反比例函数一、单选题1．（2021·山西）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A ．图象位于第一，第三象限 B ．图象必经过点34,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可． 【详解】解：A 、反比例函数6y x=，0k ＞，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意； B 、将点34,2⎛⎫⎪⎝⎭代入6y x =中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C 、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D 、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．2．（2021·四川达州市）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．213y y y << C ．132y y y << D ．321y y y <<【答案】C【分析】根据k >0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可． 【详解】解：∵210k +>，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是双曲线ky x=上的两点，且320x x >>，∴点B 、C 在第一象限，0＜y 3＜y 2，∵A （x 1，y 1）在第三象限，∵y 1＜0，∴132y y y <<．故选：C ．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．3．（2021·浙江杭州市）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=， 对于A 选项则有210m m +-=，由一元二次方程根的判别式可得：241450b ac -=+=>，所以存在实数m ，故符合题意；对于B 选项则有210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意； 对于C 选项则有110m m---=，化简得：210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意； 对于D 选项则有110m m--+=，化简得：210m m -+=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．4．（2021·天津）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<【答案】B【分析】将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式，即求出123、、y y y 的值，即可比较得出答案．【详解】分别将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式得：1515y =-=-、2551y =-=-、3515y =-=-．则231y y y <<．故选B ． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．5．（2021·四川乐山市）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+3D ．3【答案】A【分析】根据题意，得()1,3A ，()3,1B ，直线2l ：y x =；根据一次函数性质，得m n =；根据勾股定理，得PC =连接PA ，PB ，FB ，根据等腰三角形三线合一性质，得()2,2C ，OC AB ⊥；根据勾股定理逆定理，得90ABD ∠=︒；结合圆的性质，得点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得2FC =；分PC PF FC =+或PC PF FC =-两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B∵直线2l 过原点O 和点C ∴直线2l ：y x = ∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n = ∴PC =连接PA ，PB ，FB ∴PA PB =，线段AB 的中点为点C ∴()2,2C ，OC AB ⊥ 过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ∴()2,0D ∴AD ==，AB ==BD ==∴222AD AB BD =+ ∴90ABD ∠=︒∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F为圆心∴cos BD ADB AD ∠==∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠ ∵APB ADB ∠=∠，且12APB AFB ∠=∠ ∴APB ADB BFC ∠=∠=∠∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===FC = ∴PC PF FC =+或PC PF FC =- 当PC PF FC =-时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即180APB ADB ∠+∠=︒ ∴PC PF FC=-不符合题意∴22PC PF FC =+=+，且2m <∴)2PC m==-)22m -=∴32m =∴23m n m +==A ．【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．6．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOFS=，则k 的值为（ ）A ．73B ．214C ．7D ．212【答案】A【分析】延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H ，则可得△DEA ≌△AGO ，从而可得DE =AG ，AE =OG ，若设CE =a ，则DE =AG =4a ，AD =DC =DE +CE =5a ，由勾股定理得AE =OG =3a ，故可得点E 、A 的坐标，由AB 与x 轴平行，从而也可得点F 的坐标，根据EOFEOGFOHEGHF SSS S=+-梯形 ，即可求得a 的值，从而可求得k 的值．【详解】如图，延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H∵四边形ABCD 是菱形∴CD =AD =AB ，CD ∥AB ∵AB ∥x 轴，AE ⊥CD ∴EG ⊥x 轴，∠D +∠DAE =90゜∵OA ⊥AD ∴∠DAE +∠GAO =90゜∴∠GAO =∠D ∵OA =OD ∴△DEA ≌△AGO (AAS )∴DE =AG ，AE =OG设CE =a ，则DE =AG =4CE =4a ，AD =AB =DC =DE +CE =5a在Rt △AED 中，由勾股定理得：AE =3a ∴OG =AE =3a ，GE =AG +AE =7a ∴A （3a ,4a ），E (3a ,7a ) ∵AB ∥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴∴四边形AGHF 是矩形 ∴FH =AG =3a ，AF =GH∵E点在双曲线()0ky x x=>上∴221k a= 即221a y x=∵F 点在双曲线221a y x =上，且F 点的纵坐标为4a ∴214a x = 即214a OH =∴94a GH OH OG =-=∵EOFEOGFOHEGHF SSS S=+-梯形∴1191211137(74)4224248a a a a a a a ⨯⨯++⨯-⨯⨯= 解得：219a = ∴217212193k a ==⨯= 故选：A ．