高中数学选修2-1优质学案10：2.1.1 曲线与方程-2.1.2 求曲线的方程

高中数学选修2-1学案

1 2.1.1 曲线与方程~2.1.2 求曲线的方程

学习目标

1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)

2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)

3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)

基础·初探

教材整理1 曲线的方程与方程的曲线

阅读教材，完成下列问题.

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是____________；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.

预习自测

设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )

A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0

C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0

教材整理2 求曲线方程的步骤

阅读教材，完成下列问题.

预习自测

已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.

合作探究 高中数学选修2-1学案

2 类型1 对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解

例1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；

(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.

名师指导

1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.

2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.

跟踪训练

1.已知方程x2＋(y－1)2＝10.

(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；

(2)若点Mm2，－m在此方程表示的曲线上，求实数m的值.

类型2 由方程研究曲线

例2 下列方程分别表示什么曲线：

(1)(x＋y－1)x－1＝0；

(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；

(3)(x－2)2＋y2－4＝0.

名师指导

1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定. 高中数学选修2-1学案

3 2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.

跟踪训练

2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于x－y＝0对称

探究共研型

探究点求曲线的方程

探究1 求曲线的方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解？

探究2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？

例3 在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.

名师指导

1.求曲线方程的一般步骤

(1)建系设点；

(2)写几何点集；

(3)翻译列式；

(4)化简方程；

(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.

3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.

跟踪训练

3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.

高中数学选修2-1学案

4

课堂检测

1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )

A.在直线l上，但不在曲线C上

B.在直线l上，也在曲线C上

C.不在直线l上，也不在曲线C上

D.不在直线l上，但在曲线C上

2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是(

)

3.已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足PM→·PN→＝4，则点P的轨迹方程为________.

4.设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.

——★ 参 考 答 案 ★——

基础·初探

教材整理1 曲线的方程与方程的曲线

阅读教材，完成下列问题. 高中数学选修2-1学案

5 (1)这个方程的解

(2)曲线上的点 曲线的方程

预习自测

[答案] D

[解析] 本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.

教材整理2 求曲线方程的步骤

预习自测

[答案] x2＋y2＝4(x≠±2)

[解析] 设P(x，y)，

∵△MPN为直角三角形，

∴MP2＋NP2＝MN2，

∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，

即x2＋y2＝4.

∵M，N，P不共线，

∴x≠±2，

∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).

合作探究

类型1 对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解

例1 解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.

(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.

(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.

跟踪训练

1.解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，

所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上. 高中数学选修2-1学案

6 (2)因为点Mm2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，

所以x＝m2，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，

即m22＋(－m－1)2＝10.

解得m＝2或m＝－185.

故实数m的值为2或－185.

类型2 由方程研究曲线

例2 解：(1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得 x－1≥0，x＋y－1＝0或x－1＝0，

即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.

故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.

(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.

∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，

∴ 2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，解得 x＝1，y＝－1.

从而方程表示的图形是一个点(1，－1).

(3)由(x－2)2＋y2－4＝0，得

 x－2＝0，y2－4＝0，∴ x＝2，y＝2或 x＝2，y＝－2.

因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).

跟踪训练

2.[答案] C

[解析] 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，

所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.

探究共研型

探究点求曲线的方程

探究1 【提示】 建立坐标系的基本原则：

(1)让尽量多的点落在坐标轴上；

(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.

建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等. 高中数学选修2-1学案

7 探究2 【提示】 一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.

例3 解：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，

过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，

则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).

由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，

所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.

由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.

所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).

跟踪训练

3.解：设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，

则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.

由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.

∵曲线在x轴上方，∴y>0.

∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.

∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).

课堂检测

1.[答案] B

[解析] 将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.

2.[答案] C

[解析] 当x＞0时，方程为xy＝1，

∴y＞0，故在第一象限有一支图象；

当x＜0时，方程为－xy＝1，

∴y＞0，故在第二象限有一支图象.

3.[答案] x2＋y2＝8

[解析] 设点P的坐标为P(x，y)，由PM→·PN→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝4，得x2＋y2＝8，则点P的轨迹方程为x2＋y2＝8.

4.解：法一：如图所示，设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，连接CP，则CP⊥OQ.OC