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一、排列组合问题的解题策略
一、相临问题——捆绑法
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法
例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .
评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法
在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.
解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.
四、特殊元素——优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．
解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.
例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.
五、多元问题——分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例6．（2003年春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）
A．42 B．30 C．20 D．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。
六、混合问题——先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例7．（2002年高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）
解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。
例8．（2003年高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31·A22,故不同的种植方法共有
A31·C32·A22=12，故应选C.
七．相同元素分配——档板分隔法
例9．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
本题考查组合问题。
解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。
八、顺序固定用“除法”
对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
例10、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)
例11、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33种)
九、一一对应法：
例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？
解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。
二、随机变量及其分布列
1．离散型随机变量：可以一一列出。 2．离散型随机变量的分布列
（1）设离散型随机变量X 可能取的值为12,,
,,i x x x ，X 取每一个值(1,2,)i x i =的概率()i i P X x p ==，则下表
称为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。 性质：0,(1,2,
)i p i ≥=，概率之和为121i p p p ++
++
=。
离散型随机变量的数学期望：()n n p x p x p x X E +++= 2211
离散型随机变量的方差:()()()()()()()n n p X E x p X E x p X E x X D 2
22
212
1-++-+-=
（2）两点分布:
（3）二项分布：
在独立重复试验概率公式中，若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()k n k k n q p C k X P -==，其中n k ,2,1,0=。 称这样的离散型随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，记作()p n B X ,~。
（4）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰好有X 件次品，则事件{}X k =发生的
概率为()k n k
M N M
n
N
C C P X k C --==，0,1,2,,k m =，其中min{,}m M n =，且*,,n N M N N ≤∈，此时称分布列为超几
何分布列。
分布
数学期望
方差
二点分布 ()p X E = ()pq X D =
二项分布 ()np X E = ()()p q npq X D -==1
超几何分布
()N
nM
X E =
（6）正态分布：正态变量概率密度曲线函数表达式：()()R x e
x f x ∈⋅=
--
,212
2
2σμσ
π，其中σμ,是参数，且
+∞<<-∞>μσ,0。如下图：
X 1
x 2
x (i)
x ……
P
1p 2p …… i p
…… 1－p
X P
0 1 p
