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尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。
1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。
1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。
综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。
注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。
折三等分的方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要将一段线段等分成三等分的情况，例如在制作手工艺品、建筑设计或数学问题中。
因此，掌握折三等分的方法具有重要的实用意义。
本文将介绍传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法三种折三等分的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
通过深入探讨这三种方法，不仅可以拓展我们的思维视野，还可以应用到实际生活和工作中，提高工作效率和解决问题的能力。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论折三等分的方法。
首先，我们将介绍传统的折叠方法，即如何通过简单的折叠方式将一段线段折成三等分。
然后，我们将探讨利用几何原理的方法，通过一定的几何知识来实现折三等分。
最后，我们将介绍数学推导的方法，通过数学计算来实现折三等分。
通过这三个部分的介绍，读者将了解到不同的折三等分方法，并能够根据自己的需求选择合适的方法来实现折三等分。
1.3 目的:本文的目的是探讨如何将一条线段折成三等分的方法，通过对传统方法、利用几何原理的方法和数学推导的方法进行对比和分析，希望能够提供读者多种方式来解决这一常见问题。
同时，通过深入研究折三等分的方法，可以帮助读者更加深入理解几何学和数学知识，并在实际生活中应用这些知识。
最终，希望读者能够通过本文对折三等分的方法有一个全面的了解，为解决类似问题提供更多思路和方法。
2.正文2.1 传统方法：在传统方法中，折三等分一条线段的常用方法是使用折纸的方式。
具体步骤如下：1. 在一张纸上画一条边长为a的线段，表示被折叠的线段。
2. 将纸对折，确保线段的一个端点与折痕上的交点对齐。
3. 从线段的另一个端点开始，利用折纸的方式将线段依次三等分。
4. 展开纸，即可得到线段被三等分的点的位置。
这种传统方法比较简单易懂，但是需要纸张和尺子等辅助工具，操作相对繁琐。
在实际应用中，为了更精确地进行三等分，还可以借助工具如尺规等几何仪器来帮助完成操作。
三等分任意角浅思光中______概述：三等分任意角是古希腊三大作图名题（1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。
众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。
而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。
直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。
到此，这一问题才告一段落。
期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 一:n倍角的正切值展开通式:A通过观察下列式子:tan1﹫=t……有如下特征：①分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t的奇次幂，分母上为t的偶次幂。
②我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系：即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数。
③分子以“nt”开头，分母以“1”；若从第一项开始每两项为一对，分子上：奇数对的基数项（简称奇对奇项）以"t的n次方"结尾，奇对偶项以“n 倍的t的n-1次方”结尾；偶对奇项以"负的t的n次方"结尾，偶对偶项以“-n 倍t的n-1次方”结尾；分母上：奇对奇项以“n 倍的t的n-1次方”结尾，奇对偶项以“- t的n 次方”结尾；偶对奇项以"n 倍的t的n-1次方"结尾；偶对偶项以"t的n次方"结尾。
注意：奇数项中分子.分母的项数相同，偶数项中分母项数比分子项数多一项。
综合以上特征和八个式子的系数关系，我们不难发现：B下面我们用数学归纳法来验证上式的正确：二：“T”型架三等分任意角原理：如图设AOB是要等分的任意角，O-MN“T”型架(MOp=NOp,MN┷OOp),作OB的平行线a（如图虚线），使OB与a 的距离d=MOp=NOp.然后让“T”型架绕点O转动，当M点N点恰好分别落在OA与a上时，则得到的夹角 COB为其三等分角。
三等分任意角尺规作图正多边形（1）一个角∠AOB, O圆点，高精度圆规作任意圆。
