用建模思想指导数学教学

用建模思想指导小学数学课堂教学

2011版《课程标准》中指出在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。而模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”课程标准对模型思想的阐述实际上就是要求把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程,并在建模过程中培养学生的数学应用意识,引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。我通过与数学团队的老师的共同交流，感觉到：运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生模型意识的培养和建模方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行模型及模型意识的渗透、点化。高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中模型的存在，培养初步的建模能力。

一、小学“数学模型”构建的基本途径

通过引领学生经历“解决具体问题——抽象出数学模型——解释并说明模型——再用模型解决问题”建立初步的模型化数学教学思想。

二、小学“数学模型”构建的基本过程

开展数学建模活动，关注的是建模的过程，而不仅仅是结果，更多的是培养思维能力，特别是创造能力。因此，在小学数学教学中，教师要转变观念，创新课堂教学模式，以“建模”的视角来处理教学内容。

1．根据教学内容，开展建模活动。

教材中的一些内容已经按照建模的思路编排，教师要多从建模的角度解读教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，精心设计和选择列入教学内容的现实问题情境，将实际问题数学化，建立模型，从而解决问题。比如刚才刘文博老师的“时间、速度、路程”一课中，教材用复合单位表示速度，如特别快车的速度和小林步行的速度分别写成：150千米/时、60米/分，意在让学生体会用这样的符号表示运动速度具有简明、清楚的特征。结合解决简单的行程问题，探索速度、时间和路程的关系，构建数学模型“速度×时间＝路程”，并应用模型去解决实际问题。

2．上好实践活动课，为学生模仿建模甚至独立建模提供有效指导。

可以结合教材内容，整合各知识点，使之融进生活背景，产生好的“建模问题”作为实践活动课的内容。如教材中安排了这样的问题：“找10盒火柴，先在小组里拼一拼，看看把10盒火柴包装成一包有哪些不同的方法。怎样包装最节省包装纸?”

3．改编教材习题，加强建模教学。

教材中有些问题需要改编，使其成为建模的有效素材。如：“图中长方形面积是8平方厘米，求平行四边形的面积。”可以利用它开展以下的建模活动：通过数格子，探讨出长方形的面积与平行四边形面积之间的关系后，建立起关系模型，进而解决问题。也可以另辟蹊径，通过“长方形长宽和平行四边形底高的关系”这一问题的解决，建立关系模型，从而使原问题获得解决。

二、小学“数学模型”构建的基本策略

1．精选问题，创设情境，激发建模的兴趣。

数学模型都具有现实的生活背景，这是构建模型的基础和解决实际问题的需要。如构建“平均数”模型时，将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，同时将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易激发学生的兴趣，并在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。 如我在教学平均数一课，新课伊始出示两个小组一分钟做题道数：

第一组 9 8 9 6

第二组 7 10 9 8

教师提问：哪组获胜，为什么？

这时出示，第一组请假的一位同学后来加入比赛。

第一组 9 8 9 6 8

第二组 7 10 9 8

师：根据比赛成绩我们判定一组获胜。

此时有学生提出异议：虽然第一组做对的总道数比第二组多，但是两个队的人数不同，这样比较不公平。

师：那怎么办呢？

生：可以用平均数进行比较。

师：什么是平均数？

学生根据自己的生活经验进行总结。

本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程，

2．充分感知，积累表象，培育建模的基础。

教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。如“凑＋法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“9加几”的算法，初步了解“凑十法”；接着采取半扶半放的方式学习“8、7加几”的算法，进一步引导学生感知“凑十法”更广的适用范围；最后学习“6、5、4加几”的算法，运用“凑十法”灵活解决相关的计算问题。在此过程中，学生经历了观察、操作、实践等活动，充分体验了“凑十法”的内涵，为形成“凑十法”的模型奠定了坚实的基础。再比如刚才刘文博老师的速度乘时间等于路程的数量关系的产生就是一个很好的建模过程。（视频）速度、时间和路程”之间的关系，是生活中常见的数量关系，提炼出数学模型则是 “速度×时间＝路程”。教学时，应注重让全体学生通过解决具体问题，感悟 “速度、时间和路程”之间的数量关系，经历将生活中的具体问题抽象成数学模型的过程，并经历将抽象的数学模型用于解决具体问题的过程。让学生在“解决具体问题──抽象出数学模型──解释并说明模型──再用模型解决问题”这样一系列的数学活动中，建立初步的模型化的数学思想方法。

