知识讲解 条件概率 事件地相互独立性(理)(基础)

条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)P B A表示。

(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。

概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。

从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。

基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。

而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。

要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。

第04讲 事件的相互独立性与条件概率【必备知识】1．相互独立事件(1)定义：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．2．条件概率(1)定义：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型，P (B |A )＝n （AB ）n （A ）； ②概率的乘法公式：P (AB )＝P (A )P (B |A )．3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ．则对Ω中的任意事件B ⊆Ω，有)|()()(1ini i A B P A P B P ∑==． 考点12 条件概率的计算【常用方法】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 【典例分析12】1、小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0．2．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )A ．0．2B ．0．3C ．0．4D ．0．5(2)端午节当天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明从中随机抽取两个粽子，若已知小明取出的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )A ．17B ．13C ．37D ．310考点13 相互独立事件的概率的求法【常用方法】相互独立事件的概率的求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)间接法：正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【典例分析13】1、我们知道，排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25 ，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x (x ≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率P (x )．考点14全概率公式的应用【常用方法】利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1，2，…，n)；(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i)；(3)代入全概率公式计算．【典例分析14】1、某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0．05，0．04，0．03和0．02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？。

条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)P B A表示。

(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。

概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。

从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。

基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。

而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。

条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)P B A表示。

(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。

概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。

从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。

基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。

而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。