北师大版八年级第4章一次函数考点专练：两条直线平行或相交问题(二)

第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。

第四章《一次函数》同步练习题一．选择题1．若一次函数y＝kx+2的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜﹣2 D．k＞﹣22．下列选项中，坐标所表示的点在直线y＝2x上的是（）A．（1，1）B．（2，1）C．（1，2）D．（2，2）3．在函数y＝+x﹣2中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣4 B．x≠0 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞﹣4且x≠0 4．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（）A．10 B．8 C．5 D．35．已知一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过点（0，﹣3），则a的值为（）A．3 B．1 C．﹣3 D．66．直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（）A．4 B．2 C．3 D．17．正比例函数y＝﹣（k+2）x（k常数，且k≠﹣2），当x的值减少1时，函数y的值减少3，则k的值为（）A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣58．按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，若输入x的值是1，则输出y的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．29．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24 C．2D．1210．如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店选购学习资料，又到体育馆去锻炼身体，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．下列结论中：①体育馆离小明家的距离是2千米；②小明从家里到书店的平均速度与从书店到体育馆的平均速度相等；③小明在体育馆锻炼身体的时间是18分；④小明从体育馆返回家的平均速度是0.08千米/小时．正确的结论有（）A．①②B．②④C．①③D．①③④二．填空题11．一直线y＝﹣x+2关于y轴对称的直线函数表达式是．12．购买单价为每支2元的圆珠笔，总金额y（元）与铅笔数n（支）的关系式可表示为，其中，是变量．13．若函数y＝（3m﹣1）x|3m﹣2|是y关于x的正比例函数，则m＝．14．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第一、三、四象限时，则k的取值范围是．15．已知点P（x0，y）到直线y＝kx+b的距离可表示为，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离．据此进一步可得点（2，﹣1）到直线y ＝x﹣4之间的距离为．三．解答题16．画出直线y＝﹣2x+3的图象，根据图象解决下列问题：（1）直线上找出横坐标是+2的点的坐标；（2）写出y＞0时，x的取值范围；（3）写出直线上到x轴的距离等于4的点的坐标．17．琳琳通过新闻了解到，近来意大利“新冠肺炎”疫情愈发严重，决定给意大利的网友Carlo邮寄一批防疫用品．已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后再走回家．琳琳离家的距离y 与时间x之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）琳琳家离药店的距离为km．（2）琳琳邮寄物品用了min．（3）琳琳两段步行的速度分别是多少？（4）图中点P的意义是．18．已知：如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A和点B．（1）点A坐标是，点B的坐标是；（2）△AOB的面积＝；（3）当y＞0时，x的取值范围是．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4）、点B（2，0），函数y＝2x+m的图象与直线AB交于点M，与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值；（3）当点M在线段AB上时，求m的取值范围．20．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．（1）求线段AB、AC对应的函数表达式；（2）已知该手机正常使用时耗电量为10%/h，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a 的值．参考答案一．选择题1．解：∵一次函数y＝kx+2的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0．故选：B．2．解：当x＝1时，y＝2×1＝2，∴点（1，1）不在直线y＝2x上，点（1，2）在直线y＝2x上；当x＝2时，y＝2×2＝4，∴点（2，1）不在直线y＝2x上，点（2，2）不在直线y＝2x上．故选：C．3．解：由题意得，x+4≥0，x≠0，解得，x≥﹣4且x≠0，故选：C．4．解：∵若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度，∴平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，∵函数解y＝﹣2x+6﹣n的图象经过点（﹣1，﹣2），∴﹣2＝﹣2×（﹣1）+6﹣n，解得：n＝10，故选：A．5．解：在一次函数y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5，即一次函数y＝﹣x+5与y轴交点为（0，5）．∵旋转后所得的图象经过点（0，﹣3），∴旋转后的函数与y轴交点为（0，﹣3），∵一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，∴（0，5）和（0，﹣3）关于点（0，a）对称，∴a＝＝1，故选：B．6．解：直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，得到y＝kx+b+1，∵直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，∴B（0，b+1），∵△ABO的面积是：×2×（b+1）＝4，解得b＝3．故选：C．7．解：根据题意得y﹣3＝﹣（k+2）（x﹣1），即y﹣3＝﹣（k+2）x+k+2，而y＝﹣（k+2）x，所以k+2＝﹣3，解得k＝﹣5．故选：D．8．解：∵输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，∴﹣7＝﹣2×3+b，解得：b＝﹣1，∴当x＜2时，y＝﹣x﹣1，∴当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，故选：B．9．解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴（a﹣b）2+2ab＝c2，即∴（﹣c）2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．10．解：由图象可知：体育馆离小明家的距离是2千米，故①说法正确；小明从家里到书店的平均速度为：（千米/分）， 从书店到体育馆的平均速度为：（千米/分），所以小明从家里到书店的平均速度与从书店到体育馆的平均速度不相等，故②说法错误； 小明在体育馆锻炼身体的时间是：55﹣37＝18（分钟），故③说法正确；小明从体育馆返回家的平均速度是：2÷＝（千米/小时），故④说法错误．所以正确的结论有①③．故选：C ．二．填空题（共5小题）11．解：∵关于y 轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，∴直线y ＝﹣x +2关于y 轴对称的直线函数表达式为y ＝x +2．故答案为y ＝x +2．12．解：总金额y （元）与铅笔数n （支）的关系式可表示为y ＝2n ，其中y ，n 为变量，故答案为：y ＝2n ；n ，y ．13．解：∵函数y ＝（3m ﹣1）x |3m ﹣2|是y 关于x 的正比例函数，∴， 解得：m ＝1．故答案为：1．14．解：∵y ＝（2﹣2k ）x +k ﹣3经过第一、三、四象限，∴． 解得k ＜1．故答案是：k ＜1．15．解：∵已知点P （x 0，y 0）到直线y ＝kx +b 的距离可表示为， ∴点（2，﹣1）到直线y ＝x ﹣4之间的距离为：|2﹣4+1|÷＝，故答案为：．三．解答题（共5小题）16．解：直线y＝﹣2x+3过点（0，3）、（1.5，0），函数图象如右图所示；（1）当x＝2时，y＝﹣2×2+3＝﹣1，即直线上横坐标是+2的点的坐标是（2，﹣1）；（2）由图象可得，y＞0时，x的取值范围是x＜1.5；（3）当y＝4时，4＝﹣2x+3，解得，x＝﹣0.5，当y＝﹣4时，﹣4＝﹣2x+3，解得，x＝3.5，即直线上到x轴的距离等于4的点的坐标是（﹣0.5，4）或（3.5，﹣4）．17．解：（1）由图象可知，琳琳家离药店的距离为2.5km．故答案为：2.5；（2）由图象可知，琳琳邮寄物品用了：65﹣45＝20（分钟），故答案为：20；（3）从药店步行到邮局的路程为1km，时间为15min，所以速度为km/min；从邮局步行回家的路程为1.5km，时间为25min，所以速度为：（km/min）；（4）图中点P的意义是：离家45min时，琳琳到达邮局，此时她离家的距离为1.5km．故答案为：离家45min时，琳琳到达邮局，此时她离家的距离为1.5km．18．解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0）；当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3）；故答案为（﹣6，0），（0，3）；（2）△AOB的面积＝×6×3＝9，故答案为9；（3）由图象得：当y＞0时，x的取值范围是x＞﹣6，故答案为x＞﹣6．19．解：（1）∵点A（0，4）、点B（2，0），设直线AB的解析式为：y＝kx+b则，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；（2）当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①如图1，C与原点O重合，∠ACB＝90°，此时m＝0；②如图2，当∠ABC＝90°时，C（0，m），由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，∵点A（0，4），点B（2，0），∴22+42+22+m2＝（4﹣m）2，解得：m＝﹣1；综上，m的值是0或﹣1；（3）当直线y＝2x+m经过点A时，m＝4；当直线y＝2x+m经过点B时，如图3，∴2×2+m＝0，则m＝﹣4，∴当点M在线段AB上时，m的取值范围是﹣4≤m≤4．word 版 初中数学11 / 11 20．解：（1）设线段AB 的函数表达式为E 1＝k 1t +b 1，将（0，20），（2，100）代入E 1＝k 1t +b 1，可得，∴线段AB 的函数表达式为：E 1＝40t +20；设线段AC 的函数表达式为E 2＝k 2t +b 2，将（0，20），（6，100）代入E 2＝k 2t +b 2， 可得，∴线段AC 的函数表达式为：E 2＝t +20； （2）根据题意，得×（6﹣2﹣a ）＝10a ， 解得a ＝．答：a 的值为．。