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA ≌△AGO ，从而求得E 、A 、F 三点的坐标．7．（2021·江苏扬州市）如图，点P 是函数()110,0k y k x x =>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0ky k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCDk kS -=；③()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①【答案】B 【分析】设P （m ，1k m），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB和PCPA 的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC 的面积，可判断③；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算△OCD 的面积，可判断②．【详解】解：∵PB ⊥y 轴，P A ⊥x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2k y x =上，设P （m ，1km）， 则C （m ，2k m ），A （m ，0），B （0，1k m ），令12k km x =，则21k m x k =，即D （21k m k ，1k m ），∴PC =12k k m m -=12k k m -，PD =21k m m k -=()121m k k k -，∵()121121m k k k k k PD PB m k --==，121211k k k k PC m k PA k m--==，即PD PCPB PA=， 又∠DPC =∠BP A ，∴△PDC ∽△PBA ，∴∠PDC =∠PBC ，∴CD ∥AB ，故①正确；△PDC 的面积=12PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k k m --⨯⨯=()21212k k k-，故③正确； OCDOAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△=()112221222112k k k k k k ----=()2121122k k k k k ---=()()21121112222k k k k k k k ---=()22112211222k k k k k k ---=221212k k k -，故②错误；故选B ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．8．（2021·浙江宁波市）如图，正比例函数()1110y k x k =<的图象与反比例函数()2220k y k x=<的图象相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或2x >B ．20x -<<或2x >C ．2x <-或02x <<D ．20x -<<或02x << 【答案】C【分析】根据轴对称的性质得到点A 的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称， ∵点B 的横坐标为2，∴点A 的横坐标为-2，由图象可知，当2x <-或02x <<时，正比例函数()1110y k x k =<的图象在反比例函数()2220k y k x=<的图象的上方，∴当2x <-或02x <<时，12y y >，故选：C ． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．9．（2021·浙江金华市）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数12y x=-的图象上．若120x x <<，则（ ） A ．120y y << B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解题． 【详解】解：反比例函数12y x=-图象分布在第二、四象限，当0x <时，0y > 当0x >时，0y < 120x x <<120y y ∴>>故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2021·江苏连云港市）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）A ．y x =-B ．1y x=C ．2yxD ．1y x=-【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A .对于y x =-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项A 不符合题意；B .对于1y x=，当x =-1时，y =-1，故函数图像不经过点(1,1)-；函数图象分布在一、三象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B 不符合题意； C .对于2yx ，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象分布在一、二象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项C 不符合题意；D .对于1y x=-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项D 符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．11．（2021·浙江温州市）如图，点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，AC x⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23OC OD =，AC AE =，则k 的值为（ ）A ．2B ．2C ．94D ．【答案】B【分析】设OD =m ，则OC =23m ，设AC =n ，根据213m n m =⨯求得32n =，在Rt △AEF 中，运用勾股定理可求出m =2，故可得到结论．【详解】解：如图，设OD =m ，∵23OC OD =∴OC =23m∵BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，∴四边形BEOD 是矩形∴BD =OE =1∴B (m ，1)设反比例函数解析式为ky x=，∴k =m ×1=m 设AC =n ∵AC x ⊥轴∴A （23m ，n ）∴23m n k m ==，解得，n =32，即AC =32∵AC =AE ∴AE =32在Rt △AEF 中，23EF OC m ==，31122AF AC FC =-=-=由勾股定理得，222321()()()232m =+ 解得，2m =（负值舍去）∴2k =故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．12．（2021·浙江嘉兴市）已知三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数2y x=的图象上，其中1230x x x <<<，下列结论中正确的是（ ）A ．2130y y y <<<B ．1230y y y <<<C ．3210y y y <<<D ．3120y y y <<< 【答案】A【分析】根据反比例函数图像的增减性分析解答． 