中考数学解题技巧专题：中点问题

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

九年级中考数学中点问题教学教案4篇九年级中考数学中点问题教案1二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。

2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式.3、培养学生合情推理能力。

教学过程一、复习提问1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2、二次根式有哪些性质?计算下列各题：()2二、提出问题，导入新知1、试一试计算： (1) _=( )=( )=( )=( )(2) _=( )=( )=( )=( )提问：观察以上计算结果，你能发现什么?2、思考_与是否相等?提问：(1)你将用什么方法计算?(2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?3、概括让学生观察以上计算结果、归纳得出结论：_=(a≥0，b≥0)注意，a，b必须都是非负数，上式才能成立。

三、举例应用例1、计算。

__说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成，而应化简成4。

等式_=(a≥0，b≥0)，也可以写成=_(a≥0，b≥0)利用它可以进行二次根式的化简，例如：=_==a2例2、化简说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简;(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。

四、课堂练习1、计算下列各式，将所得结果化简：_ _2、P12页练习1(1)、(2)、2五、想一想1、__与是否相等?a、b、c有什么限制?请举一个例子加以说明。

2、等于__吗?3、化简：六、小结这节课我们学习了以下知识：1、二次根式的乘法运算法则，即_= (a≥0，b≥0)2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即=_ (a≥0，b ≥0)……)要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就不成立、想一想，=_成立吗?为什么?3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质=a(a≥ 0)，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识七、作业习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题九年级中考数学中点问题教案2圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念.重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义.活动1创设情境，引出课题1.多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体.2.提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象?活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆.教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗?画的圆的位置和大小分别由什么决定?九年级中考数学中点问题教案3配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.重难点关键1.重点：运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2.难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1.填空(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+___ __=(x+____)2.问题1：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)()2 .问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程于一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t1=1，t2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：(2)由已知，得：(x+3)2=2直接开平方，得：x+3=±即x+3=，x+3=-所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材练习.四、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是(1+x)，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x)2.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+x)当成一个数，配方得：(1+x+)2=2.56，即(x+)2=2.56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)，那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)，那么mx+n=±，达到降次转化之目的.若p0则方程无解六、布置作业1.教材复习巩固1、2.九年级中考数学中点问题教案4配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.重点讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±或mx+n=±(p≥0).如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少?(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解下列关于x的方程：(1)x2-8x+1=0(2)x2-2x-21=0三、巩固练习教材第9页练习1，2.(1)(2).四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、作业教材第17页复习巩固2，3.(1)(2).。

方法专题 : 中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质1、如图1 所示，在△ ABC 中， AB=AC=5， BC=6，点 M为BC 中点， MN ⊥ AC 于点 N ，则 MN 等于（） A ．6B ．9C ．12D ．165 5 55二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于A斜边的一半”M2、如图，在Ｒｔ⊿ ABC 中，∠ A=90°,AC=AB,M 、 N 分别在 AC 、 AB上。

且 AN=为斜边 BC 的中点 . 试判断△ OMN 的形状，并说明理由 .NBOC3、如图，正方形 ABCD 的边长为 2, 将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动． 如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按A BCDA 滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按 B C DAB 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4 －ADC.D.1QMBFC第 8题图三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）A如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，且 AC=BD ，M 、NE F分别是 AB 、CD 的中点， MN 分别交 BD 、AC 于点 E 、F. 你能说出 OE 与 OF 的M 大小关系并加以证明吗？B图2-15、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形 ABC 中， AD 是三角形 ABC ∠ BAC 的角平分线， BD ⊥ AD ，点 D 是垂足，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB=6,AC=14，求DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示， AB ∥ CD ， BC ∥AD ， DE ⊥ BE ， DF=EF ，甲从 B 出发，沿着BA 、 AD 、 DF 的方向运动，乙 B 出发，沿着 BC 、CE 、 EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B 出发，则谁先到达 F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形 ABCD 中，CD ∥ AB ，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，ACD60 ，DS点 S 、P 、 Q 分别是 DO 、 AO 、 BC 的中点 . 求证：△ SPQ 是等边三角形。

