有限制的种数, 再排除全是男生的种数．【解答】解：方法一：直接法, 1女2男, 有C21C42=12, 2女1男, 有C22C41=4根据分类计数原理可得, 共有12+4=16种,方法二, 间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种,故谜底为：16【点评】本题考查了分类计数原理, 属于基础题16．（5分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=2sinx+sin2x, 则f（x）的最小值是．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用；56 ：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期, 问题转化为f （x）在[0, 2π）上的最小值, 求导数计算极值和端点值, 比力可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期,故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0, 2π）上的值域,先来求该函数在[0, 2π）上的极值点,求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）,令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1,可得此时x=, π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=, π或和鸿沟点x=0中取到,计算可得f（）=, f（π）=0, f（）=﹣, f （0）=0,∴函数的最小值为﹣,故谜底为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换, 涉及导数法求函数区间的最值, 属中档题．三、解答题：共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步伐.第17～21题为必考题, 每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中, ∠ADC=90°, ∠A=45°, AB=2, BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2, 求BC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；49 ：综合法；58 ：解三角形．【分析】（1）由正弦定理得=, 求出sin∠ADB=, 由此能求出cos∠ADB；（2）由∠ADC=90°, 得cos∠BDC=sin∠ADB=, 再由DC=2, 利用余弦定理能求出BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°, ∠A=45°, AB=2, BD=5．∴由正弦定理得：=, 即=,∴sin∠ADB==,∵AB＜BD, ∴∠ADB＜∠A,∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°, ∴cos∠BDC=sin∠ADB=,∵DC=2,∴BC===5．【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法, 考查正弦定理、余弦定理等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 是中档题．18．（12分）（2018•新课标Ⅰ）如图, 四边形ABCD为正方形, E, F分别为AD, BC的中点, 以DF为折痕把△DFC折起, 使点C 达到点P的位置, 且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF, 然后利用平面与平面垂直的判判定理证明即可．（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离, 进而求出线面角．【解答】（1）证明：由题意, 点E、F分别是AD、BC的中点, 则, ,由于四边形ABCD为正方形, 所以EF⊥BC．由于PF⊥BF, EF∩PF=F, 则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD, 所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面DEF中, 过P作PH⊥EF于点H, 联结DH,由于EF为面ABCD和面PEF的交线, PH⊥EF,则PH⊥面ABFD, 故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中, 可以利用等体积法求PH,因为DE∥BF且PF⊥BF,所以PF⊥DE,又因为△PDF≌△CDF,所以∠FPD=∠FCD=90°,所以PF⊥PD,由于DE∩PD=D, 则PF⊥平面PDE,故V F﹣PDE=,因为BF∥DA且BF⊥面PEF,所以DA⊥面PEF,所以DE⊥EP．设正方形边长为2a, 则PD=2a, DE=a在△PDE中, ,所以,故V F﹣PDE=,又因为,所以PH==,所以在△PHD中, sin∠PDH==,即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用, 考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A, B两点, 点M的坐标为（2, 0）．（1）当l与x轴垂直时, 求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点, 证明：∠OMA=∠OMB．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】15 ：综合题；38 ：对应思想；4R：转化法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）先获得F的坐标, 再求出点A的方程, 根据两点式可得直线方程,（2）分三种情况讨论, 根据直线斜率的问题, 以及韦达定理, 即可证明．【解答】解：（1）c==1,∴F（1, 0）,∵l与x轴垂直,∴x=1,由, 解得或,∴A（1.）, 或（1, ﹣）,∴直线AM的方程为y=﹣x+, y=x﹣,证明：（2）当l与x轴重合时, ∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时, OM为AB的垂直平分线, ∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时, 设l的方程为y=k（x﹣1）, k≠0,A（x1, y1）, B（x2, y2）, 则x1＜, x2＜,直线MA, MB的斜率之和为k MA, k MB之和为k MA+k MB=+,由y1=kx1﹣k, y2=kx2﹣k得k MA+k MB=,将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=, x1x2=,∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0从而k MA+k MB=0,故MA, MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系, 以韦达定理, 考查了运算能力和转化能力, 属于中档题．20．（12分）（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产物成箱包装, 每箱200件, 每一箱产物在交付用户之前要对产物作检验, 如检验出分歧格品, 则更换为合格品．检验时, 先从这箱产物中任取20件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产物作检验．设每件产物为分歧格品的概率都为p（0＜p＜1）, 且各件产物是否为分歧格品相互自力．（1）记20件产物中恰有2件分歧格品的概率为f（p）, 求f （p）的最年夜值点p0．（2）现对一箱产物检验了20件, 结果恰有2件分歧格品, 以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产物的检验费用为2元, 若有分歧格品进入用户手中, 则工厂要对每件分歧格品支付25元的赔偿费用．