湖北省鄂州市部分高中联考协作体2021学年高二数学上学期期中试题

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考试时间：2022年 11月14 日上午 8:00——10:00 试卷满分：150分

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是( )

A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∀x∈R，x2＋x<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∃x0∈R，x20＋x0<0

2. 若数列na是等差数列且0na，设其前n项和为nS.若2195aaa，则9S ( )

A．36 B．18 C．27 D．9

3. 某商店为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：

摄氏温度

－1

3

8

12

17

饮料瓶数 3 40 52 72 122

由上表可得回归方程ybxa中的b为6，则可预测气温为30℃时销售饮料瓶数为（ ）

A. 141B. 241C. 211 D. 191

4. 当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α的值为()

A.4 B. 34C. 32 D. 54

5. 已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )

A．充分不必要条件 B． 充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6等比数列{an}中，0,8,242naaa，2lognan则数列的前项和为（ ）

A. n(n＋1)2 B.(n－1)22C. n(n－1)2D.(n＋1)22

7.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为( )

A.34B.312C.612 D.64

鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷（共4页）第1页

8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )

精品 Word 可修改 欢迎下载 A. －32B．－12C.32D．12

9.一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的数字不超过3，事件C表示向上的一面出现的数字不小于4，则( )

A．B与C是对立事件B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件D．A与B是互斥而非对立事件

10.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )

A．8x－6y－21＝0 B．6x－8y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0 D．8x＋6y－21＝0

11.已知等腰直角三角形ABC中，,222CCA，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为22，此时三棱锥C—ABD的外接球的表面积为（）

A.12 B.43 C.3 D.5

12.定义：在数列{an}中，若满足an＋2an＋1－an＋1an＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则20202018aa等于( )

A．4×2 0192－1 B．4×2 0182－1C．4×2 0172－1 D．4×2 0172

二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 从集合1,1,2A中随机选取一个数记为k，从集合2,1,2B中随机选取一个数记为b，则直线ykxb不经过第三象限的概率为

14.过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为________．

15. 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1na前2022项的和为________．

16.给出下面四个命题：

①“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面”；

②“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

精品 Word 可修改 欢迎下载 ③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．

其中正确命题的序号是

三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）已知公差0d的等差数列na满足11a，且124,,aaa成等比数列.

（1）求数列na的通项公式na；

（2）若nS是数列na的前n项和，求数列1nS的前n项和nT.

18.（12分）已知命题：“|11xxx，使等式220xxm成立”是真命题．

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式()(2)0xaxa的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围．

19. （12分）某校命制了一套调查问卷(试卷满分均为100分)，并对整个学校的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．

(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷（共4页）第3页

(2)用样本估计总体，若该校共有2 000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；

精品 Word 可修改 欢迎下载 (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．

20.（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．

(1)求证：AD⊥平面PNB；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P­NBM的体积．

21. （12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

22.（12分）在数列na中，nS为数列na的前n项和，223()nnsnanN

（1）求数列na的通项公式

（2）设11nnnnabaa，数列nb的前n项和为nT，证明14nT

精品 Word 可修改 欢迎下载 高二数学参考答案

1-12DBDBCCBDAB AB

13．2914．x＋2y－6＝0. 15．2019101016. ①④

12. 解析：选B 由题知1nnaa是首项为1，公差为2的等差数列，则an＋1an＝2n－1，

所以20202018aa＝20202019aa·20192018aa＝(2×2 019－1)(2×2 018－1)

＝(2×2 018＋1)(2×2 018－1)＝4×2 0182－1.

17.（1）由条件知22214111()(3)aaaadaad，

又11a，则有(1)0dd，又0d，故1d，故nan.…………………4分

（2）由（1）可得(1)12112()2(1)1nnnnSSnnnn，………………7分

即11111112(1)223341122111nnnnTnn．………10分

18.解：（1）由题意，方程22mxx在(1,1)上有解。…………………2分

令2()2fxxx(11)x.只需m在()fx值域内. …………………4分

易知()fx值域为1,38。 m的取值集合M1,38。…………6分

（2）由题意，MN。显然N不为空集. ……………………………………8分

①当2aa即1a时，(2,)Naa.

12831aaa3a. ………………………………………………………10分

②当2aa即1a时，(,2)Naa.

精品 Word 可修改 欢迎下载 23181aaa1a.

综合：3a或1a……………………………………12分

19. (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02. ………………………………………………………………………………………………………………2分

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．…………………………………………………………………………4分

由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．

设中位数为t分，则有(t－70)×0.03＝0.1，得t＝2203，

即所求的中位数为2203分．…………………………………………………………………………………6分

(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为

2 000×0.6＝1 200. …………………………………………………………………………8分

(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.

记成绩在[70,80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种．

其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a，b，c)，只有1种，