第四章一次函数压轴题考点训练A ．．．．【答案】A【分析】根据y 1,y 2的图象判断出k+b 的值，然后根据k-1、所求函数图象经过的象限即可．【详解】解：根据y 1,y 2的图象可知，，且当x=1时，y 2=0，即k+b=0.∴对于函数()1y k x b =-+，有b 时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.∴符合条件的是选项.故选：A.【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关．．．．()A．（-1，0）【答案】B【分析】由题意作A求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线∵A（1，-1），∴C的坐标为（1，1连接BC，设直线BC∴123k bk b+-⎧⎨+-⎩＝＝,解得⎧⎨⎩A ．433B ．233【答案】D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段用o n AB B ∆∽AON ∆求出线段o n B B 的长度，即点【详解】解：由题意可知，2OM =，点则OMN ∆为顶角30度直角三角形，ON如图所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点∵o AO AB ⊥，iAP AB ⊥∴o iOAP B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan i AB AP =∙∴::o i AB AO AB AP=∴o i AB B ∆∽AOP∆∴o i AB B AOP∠=∠【答案】32b -≤≤【分析】根据矩形的性质求得点D 的坐标，交，则交点在线段BD 之间，代入求解即可．【详解】解：矩形ABCD 中，点A 、根据矩形的性质可得：(1,3)D 根据图像得到直线y x b =+与矩形ABCD 将点(4,1)B 代入得：41b +=，解得b 将点(1,3)D 代入得：13+=b ，解得b 由此可得32b -≤≤【答案】0k <或01k <<【分析】分别利用当直线()430y kx k k =+-≠过点值范围，据此即可求解．【详解】解：当直线y =【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和两直线交点坐标的求法，加辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形，是解题的关键．评卷人得分三、解答题13．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从别为150元/台和240元/台（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为系式，并直接写出自变量x的取值范围；值．【答案】（1）W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30；（2）有三种调运方案：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）a 的值为200元．【分析】（1）设A 城运往C 乡x 台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W ；（2）列出不等式组确定自变量x 的取值范围，在x 的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来；（3）根据A 城运往C 乡的农机降价a 元其它不变，可以得出另一个总费用与x 的关系式，根据函数的增减性，确定当x 为何值时费用最小，从而求出此时的a 的值．【详解】解：（1）设A 城运往C 乡x 台农机，则A 城运往D 乡（30﹣x ）台农机，B 城运往C 乡（34﹣x ）台农机，B 城运往D 乡（6+x ）台农机，由题意得：W ＝250x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝140x +12540，∵x ≥0且30﹣x ≥0且34﹣x ≥0，∴0≤x ≤30，答：W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30．（2）由题意得：1401254016460030x x +>⎧⎨⎩，解得：28≤x ≤30，∵x 为整数，∴x ＝28或x ＝29或x ＝30，因此有三种调运方案，即：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）由题意得：W ＝（250﹣a ）x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝（140﹣a ）x +12540，∵总费用最小值为10740元，∴140﹣a ＜0∴W 随x 的增大而减小，又∵28≤x ≤30，∴当x ＝30时，W 最小，即：（140﹣a ）×30+12540＝10740，【答案】（1）y=2x+4（2）1112-+【分析】（1）根据图像求出B的坐标，然后根据待定系数法求出直线（1）求m 的值；（2）点P 从O 出发，以每秒2个单位的速度，沿射线OA 方向运动.设运动时间为t ()s .①过点P 作PQ OA ⊥交直线AB 于点Q ，若APQ ABO ∆≅∆，求t 的值；②在点P 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得POB ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）①2或8；②2.5或4或6.4.3【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，形的性质，利用分类讨论的思想方法，是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+交于点C ．（1）求点A ，B 的坐标．（3）存在．∵线段AB在第一象限，∴这时点P在x轴负半轴．∵==OA 2,OB 4，∴222224BP OP OB x =+=+，222222420AB OA OB =+=+=，222()(2)AP OA OP x =+=-．∵222BP AB AP +=，∴222420(2)x x ++=-，解得8x =-，∴当点P 的坐标为(8,0)-时，ABP 是直角三角形；③设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即90BAP ∠= ．∵点A 在x 轴上，P 是x 轴上的动点，∴90BAP ∠≠ ．综上，当点P 的坐标为(0,0)或(8,0)-时，ABP 是直角三角形．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键．。

《第4章一次函数》一、选择题1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米,AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=﹣2x+24（0＜x＜12) B．y=﹣x+12(0＜x＜24）C．y=2x﹣24（0＜x＜12）D．y=x﹣12（0＜x＜24)3．一次函数y=mx+｜m﹣1|的图象过点（0，2)，且y随x的增大而增大,则m=（）A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1或34．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（)A．（2，﹣3），（﹣4，6) B．(﹣2,3），（4，6）C．（﹣2，﹣3)，（4，﹣6）D．（2,3），（﹣4，6）5．对于函数y=﹣x+3,下列说法错误的是（)A．图象经过点(2，2）B．y随着x的增大而减小C．图象与y轴的交点是（6，0）D．图象与坐标轴围成的三角形面积是96．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是() A．B． C．D．7．P1（x1，y1)，P2（x2，y2）是一次函数y=﹣2x+5图象上的两点,且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（)A．y1＜y2 B．y1=y2C．y1＞y2 D．y1＞y2＞08．已知一次函数y=x+m和y=﹣x+n的图象都经过点A(﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点,那么△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．69．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、(4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时,线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．810．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，点B2013的坐标为（)A．(42012×，42012） B．（24026×，24026)C．（24026×，24024）D．(44024×，44024）二、填空题11．将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是．12．函数y=中,自变量x的取值范围是．13．一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大,则m的取值范围是．14．直线y=3x﹣m﹣4经过点A（m,0），则关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是．15．已知某一次函数的图象经过点A(0，2）,B(1，3),C（a,1）三点,则a的值是．16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示,那么乙播种机参与播种的天数是天．17．经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是．18．如果直线l与直线y=﹣2x+1平行，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1,那么直线l的函数解析式为．三、解答题（共66分)19．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3)两点．(1）求k、b的值；（2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a 的值．20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0。