（i）若分歧毛病该箱余下的产物作检验, 这一箱产物的检验费用与赔偿费用的和记为X, 求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下的所有产物作检验？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（1）求出f（p）=, 则=, 利用导数性质能求出f （p）的最年夜值点p0=0.1．（2）（i）由p=0.1, 令Y暗示余下的180件产物中的分歧格品数, 依题意知Y～B（180, 0.1）, 再由X=20×2+25Y, 即X=40+25Y, 能求出E（X）．（ii）如果对余下的产物作检验, 由这一箱产物所需要的检验费为400元, E（X）=490＞400, 从而应该对余下的产物进行检验．【解答】解：（1）记20件产物中恰有2件分歧格品的概率为f （p）,则f（p）=,∴=,令f′（p）=0, 得p=0.1,当p∈（0, 0.1）时, f′（p）＞0,当p∈（0.1, 1）时, f′（p）＜0,∴f （p）的最年夜值点p0=0.1．（2）（i）由（1）知p=0.1,令Y暗示余下的180件产物中的分歧格品数, 依题意知Y～B （180, 0.1）,X=20×2+25Y, 即X=40+25Y,∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）如果对余下的产物作检验, 由这一箱产物所需要的检验费为400元,∵E（X）=490＞400,∴应该对余下的产物进行检验．【点评】本题考查概率的求法及应用, 考查离散型随机变量的数学期望的求法, 考查是否该对这箱余下的所有产物作检验的判断与求法, 考查二项分布等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 是中档题．21．（12分）（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1, x2, 证明：＜a﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的界说域和导数, 利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化, 构造新函数, 研究函数的单调性和最值即可获得结论．【解答】解：（1）函数的界说域为（0, +∞）,函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣,设g（x）=x2﹣ax+1,当a≤0时, g（x）＞0恒成立, 即f′（x）＜0恒成立, 此时函数f（x）在（0, +∞）上是减函数,当a＞0时, 判别式△=a2﹣4,①当0＜a≤2时, △≤0, 即g（x）＞0, 即f′（x）＜0恒成立, 此时函数f（x）在（0, +∞）上是减函数,②当a＞2时, x, f′（x）, f（x）的变动如下表：x（0,）（,）（, +∞）f′（x）﹣ 0+ 0﹣ f（x）递加递增递加综上当a≤2时, f（x）在（0, +∞）上是减函数,当a＞2时, 在（0, ）, 和（, +∞）上是减函数, 则（, ）上是增函数．（2）由（1）知a＞2, 0＜x1＜1＜x2, x1x2=1,则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2）,则=﹣2+,则问题转为证明＜1即可,即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2,则lnx1﹣ln＞x1﹣,即lnx1+lnx1＞x1﹣,即证2lnx1＞x1﹣在（0, 1）上恒成立,设h（x）=2lnx﹣x+, （0＜x＜1）, 其中h（1）=0,求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0,则h（x）在（0, 1）上单调递加,∴h（x）＞h（1）, 即2lnx﹣x+＞0,故2lnx＞x﹣,则＜a﹣2成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断, 以及函数与不等式的综合, 求函数的导数, 利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强, 难度较年夜．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中, 曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点, 求C1的方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】35 ：转化思想；5S ：坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用转换关系, 把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线在坐标系中的位置, 再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0,转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2, 则：该直线关于y轴对称, 且恒过定点（0, 2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切, 一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离即是半径2．故：, 或解得：k=或0, （0舍去）或k=或0经检验, 直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化, 直线和曲线的位置关系的应用, 点到直线的距离公式的应用．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a=1时, 求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0, 1）时不等式f（x）＞x成立, 求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】15 ：综合题；38 ：对应思想；4R：转化法；5T ：不等式．【分析】（1）去绝对值, 化为分段函数, 即可求出不等式的解集, （2）当x∈（0, 1）时不等式f（x）＞x成立, 转化为即|ax﹣1|＜1, 即0＜ax＜2, 转化为a＜, 且a＞0, 即可求出a的范围．【解答】解：（1）当a=1时, f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=,由f（x）＞1,∴或,解得x＞,故不等式f（x）＞1的解集为（, +∞）,（2）当x∈（0, 1）时不等式f（x）＞x成立,∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0,即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0,即|ax﹣1|＜1,∴﹣1＜ax﹣1＜1,∴0＜ax＜2,∵x∈（0, 1）,∴a＞0,∴0＜x＜,∴a＜∵＞2,∴0＜a≤2,故a的取值范围为（0, 2]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围, 考查了运算能力和转化能力, 属于中档题．创作时间：二零二一年六月三十日。

