高三数学 数列专题复习

高三数学 数列专题复习

高三数学数列专题复习

高三数学序列专题复习

数列历来是高考重点考查的章节，可能出较简单的题目，也可能出很难的题目．尤其是近几年来，很多高考试卷以数列题为压轴题，数列难题频频出现，给考生和中学数学教学带来很大压力．为了适应高考这一新形势，在教学中，尤其是进入第二轮复习以后，如何讲解或强化训练，使学生能够更熟练地解数列题，甚至是数列难题，很值得研究．

I.基本属性

一.一般数列的通项an与前n项和

2.算术序列的通项公式：an=a1+（n-1）Dan=AK+（n-k）d（其中a1为第一项，AK为已知的k项）。当D≠ 0，an是关于n的主要公式；当d=0时，an是常数？s1（n？1）？Sn关系：an=？sn？sn？1（n？2）

3.等差数列的前n项和公式：sn=

奶奶？N（N？1）d，当2Na1？n（n1）d；2n（a1？an）sn=；当2Sn=d时≠ 0，Sn是关于N的二次公式，常数项为

0；当d=0时（a1≠0），sn=na1是关于n的正比例式4.等差数列的通项an与前n项和

A.B等差平均项公式：a=2

s2n?1sn的关系：an=2n?1

5.（有一个独特的价值）

6.等比数列的通项公式：an=a1qn－1an=akqn－k（其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0）

7.等比序列的前n项和公式：当q=1时，Sn=Na1（这是关于n的正比例公式）；

当q≠1

当A1（1？QN）时，Sn=1？Q

a1?anqsn=1?q

8.等比中期公式：g=？AB（AB>0，有两个值）9由算术序列{an}的任意连续m项之和构成的序列SM s2m－sm、s3m－s2m、s4m－s3m、……仍为等差数列10.等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq

11.在等比序列{an}中，如果M+n=P+Q，那么am？一美联社？aq12。由等比序列{an}的任意连续m项之和组成的序列SM

s2m－sm、s3m－s2m、s4m－s3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为－1的情况除外）13.两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an－bn}仍为等差数列14.

一两个等比序列{an}和{BN}的乘积、商和倒数序列{an？BN}？bn？、

1bn仍为等比数列15.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列16.等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17.三个数成等差的设法：a－d，a，a+d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，，a+d，a+3d

18.三个数字的比例相等：A/Q、A、AQ；四个数字按相等比例设置错误

法：a/q3，a/q，aq，aq3（因为其公比为q2>0，对于公比为负的情况不能包括）

19.{an}是一个算术序列吗？ca？（c>0）是一个等比序列

20.{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}（c>0且c?1）是等差数列

二、 精选的例子

（一）等差等比数列的有关性质

N

例题1．（2021湖北理）（本小题满分12分）

已知算术序列{a}的前三项之和是？3.前三项的乘积为8

n（ⅰ）求等差数列{a}的通项公式；

N（II）如果a，a和a是等比序列，求序列{a}的前N项之和

231n解析：（ⅰ）设等差数列{a}的公差为d，则an2?a1?d，a3?a1?2d，

从问题的意义来看？？3a1？3d？？3.a1（a1？d）（a1？2d）？8.解决方案？？a1？2.D3.还是？？a1？？4.D三

所以由等差数列通项公式可得

A.2.3（n？1）？？3n？5，还是a？？4.3（n？1）？3n？七 故a??3n?5，或a?3n?7.（ⅱ）当a??3n?5时，a，a，a分别为?1，?4，2，不成等比数列；

什么时候开始？3n？7点a、a和a分别是？1，2，? 4.形成等比序列并满足条件

nnnnn231n231故|an|?|3n?7|n?3n?7,n?1,2,

3n？7，n？3.

n记数列{|a|}的前n项和为s.

什么时候？1:00，s|a |？4、 什么时候？什么时候2，什么时候n？三点，

112?|a1|?|a2|?5；

sn？s2？|a3 |？|a4 |？|安|？5.(3?3?7)? (3?4?7) （3n？7）

(n?2)[2?(3n?7)]3211?n?n?10.当n?2时，满足此式.

222n？1.4.总之，Sn？？三千二百一十一

n?n?10,n?1.??22?5?

例2。（2022粤语）（本子题满分为14分）

设数列?an?的前n项和sn，数列?sn?的前n项和为?tn?，满足

tn？2sn？n2，n？n*。

（1）求a1的值；

（2） 找到序列了吗？一广义公式。解决方案：（1）：A1？2a1？12a1？一

tn?2sn?n2①

②

tn?1?2sn?1?(n?1)2①-②得：

sn？2安？2n？一

………………③

推断一次

sn?1?2an?1?2(n?1)?1………an?2an?2an?1?2an?2an?1?2

④ ③ - ④: an?2?2(an?1?2)

相等比例的序列，是一个共同的比率

{an?2}是以a1?2?3,为首项,2

一2.3.2n？1.一3.2n？1.二

例题3.已知数列?an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且

a1？2a2？22a3？。。。？2n？1安？8N代表任何n？N*是真的吗，序列BN？1.bn？？是的，等等

差数列.

（1） 找到序列了吗？一和bn？广义公式；

⑵是否存在k?n?，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.

N12n？12安？正面A.2a？2a？。。。？2a？8N拨号：（1）12的左侧相当于序列中3nsn项之和的形式，它可以与已知的SN方法相关联，当n？两点钟，

n?sn?1?an.

（2） 拿BK？把AK看作一个函数，用函数的思想和方法来研究

bk?ak的取值情况.

解决方案：（1）已知A1？2a2？22a3？…？2n？1安？8n（n？n*）①

2n?2n?2时，a1?2a2?2a3?…?2an?1?8(n?1)(n?n*）②

① - ②, 2n？1安？8.安？2.在①, 让n？1.你能拿到A1吗？8.24? 1.这么说来？24? n4？n（n？n*）。

由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2，∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2，∴bn?1?bn??4?(n?1)?2?2n?6，

bn？b1？（b2？b1）？（b3？b2）（bn？bn？1）

(4)(2)(2n8)n27n14(nn*）.

（2） bk？ak？k2？7k？14? 24? k、 什么时候？4点，

77f(k)?(k?)2??4?k242单调递增，且f(4)?1，

那么K？4点，f（k）？k2？7k？14? 24? K1. 又f(1)?f(2)?f(3)?0，

所以没有K？N*，制作BK？ak？(0,1).

例4.已知数列{a}满足ann1?1,an?1?2an?1(n?n?)．

（1） 求序列{a}的通项公式；（2） 如果序列{B}满足4nb1？1b2？14? 40亿？1.（an？1）n（n？n？）证据：{BN}是的，等等

b差数列；

1a？？（3） 证书：n23a12？aa2nN（n？n？）。a3an？12解决方案：（1）∵

一1.1.2（an？1）∴一1.（a1？1）？2n？1.2n∴一2n？1．

b1?b2bn?n（2）方法1：∵4∴

20亿∴2（b？b12？bn）？2n？nbn

2(b1?b2bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1(n?2)，两式相减得

20亿？2.nbn？（10亿新西兰元？1.

即(n?2)bn?2?(n?1)bn?1(n?2)，∴(n?3)bn?1?2?(n?2)bn?2(n?3)，两式相减，得

20亿新西兰元？（30亿新西兰元？1.（10亿新西兰元？1.20亿新西兰元？2，即（n？2）（BN？BN？2）？20亿？1（n？3）

即bn?bn?2?2bn?1，即bn?bn?1?bn?1?bn?2(n?3)，∴数列{bn}为等差数列．