第4章一次函数考点专练：一次函数与不等式 综合（二）1．一次函数y ＝kx +b 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．k ＜0B ．b ＝﹣1C ．y 随x 的增大而减小D ．当x ＞2时，kx +b ＜02．如图，直线y ＝kx +b （k ＜0）经过点P （1，1），当kx +b ≥x 时，则x 的取值范围为（ ）A ．x ≤1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ＞13．直线y ＝kx +b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx +b ≤2的解集是（ ）A ．x ≤﹣2B ．x ≤﹣4C ．x ≥﹣2D ．x ≥﹣44．如图，已知函数y 1＝ax +b 和y 2＝kx 图象交于点P （﹣4，﹣2），当y 1＜y 2时，根据图象可得x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣4B ．x ＞﹣4C ．﹣4＜x ＜0D ．x ＜05．如图所示，直线l 1：y ＝x +6与直线l 2：y ＝﹣x ﹣2交于点P （﹣2，3），不等式x +6＞﹣x ﹣2的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ≥﹣2C ．x ＜﹣2D ．x ≤﹣26．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x +b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞B ．x ＜C ．x ＞3D ．x ＜37．如图，直线y ＝x +b 和y ＝kx +2与x 轴分别交于点A （﹣2，0），点B （3，0），则解集为（ ）A ．x ＜﹣2B ．x ＞3C ．x ＜﹣2或x ＞3D ．﹣2＜x ＜38．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞19．若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+2b＜0的解集为（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜6 D．x＞610．一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜2 B．x＜0 C．x＞0 D．x＞211．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（）A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤412．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＞3 C．x＜D．x＜313．直线y＝kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤014．若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞015．一次函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．16．若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞517．如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（）A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤318．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜119．如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x＞kx+b＞﹣2的解集为（）A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1或x＞2 D．﹣1＜x＜2 20．如图，直线y＝kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a ＜0时，k的取值范围是（）A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥3参考答案1．解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则k＞0，故此选项错误；B、图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，正确；C、k＞0，y随x的增大而增大，故此选项错误；D、当x＞2时，kx+b＞0，故此选项错误；故选：B．2．解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，∴﹣bx+b≥0，由图象可知b＞0，∴x﹣1≤0，∴x≤1，故选：A．3．解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，1），∴，解得∴直线为y＝﹣+1，当y＝2时，2＝﹣+1，解得x＝﹣2，由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2，故选：C．4．解：当x＞﹣4时，ax+b＜kx，即y1＜y2．故选：B．5．解：当x＞﹣2时，x+6＞﹣x﹣2，所以不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是x＞﹣2．故选：A．6．解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．故选：B．7．解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．8．解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．9．解：∵一次函数y＝kx+b经过点（3，0），且y随x的增大而减小，∴3k+b＝0，且k＜0，则﹣＝3，∵kx+2b＜0，∴kx＜﹣2b，则x＞﹣＝6，即x＞6，故选：D．10．解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故选：A．11．解：不等式ax+b≥0的解集为x≤2．故选：B．12．解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．故选：C．13．解：∵y＝kx+3经过点A（2，1），∴1＝2k+3，解得：k＝﹣1，∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3，﹣x+3≥0，解得：x≤3．故选：A．14．解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴ab＜0，故A错误，a﹣b＜0，故B错误，a2+b＞0，故C正确，a+b不一定大于0，故D错误．故选：C．15．解：从图象得到，当x＞﹣2时，y＝3x+b的图象对应的点在函数y＝ax﹣3的图象上面，∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2．故选：C．16．解：解法1，：∵一次函数y＝kx﹣b经过点（2，0），∴2k﹣b＝0，b＝2k．函数值y随x的增大而减小，则k＜0；解关于k（x﹣3）﹣b＞0，移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．解法2：∵函数y＝kx﹣b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），∴函数y＝k（x﹣3）﹣b的图象与x轴的交点坐标为（5，0），则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为x＜5．故选：C．17．解：从图象得到，当x≤3时，y＝﹣x+2的图象对应的点在函数y＝ax+b的图象上面，∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．故选：D．18．解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．19．解：把A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的坐标代入y＝kx+b，得：，解得：．解不等式组：x＞x﹣1＞﹣2，得：﹣1＜x＜2．故选：D．20．解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得b＝3．则a＝﹣，∵﹣3≤a＜0，∴﹣3≤﹣＜0，解得：k≥1．故选：C．。

第四章一次函数一、单选题1．下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．关于一次函数y=−2x+3，下列结论正确的是（ ）A．图象过点(1,−1)B．其图象可由y=−2x的图象向上平移3个单位长度得到C．y随x的增大而增大D．图象经过一、二、三象限3．设半径为r的圆的周长为C，则C＝2πr，下列说法错误的是()A．常量是π和2B．常量是2C．用C表示r为CD．变量是C和r2π4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝bx+k的图象可能正确的是（ ）A．B．C．D．5．如果M(−1,y1)，N(2,y2)是正比例函数y=kx的图象上的两点，且y1>y2．那么符合题意的k的值可能是()A．1B．1C．3D．−236．如图所示，已知点C(1，0)，直线y=−x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是()A．42B．10C．42+4D．127．函数y=|kx|(k≠0)的图象可能是（）A．B．C．D．8．我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3<x<1，则b的取值范围为（）A．0<b<3B．b>3或b<0C．0≤b≤3D．1<b<39．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B．乡村公路总长为90kmC．汽车在乡村公路上的行驶速度为65km/h D．该记者在出发后5h到达采访地10．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k<0；②a>0；③b>0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．函数y=−3x+6的图象与x轴．y轴围成的三角形面积为．12．如图，购买一种商品，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次性购买50千克这种商品要付款元．13．直线y=kx+b平行于直线y=−2x，且与y轴交于点(0，3)，则此函数的解析式y=．14．已知点A（2，y1），B（3，y2）在直线y＝﹣3x+1上，则y1与y2的大小关系为：y1y2.（填“＞”，“＝”或“＜”）15．若y=(m−1)x|m|+2是关于x的一次函数，则m等于．16．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x＋1．若无论x取何值，总有y1＞y2，则k的值是．17．杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过103与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了千米．18．如图，在平面直角坐标系中，点A1(1,1)在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y=x 的图象于点A2，交y=−x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是．三、解答题19．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．距离地面高度（千米）12345温度（℃）201482−4−10根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；(1)如果用ℎ表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与ℎ的关系式；(2)你能计算出距离地面16千米的高空温度是多少吗？x+2和y=2x﹣3的图象分别交y轴与A、B两点，两个一次函数的20．已知一次函数y=﹣12图象相交于点P．（1）求△PAB的面积；（2）求证：∠APB=90°；（3）若在一次函数y=2x﹣3的图象上有一点N，且横坐标为x，连结NA，请直接写出△NAP 的面积关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．21．已知直线y＝－4x＋4与x轴和y轴分别交于B、A两点，另一直线经过点B和点D3（11,6）．（1）求A、B的坐标；（2）证明：△ABD是直角三角形；（3）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标．22．如图，l1和l2分别是走私船和我公安快艇航行路程与时间的函数图象，请结合图象解决下列问题：（1）在刚出发时，我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安艇的速度分别是多少？（3）求出l1，l2的解析式．（4）问6分钟时，走私船与我公安快艇相距多少海里？23．如图1，某地铁车站在出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，甲、乙两人从车站入口同时下行去乘坐地铁，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，乙离地铁进站入口地面的高度ℎ（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系ℎ=−15x+6，甲离地铁进站入口地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达地铁进站入口地面．24．已知直线y=kx+b可变形为：kx−y+b=0，则点P（x0, y0）到直线kx−y+b=0的距离d可用公式d=|kx0−y0+b|1+k2计算．例如：求点P（－2，1）到直线y=x+1的距离．解：因为直线y=x+1可变形为x−y+1=0，其中k=1，b=1．所以点P（－2，1）到直线y=x+1的距离为d=|kx0−y0+b|1+k2=|1×(−2)−1+1|1+12=22=2．根据以上材料求：（1）点P（2，－1）到直线y=2x−1的距离；（2）已知M为直线y=−x+2上的点，且M到直线y=2x−1的距离为35，求M的坐标；（3）已知线段y=kx+3(−1≤x≤2)上的点到直线y=x+1的最小距离为1，求k的值．25．如图，一次函数y=x+1的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线AC与x轴正半轴交于点C，且∠BAO=45°，OC=2OB．(1)求直线AC的函数表达式；(2)点D在直线AB上且不与点B重合，点E在直线AC上．若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）；(3)已知平面内一点P(m，n)，作点P关于直线AB的对称点P1，作P1关于y轴的对称点P2，若P2恰好落在直线AC上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由．26．某企业准备为员工采购20000袋医用口罩．经市场调研，准备购买A，B，C三种型号的口罩，这三种型号口罩的价格如下表所示：型号A B C价格/（元/袋）303540已知购买B型号口罩的数量是A型号口罩的2倍，设购买A型号口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．(1)请求出y与x之间的函数表达式；(2)因为A型号口罩的数量严重不足，口罩生产厂家能提供的A型号口罩的数量不大于C型号口罩的数量，怎样购买能使该企业购买口罩的总费用最少？请求出费用最少的购买方案，并求出总费用的最小值．参考答案：1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．D 10．A 11．612．42013．−2x +314．＞15．−116．−117．25018．2×3201919．(1)t =20−6ℎ(ℎ≥0)(2)距离地面16千米的高空温度是−76℃20．（1）5；（3）当x ＞2时，△NAP 的面积S=52（x ﹣2）；当x ＜2时，△NAP 的面积S=52（2﹣x ）．21．（1）A （0,4）,B （3,0）；（3）C （14122，0）．22．（1）5海里；（2）走私船：1海里/分；公安快艇：1.5海里/分（3）y 1=t+5 ；y 2=32t ；（4）2海里；23．（1）y =−310x +6；（2）甲先到地铁进站入口地面．24．（1）455；（2）M （6，－4）或M （－4，6）；（3）k =−2+3或22x+125．(1)y=−12(2)点D的坐标为(−102,1−102)或(1，2)或(102,1+102)；(3)2m+1=n，26．(1)y=−20x+800000(2)当购买A型号口罩5000袋，B型号口罩10000袋，C型号口罩5000袋时，该企业购买口罩的总费用最少，总费用的最小值为700000元。

