20基础讲义(8-12章
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y→0
（三）多元函数的连续性 1）连续的概念
定义 3 设函数 f (x, y) 在区域 D 上有定义，点 P0 (x0, y0 ) ∈ D ，如果
lim
(x, y)→( x0 , y0 )
f (x, y) =
f (x0, y0 )
成立，则称函数 f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 连续；如果 f (x, y) 在区域 D 上的每个点 (x, y)
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
【D】
【例 8.1.5】（2012 年，3）设连续函数 z = f (x, y) 满足 lim f (x, y) − 2x + y − 2 = 0 ，则
x→0 y →1
x2 + ( y −1)2
dz =
.
(0,1)
5
【 2dx − dy 】
【例 8.1.6】证明以下几个经典的反例
⎪⎩ 0,
(x, y) = (0,0)
（4）
f
(x,
y)
=
⎪⎧( x 2 ⎨
+
y2 )sin
x2
1 +
y2
,
(x, y) ≠ (0,0) 在 (0,0) 点可微,但偏导数不连续;
⎪⎩
0,
(x, y) = (0,0)
6
第二节 多元函数的微分法
考试内容概要
（一）复合函数的微分法
定理 4 设函数 u = u(x, y) ， v = v(x, y) 在点 (x, y) 处有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z = f (u,v) 在对应点 (u,v) 处有连续偏导数，则复合函数 z = f [u(x, y),v(x, y)] 在点 (x, y)
（B）连续、偏导数不存在
（C）不连续、偏导数存在 （D）不连续、偏导数不存在
【C】
【例 8.1.4】（1994 年，1,2）二元函数 f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处两个偏导数 f0′(x0, y0 ) ，
f y′(x0, y0 ) 存在，是 f (x, y) 在该点连续的（ ）.
（A）充分而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件
多元函数
连续
可导
连续
可导
可微
可微 偏导数连续
4
常考题型与典型例题
常考题型 连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系
【例
8.1.3】（1997
年
1）二元函数
f
(x,
y)
=
⎪⎧ ⎨
x
2
xy + y2
,
(x, y) ≠ (0,0), 在点 (0,0) 处（
）.
⎪⎩0,
(x, y) = (0,0)
（A）连续、偏导数存在
Δy →0
Δy
存在，则称这个极限值为函数 z = f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处对 y 的偏导数，记为
∂z ∂y x= x0
或
∂f ∂y x= x0
或 f y′(x0, y0 ).
y= y0
y= y0
【注】 由以上定义不难看出偏导数本质上就是一元函数的导数，其中 fx′(x0 , y0 ) 就是一元
Δx → 0
Δx
存在，则称这个极限值为函数 z = f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
类似地，如果
∂z ∂x x= x0
或
∂f ∂x x= x0
或
fx′(x0, y0 ).