2021 年全国一致高考数学试卷〔理科〕 〔新课标 Ⅰ 〕一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的 .1．〔5 分〕设会集 A={ x| x 2﹣ 4x+3＜ 0} ，B={ x| 2x ﹣＞30} ，那么 A ∩ B=〔 〕A ．〔﹣3，﹣ 〕B ．〔﹣3， 〕C ．〔1， 〕D ．〔 ，3〕2．〔5 分〕设〔 1+i 〕x=1+yi ，其中 x ， y 是实数，那么 | x+yi| =〔 〕 A ．1B ．C ．D ．23．〔5 分〕等差数列 { a n } 前 9 项的和为27， a10=8，那么 a 100=〔〕A ．100B ．99C ．98D ．974．〔5 分〕某公司的班车在 7：00， 8： 00，8：30 发车，小明在 7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时辰是随机的，那么他等车时间不高出 10 分钟的概率是〔 〕A ．B ．C ．D ．5．〔5 分〕方程 ﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，那么 n 的取值范围是〔〕A ．〔﹣1，3〕B ．〔﹣1， 〕C ．〔0，3〕D ．〔0， 〕6．〔5 分〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．假设该几何体的体积是 ，那么它的表面积是〔 〕A ．17 πB ．18 πC ．20 πD ．28 π| x|的图象大体为〔 〕7．〔5 分〕函数 y=2x 2﹣e 在[ ﹣2， 2]第1页〔共 6页〕A．B．C．D．8．〔5 分〕假设 a＞b＞1，0＜c＜1，那么〔〕A．a c＜ b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜ log b c9．〔5 分〕执行如图的程序框图，若是输入的x=0， y=1，n=1，那么输出 x，y 的值满足〔〕A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x10．〔 5 分〕以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A、 B 两点，交 C 的准线于D、E 两点． | AB| =4，| DE| =2，那么C的焦点到准线的距离为〔〕A．2B．4C．6D．811．〔 5 分〕平面α过正方体 ABCD﹣A B C D 的极点 A，α∥平面CB D ，α∩平111111面ABCD=m，α∩平面ABA1B1 =n，那么 m、n 所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．第2页〔共 6页〕12．〔 5 分〕函数 f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，| φ| ≤〕，x= f 〔x〕的零点， x=y=f〔x〕象的称，且f〔x〕在〔，〕，ω的最大〔〕A．11 B．9C．7D．5二、填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 25 分.13．〔 5 分〕向量=〔m，1〕， =〔 1， 2〕，且 |+ |2=| |2+| | 2， m=．14．〔 5 分〕〔2x+〕5的张开式中， x3的系数是．〔用数字填写答案〕15．〔 5分〕等比数列 { a n }足a1+a3=10，a2+a4=5， a1a2⋯a n的最大．16．〔 5分〕某高科技企生品 A 和品 B 需要甲、乙两种新式资料．生一件品 A 需要甲资料，乙资料 1kg，用 5 个工；生一件品 B 需要甲资料，乙资料，用3 个工，生一件品 A 的利 2100 元，生一件品 B 的利 900 元．企有甲资料150kg，乙资料 90kg，在不超 600 个工的条件下，生品 A、品 B 的利之和的最大元．三、解答：本大共 5 小，分 60 分，解答写出文字明、明程或演算步 .17．〔 12 分〕△ ABC的内角 A，B，C 的分 a，b，c，2cosC〔 acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求 C；〔Ⅱ〕假设 c=，△ ABC的面，求△ ABC的周．18．〔 12 分〕如，在以A， B，C，D，E，F 点的五面体中，面ABEF正方形， AF=2FD，∠ AFD=90°，且二面角 D AF E与二面角 C BE F都是 60°．〔Ⅰ〕明平面 ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕求二面角 E BC A的余弦．第3页〔共 6页〕19．〔 12 分〕某公司方案购置2 台机器，该种机器使用三年后即被裁汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，若是备件缺乏再购置，那么每个500 元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此采集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损零件数．〔Ⅰ〕求 X 的分布列；〔Ⅱ〕假设要求 P〔X≤n〕≥，确定 n 的最小值；〔Ⅲ〕以购置易损零件所需花销的希望值为决策依照，在n=19 与 n=20 之中选其一，应采纳哪个？20．〔12分〕设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为 A，直线 l 过点 B〔1，0〕且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC的平行线交 AD 于点 E．〔Ⅰ〕证明 | EA|+| EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．〔 12 分〕函数 f〔x〕=〔x ﹣〕2e x+a〔 x﹣1〕2有两个零点．〔Ⅰ〕求 a 的取值范围；第4页〔共 6页〕〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，证明： x1+x2＜2．请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分.[ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．〔 10 分〕如图，△ OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°．以 O 为圆心，OA 为半径作圆．〔Ⅰ〕证明：直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为〔t 为参数，a＞0〕．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．〔Ⅰ〕说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕直线 C的极坐标方程为θ=α，其中α满足 tan α与 C 的3000=2，假设曲线C12公共点都在 C3上，求 a．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．函数 f 〔x〕=| x+1| ﹣| 2x ﹣|3．〔Ⅰ〕在图中画出 y=f〔x〕的图象；〔Ⅱ〕求不等式 | f〔x〕 | ＞ 1 的解集．第5页〔共 6页〕第6页〔共 6页〕2021 年全国一致高考数学试卷〔理科〕〔新课标Ⅰ 〕参照答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设会集 A={ x| x2﹣ 4x+3＜0} ， B={ x| 2x ﹣＞30} ，那么A∩B=〔〕A．〔﹣3，﹣〕 B．〔﹣3，〕C．〔1，〕D．〔，3〕【解析】解不等式求出会集A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵会集 A={ x| x2﹣4x+3＜0} =〔1，3〕，B={ x| 2x ﹣＞30} =〔，+∞〕，∴A∩B=〔，3〕，应选： D2．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设〔 1+i〕 x=1+yi，其中 x，y 是实数，那么 | x+yi| =〔〕A．1B．C．D．2【解析】依照复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵〔 1+i〕 x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即| x+yi| =| 1+i| =，应选： B．3．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕等差数列 { a n }前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔〕A．100 B．99 C．98D．97【解析】依照可得 a5=3，进而求出公差，可得答案．第 1页〔共 24页〕【解答】解：∵等差数列 { a n} 前 9 项的和为 27，∴9a5=27， a5=3，又∵ a10=8，∴d=1，∴a+95d=98，100=a5应选： C4．