北师大版八上第四章一次函数专练一．选择题（共10小题）1．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．﹣3．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为（）A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝35．已知直线y＝﹣3x+m过点A（﹣1，y1）和点（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定6．下列有关一次函数y＝﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．y的值随着x值的增大而增大B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）C．当x＞0时，y＞﹣1D．函数图象经过第二、三、四象限7．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．8．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④9．已知甲、乙两人均骑自行车沿同一条路从A地出发到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是（）A．甲、乙两人均行驶了30千米B．乙在行驶途中停留了0.5小时C．甲乙相遇后，甲的速度大于乙的速度D．甲全程用了2.5小时10．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A．y＝﹣x+3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x﹣3二．填空题（共6小题）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是．13．某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为．14．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系．（14题）（15题）15．直线y＝kx+3k﹣2（k≠0）一定经过一个定点，这个定点的坐标是．16．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，当甲车到达B地时，乙车距离A地千米．三．解答题（共6小题）17．已知：一次函数y ＝（2a +4）x +（3﹣b ），根据给定条件，确定a 、b 的值．（1）y 随x 的增大而增大；（2）图象经过第二、三、四象限；（3）图象与y 轴的交点在x 轴上方．18．已知一次函数．（1）在如图中画出该函数的图象．（2）该函数的图象与x 轴交点为A ，与y 轴的交点B ，求△AOB 的面积．19．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；方案乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x （x ≥10）盒．（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y 甲（元），y 乙（元）与x （盒）之间的函数关系式．（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？20．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（﹣1，0）、交y轴于点B（0，3）．（1）求直线l对应的函数表达式；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B．（1）求A，B两点的坐标．（2）过点B作直线BC交x轴于点C，若AC＝3OA，求△BOC的面积．22．如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从A，B两地向C地（A，B，C在同一直线上）行驶过程中离B 地的距离S（千米）与行驶时间t（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题：（1）甲在行驶过程中的速度为千米/小时；乙在行驶过程中的速度为千米/小时；（2）求出在乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值．。

北师大版八年级第4章一次函数考点专练：两条直线平行或相交问题（四）1．已知一次函数y＝2x+b．（1）它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4，求b的值；（2）它的图象经过一次函数y＝﹣2x+1，y＝x+4图象的交点，求b的值．2．如图，直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P，分别与y轴交于A，B两点．（1）求点P的坐标；（2）求△ABP的面积．3．如图，直线l1的解析式为y＝﹣x+2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点C（﹣1，m），且与x轴交于点A（1）求点C的坐标及直线l2的解析式；（2）求△ABC的面积．4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，与直线OC相交于第二象限，交点为点C，且C点纵坐标为l．（1）求点A、点B的坐标；（2）若点D为直线y＝x+2上一点，且点D在第一象限，若△OCD的面积与△ABO的面积相等，求直线OC与直线OD的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点P为线段CD上一点，过点P作y轴的平行线，与直线OD、直线OC分别相交于点E、点F，若PE＝2EF，求点P的坐标．5．如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．（1）求P点的坐标；（2）求△APB的面积；（3）x轴上存在点T，使得S△ATP ＝S△APB，求出此时点T的坐标．6．如图，一次函数y＝（m+1）x+的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为．（1）求m的值及点A的坐标；（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝3OA，求直线BP的函数表达式．7．如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．（1）求直线l1的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，S△MAB ＝S四边形PAOC．若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与，轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C（﹣1，0）、D（﹣2，m）．（1）求D点坐标；（2）求一次函数y＝kx+b的函数解析式；（3）求△ABD的面积．9．已知一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x+4平行，且经过点（1，2）．（1）求k，b的值；（2）判断点P（2，1）是否在这个一次函数y＝kx+b的图象上10．如图，直线l 1的函数解析式为y ＝﹣2x +4，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 、B ，直线l 1、l 2交于点C ．（1）求直线l 2的函数解析式；（2）求△ADC 的面积；（3）在直线l 2上是否存在点P ，使得△ADP 面积是△ADC 面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝﹣，∴S＝|b|•|﹣|＝•|b2|＝4，∴b＝±4；（2）解，得，把x＝﹣1，y＝3代入y＝2x+b，得b＝5．2．解：（1）由题意得：，解得，故点P的坐标为（，﹣）；（2）对于y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1）；对于y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，故点B（0，﹣2），则AB＝1﹣（﹣2）＝3，△ABP的面积＝×AB×x P＝×3×＝．的解析式为y＝﹣x+2经过点C（﹣1，m），3．解：（1）∵直线l1∴m＝1+2＝3，∴C（﹣1，3），设直线l的解析式为y＝kx+b，2∵经过点D（0，5），C（﹣1，3），∴，解得，的解析式为y＝2x+5；∴直线l2（2）当y＝0时，2x+5＝0，解得x＝﹣，则A（﹣，0），当y＝0时，﹣x+2＝0解得x＝2，则B（2，0），△ABC的面积：×（2+）×3＝．4．解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象交x轴、y轴分别于点A、B两点，∴令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2）；（2）∵C点纵坐标为l，把y＝1代入y＝x+2得，x＝﹣2，∴C（﹣2，1），设直线OC的解析式为y＝kx，∴﹣2k＝1，∴k＝﹣，∴直线OC的解析式为y＝﹣x；设点D（m，m+2），∵△OCD的面积与△ABO的面积相等，∴×4×2＝（2+m）（m+2+1）﹣﹣m×（m+2），解得，m＝2，∴D（2，3），∴直线OD的函数关系式为y＝x；（3）设P（n，n+2），∴E（n，n），F（n，﹣n），∵PE＝2EF，∴n +2﹣n ＝2×（n +n ），∴n ＝，∴点P 的坐标（，）．5．解：（1）由，解得，所以P （﹣1，﹣1）；（2）令x ＝0，得y 1＝1，y 2＝﹣2∴A （0，1），B （0，﹣2），则 S △APB ＝（1+2）×1＝；（3）在直线l 1：y 1＝2x +1中，令y ＝0，解得x ＝﹣，∴C （﹣，0），设T （x ，0），∴CT ＝|x +|，∵S △ATP ＝S △APB ，S △ATP ＝S △ATC +S △PTC ＝•|x +|•（1+1）＝|x +|，∴|x +|＝，解得x ＝1或﹣2，∴T （1，0）或（﹣2，0）．6．解：（1）当x ＝0时，y ＝（m +1）x +＝，则B （0，），所以OB ＝， ∵S △OAB ＝，∴×OA ×OB ＝，解得OA ＝1，∴A （﹣1，0）；把点A （﹣1，0）代入y ＝（m +1）x +得﹣m ﹣1+＝0，∴m ＝；（2）∵OP ＝3OA ，∴OP ＝3，∴点P 的坐标为（3，0），设直线BP 的函数表达式为y ＝kx +b ，把P （3，0）、B （0，）代入得，解得， ∴直线BP 的函数表达式为y ＝﹣x +．7．解：（1）∵点P （﹣1，a ）在直线l 2：y ＝2x +4上， ∴2×（﹣1）+4＝a ，即a ＝2，则P 的坐标为（﹣1，2），设直线l 1的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），把点B （1，0）和P （﹣1，2）代入得，解得：． ∴l 1的解析式为：y ＝﹣x +1．（2）∵直线l 1与y 轴相交于点C ，∴C 的坐标为（0，1），又∵直线l 2与x 轴相交于点A ，∴A 点的坐标为（﹣2，0），则AB ＝3，而S 四边形PAOC ＝S △PAB ﹣S △BOC ，∴S 四边形PAOC ＝＝，设M （0，t ），∵S △MAB ＝S 四边形PAOC ．∴＝， ∴t ＝±，∴在y 轴上存在点M （0，）或（0，﹣）使S △MAB ＝S 四边形PAOC ．8．解：（1）∵点D （﹣2，m ）在一次函数y ＝x ﹣2上， ∴m ＝﹣2﹣2＝﹣4，∴点D的坐标为（﹣2，﹣4）；（2）将C（﹣1，0），D（﹣2，﹣4）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝4x+4；（3）将x＝0代入y＝x﹣2得y＝﹣2，∴A（0，﹣2），将x＝0代入y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∴AB＝6，∵D（﹣2，﹣4），＝AB•|x D|＝＝6．∴S△ABD9．解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+4平行，∴k＝﹣3，∵直线y＝﹣3x+b过点（1，2），∴1×（﹣3）+b＝2，∴b＝5；（2）由（1）得一次函数的表达式为y＝﹣3x+5，把x＝2代入得，y＝﹣3×2+5＝﹣1，∴点P（2，1）不在一次函数y＝﹣3x+5的图象上．10．解：（1）设直线l的函数解析式为y＝kx+b，2将A（5，0）、B（4，﹣1）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线l的函数解析式为y＝x﹣5．2（2）联立两直线解析式成方程组，，解得：，∴点C的坐标为（3，﹣2）．当y＝﹣2x+4＝0时，x＝2，∴点D的坐标为（2，0）．∴S＝AD•|y C|＝×（5﹣2）×2＝3．△ADC（3）假设存在．∵△ADP面积是△ADC面积的2倍，∴|y P|＝2|y C|＝4，当y＝x﹣5＝﹣4时，x＝1，此时点P的坐标为（1，﹣4）；当y＝x﹣5＝4时，x＝9，此时点P的坐标为（9，4）．上存在点P（1，﹣4）或（9，4），使得△ADP面积是△ADC面积的综上所述：在直线l22倍．。

