函数的零点与方程的根

函数与方程及函数的应用

1． 函数的零点与方程的根

(1)函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2． 函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

考点一 函数的零点

例1 (1)(2013·重庆)若a

( )

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)函数f(x)＝ ln x－x2＋2xx>0，2x＋1x≤0，的零点个数是

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 (1)A (2)D

解析 (1)由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.

(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．

(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

(1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.

答案 (1)B (2)－1

解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．

因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，

所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，

且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，

所以有1个零点．

(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．

设y1＝ax，y2＝－x＋b， 故x0就是两函数交点的横坐标，如图，

当x＝－1时，y1＝1a＝log32

∴－1

考点二 与函数有关的自定义问题

例2 若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．

其中正确结论的个数是 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．

答案 A

解析 对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，

则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，

即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．

对于②，若f(x)＝x是一个“λ－伴随函数”，

则(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．

对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，

则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．

对于④，若f(x)是“12－伴随函数”，

则f(x＋12)＋12f(x)＝0，取x＝0，

则f(12)＋12f(0)＝0，

若f(0)，f(12)任意一个为0，函数f(x)有零点； 若f(0)，f(12)均不为0，

则f(0)，f(12)异号，由零点存在性定理，

知f(x)在(0，12)内存在零点x0，

所以④正确．故选A.

函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立．

若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)．

已知函数f(x)＝ cos πxx<0，log3xx>0，则f(x)的图象上的“镜像点对”有

( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

答案 C

解析 依题意，设点P(x0，y0)，Q(－x0，y0)(其中x0>0)，

若点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，

则有 y0＝log3x0，y0＝cos π－x0＝cos πx0，

所以log3x0＝cos πx0，即x0是方程log3x＝cos πx的根．

在同一个直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝cos πx的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.

考点三 函数模型及其应用

例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|xx2＋1－a|＋2a＋23，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，12]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．

(1)令t＝xx2＋1，x∈[0,24]，求t的取值范围；

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

(1)分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．

(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋23，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．

解 (1)当x＝0时，t＝0；

当0

∴t＝xx2＋1＝1x＋1x∈(0，12]，即t的取值范围是[0，12]．

(2)当a∈[0，12]时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋23，

则g(t)＝ －t＋3a＋23，0≤t≤a，t＋a＋23，a

∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，12]上单调递增，

且g(0)＝3a＋23，g(12)＝a＋76，

g(0)－g(12)＝2(a－14)． 故M(a)＝ g12，0≤a≤14，g0，14

即M(a)＝ a＋76，0≤a≤14，3a＋23，14

当0≤a≤14时，M(a)＝a＋76<2显然成立；

由 3a＋23≤2，14

∴当且仅当0≤a≤49时，M(a)≤2.

故当0≤a≤49时不超标，当49

(1)解答函数应用题的关键

将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．

(2)对函数模型求最值的常用方法

单调性法、基本不等式法及导数法．

(3)本题中的函数与方程思想：①在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．

某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝ x216＋2，04，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．

(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

解 (1)由题意，得当药剂质量m＝4时，

y＝ x24＋804.

当0

当x>4时2x＋28x－1≥4，解得4

综上0

所以自来水达到有效净化一共可持续16天．

(2)由y＝m·f(x)＝ mx216＋2m04，得

当0

当x>4时，y′＝－30m2x－22<0，

∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y<3m，

综上知，7m4≤y≤3m，

为使4≤y≤10恒成立，只要7m4≥4且3m≤10即可，

即167≤m≤103.