【详解】解：反比例函数2y x=经过第一，三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小， ∴当1230x x x <<<时，2130y y y <<<故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．13．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1，则k 的值为（ ）A ．125B ．32C ．2D ．3【答案】D【分析】设D 点坐标为()ka a，，表示出E 、F 、B 点坐标，求出ABF 的面积，列方程即可求解．【详解】解：设D 点坐标为()ka a，，∵四边形ABCD 是矩形，则A 点坐标为(0)a ，，C 点纵坐标为k a，∵点E 为AC 的中点，则E 点纵坐标为022k k a a+=，∵点E 在反比例函数图象上，代入解析式得2k ka x=，解得，2x a =， ∴E 点坐标为(2)2k a a ，，同理可得C 点坐标为(3)ka a，，∵点F 在反比例函数图象上，同理可得F 点坐标为(3)3ka a，，∵点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1， ∴2ACFS=，即122CF AB ⋅=，可得，1()(3)223k ka a a a--=，解得3k =，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．14．（2021·四川自贡市）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD ．当6R =Ω时，4A I = 【答案】C【分析】将将()4,9代入UI R=求出U 的值，即可判断A ，B ，D ，利用反比例函数的增减性可判断C ．【详解】解：设U I R=，将()4,9代入可得36I R =，故A 错误；∴蓄电池的电压是36V ，故B 错误；当10A I ≤时， 3.6R ≥Ω，该项正确； 当当6R =Ω时，6A I =，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 15．（2021·浙江丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学【答案】B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵ F F F F <<<甲丁丙乙，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键． 二、填空题1．（2021·浙江绍兴市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数k y x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______．【答案】5或22.5【分析】先设一个未知数用来表示出B 、C 两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B 、C 、D 的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k 的值即可．【详解】解：如图所示，分别过B 、D 两点向x 轴作垂线，垂足分别为F 、E 点，并过C 点向BF 作垂线，垂足为点G ；∵正方形ABCD ，∴∠DAB =90°，AB =BC =CD =DA ，∴∠DAE +∠BAF =90°， 又∵∠DAE +∠ADE =90°，∠BAF +∠ABF =90°， ∴∠DAE =∠ABF ，∠ADE =∠BAF ，∴ADE ≌BAF ，同理可证△ADE ≌△BAF ≌△CBG ；∴DE =AF =BG ，AE =BF =CG ；设AE =m ，∵点D 的坐标 (52,2) ，∴OE=52，DE =AF =BG =2，∴B （92m +，m ），C （92，2m +）, ∵5252⨯=，当()9252m +=时，809m =-<，不符题意，舍去；当952m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，由0m ≥解得m =,符合题意；故该情况成立，此时 5k =； 当()99222m m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭时，由 0m ≥解得3m =,符合题意，故该情况成立，此时()93222.52k =⨯+=;故答案为：5或22.5．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等． 2．（2021·湖南）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________． 【答案】m ＜3【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m 的不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴m -3＜0，即：m ＜3．故答案是：m ＜3．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数ky x=，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ＜0，是解题的关键．3．（2021·湖北武汉市）已知点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x +=（m是常数）的图象上，且12y y <，则a 的取值范围是__________． 【答案】10a -<<【分析】根据反比例函数的增减性解答．【详解】解：∵210m +>，∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，∵点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，1a a <+ ，∴010a a <⎧⎨+>⎩，∴10a -<<，故答案为：10a -<<． 【点睛】此题考查反比例函数的性质：当0k >时，在每个象限内y 随着x 的增大而增大；当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而减小．4．（2021·湖南株洲市）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数ky x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________．【答案】k <0【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k 的取值范围即可． 【详解】解：因为当10x >时，110x +>，说明A 、B 两点同时位于第一或第四象限， ∵当10x >时，均有12y y <，∴在该图像上，y 随x 的增大而增大， ∴A 、B 两点同时位于第四象限，所以k <0，故答案为：k <0．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法． 5．（2021·陕西）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”） 【答案】<【分析】先根据不等式的性质判断2-10m <，再根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵12m <∴1222m <⨯即2-10m < ∴反比例函数图像每一个象限内，y 随x 的增大而增大∵1<3∴1y <2y 故答案为：<．【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键． 6．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．