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕某公司的班车在7： 00，8：00， 8： 30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时辰是随机的，那么他等车时间不高出10 分钟的概率是〔〕A．B．C．D．【解析】求出小明等车时间不高出 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当 y 在 7：50 至 8： 00，或 8：20 至 8：30 时，小明等车时间不高出 10 分钟，故P= =，应选： B5．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么 n 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，3〕B．〔﹣1，〕C．〔0，3〕 D．〔0，〕【解析】由可得 c=2，利用 4=〔m2+n〕+〔3m2﹣n〕，解得 m2=1，又（m2+n〕〔3m2﹣n〕＞ 0，进而可求 n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴ c=2，当焦点在 x 轴上时，可得： 4=〔m2+n〕+〔3m2﹣n〕，解得：m2=1，第 2页〔共 24页〕∵方程﹣=1 表示双曲线，∴〔m2+n〕〔3m2﹣n〕＞ 0，可得：〔 n+1〕〔3﹣n〕＞0，解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：〔﹣1， 3〕．当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4=〔 m2+n〕 +〔 3m2﹣n〕，解得： m2=﹣，1无解．应选： A．6．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．假设该几何体的体积是，那么它的表面积是〔〕A．17 πB．18 πC．20 πD．28 π【解析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，尔后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π?2+=17π．应选： A．第 3页〔共 24页〕| x|的图象大体为〔 〕7．〔5 分〕〔2021?新课标 Ⅰ 〕函数 y=2x 2﹣e 在[ ﹣2，2]A ．B ．C ．D ．【解析】 依照中函数的解析式，解析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用消除法，可得答案．【解答】 解：∵ f 〔x 〕=y=2x 2﹣e |x|，| ﹣x | | x|∴ f 〔﹣x 〕=2〔﹣x 〕2﹣e =2x 2﹣e ，故函数为偶函数，当 x=±2 时， y=8﹣e 2∈〔0，1〕，故消除 A ， B ；当 x ∈[ 0，2] 时， f 〔 x 〕 =y=2x 2﹣e x ，∴ f 〔′ x 〕=4x ﹣e x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x|在[ 0，2] 不是单调的，故消除 C ，8．〔5 分〕〔2021?新课标 Ⅰ 〕假设 a ＞ b ＞ 1， 0＜ c ＜1，那么〔〕A ．a c＜ b cB ．ab c＜bacC ．alog b c ＜blog a cD ．log a c ＜ log b c第 4页〔共 24页〕【解析】依照中 a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵ a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数 f〔x〕=x c在〔 0，+∞〕上为增函数，故a c＞ b c，故 A 错误；函数 f〔x〕 =x c﹣1在〔 0，+∞〕上为减函数，故a c﹣＜1b c﹣，1故 ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故 B 错误；log a c＜0，且 log b c＜ 0， log a b＜ 1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D 错误；0＜﹣ log a c＜﹣ log b c，故﹣ blog a c＜﹣ alog b c，即 blog a c＞alog b c，即 alog b c＜blog a c，故C正确；应选： C9．〔5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕执行如图的程序框图，若是输入的x=0，y=1， n=1，那么输出 x，y 的值满足〔〕A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x【解析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，解析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入 x=0，y=1， n=1，那么 x=0，y=1，不满足 x2+y2≥ 36，故 n=2，那么x= ，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，第 5页〔共 24页〕那么 x= ，y=6，满足 x2+y2≥ 36，故 y=4x，应选： C10．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、 E 两点． | AB| =4，| DE| =2，那么C的焦点到准线的距离为〔〕A．2B．4C．6D．8【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为 y2=2px，如图： | AB| =4，| AM| =2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，| OD| =| OA| ，=+5，解得： p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．应选： B．第 6页〔共 24页〕11．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕平面α过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的极点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，那么 m、 n 所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．【解析】画出图形，判断出m、 n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABA1B1=n，可知： n∥CD1， m∥B1D1，∵△ CB1D1是正三角形． m、 n 所成角就是∠CD1B1=60 °．那么 m、n 所成角的正弦值为：．应选： A．12．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕函数 f 〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞ 0，| φ| ≤〕，x= ﹣为 f〔x〕的零点， x=为y=f〔x〕图象的对称轴，且f〔x〕在〔，〕单调，那么ω的最大值为〔〕A．11 B．9C．7D．5【解析】依照可得ω为正奇数，且ω≤12，结合 x=﹣为f〔x〕的零点，x= 为 y=f〔x〕图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f〔x〕在〔，〕单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵ x=﹣为f〔x〕的零点，x=为y=f〔x〕图象的对称轴，第 7页〔共 24页〕∴，即，〔 n∈N〕即ω=2n+1，〔n∈N〕即ω为正奇数，∵ f〔x〕在〔，〕那么﹣= ≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ| ≤，∴φ=﹣，此时 f〔x〕在〔，〕不只一，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ| ≤，∴φ= ，此时 f〔x〕在〔，〕单调，满足题意；故ω的最大值为9，应选： B二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 25 分.13．