07-多重共线性

6 案例分析（3例）
例7.1：天津市粮食需求模型（1974-1987）（file: li-7-1）
y：粮食销售量（万吨 / 年），x1：市常住人口数（万人）， x2：人均收入（元 / 年），x3：肉销售量（万吨 / 年）， x4：蛋销售量（万吨 / 年），x5：鱼虾销售量（万吨 / 年）。
180 170 160 150 140 130 120 110 100 x1 90 520 560 600 640 680 720 760 800 840 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Y 180 170 160 150 140 130 120 110 100 X2 1200 Y
（第2版第196页） （第3版第168页）
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 X3 Y
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X4 Y
6 案例分析（3例）
把解释变量换成对数形式建模还是存在多重共线性。 (-2.0) (0.1) (1.7) (1.8) (1.3)
（第2版第196页） （第3版第168页）
y = -134.248 + 0.013x1 + 33.611Lnx2 + 34.363Lnx3 + 27.280Lnx4 – 34.906Lnx5 (-1.6) R2 = 0.97, F = 50.2, DW = 1.96, T = 14, t0.05(8) = 2.31, (1974-1987) 用Klein判别法进行分析。首先给出解释变量间的简单相关系数矩阵。
（3）当| rxi xj |→1 时，X 'X 接近降秩矩阵，即| X 'X | →0，
ˆ ˆ Var( β )=σ 2 (X 'X)-1 变得很大。所以 β 丧失有效性。 ˆ ˆ 以二解释变量线性模型为例，当 rxi xj=0.8 时，Var( β )为 rxi xj = 0 时的 Var( β )的 ˆ ˆ 2.78 倍。当 rxi xj = 0.95 时，Var( β )为 rxi xj = 0 时的 Var( β )的 10.26 倍。
6 案例分析（3例）
2．多重共线性的经济解释
（1）经济变量在时间上有共同变化的趋势。如在经济上升时期，收入、 消费、就业率等都增长，当经济收缩期，收入、消费、就业率等又都下 降。当这些变量同时进入模型后就会带来多重共线性问题。
4.E+11 GDP 3.E+11 CONS
4.E+11 GDP of HongKong 3.E+11
y = 74.648 + 4.893 x3 (9.0) (8.7) R2 = 0.86, F = 75.4, T = 14, (1974-1987)
y = 108.865 + 5.740 x4 (18.3) (6.8) R2 = 0.80, F = 46.8, T = 14, (1974-1987) y = 113.375 + 3.081 x5 (18.7) (6.0) R2 = 0.75, F = 36.1, T = 14, (1974-1987) 解释变量的重要程度依次为x1, x3, x2, x4, x5 。 （第2版第197页） （第3版第169页）
3．多重共线性的后果
（第2版教材第190页） （第3版教材第163页）
ˆ （1）当| rxi xj |=1，X 为降秩矩阵，则(X 'X) -1 不存在， β =(X 'X)-1X'Y 不可计算。
ˆ （2）若 | rxi xj | ≠1，即使 | rxi xj | →1， β 仍具有无偏性。 ˆ E( β )=E[(X 'X)-1X 'Y]=E[(X 'X)-1X '(Xβ+u)]=β+ X 'X)-1X ' E(u)=β.