解题方法一. 倍长中线在△遊中•”为證边的中点.图1（1） 如图1，连结川/并延长至点尸，使得ME=AM.连结⑦ 则△月&溜（2） 如图2,点。

在初边上，连结6/并延长至点呂使得\fF=DM.连结⑦ 则△血孑 Q'CEH 、遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等 将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法.二. 构造中位线在△磁中.Q 为初边的中点，图1 图2（1） 如图1，取M 边的中点伐 连结比 则DE//BC.且DF=-BC ・2（2） 如图2・延长證至点尸.使得CF=BC ・连结AF.则DC//AF.且DC=-AE.三角形的中位线从位置关系和数量关系两方而将将图形中分散的线段关系集中起来•通 常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，三. 等腰三角形“三线合一”《中点模型》 A AE如图，在△磁中，若AB=AC・通常取底边氏的中点D・则初丄万G且肋平分ZBAC.事实上，在△磁中：(£)AB=AC；②初平分ZBAC；③BD=CD、④初丄反・对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”・B u四・直角三角形斜边中线如图，在△遊看，Z磁=90°,取胚的中点Q,连结助，则有BD=AD=CD=-AC. 2反过来，/£AABC中，点Q在川7边上，若BD=AD=CD=、AC,则有ZABC=90Q例题讲解例1如图，在四边形丽G?中，E、尸分别是曲、仞的中点，过点疋作曲的垂线，过点尸作切的垂线，两垂线交于点G，连结/1G、BG、CG且ZAGD=ZBGC,若肋、證所在直线互相垂直，求呼的值EF解由题意可得阳和为共顶点等顶角的两个等腰三角形，所以△必谑△07G HEGF.方法一：如图1,连结传并延长到F，使曲=云7,连EH、AH,则AH//BC. AH=BC、而/1P=万G ADLBC所以肋=加肋丄加连结加则△妙为等腰直角三角形，又因为E尸分别为阳、CD的中点,所停益皿2方法二：如图2,连结助并取中点/连结胡FH.则EH= ' AD,孔EH"AD 、FH= 1 BC. 2 2而AD=BC. ADLBC.所以△砂为等腰直角三角形，所以巴=空=迈 EF EF解：连结曰DF ＞由题意可得厅、ZF 分别为砒△亦G A7△磁斜边的中线，所以DF=EF 存“，而6沁的中点，所以心心仆丄加所以刃△磁中，心阿F =4\/6如图，在△磁中，氏=22,BD 丄AC 于点D, CE 丄AB 于E, F 、G 分别是应； 眩的中点，若劭=10,求尺;的长.例3 已知：在RT/^ACB和斤7△遁■中.ZACB=ZAEF=9,若尸是莎的中点，连结FGPE（1）如图1，若点忒尸分别落在边仙、/1Q上，请直接写出此时陽与肱的数量关系.（2）如图2,把图1中的△川莎绕着点£顺时针旋转，当点f落在边©的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）如图3,若点尸落在边丽上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不解（1）易得PC=PE=、BF、即尸0与胶"相等.2（2）结论成立.理由如下：如图4,延长6P交疗的延长线于点Q,则證〃刊，易证△毋倶所以PC=PD.而Z㈤=90°,所以PE=-CD=PC2cD（3）结论仍成立，理由如下：如图5,过点F作FD//BC,交疗的延长线于点Q,易得PD=PC, FD=BC 所以兰=空=空AC BC FD而ZAFE= ZPBC= ZPFD.