【答案】14或32【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：①当点B 在边DE 上时；②当点B 在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出OBC 的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点(),A x y 的“倒数点”，∴0x ≠，0y ≠，∴点B 不可能在坐标轴上； ∵点A 在函数()20=>y x x 的图像上，设点A 为2(,)x x ，则点B 为1(,)2x x ， ∵点C 为()3,0，∴3OC =，①当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，∴点A 与点B 的纵坐标相同，即22xx =，解得：2x =， 经检验，2x =是原分式方程的解；∴点B 为1(,1)2，∴OBC 的面积为：133122S =⨯⨯=；②当点B 在边CD 上时；点B 与点C 的横坐标相同，∴13x =，解得：13x =，经检验，13x =是原分式方程的解；∴点B 为1(3,)6，∴OBC 的面积为：1113264S =⨯⨯=；故答案为：14或32．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．7．（2021·云南）若反比例函数的图象经过点()1,2-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．【答案】2y x=-【分析】先设ky x=，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为ky x =（k ≠0），∵函数经过点（1，-2），∴21k -=，得k =-2，∴反比例函数解析式为2y x =-，故答案为：2y x=-． 【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 三、解答题1．（2021·湖北随州市）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2my x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积． 【答案】（1）22y x=，13y x =-+；（2）3 【分析】（1）将点C 、D 的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m 、n 的值，从而点D 纵坐标已知，将点C 、D 的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k 、b 的值，从而两个函数解析式可求；（2）求出点B 的坐标，可知OB 的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD 的面积． 【详解】解：（1）∵双曲线2my x=（m >0）过点C （1，2）和D （2，n ）， ∴212mm n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，21m n =⎧⎨=⎩．∴反比例函数的解析式为22y x =．∵直线1y kx b =+过点C （1，2）和D （2，1），∴221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，13k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式为13y x =-+．（2）当x =0时，y 1=3，即B （0，3）．∴3OB =．如图所示，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ．∵D （2，1），∴DE =2．∴1132322BOD S OB DE ==⨯⨯=△．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键．2．（2021·湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，30ABC ∠=︒，4BC =，双曲线ky x=经过点A ．（1）求k ；（2）直线AC 与双曲线y =D ．求ABD △的面积．【答案】（1）k =（2）ABD △的面积【分析】（1）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，由题意易得2,60AC ACB =∠=︒，进而可得1,==CE AE (A ，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线AC 的解析式为y =+，然后联立直线AC 的解析式与反比例函数y =D 的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可．【详解】解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，如图所示：∵30ABC ∠=︒，4BC =，90BAC ∠=︒， ∴122AC BC ==，60ACB ∠=︒，∴30EAC ∠=︒，∴112EC AC ==， ∴在Rt △AEC中，AE ==∵点O 是BC 的中点，∴OC =2，∴OE =1，∴(A，∴1k == （2）由（1）可得：(A ，()2,0C ，∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，则把点A 、C代入得：20k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线AC的解析式为y =+，联立y =+与反比例函数y =+=， 解得：123,1x x ==-（不符合题意，舍去），∴点(3,D ，∴142ABDABCBCDSSS=+=⨯⨯=【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 3．（2021·四川广安市）如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠的图象交于()1,A n -，()3,2B -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足ABP △的面积等于4，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）124y x =-+，26y x=-；（2）（1，0）或（3，0）【分析】（1）根据点B 坐标求出m ，得到反比例函数解析式，据此求出点A 坐标，再将A ，B 代入一次函数解析式；（2）设点P 的坐标为（a ，0），求出直线AB 与x 轴交点，再结合△ABP 的面积为4得到关于a 的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B （3，-2）在反比例函数2my x=图像上， ∴23m-=，则m =-6，∴反比例函数的解析式为26y x=-， 将A （-1，n ）代入26y x=-，得：661n =-=-，即A （-1，6），将A ，B 代入一次函数解析式中，得236k b k b -=+⎧⎨=-+⎩，解得：24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为124y x =-+；（2）∵点P 在x 轴上，设点P 的坐标为（a ，0），∵一次函数解析式为124y x =-+，令y =0，则x =2，∴直线AB 与x 轴交于点（2，0）， 由△ABP 的面积为4，可得：()1242A B y y a ⨯-⨯-=，即18242a ⨯⨯-=，解得：a =1或a =3， ∴点P 的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x 轴或y 轴分割为2个三角形的面积和．4．