不等式的解法(共28张PPT)

1 一、不等式基本知识

1、基本性质

性质一：abba（对称性）

性质二：cacbba,,（传递性）

性质三：cbcaba

性质四：bcaccbabcaccba0,;0,

2、运算性质

dbcadcba,（加法法则）；bdacdcba0,0（乘法法则）

nnbaNnba,0（乘方法则）；nnbaNnba,0（开方法则）

3、常用不等式

（1）abbaba222)2(2 （2）||222abba 取等号条件：一正、二定、三相等

（3）2|1|xx （4）若mambabmba,0,0

（5）nnnxxxnxxxx21321(0ix)

二、不等式的证明方法

常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。

1、比较法

例1、若,0,0ba求证：babaab22。

证明：abbababaabbababababaab22222))(()())(()(0，baabba22。

2、分析法

例2已知yxba,,,都是正实数，且.,11yxba求证：ybyxax。

解：yxba,,,都是正实数，要证ybyxax，只要证)()(xayybx，即

2 证aybx，也就是abayabbx，即,byax而由.,11yxba，知byax成立，原式得证。

3、综合法（先用分析法分析寻找思路，再正面求证）

例3、设cba,,均为正数，且1cba，求证：23131313cba。

证明：cba,,均为正数，1cba，10,10,10cba，233132,233132,233132ccbbaa，以上三式相加得,6]131313[2cba23131313cba。

不等式的解法（2）

讲解新课：

1．含有参数的不等式

2．分式不等式与高次不等式

3．指数不等式与对数不等式

三、讲解范例：

例1解关于x的不等式)()(abxbabxa

解：将原不等式展开，整理得：)()(baabxba讨论：当ba时，babaabx)(；

当ba时，若ba≥0时x；若ba<0时Rx；当ba时，babaabx)(

例2关于x的不等式01)1(2axaax 对于Rx恒成立，求a的取值范围．

解：当a>0时不合 ， a=0也不合

∴必有：012300)1(4)1(022aaaaaaa310)1)(13(0aaaa

例3 k为何值时，式13642222xxkkxx恒成立

解：原不等式可化为：0364)3()26(222xxkxkx，而03642xx

∴原不等式等价于0)3()26(22kxkx，由0)3(24)26(2kk得1

例4 解不等式2931831xx

解：原不等式可化为：018329332xx

即 0)233)(93(xx 解之 93x 或323x

∴x>2或32log3x ∴不等式的解集为{x|x>2或32log3x}

例7 解不等式2)1(log3xx

解：原不等式等价于

2)3(11301xxxx 或2)3(113001xxxx 解之得 4

四、课堂练习：

1．解关于x的不等式： )1,0(,2log)12(log)34(log2aaxxxaaa

解：原不等式可化为)12(2log)34(log2xxxaa

当a>1时有221234121)12(23403401222xxxxxxxxxx

例2.解关于x的不等式：x2-ax-2a2＜0

例3.解关于x的不等式：2axax＜0(a∈R)

例4.解关于x的不等式：2)1(xxa＞1 (a＞0)

例5.解关于x的不等式：22xxxa＞0

练习：

均值不等式的解法：

5.若实数x,y满足11122yx，则222yx有（ ）

A.最大值223 B. 最小值223 C. 最小值6 D.最小值6

10.若14x，则2222)(2xxxxf有（ ）

A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-1

13.函数1)(xxxf的最大值为（ ）

A.52 B. 21 C. 22 D. 1

18.若0x，则xx2的最小值为

（1）已知0,0ba，且14ba，求ab的最大值；

（2）已知2x，求24xx的最小值；

（3）已知0,0yx，且1yx，求yx94的最小值.

1． 凑系数

当40x时，求的最大值)28(xxy。

2． 凑项。

当 ,45x求函数54124)(xxxf的最大值

3． 拆项。

求)1(,11072xxxxy的值域。

4． 整体代换（遇到1了）

已知a>0, b>0, batba11,12求的最小值。

5． 换元法

求函数522xxy的最大值

6． 试着取平方看看：

求函数)2521(,2512xxxy的最大值。

【练习】

1． 若,20x求)36(xxy的最大值。

2． 求函数)3(,31xxxy的最小值。

3． 求函数)1(,182xxxy的最小值。

4． 已知yxyxyx求且,911,0,0的最小值。

不等式的解法典例精讲

1.解下列一元二次不等式：

(1)x2-3x-4<0(2)x2-4x+1>0

(3)x2-4x+5>0(4)-x2-4x+3<0

解(1)x2-3x-4<0⇔x-4

x+1

<0

即fx=x2-3x-4与x轴的交点为x=-1,x=4

由图像可得满足fx<0的x的范围为-1

∴不等式的解集为-1,4



(2)令fx

=x2-4x+1，则fx

=0可解得：x=

4±23

2=2±3作图观察可得：x<2-3或x>2+3∴不等式的解集为-∞,2-3∪2+3,+∞



(3)令fx

=x2-4x+5，则fx

=0中，Δ<0

则fx与x轴无公共点，即恒在x轴上方，∴x∈R

注：由(1)(2)我们发现，只要是a>0，开口向上的抛物线与x轴相交，其图像都是类似的，

在小大根之间的部分fx<0，在小大根之外的部分fx>0，发现这个规律，在解一元

二次不等式时便有了更为简便的口诀

①让最高次项系数为正

②解fx=0的方程，若方程有解，则fx>0的解集为小大根之外，fx<0的解集为

小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可

(4)解：先将最高次项系数变为正数：-x2-4x+3<0⇔x2+4x-3>0

方程x2+4x-3=0的根为x=-4±27

2=-2±7

∴不等式的解集为-∞,-2-7

∪-2+7,+∞



2.解下列高次不等式：(1)x-1

x-2

x-3

>0

(2)x+1

x-2

2x-3

<0

(1)解：fx

=x-1

x-2

x-3



则fx=0的根x

1=1,x

2=2,x

3=3

作图可得：13

∴不等式的解集为1,2

∪3,+∞



(2)思路：可知x-2

2≥0，所以只要x≠2，则x-2

2恒正，所以考虑先将恒正恒负的因

式去掉，只需解x+1

x-3

<0

x-2≠0

，可得-1

∴不等式的解集为-1,2

∪2,3



3.解下列分式不等式：(1)2x-1