高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
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高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
1 / 81 一、选择题:( 本大题共10 小题,每题 4分,共40分.在每题给出的四
个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的 .)
1．设点P〔3，-6〕，Q〔-5，2〕，R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，
那么R点的横坐标为〔 〕。
A、-9 B 、-6 C 、9 D 、6
2． =(2,3), =(-4,7) ，那么 在
b 上的投影为〔 〕。
b
A、 B 、 C、 D、
3．设点A〔1，2〕，B〔3，5〕，将向量 按向量 =〔-1，-1〕平移后得
向量 为〔 〕。
A、〔2，3〕 B、〔1，2〕 C、〔3，4〕 D、〔4，7〕
4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么 ABC是〔 〕。
A、直角三角形 B 、等边三角形C、等腰三角形 D、等腰直角三角形
5．| |=4,| b|=3, 与b的夹角为60°，那么| +b|等于〔 〕。
A、 B 、 C 、 D 、
6．O、A、B为平面上三点，点C分有向线段 所成的比为 2，那么〔 〕。
A、 B 、
C、 D 、
7．O是 ABC所在平面上一点，且满足条件 ，
那么点O是 ABC的〔 〕。
A、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心
8．设 、b、 均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下 4个命题：
(1)( ·b)2= 2·b2 (2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=(+b)2 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
2 / 82 (4)(b ) -( a)b与 不一定垂直。其中真命题的个数是〔 〕。
A、1 B 、2 C 、3 D 、4 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案 3 / 83
9．在 ABC中，A=60°，b=1， ，那么 等
于〔 〕。
A、 B、 C、 D、
10．设 、b不共线，那么关于x的方程 x 2 +bx+ =0的解的情况是〔 〕。
A、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解
C、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解
二、填空题：〔本大题共4小题，每题 4分，总分值16分.〕.
11．在等腰直角三角形 ABC中，斜边AC=2 2，那么ABCA=_________
12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.
13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶向
对岸，为使所行路程最短，小船应朝 ________方向行驶。
14．如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向
量积〞， ×b是一个向量，它的长度 | ×b|=| ||b|sin θ，如果|
|=3,| |=2, ·=-2，那么| ×|=______。
b b b
三、解答题：〔本大题共 4小题，总分值 44分.〕
15．向量 = , 求向量 b，使|b|=2| |，并且 与b的夹
角为 。〔10分〕 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案 4 / 84
16、平面上 3个向量
为120。 (1) 求证：(
(2)假设|k +b+ |>1(k
、b、 的模均为 1，它们相互之间的夹角均
-b)⊥ ;
∈R), 求k的取值范围。〔12分〕 17．〔本小题总分值 12分)
e1，e2是两个不共线的向量， AB=e1+e2，CB=-λe1-8e2, CD=3e1-3e2,
假设A、B、D三点在同一条直线上，求实数 λ的值.吕謀剄腳锋项眾悅詿陆懇蘺烁轻禎。 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案 5 / 85
18．某人在静水中游泳，速度为 4 3公里/小时，他在水流速度为 4公里/ 小时的河中游泳 . 假设他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度 为多少？ 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 平面向量测试题 参考答案 一、选择题：
钰睪堝睐谥毕領擰缤纷栏昼膚爐闋。
1.D.设R(x,-9), 那么由 得(x+5)(-8)=-11 ×8,x=6.
2.C. ∵|b| , ∴| | = . A.平移后所得向量与原向量相等。 4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc,A=60°. sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC ， 得 cosBsinC=0, ∴ΔABC是直角三角形。 廳陳辆卫軔擋绵盘组翘请黿辕赔缑。 5．D． . 6.B
7.B. 由 ，得OB⊥CA，同理OA⊥ BC，∴O是 ABC的垂心。 8．A．(1)(2)(4) 均错。 静鲔热還嶺换擇焖稅玮鲠鹕賈鬩蕎。
9．B．由 ，得c=4,又a2=b2+c2-2bccosA=13,
∴ . 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案 6 / 86
10．B．- =x2 +xb，根据平面向量根本定理，有且仅有一
对实数λ和μ，使
- λ b。故λ 2 且μ
=x, =+μ =x,
2 ∴λ=μ，故原方程至多有一个实数解。
4
12.. 13. 与水流方向成135°角。
14 ． 。·b=| ||b|cosθ, ∴ , | ×b|=| ||b|sin
三、解答题
15．由 题 设 ,设b=
,那么由 ,得
.∴ , 解得sinα=1或 。
当sinα=1时，cosα=0；当 时， 。
故所求的向量 b、 或 。
16 ．(1) ∵向量
、 的模均为 ，且它们之间的
1
夹角均为120°。
∴
, ∴
( b ⊥
. -)
(2) ∵ |k b
|>1, ∴
|k b 2
>1, ++ ++ |
∴
k2 2 b2
+ 2 b
+2k · b·
>1, + +2k· +2
∵ , 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案 7 / 87
k2-2k>0,∴k<0或k>2。17．解法一：∵A、B、D三点共线 AB与AD共线，∴存在实数k,使AB=k·AD
凛阶喪閆濱溝莅韵贼復濒寝镤剝郧。 又∵AD AB BC CD AB CB CD =(λ+4)e1+6e2. ∴有e1+e2=k(λ+4)e1+6ke2
鯤针锐輾酽鳔蛎贏恻艤枞臍谫紙銀。
( 4)k1 k 1
6 ∴有 ∴
6k 1 2
解法二：∵A、B、D三点共线 AB与BD共线，∴存在实数m,使ABmBD
又∵ BDCDCB
=(3+ λ e1e2
) +5 (3+λ)me1+5me2=e1+e2
∴有(3 )m1 1
∴m5
5m 1 2
18、解：(1) 如图①，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，
以OA、OB为邻边作 OACB，那么此人的实际速度为
OAOBOC新课标第一网 高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案 8 / 88 图① 图 ② 由勾股定理知|OC|=8 且在Rt△ACO中，∠COA=60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时. 如图②,设此人的实际速度为OD，水流速度为OA，那么游
貲骓鳶铊讹賃鋏剑儐鲰趱览蚂该墜。
速为 ADODOA ， 在Rt△ AOD中 ，
|AD|4 3,|OA|4,|OD| 3
42,cosDAO.
3
∴∠ DAO 3 . =arccos 3
故此人沿与河岸成arccos 3的夹角逆着水流方向前进，实际
3
前进的速度大小为 42公里/小时.
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