所以ZEAC=\8”一2ZAFE= ZEFD、如图，连结比ED、则△內，所以ZAEC= ZFED,乙CED=乙AEF=90 所以PE=、CD=PC2例4已知：△遊是等腰三角形，ZBAC=900, DELCE. DE=CE=-AC,连结個"是处2的中点(1)如图1，若0在△磁的内部，连结助，.V是別的中点，连结NE.求ilE：MN1.AE <2)如图2,将图1中的△宓绕点C逆时针旋转，使ZBCD= 30°,连结加，A•是勿的中点，连结血；求竺ACD解：(1)如图3,延长少至点尸，使得肿=\5；连结尬易证△加胫△"'；从而可得BF//DE. BF= DE.延长胁CE 交于点G,则ZG=9Q\从而小B、G、Q四点共圆所以ZABF= ZACE、连结胪所以△ ABf陛“ACE (SAS),所以加=広AFLAE.而燃〃肿所以MN= 1AE. MN LAE2G(2)如图4,同(1)可得•亞V=1也 MV •丄也由题意可得AC=2CE.作EHLAC 于"，则 2MN _打 AC =T【答案】略【提示】延长饰场交于点尸，则ZCBF=90c , \CME3\FMD 、从而BM=-CF=CM. 22. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”・如图b AF.亦是△月證的中 线，且处丄庞于点只像△磁这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a, AC=b, AB=c ・(1) 猜想a‘，歹，£三者之间的关系，并加以证明；(2) 如图2,在平行四边形月万G?中，E. F, G 分别是月必BC 、切上的中点.BE LEG.AD=2y/5 . AB=3.求府的长.Eg 所以防弓◎抄'盼纠°从而近妬 F进阶训练1. 如图，△.血和△月他都是直角三角形, 曲上，连结眩”为亦的中点，连结 英中Z ABD =ZACE=90° ,且点C 在,所以PE PF EF【提示】⑴如图，连结肿，由中位线定理可得莎=莎=丽飞•在Rt △遊,Rt △加近和Rt △咖中，利用勾股怎理即可得到』+歹=5c ；（2）如图，取M 的中点〃，连结曲，AC,由中位线泄理可得FH//AC//EG.从而必 丄亦，於込APE^'FPB 、所以莎=〃，所以△月肿是"中垂三角形"从而利用（1）中结 论求得£尸的长・3. 巳知：△磁和是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=9Q° ,尸为亦的中点・连结 DF 、CF.（1） 如图，当点D^AB 上，点疋在EC 上时，请直接写出此时线段力；G 7的数量关系 和位宜关系（不用证明）；（2） 如图2.在（1）的条件下将△/!%绕点月顺时针旋转45° .请你判断此时（1） 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断：（3） 如图3.在（1）的条件下将△川疋绕点月顺时针旋转角"，请你判断此时（1） 中的结论是否仍然成立，井证明你的判断.【答案】 (1) J+F =5c\ 证明略: (2) £F=4・EB图1 B 图2【答案】（1）DF= CF. DFLCFx（2）成立：（3）成立.【提示】（2）延长DF交氏于点G,则咤△如，从而得DF=GF, CD=CG,即得证・（3）延长G7至点G使得尸片G7,连结％,则GE=CB=CA, GE LAC.可得乙CAD=乙必D・连结QG, CD.从而△ ADX'EDG JSAS）•即得证.4. 匚知：F是平行四边形对角线“所在直线上的一个动点（不与点丛Q重合）・分别过点川、Q向直线歹作垂线，垂足分别为E F, 0为川6•的中点，如图1.将直线册绕点万逆时针旋转，当ZOFE= 30°时，如图2所示，请你猜想线段併，AE,处之间有怎样的数量关系，并给予证明.［答案］图］中处二/一处：图2中OE=CF+AE・【提示】如图1,延长丹交尸C于点G,易证莎=&, AE=CG.从而R也GFE中，OF=OG=OE.而ZOFE=30° ,所U OE=CF-AE・如图2,同理可得处。

