高考第一轮复习第一讲集合
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第一讲 集合的概念及其运算
☆知识点及方法 :集合的概念;集合的运算;子集的个数;集合中元素的个数;集合间的关系;集合与充要条件;方程、不等式中与集合有关的问题;补集的思想。
1、子集的个数
例1、（1）若{ 1,2 }A ⊆{ 1,2,3,4 },求满足这个关系式的集合A 的个数
（2）已知集合A ={0、2、4}，},|{A b a b a x x B ∈⋅==、，则集合B 的子集的个数为 。
（3）从自然数1～20这20个数中，任取两个数相加，得到的和作为集合M 的元素，则M 的真子集共有 个。
☆规律方法总结：(1)子集的个数：一个有n 个元素的集合，其①子集有 个；②真子集有 个；③非空子集有 个；④非空真子集有 个；
(2)已知集合
M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则满足M N P ⊆的集合P 的个数为12--m n
2、集合中元素的个数
例2、(1)已知集合M,N 分别含有8个、13个元素,若N M 中有6个元素, ①求N M 中的元素个数. ②当N M 含多少个元素时,φ=N M .
(2)50名学生参加跳远和铅球两样测试，跳远和铅球测验成绩分别及格40人和31人，两次测验成绩均不及格的有4人，则两项成绩都及格的人数是（ ）
A 、35
B 、25
C 、28
D 、15
(3) 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
3、集合间的关系
例3、判断下列两集合之间的关系
⑴ },14|{},,12|{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==
(2)},2|{},,12|{22R b b b x x B R a a a x x A ∈-==∈++== (3) },24|{},,42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+=
=ππππ
4、方程、不等式与集合
例4、(1) 已知方程0)(,0)(==x g x f 的解集分别为B A ,。
① 写出方程0)()(=⋅x g x f 的解集
② 写出方程0)()(22=+x g x f 的解集
③ 写出方程0)
()(=x g x f 的解集 (2)已知不等式0)()0(>>x g x f ，的解集分别为B A 、, 0)()0(<<x g x f ，的解集分别为N M 、。
写出不等式0)()(>⋅x g x f 与0)()(<⋅x g x f 的解集.
(3)设全集为R ,记,{}{}
0)(0)(≠=≠=x g x N x f x M ，试写出0)()(=⋅x g x f ()()0f x g x ⋅=。
５、集合问题的求解
(1)看清元素的构成
例5、(1)已知},,1|{},,1|{2R x x y y Q R x x y y P ∈+==∈+==则Q P 等于
A 、{（0，1）、（1，2）}
B 、{0，1}
C 、{1，2}
D 、[1，∞+]
(2)设}|{},5.2{A x x B A ⊆==且，则A 与B 的关系是（ ）
A 、
B A ∈ B 、B A ≠
⊂ C 、B A ⊆ D 、B A = (3)设a 、b 是整数，集合,)12(},63)(|){(2E y b a x y x E ∈≤+-=，点、但点(1,0),)2,3(,E E ∉∉求a 、b 的值。
(4)已知}1|){(},1|||||){(2
2=+==+=y x y x B y x y x A 、、则（ ）
A 、A
B A = B 、B B A =
C 、φ=B A
D 、A B A Card =)(
(5)已知集合}1|||||).{(≤+=y x y x A ，集合=≤+-=M x y x y y x B },0))((|).{( B A ，则M 的面积是（ ）
A 、2
1 B 、
2 C 、1 D 、
(2)注意元素互异性的检验
变式：已知集合}||0{)}lg({y x B xy xy x A 、、，、、==若B A =，求
)1()1()1(2003200322y
x y x y x ++++++ 的值。
(3) 注意空集的特殊性
例7、已知集合{
}R x x p x x A ∈=+++=,01)2(2，若φ=+R A ，求实数p 的取值范围。
例8、设集合{}
{}01,062=+==-+=mx x Q x x
x P ，若Q P ，则实数m 可取不同的值有 个。
（4）注意端点值的取舍
例9、已知集合{}{}
43,0,1>-=><-=x x B a a x x A ，且φ=B A ，求实数a 的取值范围。
6、集合的运算
（1）交集：
（2）并集：
（3）补集：
例10、满足}2,1{=Y X 的集合Y X ,的所有可能的解有多少组？
例11、已知集合}12)|{},0103|{2-≤≤+=≥++-=m x m x B x x x A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围。
例12、已知}4|3||{},|1||{>-=<-=x x B c x x A 且,φ=B A 求c 的取值范围；
例13、(1)已知集合}02|{},023|{22=+-==+-=mx x x B x x x A 且=B A ,A 求m 的取值范围；
(2)已知集合}053|{},023|{22=-+===+-=a ax x x B x x x A 若B B A = ，求实数a 的值；
(3)已知}0)1()12(|{},,1|12||{2<+++-=∈≥-=a a x a x x B R x x x A ，若A B ⊆，求实数a 的
取值范围。
变式：①若将题设条件B ⊆A 改为φ=B A ，则a = 。
变式：②若将集合B 改为}0)12)((|{≤+--=a x a x x B 则在A B ⊆时，a 的取值范围是 ，在φ=B A 时，a 的取值范围为 。
(4)设全集R ，)}0(|{},0)(|{,cos )(,sin )(≠=≠===x g x N x f x M x x g x x f 则集合}0)()(|{=⋅x g x f x 等于（ ）
A 、)()(N C M C R R
B 、N M
C R )( C 、)(N C M R
D 、)()(N C M C R R
(5)设},05)2(6|{},02|{22=++++==+-=q x p x x B q px x x A 若=B A
}2
1{则B A 等于（ ） ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21 3121 421 31421、、、、、，、、、D C B A 例14、已知集合},023|{2R a x ax x A ∈=+-=
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。
例15、数集A 满足条件，若A a
a A a ∈-≠∈11,1,则 （1）证明：若,2A ∈则在A 中必然还有另外两个数，求这两个数；
（2）证明：若A 为单元素集，求a 及A 。