（2）取步骤（1）的圆O,AB半径，A圆点，高精度圆规连续在圆O上旋转，圆规量取k1个圆，最后一点C,余下的CB.（3）高精度圆规连续在圆O上旋转k2次。
取步骤（2）的CB半径,A圆点,高精度圆规连续在圆O上旋转，高精度圆规量取k2个圆，最后一点D,余下的DB。
（4）高精度圆规连续在圆O上旋转k3次。
取步骤（3）的DB半径,A圆点,高精度圆规连续在圆O上旋转，高精度圆规量取k3个圆，最后一点E,余下的E B。
（5）高精度圆规连续在圆O上旋转k4次。
取步骤（4）的EB半径,A圆点,高精度圆规连续在圆O上旋转，高精度圆规量取k4个圆，最后一点C,余下的FB。
（6）重复：高精度圆规连续在圆O上旋转,旋转计数K5 K6 Kn（7）千分之一精度和万分之一精度的两个计算公式：AB=x1 BB10=x2 BC7=x3360=k1x1+x2=k2x2+x3=k3x3+x4=k4x4+x5=k n x n+x n+1360k n+1=k n+1(k n x n+x n+1)=k n+1k n x n+k n+1x n+1=k n+1k n x n+360-x n+2360(k n+1-1)=k n+1k n x n-x n+2X n=[360(k n+1-1)+x n+2] k n+1k n360k n+2(k n+1-1)=k n+2k n+1k n x n-k n+2x n+2360k n+2(k n+1-1)=k n+2k n+1k n x n-360+x n+3360[k n+2(k n+1-1)+1]=k n+2k n+1k n x n+x n+3X n=｛360[k n+2(k n+1-1)+1]-x n+3}÷k n+2k n+1k n ( high precision measurementof arbitrary angle )Regular polygon rule mapping methodThe new method is a polygon with seventeen sides.X n =KX K Polygon count 360(k n+1-1)=k n+1k n x n -x n+2 360(k n+1-1)=k n+1k n KX-x n+2 (k n+1-1)*K 360=k n+1k n X -KXn 2+ Error:KXn 2+ X n =360-17X k n+1=12 k n =2 360(k n+1-1)=k n+1k n (360-17X)-x n+2 (24-11)*17360=12*2X -172+Xn 13*17360=24X -172+Xn Figure 3Three dividing arbitraryangle X n =KX K Angle factor∠AOB (k n+1-1)=k n+1k n x n -x n+2 AOB(k n+1-1)=k n+1k n KX-x n+2 AOB(7-1)=7*3*3X-x n+2 32AOB =7X-9x 2n k AOB(k n+1-1)=3N X- x n+2。
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
三等分任意角的折纸作法
三等分任意角的折纸作法，非常简单。
首先，将一张正方形纸对
角线折叠成两个三角形，并确保折叠线上的交点在纸的中心位置。
然后，将纸的一个边角对齐，使其与折叠线呈现一条直线。
接下来，将
另一个边角对折，并确保其与前一次折叠线的交点重合。
最后一次折
叠时，将纸的边角对折，使其与前两次折叠线的交点重合。
此时，你
会发现纸被折叠成三个相等的角，并且这些角将任意角平分为三等份。
这是一个简单而有趣的几何学折纸技巧。
展开与折叠（1）
学习目标
1、学生通过动手实践、小组讨论等方法，感受立体图形与平面图形之间的关系.
2、能想象并画出简单几何体的表面展开图.
3、经历和体验图形的变化过程，发展空间观念，养成研究性学习的良好习惯.
学习重点、难点
能想象并画出简单几何体的表面展开图.
课前准备
1.准备一把剪刀,透明胶。
2.做一个硬卡纸正方体(边长10cm).
3.分六组，每组五人。
学习过程
一、情境创设
某箱包厂接到生产一批纸盒的订单，现要求设计师根据样品设计图纸，投入生产线，如果你是设计师，你准备怎么设计
二、合作探究
活动一:把下列立体图形的侧面沿虚线展开，看它的平面展开图是什么样子的，并把它画出来。
活动二:
1.你能用手中的正方体剪成如图（1）所示的平面图形吗
2.按不同的路径剪开同一个正方体的某些棱，得到的平面展开图一定与图（1）相同吗
3.将你剪出的不同于图（1）的平面展开图画出来，并在小组内交流。
图（1）
4.探究: 你能将正方体剪成如下图所示的平面图形吗
三、练一练
1、课本P130练一练第1题.
2、右图是正方体的表面展开图，但是被粗心的小明漏画了一个，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（）
四、课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识获得了哪些解决问题的方法
悟出了什么数学思想
五、课堂作业
完成《补充习题》展开与折叠（1）
课后思考题：如图是一个正方体纸盒的展开图，请在图中的6个正方形中分别填入1、2、3、-1、-2、-3，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数.。