初中数学中的中点问题类型及其解决方案一、引言初中数学作为学生数学学习的重要阶段，对于培养学生的逻辑思维、解决问题能力和科学素养具有重要意义。

中点问题作为初中数学的核心内容，涵盖了方程式、不等式、二次函数等多个方面，对于提高学生数学成绩和实际应用能力至关重要。

本文将详细介绍初中数学中点问题的类型、解题方法与技巧、教育改革和拓展活动的影响以及学习建议与策略。

二、初中数学中点问题的类型1. 方程式：方程式是初中数学中点问题的基础，包括一元一次方程、二元一次方程等。

这类问题通常在实际生活中有着广泛的应用，如购物时的价格计算、工程中的进度控制等。

2. 不等式：不等式是初中数学中另一个重要的中点问题。

它描述了数量之间的大小关系，常用于解决实际问题中的范围和限制问题。

例如，在制定预算、安排人员等场景中，不等式可以用来确定各部分之间的数量关系。

3. 二次函数：二次函数是初中数学中的难点之一，但对于培养学生数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的股票价格波动等。

三、解题方法与技巧1. 方程式：首先需要认真审题，找出未知量和已知量之间的关系，然后利用适当的公式或方法进行计算。

在解方程时，要注意去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的正确运用。

2. 不等式：解题时需要注意不等式的性质和运算规则，如不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变等。

此外，还需要掌握解不等式的基本步骤，如去分母、去括号、移项、合并同类项等。

3. 二次函数：解题时需要掌握二次函数的表达式、图像和性质，利用这些知识解决实际问题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以通过配方或顶点式等方法来求解；在解决实际生活中的问题时，可以根据实际情况选择适当的函数表达式进行建模和分析。

四、深化理解与培养能力教育改革和拓展活动对于深化学生对中点问题的理解、培养他们的独立思考和解决问题能力至关重要。

专题02 中点四大模型模型1：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．②图B课堂巩固提升1．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2，求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)．24A模型2：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例例题1 如图，在△AB C 中，AB ＝A C ＝5，B C ＝6，M 为B C 的中点，MN ⊥A C 于点N ，求MN 长度．NMC BA课堂巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图CEFCC模型3：已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题． 模型实例例题2 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBA巩固提升1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =（AB +BC +AC ）； （2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.12ED CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO FE DC BAE图2G ABCDF模型4：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例例题3 如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .DCBA12M FEDCBA巩固提升1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 .问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MFE DC B A图2A BCDE FM图3ABCDEF M课后练习1．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（ ）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<163．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（ ）A ．1＜AB ＜11 B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜164．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x 的取值范围是_____．6．如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边CD ，AD 的中点，CF 与EA 、EB 分别交于点M 、N ．已知8AB =，12BC =，则MN 的长为______________．7．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________． 8．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________9．已知：在中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：．ABC ∆AD BC 7,5AB AC ==AD ABCD E CD EAF DAE AF ∠=∠，BC F 133AF CF ==，BFABC BCE CAM ≌10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．（1）试说明：①AE=CF；②CG=GD；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．。

