关于矩阵秩的证明

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.. wd .. 关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

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.. wd .. 约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：

（1） r(A)=r(AT);

（2） r(kA)=0 00 )(kkAr

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则

r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s}

(4) r(A)=n,当且仅当A≠0

(5) rBOOA =r(A)+r(B)≤rBOCA

(6) r(A-B)≤r(A)+r(B)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

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.. wd .. 定理1：设A,B为n×n阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)

证: 由初等变换可得

BOOA →BAOA →BBAOA

即EEOE

BOOA

EEOE =BBAOA

由性质5可得

rBOOA =rBBAOA

则有r(A)+r(B)≥r(A+B)

定理2（sylverster公式）设A为s×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n≤r(AB)

证：由初等变换可得

OABEn →ABOBEn →ABOOEn

即snEAOE

OABEn

mnEOBE ＝ABOOEn

则rOABEn =rABOOEn

即r(A)+r(B)-n≤r(AB)

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.. wd .. 推论(Frobenius公式) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，C为s×t阶矩阵，则

r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)

证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，使 B=POOOEr Q=POErOErQ

令M=POEr，N=OErQ

则有B=MN

根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN)

≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN)

即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)

定理3 设A为n×n矩阵，若A2=E，那么有

r(A+E)+r(A-E)=n

证：根据题意有（A+E）（A-E）=O

令A+E=A1，A-E=A2，有A1A2=O

由定理2可知 r(A1)+r(A2)≤n . ... .

.. wd .. 即r(A+E)+r(A-E)≤n

又根据性质6有

r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n

故r(A+E)+r(A-E)=n

推论 设A为n×n矩阵且A2=A，那么有

r(A)+r(A-E)=n

证：事实上，有

EAOOA →EAAOA →EAEOA →EAEAAO 2→

OEAAO 2=OEOO

则有rEAOOA =rOEOO

故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n

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.. wd .. 定理4 设A是s×n实矩阵，有

r(En-ATA)-r(Es-AAT)=n-s

证:要证r(En-ATA)-r(Es-AAT)=n-s

即只要证r(En-ATA)+s=r(Es-AAT)+n

由初等变换有

sTnEAAE →TsTnAAEOAE →TsnAAEOOE

即snEAOE

sTnEAAE

snEOAE =TsnAAEOOE

故有rsTnEAAE =rTsnAAEOOE =n+r(Es-AAT)

同理可证 rsTnEAAE =s+r(En-ATA)

综上有 n+r(Es-AAT)=s+r(En-ATA)

定理5 设A,C均为m×n矩阵，B,D均为n×s矩阵，则有

r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)

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.. wd .. 证：由分块矩阵的乘法得

nmEOCE

DBOOCA

snEOBE =DBOCDABCA

故rDBOOCA =rDBOCDABCA

故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)

参考文献

【1】 刘红星.高等代数选讲【M】.：机械工业出版社，2009.

【2】 钱吉林.高等代数题解精粹【M】.：中央民族大学出版社，2005.

【3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M】.;西北工业大学出版社，2009.