〔 5 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设向量=〔m， 1〕， =〔1，2〕，且| + | 2=| | 2+| | 2，那么 m=﹣2．【解析】利用条件，经过数量积判断两个向量垂直，尔后列出方程求解即可．【解答】解：| + | 2=| | 2+|| 2，可得? =0．向量=〔 m，1〕，=〔 1，2〕，可得 m+2=0，解得 m=﹣2．第 8页〔共 24页〕故答案： 2．14．〔5分〕〔2021?新Ⅰ〕〔2x+〕5的张开式中，x3的系数是10．〔用数字填写答案〕【解析】利用二张开式的通公式求出第 r+1 ，令 x 的指数 3，求出 r，即可求出张开式中 x3的系数．【解答】解：〔 2x+〕5的张开式中，通公式：T r+1==25 r，令 5 =3，解得 r=4∴ x3的系数 2 =10．故答案： 10．15．〔 5 分〕〔2021?新Ⅰ〕等比数列 { a n} 足 a1+a3=10， a2 +a4=5， a a ⋯a的最大 64 ．1 2n【解析】求出数列的等比与首，化a1a2⋯a n，尔后求解最．【解答】解：等比数列 { a n} 足 a1+a3=10，a2+a4=5，可得 q〔a1+a3〕=5，解得 q=．a1+q2a1=10，解得 a1=8．a ⋯a n1+2+3+⋯+〔n〕1n==，1a2n=a1?q=8 ?当 n=3 或 4，表达式获取最大：=26=64．故答案：64．16．〔 5 分〕〔2021?新Ⅰ〕某高科技企生品 A 和品 B 需要甲、乙两种新式资料．生一件品 A 需要甲资料，乙资料 1kg，用 5 个工；生一件品 B 需要甲资料，乙资料，用 3 个工，生一件品A 的利 2100 元，生一件品 B 的利 900 元．企有甲资料第 9页〔共 24页〕150kg，乙资料 90kg，那么在不高出 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为216000元．【解析】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，依照题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，经过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：〔 1〕设 A、B 两种产品分别是x 件和 y 件，盈利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A〔60， 100〕，目标函数 z=2100x+900y．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数获取最大值：2100×60+900× 100=216000元．故答案为： 216000．三、解答题：本大题共 5 小题，总分值 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕△ ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c， 2cosC〔 acosB+bcosA〕=c．第 10 页〔共 24 页〕〔Ⅰ〕求 C；〔Ⅱ〕假设 c=，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．【解析】〔Ⅰ 〕等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及引诱公式化简，依照sinC 不为 0 求出 cosC的值，即可确定出出 C 的度数；〔 2〕利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕等式利用正弦定理化简得：2cosC〔 sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得： 2cosCsin〔A+B〕=sinC，∵ sinC≠0，sin〔A+B〕=sinC∴ cosC= ，又 0＜C＜π，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得 7=a2+b2﹣ 2ab? ，∴〔 a+b〕2﹣ 3ab=7，∵ S= absinC= ab=，∴ ab=6，∴〔 a+b〕2﹣ 18=7，∴ a+b=5，∴△ ABC的周长为 5+．18．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，在以 A，B，C，D，E，F 为极点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，∠ AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E与二面角C﹣ BE﹣都F是 60°．〔Ⅰ〕证明平面 ABEF⊥平面 EFDC；第 11 页〔共 24 页〕〔Ⅱ〕求二面角 E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】〔Ⅰ 〕证明 AF⊥平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判判定理证明平面ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕证明四边形 EFDC为等腰梯形，以 E 为原点，建立以以下图的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】〔Ⅰ 〕证明：∵ ABEF为正方形，∴ AF⊥ EF．∵∠ AFD=90°，∴ AF⊥ DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面 EFDC，∵AF? 平面 ABEF，∴平面 ABEF⊥平面 EFDC；〔Ⅱ〕解：由 AF⊥DF，AF⊥ EF，可得∠ DFE为二面角 D﹣AF﹣E的平面角；由 CE⊥ BE，BE⊥EF，可得∠ CEF为二面角 C﹣BE﹣的F平面角．可得∠ DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB? 平面 EFDC，EF? 平面 EFDC，∴AB∥平面 EFDC，∵平面 EFDC∩平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形 EFDC为等腰梯形．第 12 页〔共 24 页〕以 E 为原点，建立以以下图的坐标系，设FD=a，那么 E〔0，0，0〕，B〔0，2a，0〕， C〔，0，a〕， A〔 2a，2a，0〕，∴=〔0，2a， 0〕，=〔，﹣2a，a〕，=〔﹣2a， 0，0〕设平面 BEC的法向量为=〔x1， y1，z1〕，那么，那么，取=〔，0，﹣1〕．设平面 ABC的法向量为=〔x2， y2，z2〕，那么，那么，取 =〔0，，4〕．设二面角 E﹣BC﹣A的大小为θ，那么 cosθ===﹣，那么二面角 E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．19．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕某公司方案购置 2 台机器，该种机器使用三年后即被裁汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，若是备件缺乏再购置，那么每个500元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此采集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生第 13 页〔共 24 页〕的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损零件数．〔Ⅰ〕求 X 的分布列；〔Ⅱ〕假设要求 P〔X≤n〕≥，确定 n 的最小值；〔Ⅲ〕以购置易损零件所需花销的希望值为决策依照，在n=19 与 n=20 之中选其一，应采纳哪个？【解析】〔Ⅰ 〕由得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20， 21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．