y= y0
y= y0
2
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
dz = AΔx + BΔy 如果 f (x, y) 在区域 D 内的每一点 (x, y) 都可微分，则称 f (x, y) 在 D 内可微分. 定理 2（全微分存在的必要条件） 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可微，则该函 数在点 (x, y) 处的偏导数 ∂z , ∂z 必定存在，且
3）由方程组
⎩⎨⎧FF12((xx,,
y,u,v) y,u,v)
= =
0, 0
确定的隐函数
u
=
u(x,
y)
，
v
=
v(x,
y)
（仅数一要求）
欲求 ∂u ， ∂u ， ∂v ， ∂v ，可以将每个方程分别对 x 求偏导数，得出以 ∂u ， ∂v
∂x ∂y ∂x ∂y
∂x ∂x
为变量的方程组，可解得 ∂u ， ∂v .同样，将每个方程分别对 y 求偏导数，可以得出 ∂x ∂x
（5）性质 5（介值定理）
有界闭区域 D 上的连续函数在区域 D 上必能取得介于最大值与最小值之间的任
何值. （四）偏导数
1）偏导数的定义
定义 4 设 z = f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某一邻域内有定义，如果
lim f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0, y0 )
d z = ∂z d x + ∂z d y = ∂z d u + ∂z d v. ∂x ∂y ∂u ∂v
即:不论把函数 z 看做自变量 x , y 的函数，还是看作中间变量 u ， v 的函数，函数 z 的全
微分形式都是一样的. （二）隐函数微分法
1）由方程 F (x, y) = 0 确定的隐函数 y = y(x) 若函数 F (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某一邻域内有连续偏导数,且 F (x0, y0 ) = 0,
（1） f (x, y) = x + y 在 (0,0) 点连续,但不可导(也不可微);
（2）
f
( x,
y)
=
⎪⎧ ⎨
x2
xy + y2
,
(x, y) ≠ (0,0) 在 (0,0) 点可导,但不连续;
⎪⎩ 0, (x, y) = (0,0)
⎧
（3）
f
( x,
y)
=
⎪ ⎨
xy , x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0) 在 (0,0) 点可导,但不可微;
Fy′(x0, y0 ) ≠ 0. 则方程 F (x, y) = 0 在点 (x0, y0 ) 的某邻域可唯一确定一个有连续导数
7
的函数 y = f (x), 并有 y′ = − Fx′ . Fy′
2）由方程 F (x, y, z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y)
若 函 数 F (x, y, z) 在 点 P(x0, y0, z0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 偏 导 数 , 且
处的两个偏导数存在，且有
∂z = ∂z ∂u + ∂z ∂v , ∂z = ∂z ∂u + ∂z ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
全微分形式的不变性
设函数 z = f (u,v) 、u = u(x, y) 及 v = v(x, y) 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 z = f [u(x, y),v(x, y)] 的全微分
∂z ∂x
⎟⎞ ⎠
=
∂2z ∂x2
或 fx′′x ，
∂ ∂y
⎜⎛ ⎝
∂z ∂x
⎟⎞ ⎠
=
∂2 z ∂x∂y
或 fx′′y ,
∂ ∂x
⎜⎜⎝⎛
∂z ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
∂2 z ∂y∂x
或 f y′′x ，
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛
∂z ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
∂2z ∂y 2
或 f y′′y .
常称 ∂2 z ， ∂2 z 为混合偏导数。 ∂x∂y ∂y∂x
f (x) − A < ε
成立，则称常数 A 为函数 f (x, y) 当 (x, y) → (x0, y0 ) 时的极限，记为
lim f (x, y) = A 或 lim f (x, y) = A 或 lim f (P) = A
(x, y)→(x0 , y0 )
x → x0 y→ y0
P→ P0
注 1）这里的极限是要求点 (x, y) 在 D 内以任意方式趋近于点 (x0, y0 ) 时，函数 f (x, y) 都
定义 6（全微分） 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处的全增量 Δz = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y) 可表示为 Δz = AΔx + BΔy + ο(ρ)
其中 A ， B 与 Δx ，Δy 无关， ρ = (Δx)2 + (Δy)2 ，则称函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可 微，而 AΔx + BΔy 称为函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处的全微分，记为
以 ∂u ， ∂v 为变量的方程组，解之可得 ∂u ， ∂v .
∂y ∂y
∂y ∂y
常考题型与典型例题
常考题型
复合函数及隐函数的偏导数和全微分的计算
一.复合函数偏导数与全微分
∫ 【例 8.2.1】2011 年 1）设函数 F (x, y) =
xy sin t 0 1+ t2
dt
，则
∂2F ∂x2
第八章 多元函数微分学 第一节 函数的极限、连续、偏导数与全微分
考试内容概要
（一） 二元函数
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，若对每个点 P(x, y) ∈ D, 变量 z 按照某一对应法则
f 有一个确定的值与之对应，则称 z 为 x, y 的二元函数，记为 z = f (x, y) .
