知识讲解 条件概率 事件地相互独立性(理)(基础)

事件甲与事件丙同时发生的概率为0，（甲丙）≠ （甲）（丙），故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1

条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)P B A表示。

(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。

概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。

从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。

基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。

而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。

要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。

思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
微拓展
D 选项，由 C 选项知 Pn＝12(1－Pn－1)， 即 Pn＝－12Pn－1＋12， 设 Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)， 故 Pn＝－12Pn－1－32λ， 所以－32λ＝12，解得 λ＝－13，
微拓展
故 Pn－13＝－12Pn－1－31， 又 P1－13＝－13≠0， 所以Pn－13是首项为－13，公比为－21的等比数列，故 Pn－13＝－13－12n－1， 故 Pn＝13－13－12n－1，D 正确； B 选项，由 D 选项可知 P4＝13－13×－123＝38，B 错误.
自主诊断
2.(必修第二册 P253T4 改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出
谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为
√A.16
B.13
C.56

第04讲 事件的相互独立性与条件概率【必备知识】1．相互独立事件(1)定义：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．2．条件概率(1)定义：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型，P (B |A )＝n （AB ）n （A ）； ②概率的乘法公式：P (AB )＝P (A )P (B |A )．3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ．则对Ω中的任意事件B ⊆Ω，有)|()()(1ini i A B P A P B P ∑==． 考点12 条件概率的计算【常用方法】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 【典例分析12】1、小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0．2．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )A ．0．2B ．0．3C ．0．4D ．0．5(2)端午节当天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明从中随机抽取两个粽子，若已知小明取出的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )A ．17B ．13C ．37D ．310考点13 相互独立事件的概率的求法【常用方法】相互独立事件的概率的求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)间接法：正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【典例分析13】1、我们知道，排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25 ，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x (x ≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率P (x )．考点14全概率公式的应用【常用方法】利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1，2，…，n)；(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i)；(3)代入全概率公式计算．【典例分析14】1、某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0．05，0．04，0．03和0．02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？。

“两次取出的球的数字之和是7”，则（
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事

件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)P B A表示。

(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。

概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。

从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。

基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。

而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。

[逐点清]
1．(必修第二册 248 页例 2 改编)天气预报预测，在元旦假期期间甲地的降雨概率
是 0．2，乙地的降雨概率是 0．3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没
有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
()
A．0．2
B．0．3
C．0．38
D．0．56
解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A－B ＋
02考Leabharlann 分类突破 课堂讲练理解透 规律明 变化究其本
独立事件的概率
(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛 的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘 汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12． (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．
事件的相互独立性与条件概率
(1)在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 能计算简单随机事件的条件概率；(2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系， 会用乘法公式计算概率；(3)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
－A B，∴P(A－B ＋－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0．2×0．7
＋0．8×0．3＝0．38．
答案：C
重点二 条件概率 1．概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝ PPAAB为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．两个公式 (1)利用古典概型，P(B|A)＝nnAAB； (2)利用概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)P(B|A) .

