2022年高考数学总复习：空间几何体的表面积与体积

1全国卷五年考情图解高考命题规律把握

1.考查形式

高考在本章一般命制2道小

题、1道解答题，分值约占

22分.

2.考查内容

(1)小题主要考查几何体体积

与表面积计算，此类问题属

于中档题目；对于球与棱柱、

棱锥的切接问题，知识点较

整合，难度稍大.

(2)解答题一般位于第18题

或第19题的位置，常设计两

问：第(1)问重点考查线面位

置关系的证明；第(2)问重点

考查空间角，尤其是二面角、

线面角的计算．属于中档题

目.

3.备考策略

从2019年高考试题可以看

出，高考对对空间几何体的

展开、平面图形的折叠、解

题中的补体等传统几何思想

有所加强.第一节空间几何体的结构及其表面积、体

积

[最新考纲]1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能够运

用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出常见几何体：

长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．

1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相平行且相等多边形互相平行

侧棱平行且相等相交于一点，但不一

定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

2.旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形任一直角边所在的直线

几何体旋转图形旋转轴

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

球半圆直径所在的直线3.直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等

直观图斜二测画法：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹

角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行

于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线

段在直观图中长度为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l

5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积名称

空间几何体的结构特征、表面积和体积

1．柱、锥、台的表面积和体积

1．已知一个圆锥的体积为3

，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）

A．23

B．3

C．3D．3

3

【答案】C

【解析】设底面半径为r，高为h

，母线为l，如图所示：则圆锥的体积21

3

3Vrh

，所以29rh，即

29

h

r，

21

22

2Srlr

侧，则2lr

，

又223hlrr

，所以339r

，故3r

，故选C．

2．祖暅（公元56

世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：

“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截

面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为2b

，高皆为a

的椭半球

体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面

上，用平行于平面

且与

距离为d

的

平面截两个几何体得到S

圆及S

环两截面，可以证明SS

环圆总成立．据此，短轴AB

长为

3cm

，长半轴CD

为2cm的椭半球体的体积是（）A．33cm

B．36πcm

C．348cm

D．396cm

【答案】A

【解析】由题意可知，短轴AB

长为3cm

，长半轴CD

为2cm的椭半球体的体积为

22

31313

223cm

2232VVVV





圆柱圆锥椭球，

故选A．

3．阿基米德（公元前287年~公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家．他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的2

3，且球的表面积也是圆柱表面积的2

3”这一完美

的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为12π

，则该圆柱的内切球体积为（）A．4

3

B．8C．8

3D．82

3

【答案】D

【解析】设圆柱的底面半径为r，则其母线长为2lr

，

因为圆柱的表面积公式22π2πSrrl

圆柱表，所以22π2π212πrrr

，解得2r

，

因为圆柱的体积公式为2π2VShrr

圆柱

，所以2π(2)V

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

一、柱体、锥体、台体的表面积

1．旋转体的表面积

圆柱（底面半径为r，母线长为l）

圆锥（底面半径为r，母线长为l） 圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）

侧面展开图

底面面积 2π底Sr 2π底Sr 22,ππ上底下底SrSr

侧面面积 2π侧Srl π侧Srl π侧Slrr

表面积 2π表Srrl π表Srrl 22π表Srrrlrl

2．多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.

棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：

二、柱体、锥体、台体的体积

1．柱体、锥体、台体的体积公式

几何体 体积

柱体 柱体VSh(S为底面面积，h为高),2π圆柱Vrh(r为底面半径，h为高)

锥体 13锥体VSh(S为底面面积，h为高)， 213π圆锥Vrh(r为底面半径，h为高)

台体 (13)台体VSSSSh(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，

223π1圆台Vhrrrr(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)

2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系

3．必记结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；

（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.

三、球的表面积和体积

1．球的表面积和体积公式

设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为24πR，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R.

2．球的切、接问题（常见结论） （1）若正方体的棱长为a，则正方体的内切球半径是12a；正方体的外接球半径是32a；与正方体所有棱相切的球的半径是22a．

（2）若长方体的长、宽、高分别为a，b，h，则长方体的外接球半径是22212abh．

第2讲 空间几何体的表面积与体积

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是01侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积

公式 S圆柱侧＝

022πrl S圆锥侧＝

03πrl S圆台侧＝

04π(r1＋r2)l

3．柱、锥、台和球的表面积和体积

名称几何体 表面积 体积

柱体

(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝05Sh

锥体

(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝0613Sh

台体

(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋

S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋

S上S下)h

球 S＝074πr2 V＝0843πr3

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

(3)由棱柱的上下底面平行和球的对称性，可知直棱柱外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，根据勾股定理求直棱柱外接球的半径．

(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为63a，内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

1．棱长为2的正四面体的表面积是( )

A．3 B．4

C．43 D．16

答案 C

解析 每个面的面积为12×2×2×32＝3，所以正四面体的表面积为43.

2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( )

A．63 B．3

C．23 D．2