〔Ⅱ〕由 X 的分布列求出 P〔X≤18〕 =，P〔X≤19〕= ．由此能确定满足P〔X≤n〕≥ 0.5 中 n 的最小值．〔Ⅲ〕由 X 的分布列得 P〔 X≤ 19〕=．求出买 19 个所需花销希望 EX1和买20 个所需花销希望 EX2，由此能求出买19 个更合适．【解答】解：〔Ⅰ〕由得 X 的可能取值为 16， 17，18， 19，20，21， 22，P〔X=16〕=〔〕2= ，P〔X=17〕=，P〔X=18〕=〔〕2+2〔〕2= ，P〔X=19〕== ，P〔X=20〕==，P〔X=21〕== ，P〔X=22〕=，第 14 页〔共 24 页〕∴ X 的分布列为：X16171819202122 P〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：P〔X≤18〕=P〔 X=16〕 +P〔X=17〕+P〔 X=18〕==．P〔X≤19〕=P〔 X=16〕 +P〔X=17〕+P〔 X=18〕 +P〔X=19〕=+ =．∴ P〔 X≤ n〕≥ 0.5 中， n 的最小值为 19．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕得 P〔X≤19〕 =P〔X=16〕+P〔X=17〕+P〔 X=18〕 +P〔X=19〕=+ =．买 19 个所需花销希望：EX1=200×+〔200× 19+500〕×+〔200×19+500× 2〕×+〔200× 19+500×3〕× =4040，买 20 个所需花销希望：EX2=+〔200× 20+500〕×+〔200×20+2×500〕×=4080，∵EX＜EX，12∴买 19 个更合适．20．〔12分〕〔2021?新课标Ⅰ〕设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为 A，直线 l 过点B〔1，0〕且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E．〔Ⅰ〕证明 | EA|+| EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．【解析】〔Ⅰ 〕求得圆 A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性第 15 页〔共 24 页〕质，可得 EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E 的轨迹为以 A， B 为焦点的椭圆，求得 a，b，c，即可获取所求轨迹方程；〔Ⅱ〕设直线 l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得| MN| ，由 PQ⊥l ，设 PQ：y=﹣m〔 x﹣1〕，求得 A 到 PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得 | PQ| ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可获取所求范围．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：圆 x2+y2+2x﹣15=0即为〔 x+1〕2+y2=16，可得圆心 A〔﹣1， 0〕，半径 r=4，由 BE∥ AC，可得∠ C=∠EBD，由 AC=AD，可得∠ D=∠ C，即为∠ D=∠EBD，即有 EB=ED，那么 | EA|+| EB| =| EA|+| ED| =| AD| =4，故 E 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，且有 2a=4，即 a=2，c=1，b==，那么点 E 的轨迹方程为+=1〔y≠0〕；〔Ⅱ〕椭圆 C1：+ =1，设直线 l：x=my+1，由 PQ⊥ l，设 PQ：y=﹣m〔x﹣1〕，由可得〔 3m2 +4〕 y2+6my﹣9=0，设 M〔x1， y1〕， N〔x2，y2〕，可得 y1+y2=﹣， y1y2=﹣，那么| MN| =?| y| =?1﹣y2=?=12?，A 到 PQ 的距离为 d==，第 16 页〔共 24 页〕|PQ|=2=2=，那么四边形 MPNQ 面积为 S= | PQ| ?| MN| = ??12?=24?=24，当 m=0 时， S 获取最小值 12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四边形 MPNQ 面积的取值范围是 [ 12， 8〕．21．〔 12 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕函数 f〔 x〕 =〔 x ﹣〕2e x+a〔x﹣1〕2有两个零点．〔Ⅰ〕求 a 的取值范围；〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，证明： x1+x2＜2．【解析】〔Ⅰ 〕由函数 f〔 x〕 =〔 x﹣〕2 e x+a〔x﹣1〕2可得： f ′〔x〕=〔x﹣1〕e x+2a〔 x﹣〕1 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕，对 a 进行分类谈论，综合谈论结果，可得答案．〔Ⅱ〕设 x1，x2是 f〔 x〕的两个零点，那么﹣a==，令g〔x〕=，那么g〔x1〕=g〔x2〕=﹣a，解析g〔x〕的单调性，令第 17 页〔共 24 页〕m＞ 0，那么 g〔1+m〕﹣g〔1﹣m〕=，设 h〔m〕=，m＞0，利用导数法可得h〔 m〕＞ h〔0〕=0 恒建立，即 g〔1+m〕＞ g〔 1﹣m〕恒建立，令 m=1﹣x＞ 0，可得结论．1【解答】解：〔Ⅰ〕∵函数 f〔x〕=〔x﹣2〕e x+a〔 x﹣1〕2，∴ f ′〔 x〕=〔x﹣1〕 e x+2a〔x﹣1〕=〔x﹣1〕〔e x+2a〕，①假设 a=0，那么 f 〔x〕=0? 〔x﹣2〕e x=0? x=2，函数 f〔x〕只有唯一的零点2，不合题意；②假设 a＞0，那么 e x+2a＞0 恒建立，当 x＜1 时， f ′〔x〕＜ 0，此时函数为减函数；当 x＞1 时， f ′〔x〕＞ 0，此时函数为增函数；此时当 x=1 时，函数 f〔x〕取极小值﹣e，由 f〔 2〕 =a＞0，可得：函数 f〔 x〕在 x＞1 存在一个零点；当 x＜1 时， e x＜ e， x﹣2＜﹣1＜ 0，∴ f〔x〕=〔x﹣2〕e x+a〔x﹣1〕2＞〔 x﹣2〕e+a〔 x﹣1〕2=a〔x﹣〕12+e〔x﹣1〕﹣e，令 a〔x﹣1〕2+e〔x﹣1〕﹣e=0的两根为 t1，t2，且 t1＜t 2，那么当 x＜t 1，或 x＞t2时， f〔x〕＞ a〔x﹣1〕2+e〔 x﹣1〕﹣e＞0，故函数 f〔x〕在 x＜ 1 存在一个零点；即函数 f〔x〕在 R 是存在两个零点，满足题意；③假设﹣＜a＜0，那么 ln〔﹣2a〕＜ lne=1，当 x＜ln〔﹣2a〕时， x﹣1＜ln〔﹣2a〕﹣1＜lne ﹣1=0，e x+2a＜ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 ln〔﹣2a〕＜ x＜ 1 时， x﹣1＜ 0，e x+2a＞ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＜ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递减，当 x＞1 时， x﹣1＞ 0， e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故当 x=ln〔﹣2a〕时，函数取极大值，第 18 页〔共 24 页〕由 f〔 ln〔﹣2a〕〕=[ ln〔﹣2a〕﹣2]〔﹣2a〕+a[ ln〔﹣2a〕﹣1]2=a{[ ln〔﹣2a〕﹣2]+1}＜0 得：函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；④假设 a=﹣，那么 ln〔﹣2a〕 =1，当 x＜1=ln〔﹣2a〕时， x﹣1＜0，e x+2a＜ e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 x＞1 时， x﹣1＞ 0， e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故函数 f〔x〕在 R 上单调递加，函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤假设 a＜﹣，那么 