对数函数教案

一、前言

对数函数是高中数学中的重要内容，也是实际问题中经常使用的数学工具。本篇文章主要讲述如何借助对数函数解决实际问题，并结合例题进行讲解。同时，还将给出一份对数函数应用的教案，供有需要的读者参考。

二、什么是对数函数

对数函数的定义：设a>0且a≠1，那么以a为底的对数函数，数学中的对数函数(log a x)的定义为y=log a x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。 当a=10时，常用记法是lgx，当a=e时，常用记法是lnx。在实际应用中，我们常用的是以10为底的对数函数以及自然对数函数。

对数函数具有如下性质：

（1）对数函数的定义域是正实数集，即x>0。

（2）对数函数的值域是实数集。

（3）对数函数是单调増加的。

（4）对数函数的反函数是指数函数，即a^x。

（5）loga（mn）=logam+logan，loga（m/n）=logam-logan。其中m,n>0。

三、如何使用对数函数解决实际问题

对数函数在实际问题中有着广泛的应用，主要体现在以下两个方面。

1. 对数函数在指数函数中的应用

在实际应用中，经常会遇到指数函数的问题，比如放射性物质的衰变问题、人口增长问题、病毒增长问题等等。这些问题中都涉及到指数函数的性质，而对数函数作为指数函数的反函数，可以方便地求解这些问题。

以下是一个具体的例子：

某种放射性物质的衰变规律是这样的：每小时放射性原子核数减少32%，则将其放置12小时后，该物质中还剩下原来的多少？

解法：

设原来物质中有N个原子核，放置12小时后，还剩下x个原子核。

则有：

x=N*0.68^12

由于0.68是小于1的实数，而12次方又是一个大数，可以用对数函数方便地进行计算，于是有：

log0.68x=log0.68N+log0.68(0.68^12)

即：

x=N*0.68^12

这个问题就这样被成功地解决了。可以看出，借助对数函数，我们可以方便地求解指数函数问题。

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对数与对数函数

适用学科 数学 适用年级 高三

适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60

知 识 点 1. 对数的概念

2. 对数的运算

3. 对数函数的概念

4. 对数函数的图像与性质

5. 与对数函数有关的复合函数问题的处理方法

教学目标 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

3.知道对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1).

教学重点 对数式的运算和对数函数的图像、性质的综合

教学难点 数形结合、函数与方程思想

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教学过程

一、课堂导入

问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，依此类推，当细胞个数为x时，细胞分裂次数y与x之间的关系式是什么？y是关于x的函数吗？

问题2：《庄子-天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，试问当木棰剩余部分长度为x时，被截取的次数y与x之间的关系式是什么？

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二、复习预习

1. 指数幂的运算法则

2. 指数函数的概念、指数函数的图象与性质

3. 与指数函数有关的复合函数问题的处理方法

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三、知识讲解

考点1 对数的定义

如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

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考点2 对数的性质与运算

(1)对数的性质(a>0且a≠1)：

①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.

(2)对数的换底公式：

logab＝logcblogca(a，c均大于零且不等于1)．

(3)对数的运算法则：

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(M·N)＝logaM＋logaN，

2.2.2对数函数及其性质教案(1)

2.2.2对数函数及其性质（一）

教学目标

（一）教学知识点1．对数函数的概念；

2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求

1．认知对数函数的概念；

2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标

1．重新认识事物之间的广泛联系与相互转变；2．用联系的观点看看问题；

3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．

教学重点

对数函数的图象、性质．

教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系．

教学过程

一、复习引入：1、对数的概念：

如果ax=n,那么数x叫作以a为底n的对数,记作logan＝x（a>0,a≠1）

2、指数函数的定义:

函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫作指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是r.

3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个

数y就是对立次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2则表示．

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个??细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x?log2y.

如果用x则表示自变量，y则表示函数，这个函数就是y?log2x.带出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义： 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数，定义域为(0,??)，值域为(??,??)．

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例1．求下列函数的定义域：

（1）y?logax2；（2）y?loga(4?x)；（3）y?loga(9?x2)．分析：此题主要利用对数函数y?logax的定义域（0，+∞）解．求解：（1）由x>0得x?0,∴函数y?logax2的定义域就是?x|x?0?；

1 2.5对数函数及其性质

【知识要点】

1. 对数函数的概念、图像和性质

图象特征 a>1 0

（1）完全分布在y轴的右侧

（2）向上下无限延伸并无限向y轴靠近，但永不相交

（3）过定点（1,0）

（4）在直线x=1两侧的两部分分别位于x轴的上、下方

性质 定义域：(0,+) 值域：R

x=1时 y=0

当0

当x>1时，y>0 当00

当x>1时，y<0

（5）从左至右观察图象，a>1时，图象呈上升趋势，当0

2.反函数（回忆反函数的定义，如何求反函数）

3. 对数函数的定义域（回忆求定义域的方法，对照对数函数的性质求对数函数定义域）

4. 对数函数的值域（对照函数值域求法求解对数函数的值域）

5. 对数函数的单调性及应用（回忆单调性的定义与证明，如何求解）

6. 对数函数的综合应用

【知识应用】

1.方法：在解题时，要会结合函数图象解题，注意底数a的取值范围。当a大于1时，函数是单调增，当a小于1时，函数是单调减，并且恒过点（1，0），由此画出函数图象。

【J】例1 集合A={yR|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是（ ）

A. AB={-2，-1} B. （RCA）B=（-，0） C. AB=（0，+）

D. （RCA）B={-2，-1}

【L】例2 以下四个数中的最大者是（ ）

A 2ln2（） B ln（ln2） C ln2 D ln2

2 【C】例3 已知1

2. 方法：（1）由反函数定义可知，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。因此，求反函数时，首先都要对原函数的定义域和值域进行研究，对于分段函数的反函数，应先分别求出每一段函数的反函数，再将它综合成一个函数即可。

（2）反函数的求法：a..由y=f(x)解出x b.把x与y的位置互换 c.写出解析式的定义域（注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=2x；一般来说，单调函数有反函数）