利用“中点线段倍长”法解题在解决线段的有关问题时，如果已知条件中有线段的中点，那么可以考虑将经过中点的线段延长一倍作为辅助线，以便构造全等三角形．我们不妨把这一添加辅助线的方法称为“中点线段倍长”法，现举例如下：一、求线段的长度例1 如图1，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4．FC＝3，求EF的长．解析如图1，延长ED至点G，使DG＝DE，连结GC、GF．易证△CDG≌△ADE，得CG＝AE＝4，∠1＝∠A＝45°，∴∠FCG＝90°．在Rt△CFG中，由勾股定理，得FC CG＝5FG＝22∵DE⊥DF，DG＝DE，∴FE＝FG＝5．二、求线段的范围例2 如图2，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，D为BC边上中点，求AD的取值范围．解析延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE．易证△BDE≌△CDA，得BE＝CA＝4．在△ABE中，由三角形三边关系，得AB－BE<AE<AB＋BE，即6－4<2AD<6＋4，∴1<AD<5．三、证明线段垂直例3 如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．解析延长CE、BA交于F点，易证△AEF≌△DEC．得AF＝DC＝1，EF＝EC，∴BF＝2＋1＝3＝BC．在ABCF中，BF＝BC，EF＝EC，得CE⊥BE．四、证明线段相等例4 如图4，在△ABC中，D为BC的中点，F在AD上，BF＝AC，延长BF交AC于点E．求证：AE＝EF．解析延长AD至点G，使DG＝AD，连结DC．易证△BDG≌△CDA，得∠G＝∠1，BG＝CA．又BF＝AC，∴BF＝BG．∴∠G＝∠2．又∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝EF．例5 如图5，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AE、BF交于点M，连结DM．求证：AD＝MD．解析延长AD、BF交于G．易证△DFC≌△CFB，得DG＝CB．又AD＝BC，∴AD＝DG．又可证△ABE≌△BCF，得∠1＝∠2．又∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，故AE⊥BF．在Rt△AMG中，AD＝DG，∴AD＝MD．五、证明线段和差关系例6 如图6，在正方形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE＝∠EAF，AE、BF交于点M，连结DM．求证：BC＋CF＝AF．解析延长AE，DC交于点G，则易证△CEG≌△BEA．∴CG＝BA，∠G＝∠BAE，∠BAE＝∠EAF．∴∠G＝∠EAF．AF＝GF＝FC＋CG＝FC＋BA，∴BC＋CF＝AF．例7 （2012重庆中考）已知：如图7，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME．解析(1)因为四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD．AB∥CD，∴∠1＝∠ACD．又∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD．∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝2．∴BC＝CD＝2．(2)延长DF，BA交于点G，因为四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA．∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF，∵CM＝CM，∴ACEM≌△CFM，∴ME＝MF，∵AB／／CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，∵CF＝BF，∴△CDF≌△BGF，∴DF＝GF．∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME．六、证明线段不等关系例8 已知：如图8，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF≤12(AD＋BC)．解析当AD∥BC时，易证EF＝12(AD＋BC)；当AD与BC不平行时，延长AF至点G，使FG＝AF，连结BG、CG．易证△CFG≌△DFA，得CG＝DA，FG＝FA．又E是AB的中点，所以EF是△ABG的中位线，所以EF＝12 BG．又BG<BC＋CG，∴EF<12(AD＋BC)．以上方法实质上是根据点的对称性，构造两个全等的三角形解决问题，因此，利用“中点”或“中线”的条件，把有关线段延长一倍，是为了进行图形的旋转变换，这才是解题思想的根本．。

关于中点的解题技巧嘿，朋友们！今天咱们来聊聊数学里关于中点的那些解题技巧，这就像是在神秘的数学迷宫里找到一把神奇的钥匙，一旦掌握，那可就像超级英雄拥有了超能力一样。