条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)P B A表示。

(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。

概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。

从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。

基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。

而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。

独立性检验思想引入
独立性检验是指通过样本数据来推断总体中的两个事件是否相互独立的一种统计方法。如果两个事件 相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
在实际问题中，我们往往无法直接判断两个事件是否相互独立，这时就需要通过独立性检验来进行判 断。独立性检验的基本思想是通过比较样本数据中两个事件同时发生的频率与它们各自发生的频率的 乘积是否有显著差异来判断它们是否相互独立。
判定方法
对于n个事件，要判定它们是否相互 独立，需要验证其中任意k(2≤k≤n)个 事件同时发生的概率是否等于这k个事 件各自发生的概率之积。
实际生活中应用举例
抽奖游戏
在抽奖游戏中，每次抽奖的结果通常 被认为是相互独立的。即前一次抽奖 的结果不会影响后一次抽奖的结果。
天气预报
在天气预报中，不同地区的天气状况 通常被认为是相互独立的。即一个地 区的天气状况不会影响另一个地区的 天气状况。
实例分析
拓展思考
通过具体的医学诊断案例，计算敏感度和 特异度，并评估诊断方法的准确性。
探讨如何提高医学诊断的敏感度和特异度， 减少误诊和漏诊的可能性。
天气预报中降水概率预测
降水概率预测介绍
说明天气预报中降水概率预测的方法和意义。
条件概率在降水概率预测中应用
分析条件概率在降水概率预测中的具体作用，以及如何利用历史气象 数据进行预测。
乘法公式及其应用
乘法公式是条件概率的一个重要性质，它表示两个事件同时 发生的概率等于其中一个事件发生的概率与另一个事件在前 一个事件发生的条件下的概率的乘积。即P(AB)=P(A)P(B/A) 。
乘法公式在概率论中有着广泛的应用，例如在计算多个事件 同时发生的概率、求解复杂事件的概率等问题中都可以使用 乘法公式进行简化计算。

大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。

在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。

其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。

本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。

例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。

现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。

根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。

条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。

通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。

二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。

具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。

两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。

例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。

再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。

问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。

条件概率及互相独立事件-高考数学知识点条件概率及互相独立事件一、条件概率
条件概率是一种带有附加条件的概率。

是指若事件A与事件B是相依事件，即事件A的概率随事件B是否发生而变化，同样，事件B的概率与随事件A是否发生而变化，则在事件A已发生的条件下，事件B出现的概率称为事件B的条件概率。

条件概率就是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P(A|B)，读作“在 B 条件下 A 的概率”。

P(A|B)=P(AB)/P(B),P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、独立事件
相互独立事件: 事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

三、热定预测
预测高考可能会对独立事件的概率、n次独立事件的概率、n次独立重复试验的概率、二项分布重点考察。

解答题仍会保持中等难度，分值约为10分。

条件概率与互相独立事件在高二的课程中就已经还是涉及。

条件概率与事件的独立性概率论中的条件概率和事件的独立性是两个基本概念，它们在统计学、机器学习等领域中具有重要的应用。

条件概率用于描述在给定另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率；而事件的独立性则描述了两个或多个事件之间的相互独立性。

在本文中，我们将深入探讨条件概率与事件的独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下发生的概率"。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的概念在实际问题中广泛应用。

例如，假设一批产品中有10%的次品，现在从这批产品中随机抽取一件，已知这件产品是次品，求其实际上是某个特定厂家生产的概率。

这个问题就可以利用条件概率来求解，假设事件A表示该产品是某个特定厂家生产的事件，事件B表示这件产品是次品的事件，那么我们需要求解的就是P(A|B)。

二、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生与否不会改变其他事件发生的概率。

具体地，对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则称事件A和事件B是相互独立的：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

事件的独立性在概率论中具有重要的应用。

例如，假设有两个骰子，求它们同时投掷时出现两个特定数字的概率。

我们可以将出现某个特定数字的事件定义为事件A和事件B，利用事件的独立性可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B)。

三、条件概率与事件的独立性的关系条件概率与事件的独立性之间存在着紧密的联系。

如果事件A和事件B相互独立，那么有以下关系成立：P(A|B) = P(A)这表示在已知事件B发生的条件下，事件A的发生概率与事件B无关。

6、条件概率与事件的独立性一、基础知识1．条件概率（1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，如果在事件B 已经发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则这种概率称为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。

记作P(A|B)（2）条件概率的公式：)()()()()|(B n AB n B P AB P B A P == 2．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅4．互斥事件与相互独立事件是有区别的：互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。

二、典例分析题型一：条件概率【例1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：（1）第一次取到不合格品的概率；（2）在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.【变式1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。