ln〔﹣2a〕＞ lne=1，当 x＜1 时， x﹣1＜ 0， e x+2a＜e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，当 1＜x＜ ln〔﹣2a〕时， x﹣1＞0，e x+2a＜e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＜ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递减，当 x＞ln〔﹣2a〕时， x﹣1＞0，e x+2a＞e ln〔﹣2a〕+2a=0，即 f ′〔x〕 =〔 x﹣1〕〔 e x+2a〕＞ 0 恒建立，故 f 〔x〕单调递加，故当 x=1 时，函数取极大值，由 f〔 1〕 =﹣e＜0 得：函数 f〔x〕在 R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述， a 的取值范围为〔 0，+∞〕证明：〔Ⅱ〕∵ x1， x2是 f〔x〕的两个零点，∴f〔x1〕 =f〔x2〕=0，且 x1≠1，且 x2≠1，∴ ﹣a==，令 g〔x〕 =，那么g〔x1〕=g〔x2〕=﹣a，第 19 页〔共 24 页〕∵ g′〔x〕 =，∴当 x＜1 时， g′〔x〕＜ 0，g〔x〕单调递减；当 x＞1 时， g′〔 x〕＞ 0，g〔 x〕单调递加；设 m＞0，那么 g〔 1+m〕﹣g〔1﹣m〕 =﹣=，设 h〔m〕=，m＞0，那么 h′〔m〕 =＞0恒建立，即 h〔m〕在〔 0，+∞〕上为增函数，h〔m〕＞ h〔0〕=0 恒建立，即 g〔1+m〕＞ g〔 1﹣m〕恒建立，令 m=1﹣x＞0，1那么 g〔1+1﹣x〕＞ g〔1﹣1+x 〕? g〔2﹣x〕＞ g〔x 〕 =g〔x 〕? 2﹣x＞x ，1111212即 x1+x2＜2．请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分. [ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．〔 10 分〕〔2021?新课标Ⅰ〕如图，△ OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为半径作圆．〔Ⅰ〕证明：直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．【解析】〔Ⅰ 〕设 K 为 AB 中点，连结 OK．依照等腰三角形AOB 的性质知第 20 页〔共 24 页〕OK⊥AB，∠ A=30 °， OK=OAsin30 °=OA，那么 AB 是圆 O 的切线．〔Ⅱ〕设圆心为 T，证明 OT为 AB 的中垂线， OT为 CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：〔Ⅰ〕设 K 为 AB 中点，连结 OK，∵OA=OB，∠ AOB=120°，∴OK⊥AB，∠ A=30°，OK=OAsin30°= OA，∴直线 AB 与⊙ O 相切；〔Ⅱ〕因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设 T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB， TA=TB，∴OT为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为 CD的中垂线，∴AB∥CD．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．〔 2021?新课标Ⅰ〕在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为〔t 为参数， a＞0〕．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ．〔Ⅰ〕说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；〔Ⅱ〕直线 C的极坐标方程为θ=α，其中α满足 tan α与 C 的3000=2，假设曲线C12公共点都在 C3上，求 a．【解析】〔Ⅰ 〕把曲线 C1的参数方程变形，尔后两边平方作和即可获取一般方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合222x +y =ρ，y=ρsin θ化为极坐标方程；〔Ⅱ〕化曲线 C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆 C1与C2的公共弦所在直线方程，把 C1与 C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1﹣a2=0，那么a值可求．第 21 页〔共 24 页〕【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，两式平方相加得，x2+〔y﹣1〕2=a2．∴ C1为以〔 0，1〕为圆心，以 a 为半径的圆．化为一般式： x2+y2﹣ 2y+1﹣2a=0．①由 x2+y2=ρ2， y=ρsin ，θ得ρ2﹣ 2ρ sin+1﹣θ2a=0；〔Ⅱ〕C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcos，θ∴x2+y2=4x，②即〔 x﹣2〕2+y2=4．由 C ：θ=α，其中α满足 tan α3000=2，得 y=2x，∵曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，∴ y=2x为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，① ﹣②得： 4x﹣2y+1﹣a2=0，即为 C3，∴1﹣a2=0，∴a=1〔a＞ 0〕．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．〔 2021?新课标Ⅰ〕函数 f〔 x〕 =| x+1| ﹣| 2x ﹣|3．〔Ⅰ〕在图中画出 y=f〔x〕的图象；〔Ⅱ〕求不等式 | f〔x〕 | ＞ 1 的解集．第 22 页〔共 24 页〕【解析】〔Ⅰ 〕运用分段函数的形式写出 f〔x〕的解析式，由分段函数的画法，即可获取所求图象；〔Ⅱ〕分别谈论当 x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当 x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可获取所求解集．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔 x〕 =，由分段函数的图象画法，可得f〔x〕的图象，如右：〔Ⅱ〕由 | f〔x〕 | ＞ 1，可得当 x≤﹣1时， | x﹣4|＞ 1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x≤ ﹣1；当﹣1＜x＜时， | 3x﹣2|＞1，解得 x＞ 1 或 x＜，即有﹣1＜ x＜或1＜x＜；当 x≥时， | 4﹣x|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x＞5 或≤ x＜ 3．综上可得， x＜或 1＜x＜3 或 x＞ 5．那么 | f〔x〕| ＞1 的解集为〔﹣∞，〕∪〔1，3〕∪〔5，+∞〕．第 23 页〔共 24 页〕第 24 页〔共 24 页〕。