你看啊，中点有时候就像一个平衡大师。

比如说在一条线段上，中点把线段分成了两段相等的部分，这就好比一个大蛋糕被精准地切成了两块一样大小的小蛋糕。

当我们看到中点这个平衡大师的时候，就可以想到很多好玩的东西。

在三角形里，中点可就更有趣了。

三角形的中位线就像是一个低调的小助手。

中位线平行于第三边，而且长度是第三边的一半，这感觉就像是一个小跟班紧紧跟在大佬后面，而且还保持着一种很奇妙的比例关系。

就好像小跟班的身高永远是大佬的一半，还一直亦步亦趋地跟着。

如果遇到平行四边形，对角线的交点是中点的时候，那这个中点就像是一个交通枢纽。

平行四边形的对角线互相平分，这个中点就负责把各种信息（线段关系）合理地分配到各个角落，就像交通枢纽把人流和车流分配到不同的道路一样。

要是在证明题里看到中点，我们可以像侦探一样敏锐。

有时候可以构造中位线，这就像给我们的解题之路搭建了一座便捷的桥梁。

如果没有这座桥，我们可能就像在没有路的森林里乱撞，有了这座桥，那就可以轻松地到达对岸啦。

在圆里，直径的中点也就是圆心，这圆心就像一个强大的引力中心。

圆上的点到圆心的距离都相等，就好像所有的小星星都被这个引力中心牢牢吸引着，规规矩矩地保持着距离。

而且啊，中点常常是隐藏着等量关系的宝库。

我们就像寻宝者一样，一旦发现中点，就要赶紧挖掘它背后的宝藏，那些等量关系可能就是我们解开难题的关键，就像打开宝藏的密码一样。

再比如说，遇到两个中点的时候，我们可以把它们连接起来，这时候这条线就像一条神秘的纽带，把不同的部分联系起来，往往能给我们带来意想不到的解题思路，就像突然发现了一条秘密通道。