【变式2】甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.【变式3】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第77讲事件的相互独立性与条件概率考向预测核心素养考查相互独立事件同时发生的概率、条件概率与全概率公式的应用，中档难度.数据分析[学生用书P267])一、知识梳理1．相互独立事件(1)概念：设A，B为任意两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．[提醒] 相互独立事件不一定互斥．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称为条件概率．(2)两个公式①利用古典概型，P(B|A)＝n（AB）n（A）．②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(Ai )>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝∑ni＝1P（Ai）P（B|A i）．我们称上面的公式为全概率公式．[提醒] 注意P(B|A)和P(A|B)的区别．常用结论1．事件的关系与运算(1)A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为A－B－.(2)A，B恰有一个发生的事件为A B－＋A－B；A，B至多有一个发生的事件为A－B＋A B－＋A－B－.2．相互独立事件的概率若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝1－P(A－1)P(A－2)…P(A－n)．二、教材衍化1．(人A必修第二册P250习题10.2T1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为( ) A．互斥 B.互为对立C．相互独立 D.相等答案：C2．(人A必修第二册P249练习T3改编)天气预报在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A．0.2 B.0.3C．0.38 D.0.56解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A B＋A B，所以P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.3．(人A选择性必修第三册P48练习T3改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．解析：设A ＝“甲第一次拿到白球”，B ＝“甲第二次拿到红球”，则P (AB )＝A 12A 13A 210＝115，P (A )＝A 12A 110＝15，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝13.答案：134．(人A 必修第二册P 249例3改编)甲、乙、丙三人将参加某项测试．他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．答案：0.24 0.96一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (2)P (A |B )≠P (A )．( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，则A ，B 相互独立．( )(4)三个事件A ，B ，C 两两独立，则P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏1．(对“至少”理解错误)五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为( )A.5960 B.35 C.12D.160解析：选B.记事件A 为“至少有1人去厦门旅游”，其对立事件为A －“三人都不去厦门旅游”，由独立事件的概率公式可得P (A －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝25，由对立事件的概率公式可得P (A )＝1－P (A －)＝1－25＝35.2．(条件概率理解易错)由0，1组成的三位数编号中，若事件A 表示“第二位数字为0”，事件B 表示“第一位数字为0”，则P (A |B )＝________．解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝1412＝12. 答案：123．(全概率公式应用易错)某同学第1天午餐时随机选择A ，B 中的一家就餐，如果第1天去A 餐厅，则第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，则第二天去A 餐厅的概率为0.8.则该同学第二天去B 餐厅的概率为________．解析：设A i ＝“第i 天去A 餐厅就餐”，B i ＝“第i 天去B 餐厅就餐”(i ＝1，2)；则Ω＝A 1∪B 1，A 1，B 1互斥且P (A 1)＝P (B 1)＝0.5，P (B 2|A 1)＝0.4，P (B 2|B 1)＝0.2， 所以P (B 2)＝P (A 1)P (B 2|A 1)＋P (B 1)P (B 2|B 1) ＝0.5×0.4＋0.5×0.2＝0.3. 答案：0.3考点一 相互独立事件的概率(思维发散)复习指导：了解事件相互独立性的概念，会对复杂事件进行分解．(链接常用结论1)(2022·云南曲靖一中模拟)中国书法的五种主要书体为篆书体、隶书体、楷书体、行书体、草书体．现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，则甲不选隶书体、乙不选草书体的概率为( )A.425B.8 25C.925D. 16 25【解析】记“甲选隶书体”为事件A，“乙选草书体”为事件B，则P(A)＝C11C15＝15，P(B)＝C11C15＝15.则“甲不选隶书体”的概率P(A－)＝1－15＝45，“乙不选草书体”的概率P(B－)＝1－15＝45.因为甲、乙分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，由相互独立事件的概率公式可得“甲不选隶书体，乙不选草书体”的概率为P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝45×45＝1625.【答案】 D本例中，(1)改为求“甲选隶书体、乙选草书体”的概率呢？(2)改为求“甲选隶书体、乙不选草书体”的概率呢？(3)改为求“甲不选隶书体、乙选草书体”的概率呢？解：记“甲选隶书体”为事件A，“乙选草书体”为事件B.(1)“甲选隶书体、乙选草书体”为事件AB，其概率P(AB)＝P(A)P(B)＝15×15＝125.(2)“甲选隶书体、乙不选草书体”为事件A B－，其概率P(A B－)＝P(A)P(B－)＝15×45＝425.(3)“甲不选隶书体、乙选草书体”为事件A－B，其概率P(A－B)＝P(A－)P(B)＝45×15＝425.(1)解相互独立事件问题的步骤(2)建立概率模型是解决实际问题的关键，审题时要首先确定问题中的简单事件，再对复杂事件分析转化．|跟踪训练|1．甲、乙两人参加某知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析：选D.两人中恰有一人获得一等奖的概率为23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.2．(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立解析：选B.事件甲发生的概率P (甲)＝16，事件乙发生的概率P (乙)＝16，事件丙发生的概率P (丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P (丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P (甲丙)≠P (甲)P (丙)，故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P (甲丁)＝P (甲)P (丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P (乙丙)≠P (乙)P (丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．选B.考点二条件概率(综合研析)复习指导：在具体情境中，了解条件概率的概率．(多选)(2022·菏泽模拟)为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族伟大复兴的百年奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A．P(A)＝35B.P(AB)＝310C．