绝密★启用前之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日2018年通俗初等黉舍招生全国统一测验理科数学留心事项：1．答卷前,考生务势必本身的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地位上.2．答复选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应标题标答案标号涂黑.如需修正,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．测验停滞后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是适合标题要求的.1．设,则A．B．C．D．2．已知集合,则A．B．C．D．3．某地区经由一年的新农村拔擢,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地理解该地区农村的经济收入变更情况,统计了该地区新农村拔擢前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：拔擢前经济收入构成比例拔擢后经济收入构成比例则下面结论中不精确的是A．新农村拔擢后,栽种收入削减B．新农村拔擢后,其他收入增加了一倍以上C．新农村拔擢后,养殖收入增加了一倍D．新农村拔擢后,养殖收入与第三财产收入的总和超出了经济收入的一半4．设为等差数列的前项和,若,,则A．B．C．D．5．设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．6．在中,为边上的中线,为的中点,则A．B．C．D．7．某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图．圆柱概略上的点在正视图上的对应点为,圆柱概略上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱正面上,从到的路径中,最短路径的长度为A．B．C．3D．28．设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点（–2,0）且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数．若g（x）消掉2个零点,则a的取值范围是A．[–1,0） B．[0,+∞） C．[–1,+∞） D．[1,+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成,三个半圆的直径辨别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC．△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III．在全体图形中随机取一点,此点取自I,II,III的几率辨别记为p1,p2,p3,则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．已知双曲线C：OMN为直角三角形,则|MN|= A．B．3C．D．412．已知正方体的棱长为1,每条棱地点直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．若,知足约束前提,则的最大值为_____________．14．记为数列的前项和,若,则_____________．15．从2位女生,4位男生中选3人介入科技竞赛,且至少有1位女生入选,则不合的选法共有_____________种．（用数字填写答案）16．已知函数,则的最小值是_____________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证实过程或演算步调.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生按照要求作答.（一）必考题：60分.17．（12分）在平面四边形中,,,,.（1）求；（2）若,求.18．（12分）如图,四边形为正方形,辨别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的地位,且.（1）证实：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19．（12分）设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.（1）当与轴垂直时,求直线的方程；（2）设为坐标原点,证实：.20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作考验,如考验出不合格品,则更换为合格品．考验时,先从这箱产品中任取20件作考验,再按照考验成果决定是否对余下的所有产品作考验,设每件产品为不合格品的几率都为,且各件产品是否为不合格品互相自力．学科&网（1）记20件产品中恰有2件不合格品的几率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品考验了20件,成果恰有2件不合格品,以（1）中确定的作为（i）若不合错误该箱余下的产品作考验,这一箱产品的考验费用与补偿费用的和记为,求;（ii）以考验费用与补偿费用和的期望值为决定筹划按照,是否该对这箱余下的所有产品作考验？21．（12分）已知函数．（1）谈论的单调性；（2）若消掉两个极值点,证实：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点,求的方程.23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知.（1）当时,求不等式的解集；（2）若时不等式成立,求的取值范围.参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A BD A B D C A B A13.6 14. 15.16 16.17.（12分）解：（1）在中,由正弦定理得.由题设知,,所以.由题设知,,所以.（2）由题设及（1）知,.在中,由余弦定理得.所以.18.（12分）解：（1）由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF,垂足为H.由（1）得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的标的目的为y轴正标的目的,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.19.（12分）解：（1）由已知得,l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重应时,.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直等分线,所以.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,,则,直线MA,MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以,.则.从而,故MA,MB的竖直角互补,所以.综上,.20.（12分）解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的几率为.是以.令,得.当时,；当时,.所以的最大值点为.（2）由（1）知,.（i）令暗示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知,,即.所以.（ii）假如对余下的产品作考验,则这一箱产品所需要的考验费为400元.因为,故应该对余下的产品作考验.21.（12分）解:（1）的定义域为,.（i）若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.（ii）若,令得,或.当时,；当时,.所以在单调递减,在单调递增.（2）由（1）知,消掉两个极值点当且仅当.因为的两个极值点知足,所以,无妨设,则.因为,所以等价于.设函数,由（1）知,在单调递减,又,从而当时,.所以,即.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由,得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为,半径为的圆．由题设知,是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为,轴左边的射线为．因为在圆的外面,故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点,或与只有一个公共点且与有两个公共点．学#科网当与只有一个公共点时,到地点直线的距离为,所以,故或．经考验,当时,与没有公共点；当时,与只有一个公共点,与有两个公共点．当与只有一个公共点时,到地点直线的距离为,所以,故或．经考验,当时,与没有公共点；当时,与没有公共点．综上,所求的方程为．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当时,,即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若,则当时；若,的解集为,所以,故．综上,的取值范围为.时间：二O二一年七月二十九日。