新版北师大版八年级数学上册第4章《一次函数》同步练习及答案—4.3一次函数的图像（2）一、选择题1.函数y =kx 的图象经过点P （3，－1），则k 的值为（ ）A.3B.－3C.31D.－31 2.下列函数中，图象经过原点的为（ ）A.y =5x +1B.y =－5x －1C.y =－5xD.y =51 x 3.若一次函数y =kx +b 中，y 随x 的增大而减小，则（ ）A.k ＜0,b ＜0B.k ＜0,b ＞0C.k ＜0,b ≠0D.k ＜0,b 为任意数4.当x =5时一次函数y =2x +k 和y =3kx －4的值相同，那么k 和y 的值分别为（ ）A.1,11B.－1,9C.5,11D.3,35.若直线y =kx +b 经过A （1，0），B （0，1），则（ ）A.k =－1,b =－1B.k =1,b =1C.k =1,b =－1D.k =－1,b =1二、填空题6.把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的______和______,在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的______.7.作函数图象的一般步骤为______，______，______；一次函数的图象是一条______.8.直线y =3－9x 与x 轴的交点坐标为______，与y 轴的交点坐标为______.9.一次函数y =5kx －5k －3,当k =______时，图象过原点；当k ______时，y 随x 的增大而增大.10.在一次函数y =2x －5中，当x 由3增大到4时，y 的值由______；当x 由－3增大到－2时，y 的值______.三、解答题11.在同一直角坐标系中，画出函数y =51x ,y =x ,y =5x 的图象，然后比较哪一个与x 轴正方向所成的锐角最大，由此你得到什么猜想？再选几个图象验证你的猜想.12.已知直线y =(5－3m )x +32m －4与直线y =21x +6平行，求此直线的解析式.13.作出函数y =21x －3的图象并回答： （1）当x 的值增加时，y 的值如何变化？（2）当x 取何值时，y ＞0,y =0,y ＜0.14.作出函数y =34x －4的图象，并求它的图象与x 轴、y 轴所围成的图形的面积.参考答案一、1.D 2.C 3.D 4.A 5.D二、6.横坐标，纵坐标，图象7.列表，描点，连线，直线8.（31，0），（0，3） 9.－53，>0 10.由1增大到3，由－11增大到－9三、11.略 12.y =21x －3 13.(1)增加 （2）x >6时，y >0,x =6时y =0,x <6时y <014.图略 6学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 励志名言：1、泰山不是垒的，学问不是吹的。

20222023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第4章《一次函数》知识点01：函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.知识点02：一次函数的相关概念x y x y x y x y x x a y b b a 知识互联网知识导航一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.知识点03：一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.细节剖析：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）细节剖析：理解、对一次函数的图象和性质的影响：y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =k y kx b =+y kx =b b b y kx b =+y kx=k b y kx b =+（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行； ，且与重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.知识点04：用函数的观点看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围考点01：一次函数图象与几何变换1．（2021春•大同期末）对于一次函数y ＝﹣2x +4，下列结论正确的是（ ）k y kx b =+αb y k b y kx b =+1l 11y k x b =+2l 22y k x b =+12k k ≠⇔1l 2l 12k k =12b b ≠⇔1l 2l 12k k =12b b =⇔1l 2l x a =y b =x y ax b +a x y ax b =+y ax b =+x y x y 1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b x 11y a x b =+22y a x b =+11y a x b =+22y a x b =+x ax b +a x y ax b =+y ax b =+x y 考点提优练A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y22．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6 B．y＝﹣3x﹣6 C．y＝﹣3x+2 D．y＝﹣3x﹣23．（2021秋•溧水区期末）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为．4．（2020秋•盱眙县期末）将函数y＝3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为．5．（2022春•宁陵县期末）因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．（1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：；（2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．6．（2021•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象并求该一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，求出m的取值范围．7．（2022秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的＜l1，l2＞双反图形．例如：点P（1，2）的＜x轴，y轴＞双反图形是点P'（﹣1，﹣2）．（1）点Q（3，﹣2）的＜x轴，y轴＞双反图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，3），直线m经过点（﹣1，﹣1）．①当t＝﹣2，且直线m与y轴平行时，点C的＜x轴，m＞双反图形点C'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的＜x轴，m＞双反图形上只存在两个与x轴的距离为1的点，直接写出t的取值范围．8．（2017秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：（1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；（2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是；（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．考点02：待定系数法求一次函数解析式9．（2022•灞桥区校级模拟）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴距离为4，则直线OM的表达式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣10．（2021秋•襄都区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过B，C两点的中点，则直线l的表达式为（）注：点A（x A，y A），点B（x B，y B）两点的中点坐标公式是（，）．A．y＝﹣2x+6 B．y＝﹣2x+8 C．y＝2x+8 D．y＝﹣x+611．（2021秋•无锡期末）当光线射到x轴进行反射，如果反射的路径经过点A（0，1）和点B（3，4），则入射光线所在直线的解析式为．12．（2021秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣1，2），C（3，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为．13．（2022秋•市中区期中）如图，已知点A（6，0）、点B（0，4）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）着C为直线AB上一动点，当△OBC的面积为3时，求点C的坐标．14．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系内有三点A（0，4），B（﹣3，1），C（1，6）．（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）．（2）判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由．15．（2022•陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …输出y…﹣6 ﹣2 2 6 16 …根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．考点03：一次函数与一元一次方程16．（2019秋•宁德期末）如图，已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝417．（2021秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为．18．（2021春•呼和浩特期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y＝x的图象相交于点M（a，），则关于x的方程（k﹣）x＝b的解为x＝．19．（2021春•汉阴县期末）如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝．20．（2017秋•芷江县校级月考）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？21．（2021秋•永登县校级期中）已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图（1）求k的值；（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）；（3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．考点04：根据实际问题列一次函数关系式22．（2021春•遂宁期末）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（）A．y＝20﹣2x B．y＝20﹣2x（5＜x＜10）C．y＝10﹣0.5x D．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）23．（2013秋•岱岳区期末）油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q（升）与流出的时间t（分）间的函数关系式是（）A．Q＝20﹣5t B．Q＝t+20 C．Q＝20﹣t D．Q＝t24．（2021•饶平县校级模拟）一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为（不需要写出自变量取值范围）25．（2021春•漳平市月考）某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个零件，增加收入1.5元．写出该工人一天的收入y（元）与他生产的零件x（个）的函数关系式．26．（2019春•城固县期末）一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？27．（2018秋•桐城市期末）已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．考点05：一次函数的应用28．（2022春•镇平县月考）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（）A．两车同时到达乙地B．轿车行驶1.3小时时进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等29．（2022秋•定远县校级月考）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12）B．y＝﹣x+6（4＜x＜12）C．y＝2x﹣12（0＜x＜12）D．y＝x﹣6（4＜x＜12）30．（2022秋•罗湖区校级期中）小刚从家出发步行去学校，几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打给爸爸，挂断后爸爸立即跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家，而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为m/min．31．（2021秋•长清区期末）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（填序号）．①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒；④乙到达终点时，甲距离终点还有80米．32．（2021秋•九龙坡区校级月考）某自动贩卖机售卖A、B两种盲盒，B种盲盒的价格比A种盲盒价格的6倍少60元，该贩卖机存储的A种盲盒不低于22个，B种盲盒的数量不少于A种的2倍，且最多可存储两种盲盒100个，某天上午售卖后，工作人员及时补货，将售卖机装满，该天下午，由于系统bug，B种盲盒的价格变为原来A种的价格，而A种的价格变为原来价格的5倍少50元后再打了个六折，下午A种盲盒的销量变为上午的2倍，而B种盲盒的销量不变，结果上午的销售额比下午多390元，其中两种盲盒的价格均为整数，则下午贩卖的盲盒的销售额最多可为元．33．（2022春•沙坪坝区校级月考）“最是一年春好处”，小墩和小融约定好从各自家里出发，自驾去近郊踏青赏花，小墩家、小融家以及他们的目的地在同一条直线上，小墩从家出发1小时之后，小融才从家出发，先到的人在目的地等待，他们二人与小墩家的距离y（千米）与小墩行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）小墩的速度为千米/小时，小融的速度为千米/小时；（2）当小融追上小墩时，他们与目的地的距离为多少千米？（3）小融从家里出发后，当两人相距10千米时，一辆花车沿同一路线从后面追上他们其中一人，已知这辆花车的速度为90千米/小时，当花车继续前行追上前方另一人时，求前一个被花车追上的人此时与目的地的距离．34．（2022•无棣县一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v1、v2（单位：km/h，且v1＞2v2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系．（1）甲乙两地相距km；点A实际意义：；（2）求a，b的值；（3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？35．（2021秋•锡山区期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返干端点B、A之间，他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．【观察】请直接写出：当x＝20时，y的值为；当x＝40时，y的值为；【发现】兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）①请直接写出：a＝；②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象，标出关键点的坐标；【拓展】设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是（直接写出结果）．考点06：一次函数综合题36．（2020秋•福田区校级期中）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④37．（2020•深圳模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+38．（2022•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E 是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为．39．（2019•站前区校级一模）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．40．（2022秋•定远县校级月考）如图，已知直线y＝kx+b经过点B（1，4），与x轴交于点A（5，0），与直线y＝2x﹣4交于点C（3，m）．（1）求直线AB的函数表达式及m的值；（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式组2＜kx+b＜4的解集：；（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQ∥y轴交直线y＝2x﹣4于点Q，若点C到线段PQ的距离为1，求点P的坐标和点Q的坐标．41．（2022秋•南山区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求点P坐标．（4）在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．42．（2022秋•天桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），与l1交于点C（2，m）．（1）求出直线l2的函数关系式；（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1、l2交于点M、N，①当点M在点N的上方，且满足MN＝OB时，请求出点M与点N的坐标；②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．。