P(B|A)＝12D.P(B|A－)＝12【解析】方法一(公式法)：对于A，P(A)＝C13C15＝35，故A正确；对于B，P(AB)＝C13C12C15C14＝310，故B正确；对于C，由选项A，B及条件概率公式可得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝31035＝12，故C正确；对于D，P(A－)＝C12C15＝25，P(A－B)＝C12C13C15C14＝310，P(B|A－)＝P（A－B）P（A－）＝31025＝34，故D错误．方法二(古典概型法)：对于A，由题意可知不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有5×4＝20(个)等可能的样本点，n(A)＝3×4＝12，所以P(A)＝1220＝35，故A正确；对于B，n(AB)＝3×2＝6，所以P(AB)＝620＝310，故B正确；对于C，P(B|A)＝n（AB）n（A）＝612＝12，故C正确；对于D，n(A－)＝2×4＝8，n(A－B)＝2×3＝6，P(B|A－)＝n（A－B）n（A－）＝68＝34，故D错误．【答案】ABC条件概率的两种求解方法|跟踪训练|1．(多选)已知A－，B－分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是( )A．P(B|A)＋P(B－|A)＝1B．P(B|A)＋P(B|A－)＝1C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)D．若A，B互斥，则P(B|A)＝P(A|B)解析：选ACD.A中，P(B|A)＋P(B－|A)＝P（AB）＋P（A B－）P（A）＝P（A）P（A）＝1，故A正确；B中，设A，B独立，则P(B|A)＋P(B|A－)＝2P(B)，而P(B)显然不一定为12，故B错误；C中，A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A|B)＝P（AB）P（B）＝P(A)，故C正确；D中，A，B互斥，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝P(A|B)＝0，故D正确．故选ACD.2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．解析：P(A|B)即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C13×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝6091.P(B|A)即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P (B |A )＝12.答案：609112考点三 全概率公式的应用(综合研析)复习指导：理解全概率公式的意义，会利用全概率公式计算概率．(2022·山东泰安模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为________．【解析】 设B ＝“任取一个零件为次品”，A i ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3两两互斥，根据题意得P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，P (B |A 1)＝0.06，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝0.05，由全概率公式可得P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，“取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率”就是计算在B 发生的条件下，事件A 3发生的概率，则P (A 3|B )＝P （A 3B ）P （B ）＝P （A 3）P （B |A 3）P （B ）＝0.45×0.050.052 5＝37.【答案】 0.052 537利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i (i ＝1，2，…，n )；(2)求P (A i )和所求事件B 在各个互斥事件A i 发生条件下的概率P (B |A i )； (3)代入全概率公式计算．|跟踪训练|盒中有a 个红球，b 个黑球，随机地从中抽取一个，观察其颜色后放回，并加上其同色球c 个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )A.ba ＋b ＋cB.b a ＋cC.ba ＋bD.b ＋ca ＋b ＋c解析：选C.设A ＝“第一次抽出的是黑球”，B ＝“第二次抽出的是黑球”则B ＝AB＋A －B ，由全概率公式知P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)．由题意得P (A )＝ba ＋b ，P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ，P (A －)＝a a ＋b ，P (B |A －)＝ba ＋b ＋c，所以P (B )＝b （b ＋c ）（a ＋b ）（a ＋b ＋c ）＋ab （a ＋b ）（a ＋b ＋c ）＝ba ＋b.故选C.[A 基础达标]1．一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球，3个黄球，从中有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得黄球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A －2( )A ．是相互独立事件 B.不是相互独立事件 C ．是互斥事件D.是对立事件解析：选A.由于采用有放回地摸球，因此A 1与A －2相互独立，所以事件A 1与A 2是相互独立事件，故选A.2．甲、乙两队进行决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34 B.23 C.35D.12解析：选A.甲队获得冠军有两种可能：进行一局比赛甲胜或进行两局比赛甲先负后胜，故所求概率为12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＝34.3．已知某药店只有A ，B ，C 三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A 品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B 品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为( )A ．0.7 B.0.65 C.0.35D.0.26解析：选C.由题意，得甲、乙两人买C 品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为P ＝0.2×0.3＋0.5×0.4＋0.3×0.3＝0.35.4．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P (A |B )＝( )A.14B.34C.29D.59解析：选C.由已知有P (B )＝3344＝27256，P (AB )＝A 3344＝3128，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝29.5．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为23，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为14，且三个公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( )A.116B.18C.14D.12解析：选B.记事件A 为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C 为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”．由题意可得P (A )＝23，P (B )＝P (C )＝14.则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为AB C －，由相互独立事件同时成立的概率公式，可得P (AB C －)＝P (A )P (B )P (C －)＝23×14×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝18. 6．甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12，13，14，则有人能够解决这个问题的概率为________．解析：“没有人能解决这个问题”的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，所以“有人能解决这个问题”的概率为1－14＝34.答案：347．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.1288．