（2021·浙江杭州市）在直角坐标系中，设函数11ky x =（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x=（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-，①求1k ，2k 的值．②当12y y <时，直接写出x 的取值范围． （2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值． 【答案】（1）①12k =，22k =；②1x >；（2）0【分析】（1）①根据点A 关于y 轴的对称点为点B ，可求得点A 的坐标是()1,2，再将点A 的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得12k =，22k =；②观察图象可解题；（2）将点B 代入33k y x=，解得3k 的值即可解题． 【详解】解（1）①由题意得，点A 的坐标是()1,2， 因为函数11k y x=的图象过点A ，所以12k =，同理22k =． ②由图象可知，当12y y <时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当12y y <时，1x >．（2）设点A 的坐标是()00,x y ，则点B 的坐标是()00,x y -，所以100k x y =，300k x y =-，所以310k k +=．【点睛】本题考查关于y 轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·山东临沂市）已知函数()()()31 31131x x y x x x x ⎧≤-⎪⎪=-⎨⎪⎪≥⎩＜＜（1）画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，若120x x +=，证明：120y y +=．【答案】（1）见解析；（2）有，当1x =时，最大值为3；当1x =-时，函数有最小值3-；（3）见解析【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y 值，列表，在图像中描点，画出图像即可； （2）观察图像可得函数的最大值；（3）根据120x x +=，得到1x 和2x 互为相反数，再分111x -<<，11x ≤-，11x ≥，分别验证120y y +=．【详解】解：（1）列表如下：函数图像如图所示：（2）根据图像可知：当x =1时，函数有最大值3；当1x =-时，函数有最小值3-； （3）∵1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，120x x +=，∴1x 和2x 互为相反数， 当111x -<<时，211x -<<，∴113y x =，223y x =，∴()1212123330y y x x x x +=+=+=； 当11x ≤-时，21x ≥，则()121212123330x x y y x x x x ++=+==； 同理：当11x ≥时，21x ≤-，()121212123330x x y y x x x x ++=+==，综上：120y y +=．【点睛】本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解120x x +=是解题的关键．6．（2021·安徽）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m ，2）．（1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【答案】（1）,k m 的值分别是23和3；（2）30x -<<或3x > 【分析】（1）把点A （m ，2）代入6y x=求得m 的值，从而得点A 的坐标，再代入(0)y kx k =≠求得k 值即可；（2）在坐标系中画出y kx =的图象，根据正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数6y x=图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答． 【详解】（1）将(,2)A m 代入6y x=得62m =， 3m ∴=， (3,2)A ∴，将(3,2)A 代入y kx =得23k =， 23k ∴=， ,k m ∴的值分别是23和3．（2）正比例函数23y x =的图象如图所示，∵正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （3，2），∴正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象的另一个交点坐标为（-3，-2）， 由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为30x -<<或3x >．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键． 7．（2021·浙江）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，连结,AO AO 的延长线交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点B ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ．（1）如图1，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连结EF ．①若1k =，求证：四边形AEFO 是平行四边形；②连结BE ，若4k =，求BOE △的面积．（2）如图2，过点E 作//EP AB ，交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点P ，连结OP ．试探究：对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析【分析】（1）①计算得出AE OF a ==，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；②证明AEO BDO ∽，利用反比例函数k 的几何意义求得212()2AO BO=，即可求解； （2）点A 的坐标为1()a a ，，点P 的坐标为()k b b，，可知四边形AEGO 是平行四边形，由AEO GHP ∽，利用相似三角形的性质得到关于ba 的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）①证明：设点A 的坐标为1()a a，，则当1k =时，点B 的坐标为1()a a--，，AE OF a ∴==，AE y ⊥轴，//AE OF ∴，∴四边形AEFO 是平行四边形； ②解：过点B 作BD y ⊥轴于点D ，AE y ⊥轴，//AE BD ∴，AEO BDO ∴∽， 2()AEO BDOSAO SBO∴=， ∴当4k =时，则212()2AO BO=，即12AO BO =．21BOEAOES S∴==；（2）解 不改变． 理由如下：过点P 作PH x ⊥轴于点H PE ，与x 轴交于点G ，设点A 的坐标为1()a a ，，点P 的坐标为()k b b，，则1kAE a OE PH a b ===-，，，OH =b ，由题意，可知四边形AEGO 是平行四边形，∴OG =AE =a ，∠HPG =∠OEG =∠EOA ，且∠PHG =∠OEA =90°，∴AEO GHP ∽， AE EOGH a b GH PH=--=，，即1a a k ab b=---， ∴1b a k a b +=，2()0b b k a a ∴+-=，解得12b a -±=， a b ，异号，0k ≥，b a ∴=，111()22POEb S b a a ∴=⨯⨯-=-⨯=∴对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积不会发生变化．。