北师大版数学八年级上同步考点训练4-2 一次函数与正比例函数一次函数与正比例函数一、简介在数学中，一次函数和正比例函数是初中数学的重要内容。

本文将介绍北师大版数学八年级上册同步考点训练中涉及的一次函数和正比例函数的相关知识点和训练题，帮助读者更好地理解和掌握这两种函数。

二、一次函数1. 什么是一次函数一次函数是指函数的最高次数为一的函数，可以表示为y=ax+b的形式，其中a和b为常数，且a不等于零。

其中，a称为一次函数的斜率，b称为一次函数的截距。

2. 一次函数的性质一次函数具有以下性质：- 斜率为a，代表单位自变量的变化导致因变量的改变量。

- 斜率越大，图像越陡峭；斜率为负数时，图像下降；斜率为正数时，图像上升。

- 截距为b，代表函数与y轴的交点，即x=0时的函数值。

3. 一次函数的图像及应用一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。

在实际应用中，一次函数可以用来描述线性关系，如速度和时间的关系、距离和时间的关系等。

三、正比例函数1. 什么是正比例函数正比例函数是指函数的因变量与自变量之间成正比的函数。

可以表示为y=kx的形式，其中k为常数。

2. 正比例函数的性质正比例函数具有以下性质：- 自变量与因变量之间的比例关系恒定。

- 当x增大时，y也相应增大；当x减小时，y也相应减小。

- 图像经过原点(0,0)。

3. 正比例函数的图像及应用正比例函数的图像是经过原点的一条直线，斜率是常数k。

正比例函数常用于描述比例关系，比如人的身高与体重的关系、物体的质量和体积的关系等。

四、数学八年级上同步考点训练题1. 一次函数的应用题目一：已知一次函数y=2x+3，求当x=5时的函数值y。

解答：将x=5代入函数中，得到y=2*5+3=13。

所以当x=5时，y的值为13。

题目二：一辆汽车每小时行驶70公里，求它行驶5个小时的总距离。

解答：由题目可知，行驶5个小时的总距离是汽车的速度乘以时间。

所以总距离为70*5=350公里。

1981-4-4第四章一次函数关系式及一次函数应用专题培优训练1.若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

2.一次函数的图形与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0），求解析式3.已知：一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.（1）求一次函数的表达式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后图象与x轴的交点坐标.4.如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y(升）与行驶时间x（小时）之间的关系，回答：（1）汽车行驶前，油箱有油升；（2）汽车最多能行驶小时，每小时耗油升；（3）求油箱里所剩余油y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系，并且确定自变量x的取值范围。

5.已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P(升)与耗油时间t(小时)之间的函数关系式为6.为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：设购买白杨树苗x 棵，到两家林场购买所需费用分别为甲y （元）、乙y （元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；（2） 分别求出甲y 、乙y 与x 之间的函数关系式；7.英才中学校办工厂生产了一种新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出产品，可获利3000元，然后将该产品的成本和已经获得利润进行在投资，到学期结束，再投资又可以获利4.8；方案二：在学期结束时售出该产品，可获利3594元，但需要付出0.2℅的存储费，设成本为x 元，方案一获利为1y 元，方案二获利为2y 元（1）分别求出，与x 的函数关系式（2）若成本为8000元，两种方案分别获利多少元？（3）当该产品成本多少时，两种方案获利一样多？8.某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱中，供应这种纸箱有两种方案可供选择:方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 001y 2y方案二：由蔬菜加工厂租凭机器自己加工制作这种纸箱，机器租凭费按生产纸箱数收费，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，没加工一个纸箱还需要成本费2.4元。