（第2版教材第189页） （第3版教材第162页）
4.E+11 GDP 3.E+11
2.E+11
2.E+11
1.E+11
1.E+11
GDP(-1)
0.E+00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
0.E+00 0.E+00
1.E+11
2.E+11
3.E+11
4.E+11
5．多重共线性的克服方法
下面以道格拉斯（Douglass）生产函数为例，做进一步说明。 Yt = K Ltα Ctβ eut 其中 Yt 表示产出量，Lt 表示劳动力投入量，Ct 表示资本投入量。 两侧取自然对数后， LnYt = LnKt + αLnLt + βLnCt + ut 因为劳动力（Lt）与资本（Ct）常常是高度相关的，所以 LnLt 与 LnCt 也高度相关。假如已知研究的对象是规模报酬不变型， 即已知α + β = 1。模型变为 LnYt = LnKt + α LnLt + (1- α) LnCt + ut 整理后，Ln (
因为其中有两个简单相关系数大于R2 = 0.97， 所以根据Klein判别法，模型中存在严重的多重共线性。
6 案例分析（3例）
用逐步回归法筛选解释变量。 （1）用每个解释变量分别对被解释变量做简单回归， 以可决系数为标准确定解释变量的重要程度，为解释变量排序。 y = -90.921 + 0.317 x1 (-4.7) (12.2) R2 = 0.92, F = 147.6, T = 14, (1974-1987) y = 99.613 + 0.082 x2 (15.4) (7.6) R2 = 0.83, F = 57.6, T = 14, (1974-1987)
（第2版教材第195页） （第3版教材第166页）
5．多重共线性的克服方法
5.7逐步回归法
（第2版教材第195页） （第3版教材第167页）
（1）用被解释变量对每一个所考虑的解释变量做简单回归。按可决系数 大小给解释变量重要性排序。 （2）以可决系数最大的回归方程为基础，按解释变量重要性大小为顺序 逐个引入其余的解释变量。这个过程会出现3种情形。 ①若新变量的引入改进了R2，且回归参数的t检验在统计上也是显著的， 则该变量在模型中予以保留。 ②若新变量的引入未能改进R2，且对其他回归参数估计值的t检验也未带 来什么影响，则认为该变量是多余的，应该舍弃。 ③若新变量的引入未能改进R2，且显著地影响了其他回归参数估计值的 符号与数值，同时本身的回归参数也通不过t检验，这说明出现了严重的 多重共线性。舍弃该变量。
第7章 多重共线性
非多重共线性假定 多重共线性的经济解释 多重共线性的后果 多重共线性的检验 多重共线性的克服方法;X ) = rk (X ) = k
（第2版教材第187页） （第3版教材第161页）
解释变量不是完全线性相关的或接近完全线性相关的。 | rxi xj | ≠1, | rxi xj | 不近似等于1。 就模型中解释变量的关系而言，有三种可能。 （1）rxi xj = 0，解释变量间相关系数等于0。（少见） （2）| rxi xj | = 1，解释变量间完全相关。（少见） （3）0 < | rxi xj | < 1，解释变量间存在一定程度的线性相关。 （常见） 因此我们关心的不是有无多重共线性，而是多重共线性 的程度。随着共线性程度的加强，对参数估计值的准确性、 稳定性带来影响。
2.E+11
2.E+11
1.E+11
1.E+11
0.E+00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
CONS 0.E+00 0.0E+005.0E+101.0E+111.5E+112.0E+112.5E+1
（2）解释变量与其滞后变量同作解释变量。
4.E+11 GDP 3.E+11
4．多重共线性的检验
（1）初步观察。当模型的拟合优度（R 2）很高，F值很高， 而每个回归参数估计值的方差Var(βj) 又非常大（即t值很低） 时，说明解释变量间可能存在多重共线性。 （2）Klein判别法。计算多重可决系数R2及解释变量间的简 单相关系数rxi xj。若有某个| rxi xj | > R2，则xi，xj间的多重共线 性是有害的。 （3）回归参数估计值的符号不符合经济理论。 （4）增加或减少解释变量个数时，回归参数估计值变化很大。
5．多重共线性的克服方法
5.6 把数据中心化 把数据中心化有时也是克服多重共线性的有效方法。 例如多项式回归模型 yt = β0 +β1 xt + β2 xt2 + β3 xt3 + ut 中，变量之间常存在多重共线性。 可以把解释变量先中心化（各自减自己的均值） ， 然后建立多元回归模型 yt = β0 + β1 (xt 1- x1 )+ β2 (xt2- x 2 ) + β3 (xt3- x3 ) + ut
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 0 4 8 12 16 20 X5 24 Y
6案例分析 （例7.1）
（第2版第196页） （第3版第168页）
y = -3.497 + 0.125 x1 + 0.074 x2 + 2.678 x3 + 3.453 x4 – 4.491 x5 (-0.1) (2.1) (1.9) (2.1) (1.4) (-2.0) R2 = 0.97, F = 52.59, DW = 1.97, t0.05(8) = 2.31, T = 14, (1974-1987) R2 = 0.97，而每个回归参数的t检验在统计上都不显著，这说 明模型中存在严重的多重共线性。