已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A 表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B 表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则P (B |A )＝________．解析：由题意可得 n (A )＝C 12C 15＝10, n (AB )＝C 12C 11＝2，故P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝210＝15.答案：159．王女士乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．则(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率是________； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率是________． 解析：用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件． 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9， 所以P (A )＝0.2，P (B )＝0.3，P (C )＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.答案：(1)0.398 (2)0.99410．已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4，通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05，因为目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者，这个主张是否合适？解：由题意可知，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99%，然而普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率，设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则P(A)＝0.000 4，P(B－|A)＝0.01，P(B|A－)＝0.05，从而有P(A－)＝1－P(A)＝1－0.000 4＝0.999 6，P(B|A)＝1－P(B－|A)＝1－0.01＝0.99.根据贝叶斯公式，检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为P(A|B)＝P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）＋P（A－）P（B|A－）＝0.000 4×0.990.000 4×0.99＋0.999 6×0.05≈0.007 9.这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%，也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的，从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意．[B 综合应用]11．某学校派甲、乙两同学组成代表队参加市青少年围棋比赛，已知两人平时比赛获胜的概率分别为35和12，现已知该代表队有人在第一轮比赛中胜出，则甲同学胜出的概率为( )A.910B.35C.38D.34解析：选D.设“甲同学胜出”为事件A ，“该代表队有人在第一轮比赛中胜出”为事件B ，则所求概率为在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．因为P (AB )＝35，P (B )＝35×12＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＝45，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝3545＝34.12．(多选)一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为X ，则X ∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，定义事件A ＝{X |X ∈{1，2，3，4}}，事件B ＝{X |X ∈{1，5，6，7}}，事件C ＝{X |X ∈{1，5，6，8}}，则下列判断正确的是( )A ．P (A ＋B )＝1 B ．P (BC )＝38C ．P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )D ．A ，B ，C 两两相互独立解析：选BC.由题意，Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，card(Ω)＝8，card(A )＝card(B )＝card(C )＝4，所以P (A )＝card （A ）card （Ω）＝48＝12，同理，P (B )＝P (C )＝12，由card(A ＋B )＝7，则P (A ＋B )＝card （A ＋B ）card （Ω）＝78，故A 错误；由card(B ∩C )＝3，则P (BC )＝card （B ∩C ）card （Ω）＝38，故B 正确；由card(A ∩B ∩C )＝1，则P (ABC )＝card （A ∩B ∩C ）card （Ω）＝18，而P (A )P (B )P (C )＝18，故C 正确；因为P (BC )＝38≠P (B )P (C )，P (AC )＝18≠P (A )P (C )，P (AB )＝18≠P (A )P (B )，所以事件A ，B ，C 不两两相互独立，故D错误．故选BC.13．(2022·北京八一学校高三开学考试)设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．解析：设B＝{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，A i＝{提出的一台是第i车间生产的产品}，i＝1，2，则B＝A1B∪A2B，因为第一、二车间生产的成品比例为2∶3，所以P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，又因为第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，所以P(B|A1)＝1－0.15＝0.85，P(B|A2)＝1－0.12＝0.88，所以P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)，＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.答案：0.86814．某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿)．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为________．(结果用最简分数表示)解析：因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为1920和2021，故两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为1920×2021＝1921.根据对立事件的概率公式，可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为1－1921＝221.答案：221[C 素养提升]15．(多选)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有( )A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627解析：选ABD.A.恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故A 正确；B ．每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故B 正确；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝35，故C 错误； D ．每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故D 正确．故选ABD. 16．(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解：(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为1 16；乙连胜四场的概率为1 16；丙上场后连胜三场的概率为1 8 .所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8 .比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.。