北师大版八年级第4章一次函数考点专练：两条直线平行或相交问题（二）1．如图，直线l 1：y ＝2x +1与x 轴、y 轴交于点D 、A ，直线l 2：y ＝mx +4与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，两直线相交于点P （1，b ）．（1）求b ，m 的值；（2）求S △PDC ﹣S △PAB 的值．（3）垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点M ，N ，若线段MN 长为2，求a 的值．2．如图，直线l 1与y 轴交于点A （0，3），直线l 2：y ＝﹣x ﹣2交y 轴于点B ，交直线l 1点P （﹣3，t ）．（1）求直线l 1的函数解析式；（2）过动点D （a ，0）作x 轴的垂线与直线l 1、l 2分别交于M 、N 两点，且MN ≤3． ①求a 的取值范围；②若S △ANB ＝2S △APN ，直接写出a 的值．3．如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线n：y＝kx（k≠0）与直线m在第一象限交于点P，且BP＝BO．（1）求点P的坐标；（2）求直线n的解析式（又叫关系式）．4．如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．5．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD 与直线AB交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），点C的横坐标为4．（1）直线CD的函数表达式；（2）求△BCD的面积；（3）点P在坐标平面内，PA⊥PB，且S△PBD ＝S△PCD，请直接写出点P的纵坐标的值．6．如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（2，0）和点B，直线y＝x+1分别与x 轴、y轴交于点C和点D，两直线交于第一象限内的点E，并且点D为CE的中点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）过点D作DF∥x轴，交直线y＝kx+b于点F，则△DEF的面积为．7．已知直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，且过点（1，﹣3）（1）求这个一次函数的关系式？（2）画出函数图象．（3）该函数图象与两个坐标轴围成的三角形的面积？8．【阅读材料】在平面直角坐标系中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是如：求点P（1，2）到直线y＝﹣x+1的距离d解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3所以【解决问题】已知直线l1的解析式是y＝x+1（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是；（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是，请求出直线l2的解析式．9．如图，直线AC的解析式y＝x+3与x轴交于点A，且点C的纵坐标为6，直线y＝kx+9经过点C，且与x轴交于点B；（1）求直线BC的解析式；（2）点P在线段AC上，且不与点A、C重合，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC与点E，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求出d与t函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段DB上取一点F，使得AB＝2DF，延长PF交CB的延长线于点G，若△PBG的面积为9，连接CF，求CF的长．10．已知直线y1＝kx+2n﹣1与直线y2＝（k+1）x﹣3n+2相交于点M．M的坐标x满足﹣3＜x＜7，求整数n的值．参考答案1．解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，∴b＝2×1+1＝3；∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上，∴3＝m+4，∴m＝﹣1．（2）∵直线l1：y＝2x+1与x轴、y轴交于点D、A，∴D（﹣，0），A（0，1），∵直线l2：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C、B，∴C（4，0），B（0，4），∴S△PDC ﹣S△PAB＝DC•y P﹣AB•x P＝×（+4）×3﹣（4﹣1）×1＝；（3）当x＝a时，y C＝2a+1；当x＝a时，y D＝4﹣a．∵CD＝2，∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2，解得：a＝或a＝．2．解：（1）∵点P（﹣3，t）在直线直线l2上，∴t＝﹣（﹣3）﹣2＝1，即P（﹣3，1），设直线l1解析式为y＝kx+b，把A（0，3）、P（﹣3，1）代入可得，解得，∴直线l1的函数表达式为；（2）①∵MN∥y轴，∴M、N的横坐标为a，设M、N的纵坐标分别为y m和y n，∴y m＝a+3，y n＝﹣a﹣2，∴M、N两点的坐标分别为：，N（a，﹣a﹣2）ⅰ当点D在点P右侧时，点M在点N的上方∴解得ⅱ当点D在点P左侧时，点M在点N的下方∴解得综上a的取值范围是：且a≠﹣3；②∵直线l2：y＝﹣x﹣2交y轴于点B，∴B（0，﹣2），当点D在点P右侧时，点M在点N的上方，∵S△ANB ＝2S△APN，∴BN＝2PN，∵P（﹣3，1），∴N的横坐标为﹣2，∴D（﹣2，0），∴a＝﹣2；当点D在点P左侧时，点M在点N的下方，∵S△ANB ＝2S△APN，∴PB＝PN，∵B（0，﹣2），P（﹣3，1），∴N的横坐标为﹣6，∴D（﹣6，0），∴a＝﹣6（舍去）∴a＝﹣2．3．解：（1）设点P（m，﹣m+1），A（2，0），B（0，1），∴BO＝1，∵BP＝BO，∴BP＝1，∴m2+（﹣m）2＝1，∴m＝，∵点P在第一象限内，∴m＝，∴P（，）；（2）将点P（，）代入y＝kx，∴k＝，∴y＝x；4．解：（1）∵点A的坐标为（2，0），∴AO＝2，在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，即22+OB2＝（）2，∴OB＝3，∴B（0，3）；（2）∵△ABC的面积为4∴4＝BC×OA，即4＝BC×2，∴BC＝4，∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，∴C（0，﹣1），的解析式为y＝kx+b，设l2则，解得，所对应的函数关系式为y＝x﹣1．直线L25．解：（1）C点是两直线的交点，∴C（4，3），设直线CD的解析式为y＝kx+b，，∴，∴CD直线的解析式为y＝x﹣2；（2）直线y＝﹣x+9与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，9），＝×11×4＝22；∴S△BCD（3）或．6．解：（1）过E作EH⊥y轴于H把x＝0代入y＝x+1，得y＝1，∴D的坐标为（0，1），∴OD＝1，把y＝0代入y＝x+1，得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵点D为CE的中点，∴△COD≌△EHD，∴EH＝OC＝1，DH＝OD＝1，∴E（1，2），把A，E点的坐标代入y＝kx+b中，得，解得：，∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣2x+4；（2）把y＝0代入y＝﹣2x+4，得x＝2，∴A（2，0），∴AC＝3，∵D为CE的中点，DF∥x轴，∴F为EA的中点，∴DF＝AC＝，∵E（1，2），D的坐标为（0，1），∴E到DF的距离为1，∴△DEF的面积＝××1＝，故答案为：．7．解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，∴k＝2，∵直线y＝2x+b过点（1，﹣3），∴2+b＝﹣3，∴b＝﹣5，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；（2）∵y＝2x﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣5；当y＝0时，x＝2.5，过（0，﹣5）、（，0）画直线，得到函数y＝2x﹣5的图象，如图所示：（3）如图，该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是××5＝．8．解：（1）∵直线l1的解析式是y＝x+1，将直线解析式变形为x+2y﹣2＝0，∴A＝1，B＝2，C＝﹣2，∴点P（1，﹣2）到直线l1的距离是d＝＝＝．故答案为；（2）∵直线l2与直线l1平行，直线l1的解析式是y＝x+1，∴可设直线l2的解析式为y＝x+b，即x+2y﹣2b＝0，在直线l1上取一点P（0，1），则点P到直线l1的距离是，∴＝，∴|2﹣2b|＝5，解得b＝﹣或，∴直线l2的解析式为y＝x﹣或y＝x+．9．解：（1）∵直线AC的解析式y＝x+3与x轴交于点A，且点C的纵坐标为6，∴x+3＝6，∴x＝4，即C坐标（4，6），把C（4，6）代入y＝kx+9，得4k+9＝6解得k＝﹣，即y＝﹣x+9∴直线BC的解析式为y＝﹣x+9．（2）由题意：P（t，t+3），E（t，﹣t+9），∴d＝PE＝﹣t+9﹣t﹣3＝﹣t+6，当y ＝0，x +3＝0，x ＝﹣4，∴A （﹣4，0），∵点P 在线段AC 上，且不与点A 、C 重合，∴﹣4＜t ＜4，∴d 与t 函数关系式为d ═﹣t +6 （﹣4＜t ＜4） （3）由题意得P （t ，t +3），D （t ，0），∵AB ＝2DF ＝16，即DF ＝8，∴F （t +8，0），∴直线PF 为y ＝﹣（t +3）x +（t +）（t +8）， ∴与直线BCy ＝﹣x +9的交点G 为（t +16，﹣t ﹣3）， ∴S △PBG ＝（12﹣t ﹣8）（t +3+t +3）＝9，解得：t ＝±2，∴F （10，0），或（6，0），∴CF ＝＝6或CF ＝＝2．10．解：依题意得：由 y 1＝y 2，得：kx +2n ﹣1＝（k +1）x ﹣3n +2， 解得：x ＝5n ﹣3，∵﹣3＜x ＜7，∴﹣3＜5n ﹣3＜7，解得：0＜n ＜2，又n 是整数，∴n ＝1．。

一次函数表达式的确定
一、利用两点坐标确定
例1 直线l 过A （0，-1），B （1，0）两点，求直线l 的表达式．
解：设函数表达式为y=kx+b ，将（1，0），（0，-1）分别代入表达式，得⎩
⎨⎧-==+,1,0b b k 解得⎩
⎨⎧-==.1,1b k 所以直线l 的表达式为y=x-1． 二、利用直线平行确定
例2 直线l 与y=-2x-1平行，且过点（1，3），求直线l 的表达式．
解：因为直线l 与y=-2x-1平行，所以设所求直线l 的表达式为y=-2x+b.
又直线l 过点（1，3），所以3=-2×1+b，解得b=5.
所以直线l 的表达式为y=-2x+5．
三、利用表格确定
例3 某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：
设加工甲种配件的人数为x ，加工乙种配件的人数为y ，求y 与x 之间的函数表达式． 解：因为加工甲种配件的人数为x ，加工乙种配件的人数为y ，所以加工丙种配件的人数为（20-x-y ）人.
因为厂方计划由20个工人一天内加工完成，所以16x+12y+10（20-x-y ）=240，则
y=-3x+20.
四、利用性质确定
例4 已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的表达式可以为．
解析：设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）.
因为一次函数的图象经过点（0，1），所以b=1.
因为y随x的增大而增大，所以k＞0.
当k=1时，该一次函数表达式为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．
2
2。