总之呢，中点在数学里就像一个充满惊喜的小魔法点，只要我们用心去探索它的奥秘，就能够在数学的世界里玩得转，轻松解决那些看似棘手的问题啦。

模型介绍有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，.模型二、单中点-倍长中线模型模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.例题精讲考点一：单中点-倍长中线模型【例1】．如图，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD ＝5，BC ＝10．点E 是CD 的中点，则AE 的长为（）A ．6B ．C ．5D ．解：延长AE 交BC 于F ，如图所示：∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠C ，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AE ＝FE ，AD ＝CF ＝5，∴BF ＝BC ﹣CF ＝5，在Rt △ABF 中，AF ＝＝＝13，∴AE ＝AF ＝．故选：B ．变式训练【变式1-1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP ⊥CD于点P，则∠FPC＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°解：延长PF交AB的延长线于点G．在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP＝90°，∴EF＝PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵PF＝PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝55°，易证FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝55°，∵AG∥CD，∴∠FPC＝∠EGF＝55°故选：D．【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围为4＜AD＜16．解：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，如图，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝20．∵BE﹣AB＜AE＜AB+BE，∴20﹣12＜2AD＜12+20，∴4＜AD＜16．故答案为：4＜AD＜16．考点二：双中点中位线模型【例2】．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为8．解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴E为CD的中点，又∵F是CB的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，EF＝BD，∵BD＝16，∴EF＝8，故答案为：8．变式训练【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为．解：连接DE，CD，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥CF，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DCFE是平行四边形，∴EF＝CD，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，∴CD＝＝＝，∴EF＝CD＝，故答案为：．【变式2-2】．如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM＝EM．证明：连接DE，DF，∵BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，∴DF＝BC，DE＝BC，∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形．∵DM⊥EF，∴点M时EF的中点，即FM＝EM．考点三：单中点三线合一模型【例3】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M为BC的中点，AB＝10，求DM的长．解：延长CB到N，使BN＝AB＝10，连接AN，AM，则∠N＝∠NAB，∵∠ABC＝∠N+∠NAB，∠ABC＝2∠C，∴∠N＝∠C，∴AN＝AC，∵AD⊥CN，∴DN＝DC，∴BN+BD＝CD＝DM+CM＝DM+BM＝BD+2DM，∴BN＝2DM，∴2DM＝10，∴DM＝5．变式训练【变式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（）A．B．C．6D．11解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，＝MN•AC＝AM•MC，又S△AMC∴MN＝＝．故选：A．【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．解：连接BD．∵D是AC中点，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠+∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3，∴AE＝BF＝4，在Rt△BEF中，EF＝＝5．【变式3-3】．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．求证：∠BAC＝2∠DCB．解：过A作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠DCB＝∠BAE，∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠BAC，∴∠BAC＝2∠DCB．1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有（）A．①②B．②③C．①②③④D．①②④解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG（ASA），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°，∴BF＝EF＝FG，故②正确，＝S△CFG，∵S△DFE＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC＝∠BFH，∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，故选：C．2．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（）A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴＝＝＝2，∴AM＝2EM，MD＝2AM，∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK＝a﹣a＝a，MK＝a﹣a＝a，在Rt△MKO中，MO＝＝a，根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，∵BM2+MO2＝（a）2+（a）2＝2a2，BO2＝（a）2＝2a2，∴BM2+MO2＝BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝．解：如图，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝10，又∵BC＝6，∴AC＝8，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠BCE＝90°，∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴AE＝，故答案为：．4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC的延长线于点E，则CE的长是．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝5，∵点D是AB的中点，∴BD＝AB＝，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴，∴，∴BE＝，∴CE＝BE﹣BC＝﹣3＝，故答案为：．5．如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，则AD＝4．解：如图，连接OD交BC于E点，∵AB为直径，∴AC⊥BC，又∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，∵AD平分∠CAB，∴＝，∴OD垂直平分BC，由此可得：OE＝AC＝3，DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，又∵BE＝BC＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2＝BE2+DE2＝20，在Rt△ABD中，AD＝＝＝4．故答案为：4．6．如图，四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC为边作平行四边形DACE，连接BE，则BE的长为2．解：连接AE交CD于O，连接DM、CM，取AB的中点M，连接OM，如图所示：∵AB＝8，∠ADB＝∠BCA＝90°，∴DM＝CM＝AB＝4，∵四边形DACE是平行四边形，∴OA＝OE，OC＝OD＝CD＝3，∴OM是△ABE的中位线，∴BE＝2OM，∵DM＝CM，OC＝OD，∴OM⊥CD，∴∠MOC＝90°，由勾股定理得：OM＝＝＝，∴BE＝2OM＝2；故答案为：2．7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正确结论的序号是①③④．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故①正确；∵CD＝6，CE＝3，∴DE＝＝＝3，＝×CD•CE＝×DE•CH，∵S△DCE∴CH＝，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴，∴CF＝＝3，∴HF＝CF﹣CH＝，∴＝，故④正确；如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC＝6，CH＝，∴DH＝＝＝，∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，∴MH＝DM＝，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故③正确；∵DE＝3，DH＝，∴HE＝，ME＝HE+MH＝，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴AM∥CF，∴，∴＝，∴HG＝，故②错误．综上，正确的有：①③④．故答案为：①③④．8．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，求的值．解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴BE是△ABC的中线，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴＝＝，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴＝，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴＝，∴＝．9．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC 于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，∵，Ⅳ∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．10．已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求的值．解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，∵AC＝3BC，设BC＝x，则AC＝3x，∵AB＝AC+BC，∴8＝3x+x，∴x＝2，∴BC＝2，AC＝6，∵点D是CB的中点，∴CD＝BD＝BC＝1，∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，设BC＝x，AC＝3BC＝3x，∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，∴x＝4，∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，∵点D是CB的中点，∴BD＝CD＝BC＝2，∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；③当点C在BA的延长线上时，明显，此情况不存在；综上所述，AD的长为7或10；（2）如图3，∵M是线段AB的中点，点N是线段BP的中点，∴BM＝AB，BN＝PB，∴MN＝BM+BN＝AB+PB＝（AB+PB）＝AP，∴＝＝+1＝2+1＝3．11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE（1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．解：（1）证明：CG＝EG．连接DE，如图．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又E为AB中点，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，又DG⊥EC，∴EG＝CG；（2）过E作EM⊥BC于M，如图．∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴EM∥AD，∵E为AB中点，∴EM是△ABD的中位线，∴EM＝AD＝3．∵AD＝6，BD＝8，∴AB＝＝10，∵DE＝AB＝5，∴DM＝4，∵CD＝AE＝DE＝5，∴CM＝CD+DM＝9，∴CE＝＝3．12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB＝14．（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．解：（1）∵AP＝8，点M是AP中点，∴MP＝AP＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6，又∵点N是PB中点，∴PN＝PB＝3，∴MN＝MP+PN＝7．（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN＝AB＝7．（3）选择②．设AC＝BC＝x，PB＝y，①＝＝（在变化）；（定值）．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG为