高中数学选修2-1课时作业9：2.1.1 曲线与方程
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高中数学选修2-1课时作业
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2．1.1 曲线与方程
一、基础过关
1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为( )
A．一条直线 B．一条射线
C．一条线段 D．不能确定
[答案] B
[解析] 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
[答案] C 高中数学选修2-1课时作业
2 [解析] 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.
3．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] ∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2x上．反之点M在y＝－2x上时，一定在y2＝4x上．
4．方程x2＋y2＝1 (xy<0)表示的曲线形状是( )
[答案] C
[解析] 由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．
又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．
5．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) 高中数学选修2-1课时作业
3 A．y＝x与y＝x2
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．y＝1x与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lgx
[答案] C
[解析] y＝1x与xy＝1表示双曲线．
6．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
[答案] 5
[解析] 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
7．方程(x＋y－1)x2＋y2－4＝0表示什么曲线？
解 由(x＋y－1)x2＋y2－4＝0可得
x＋y－1＝0，x2＋y2－4≥0，或x2＋y2－4＝0，即 x＋y－1＝0，x2＋y2≥4，或x2＋y2＝4，由圆x2＋y2＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝12＝22<2得直线与圆相交，所以 x＋y－1＝0，x2＋y2≥4，表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．
所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示．
二、能力提升
8．下列命题正确的是( )
A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线 高中数学选修2-1课时作业
4 B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
[答案] D
[解析] 对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0
(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
9．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条( )
A．过点P且垂直于l的直线
B．过点P且平行于l的直线
C．不过点P但垂直于l的直线
D．不过点P但平行于l的直线
[答案] B
[解析] ∵点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，∴方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为常数，
∴方程可化为f(x, y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
10．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
[答案] ①
[解析] ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程xy＝1.
11．(1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？
(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
解 (1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得
x－1≥0，x＋y－1＝0或x－1＝0.
即x＋y－1＝0 (x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0 (x≥1)．
(2)方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴ 2x－12＝0，y＋12＝0， ∴ x＝1，y＝－1，
∴方程表示的图形是点，点的坐标为(1，－1)． 高中数学选修2-1课时作业
5 12．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．
证明 ①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．
由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－25，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．
三、探究与拓展
13．已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解 由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