一次函数复习考点十式正比例函数表达式：kx y =。

一次函数表达式：b kx y +=。

待定系数法步骤：（1）设表达式kx y =或b kx y +=。

（2）将函数上的点代入表达式中。

（3）解方程，求出k 和b 。

（4）将k 和b 的值代入表达式kx y =或b kx y +=。

考点一:若A ()00,y x 满足一次函数b kx y +=，则有b kx y +=00。

【例一】 判断下列点是否在一次函数12+=x y 上。

（1）()3,1 (2) ()3,2- (3) ()0,1 (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21【例二】若正比例函数的图象经过点()2,1-，则这个函数图像必经过点（ ）A ．()2,1- B. ()2,1-- C. ()2,1 D. ()1,2-考点二:若一次函数b kx y +=，交于x 轴和y 轴一点，则在x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,kb ，在y 轴的交点为()b ,0。

【例三】一次函数12-=x y 的图像与坐标轴的交点坐标是 。

【例四】一次函数x y 311--=与坐标轴所围成的三角形的面积 。

考点三：已知正比例函数kx y =是一条过原点的直线，所以一点画图，一次函数b kx y +=需要两点确定一条直线，所以两点画图。

【例五】在同一直角坐标系中，画出正比例函数x y 31-=和一次函数131+-=x y 。

【例六】在同一直角坐标系中，画出一次函数221+-=x y 和一次函数23+=x y 。

考点四：若正比例函数kx y =，当0>k 时，则函数位于一、三象限，单调递增，y 随着x 值的增大而增大；当0<k 时，则函数位于二、四象限，单调递减，y 随着x 值增大而减小。

【例七】正比例函数()x k y 2-=，单调递减，则k 的取值范围 。

【例八】正比例函数x y 52-=，若21x x <，则1y 2y 。

考点五：若一次函数b kx y +=，①0,0>>b k 时，函数位于一、二、三象限，函数单调递增； ②0,0<>b k 时，函数位于一、三、四象限，函数单调递增； ③0,0><b k 时，函数位于一、二、四象限，函数单调递减； ④0,0<<b k 时，函数位于二、三、四象限，函数单调递减。

第四章一次函数中有关角度问题专题训练北师大版2024—2025学年八年级上册一、一次函数与角平分线例1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），CB平分∠ACP，则直线PC的解析式为（）A．y＝x﹣3B．y＝﹣x﹣3C．y＝x﹣3D．y＝﹣x﹣3变式1．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（）A．B．C．D．变式2．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为．变式3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为，点D的坐标为．二、一次函数中角度相等问题例2.如图1，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB．点Q为直线AB上一动点，当∠BCQ＝∠BAO时，求点Q的坐标．变式1.如图，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝．变式2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．（1）k的值为；（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是．变式3.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．变式4.平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y ＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD 为底边的等腰三角形时，求E点坐标；（2）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标．三、一次函数中的45度角例3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处．求：在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得∠ABN＝45°，请直接写出N点坐标．变式1.如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y 轴于E．（1）△OED的面积为；（2）若∠FOG＝45°，则矩形OACB的面积是．变式2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C 的直线与x轴交于点B（8，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）如图（1），点G是线段BC上一动点，当G点距离y轴3个单位时，求△ACG的面积；（3）如图（2），已知D为AC的中点，点O关于点A的对称点为点Q，点P在直线BC 上，当∠DQP＝45°时，求点P的坐标．变式3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D．（1）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标；（2）如图2，直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，请直接写出点Q的坐标．变式4.如图1，直线AB交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，OA＝OB，．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，直线交直线AB于点C，D是AB上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值；（3）在（2）条件下，P在直线OC上，且∠APO＝45°，求点P的坐标．四、一次函数中的其它度角例4.如图，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP＝90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（）A．3≤m≤4B．2≤m≤4C．0≤m≤D．0≤m≤3变式1.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（）A．3B．C．4D．变式2.如图，已知直线MN：y＝x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（）A．45°或135°B．30°或150°C．60°或120°D．75°或165°五、一次函数中倍角和角度和问题例5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx+的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）．（1）求点A的坐标及直线l2的表达式；（2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．变式1.如图，已知直线AB：y＝kx+b与x轴交于点，与y轴交于点C（0，3），且与直线y＝x相交于点A．（1）如图1，点D在直线y＝x上，且横坐标为2，点Q为射线BC上一动点，若，请求出点Q的坐标．（2）如图2，过点A作y轴的垂线段AE，垂足为E，M为y轴上一点，且∠MAE＝∠OAB，请直接写出直线AM的表达式．变式2.平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y ＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求△BCA的面积；（2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD 为底边的等腰三角形时，求E点坐标；（3）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标．变式3.如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且OC＝3OB．（1）求直线BC的表达式；（2）点P是线段BC上一动点，点E是直线AB上一动点，点F为x轴上一动点，过P 作PO⊥AB于Q，连接PE、EF，当时，求PE+EF的最小值；（3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线AB上一动点，当∠QPM＝∠ACB+∠BAC 时，直接写出所有符合条件的点M的坐标．变式2.如图，直线l：y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y轴的右侧作正方形AOBC，且S△AOB＝8．（1）求直线l的解析式；（2）如图1，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE．①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式；②当AE+CE最小时，求E点的坐标；③如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，求出点H的坐标．。

第四章一次函数第1题直线y=2x-4与y轴的交点坐标是( )A.(4,0)B.(0,4)C.(-4,0)D.(0,-4)第2题正比例函数y=2x的大致图象是( )第3题下列图象不表示y是x的函数的是( )第4题下列函数:(1)y=3πx;(2)y=8x-6;(3)y=;(4)y=-8x;(5)y=5x2-4x+1中,一次函数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个第5题已知一次函数y=kx-1,若y随x的增大而增大,则它的图象经过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限第6题函数y=的自变量x的取值范围是( )A.x≥-2B.x≥-2且x≠0C.x≠0D.x>0且x≠-2第7题已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=-2x+1图象上的两点,则a与b的大小关系是( )A.a>bB.a=bC.a<bD.以上都不对第8题甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒,在跑步过程中,甲乙两人之间的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的函数关系如图4-5-1所示,给出以下结论:①a=8,②b=92,③c=123,其中正确的是( )图4-5-1A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③第9题小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店,在书店看了10分钟的书后,用15分钟返回家,下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是( )第10题一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0,b≠c)在同一坐标系中的图象可能是( )第11题直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位,则平移后直线与y轴的交点坐标为________.第12题若点M(k-1,k+1)关于y轴的对称点在第四象限内,则一次函数y=(k-1)x+k的图象不经过第________象限.第13题放学后,小明骑车回家,他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图4-5-2所示,则小明的骑车速度是________千米/分钟.图4-5-2第14题如图4-5-3,三个正比例函数的图象分别对应表达式:①y=ax;②y=bx;③y=cx,将a,b,c从小到大排列并用“<”连接为______________.图4-5-3第15题如图4-5-4,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在第一象限,若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上,则m的值为________.图4-5-4第16题“龟兔首次赛跑”之后,输了比赛的兔子没有气馁,总结反思后,和乌龟约定再赛一场.图4-5-5中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所行的时间,y1表示乌龟所行的路程,y2表示兔子所行的路程).有下列说法:①“龟兔再次赛跑”的路程为1 000米;②兔子和乌龟同时从起点出发;③乌龟在途中休息了10分钟;④兔子在途中750米处追上乌龟.其中正确的是________.(把你认为正确的序号都填上)图4-5-5第17题已知一次函数y=2x+4.(1)在如图4-5-6所示的平面直角坐标系中画出函数的图象;(2)求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标;(3)在(2)的条件下,求△AOB的面积;(4)利用图象直接写出:当y<0时,x的取值范围.图4-5-6第18题(10分)在平面直角坐标系中,过一点分别作x轴,y轴的垂线,若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点.例如,图4-5-7中过点P分别作x轴,y轴的垂线.与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等,则点P是和谐点.(1)判断点M(1,2),N(4,4)是否为和谐点,并说明理由;(2)若和谐点D(a,3)在直线y=-x+b(b为常数)上,求a,b的值.图4-5-7第19题(10分)某校实行学案式教学,需印制若干份教学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费,而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图4-5-8所示.(1)甲种收费方式的函数关系式是________,乙种收费方式的函数关系式是________;(2)该校某年级每次需印制300份教学学案,选择哪种印刷方式较合算?图4-5-8第20题某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如表:设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元.(1)直接写出x≤50 000时,y关于x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20 000元,问他的住院医疗费用是多少元?。