其中点集 D 称为该函数的定义域， x, y 称为自变量， z 称为应变量.函数值 f (x, y) 的
（三）多元函数的连续性 1）连续的概念
定义 3 设函数 f (x, y) 在区域 D 上有定义，点 P0 (x0, y0 ) ∈ D ，如果
lim
(x, y)→( x0 , y0 )
f (x, y) =
f (x0, y0 )
成立，则称函数 f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 连续；如果 f (x, y) 在区域 D 上的每个点 (x, y)
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
【D】
【例 8.1.5】（2012 年，3）设连续函数 z = f (x, y) 满足 lim f (x, y) − 2x + y − 2 = 0 ，则
x→0 y →1
x2 + ( y −1)2
dz =
.
(0,1)
5
【 2dx − dy 】
【例 8.1.6】证明以下几个经典的反例
⎪⎩ 0,
(x, y) = (0,0)
（4）
f
(x,
y)
=
⎪⎧( x 2 ⎨
+
y2 )sin
x2
1 +
y2
,
(x, y) ≠ (0,0) 在 (0,0) 点可微,但偏导数不连续;
⎪⎩
0,
(x, y) = (0,0)
6
第二节 多元函数的微分法
考试内容概要
（一）复合函数的微分法
定理 4 设函数 u = u(x, y) ， v = v(x, y) 在点 (x, y) 处有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z = f (u,v) 在对应点 (u,v) 处有连续偏导数，则复合函数 z = f [u(x, y),v(x, y)] 在点 (x, y)
（B）连续、偏导数不存在
（C）不连续、偏导数存在 （D）不连续、偏导数不存在
【C】
【例 8.1.4】（1994 年，1,2）二元函数 f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处两个偏导数 f0′(x0, y0 ) ，
f y′(x0, y0 ) 存在，是 f (x, y) 在该点连续的（ ）.
（A）充分而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件
多元函数
连续
可导
连续
可导
可微
可微 偏导数连续
4
常考题型与典型例题
常考题型 连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系
【例
8.1.3】（1997
年
1）二元函数
f
(x,
y)
=
⎪⎧ ⎨
x
2
xy + y2
,
(x, y) ≠ (0,0), 在点 (0,0) 处（
）.
⎪⎩0,
(x, y) = (0,0)
（A）连续、偏导数存在
Δy →0
Δy
存在，则称这个极限值为函数 z = f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处对 y 的偏导数，记为
∂z ∂y x= x0
或
∂f ∂y x= x0
或 f y′(x0, y0 ).
y= y0
y= y0
【注】 由以上定义不难看出偏导数本质上就是一元函数的导数，其中 fx′(x0 , y0 ) 就是一元
Δx → 0
Δx
存在，则称这个极限值为函数 z = f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
类似地，如果
∂z ∂x x= x0
或
∂f ∂x x= x0
或
fx′(x0, y0 ).