是___________.
同类题型归类练
（2022·重庆·高二阶段练习）
21．从 5 名男同学和 4 名女同学中任选 2 名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，
都是男同学的概率是（ ）
A．
1 3
5 B． 14
10 C． 13
D．
5 8
（2022·重庆南开中学高三阶段练习）
22．记
A
为事件
A
的对立事件，且
修改人口与计划生育法的决定，提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女.
若已知某个家庭有 3 个小孩，且其中至少有 1 个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的
概率为___________.
（2022·北京通州·高二期末）
4．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为 5%，第二台加工的次品率
③设 B 和 B 互为对立事件，则 P(B | A) 1 P(B | A) ． ④任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即： 0 P(B | A) 1.
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知识点三：全概率公式 1、定义：一般地，设 A1，A2 ，A3 L An 是一组两两互斥的事件，A1 A2 A3 An ，
n
且 P(Ai ) 0 ， i 1, 2,3, 4n ，则对任意的事件 B ，有 P(B) P(Ai)P(B | Ai) ，我 i 1
们称此公式为全概率公式. 2、全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件 B 的发生有各种可能的原因 Ai （ i 1, 2, 3, 4n ），并且
设每场比赛双方获胜的概率都是二分之一，求需要进行第五场比赛的概率.
题型二：条件概率
典型例题
例题 1．（2022·福建·莆田一中高二期末）

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

理解两个事件相互独立的概念。

2，掌握一些简单的条件概率的计算。

能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

3，通过对实例的分析，会进行简单的应用教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。

例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求（1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率；（2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A =表示不超过2次就按对密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。

这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。

在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3.例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36（2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。