3．组织跃进，抽象本质，完成模型的构建。

具体生动的情境或问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视从具体到抽象的有效组织。那就无法建模。如“平行与垂直”一课，如果只是让学生感知火车铁轨、跑道线、双杠、五线谱等具体的素材，而没有透过现象看本质的过程，当学生提取“平行线”的模型时，呈现出来的一定是形态各异的具体事物，而不是具有一般意义的数学模型。“平行”的数学本质是“同一平面内两条直线间距离保持不变”。因此，教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直线间的距离。可以让学生通过如下活动来引导认识过程：提出问题：为什么两条直线永远不相交?动手实验思考：①在两条平行线间作垂线。②量一量这些垂线的长度，你发现了什么?③你知道工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗?经历这样的学习过程，学生对平行的理解必定走向半具体、半抽象的模型，从而构建起真正的数学认识，完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程。

4．重视思想，提炼方法，优化建模的过程。

数学家华罗庚通过多年的学习、研究经历总结出：对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。

再以我校张文文老师的“认识平行四边形”为例。具体建模过程如下：

1.初步感知平行四边形特征 （通过预习，学生已经知道了平行四边形。）课件出示一个平行四边形图，提问：为什么我们把这样的图形叫做平行四边形呢？（板书“平行四边形” ）拿出你的平行四边形纸片进行观察、思考，然后和同桌讨论、交流一下。

（1）学生观察、猜测、动手验证（用尺子测量、平移）；

（2）同桌讨论、交流；

（3）反馈，板书“两组对边分别平行的四边形”；

（4）课件演示平行四边形的两组对边分别平行。

2.辨析图片，抽象概括，完善定义

（1）出示第一个平行四边形纸片（较大、正放）：这个是不是平行四边形？（旋转，变换位置）现在它还是平行四边形吗？看它是不是平行四边形，要根据什么来判断？我们大家一起用手来比划一下这两组平行线吧。

（2）出示第二个平行四边形纸片（较小、斜放）：这个是不是平行四边形呢？（旋转）这样放呢？（再旋转）这样呢？

（3）出示第三个平行四边形纸片（随意放）：这个是吗？现在老师给它动个小手术，“喀嚓”用剪刀剪一刀（边说边剪下一个角）。

看！现在它还是平行四边形吗？揭示平行四边形首先必须是四边形。（板书“四边形” ）

（4）概括定义：现在你能说说到底什么叫平行四边形了吗？指明生说，师完善板书。然后，看着板书全班同学大声朗读平行四边形定义，并说给同桌听听。 当学生已经充分感知并建立表象后，师不失时机地在此基础上，通过分析、比较、综合、抽象、概括使学生获取对事物本质属性的认识，从而使学生的感性认识跃进到理性认识。在这个概念形成的过程中，可运用变式与反例，凸显概念的本质属性，帮助学生建立正确的概念（即数学模型）。

第三环节：根据定义，明确外延。

1.出示一个长方形纸片，问：这个是平行四边形吗？认为不是者请站起来。

师先请站着的同学说理由，然后请坐着的代表发言。

当坐着的说“因为长方形的两组对边分别平行，所以它也是平行四边形”时，再问站着的同学，是否改变主意？假如也认为“是”了，就请坐下。等全体都认可的情况下，教师板书“长方形”，并顺势补充说明：“我们可以说长方形是特殊的平行四边形。”

2.出示一个正方形纸片，问：这个是什么图形？它是平行四边形吗？根据学生回答师板书“正方形是特殊的平行四边形”。

3.小结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形、正方形都是特殊的平行四边形。当用定义把概念的本质属性揭示出来时，师采取相应的手段帮助学生明确了概念的外延，以便学生在理解的基础上更好地掌握概念。

第四环节：运用分类，形成概念系统。

（之前，已用以上的教学方式进行了梯形的概念教学） 1.练习：从下面图形中找出平行四边形和梯形，并给平行四边形打上√，给梯形画上☆。

2.学生做题，师巡视，然后选一张在实物投影仪下讲评。

3.分类，小结：

（1）分类：假如我们要给这些图形分类，你打算把它们分成几类？哪三类？（第一类是打√的，第二类是画☆的，第三类是既不打√也不画☆的。）打√的一类是什么？画☆的一类？既不打√也不画☆的一类？（板书“一般四边形” ）平行四边形有几组对边平行？梯形呢？一般四边形呢？我们是按什么标准把它们分成三类的？它们可以统称为什么？（板书“四边形” ）