y= y0
y= y0
2
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
dz = AΔx + BΔy 如果 f (x, y) 在区域 D 内的每一点 (x, y) 都可微分，则称 f (x, y) 在 D 内可微分. 定理 2（全微分存在的必要条件） 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可微，则该函 数在点 (x, y) 处的偏导数 ∂z , ∂z 必定存在，且
3）由方程组
⎩⎨⎧FF12((xx,,
y,u,v) y,u,v)
= =
0, 0
确定的隐函数
u
=
u(x,
y)
，
v
=
v(x,
y)
（仅数一要求）
欲求 ∂u ， ∂u ， ∂v ， ∂v ，可以将每个方程分别对 x 求偏导数，得出以 ∂u ， ∂v
∂x ∂y ∂x ∂y
∂x ∂x
为变量的方程组，可解得 ∂u ， ∂v .同样，将每个方程分别对 y 求偏导数，可以得出 ∂x ∂x
（5）性质 5（介值定理）
有界闭区域 D 上的连续函数在区域 D 上必能取得介于最大值与最小值之间的任
何值. （四）偏导数
1）偏导数的定义
定义 4 设 z = f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某一邻域内有定义，如果
lim f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0, y0 )
d z = ∂z d x + ∂z d y = ∂z d u + ∂z d v. ∂x ∂y ∂u ∂v
即:不论把函数 z 看做自变量 x , y 的函数，还是看作中间变量 u ， v 的函数，函数 z 的全
微分形式都是一样的. （二）隐函数微分法
1）由方程 F (x, y) = 0 确定的隐函数 y = y(x) 若函数 F (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某一邻域内有连续偏导数,且 F (x0, y0 ) = 0,
（1） f (x, y) = x + y 在 (0,0) 点连续,但不可导(也不可微);
（2）
f
( x,
y)
=
⎪⎧ ⎨
x2
xy + y2
,
(x, y) ≠ (0,0) 在 (0,0) 点可导,但不连续;
⎪⎩ 0, (x, y) = (0,0)
⎧
（3）
f
( x,
y)
=
⎪ ⎨
xy , x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0) 在 (0,0) 点可导,但不可微;
Fy′(x0, y0 ) ≠ 0. 则方程 F (x, y) = 0 在点 (x0, y0 ) 的某邻域可唯一确定一个有连续导数
7
的函数 y = f (x), 并有 y′ = − Fx′ . Fy′
2）由方程 F (x, y, z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y)
若 函 数 F (x, y, z) 在 点 P(x0, y0, z0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 偏 导 数 , 且
处的两个偏导数存在，且有
∂z = ∂z ∂u + ∂z ∂v , ∂z = ∂z ∂u + ∂z ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
全微分形式的不变性
设函数 z = f (u,v) 、u = u(x, y) 及 v = v(x, y) 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 z = f [u(x, y),v(x, y)] 的全微分
∂z ∂x
⎟⎞ ⎠
=
∂2z ∂x2
或 fx′′x ，
∂ ∂y
⎜⎛ ⎝
∂z ∂x
⎟⎞ ⎠
=
∂2 z ∂x∂y
或 fx′′y ,
∂ ∂x
⎜⎜⎝⎛
∂z ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
∂2 z ∂y∂x
或 f y′′x ，
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛
∂z ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
∂2z ∂y 2
或 f y′′y .
常称 ∂2 z ， ∂2 z 为混合偏导数。 ∂x∂y ∂y∂x
f (x) − A < ε
成立，则称常数 A 为函数 f (x, y) 当 (x, y) → (x0, y0 ) 时的极限，记为
lim f (x, y) = A 或 lim f (x, y) = A 或 lim f (P) = A
(x, y)→(x0 , y0 )
x → x0 y→ y0
P→ P0
注 1）这里的极限是要求点 (x, y) 在 D 内以任意方式趋近于点 (x0, y0 ) 时，函数 f (x, y) 都
定义 6（全微分） 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处的全增量 Δz = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y) 可表示为 Δz = AΔx + BΔy + ο(ρ)
其中 A ， B 与 Δx ，Δy 无关， ρ = (Δx)2 + (Δy)2 ，则称函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可 微，而 AΔx + BΔy 称为函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处的全微分，记为
以 ∂u ， ∂v 为变量的方程组，解之可得 ∂u ， ∂v .
∂y ∂y
∂y ∂y
常考题型与典型例题
常考题型
复合函数及隐函数的偏导数和全微分的计算
一.复合函数偏导数与全微分
∫ 【例 8.2.1】2011 年 1）设函数 F (x, y) =
xy sin t 0 1+ t2
dt
，则
∂2F ∂x2
第八章 多元函数微分学 第一节 函数的极限、连续、偏导数与全微分
考试内容概要
（一） 二元函数
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，若对每个点 P(x, y) ∈ D, 变量 z 按照某一对应法则
f 有一个确定的值与之对应，则称 z 为 x, y 的二元函数，记为 z = f (x, y) .
其中点集 D 称为该函数的定义域， x, y 称为自变量， z 称为应变量.函数值 f (x, y) 的
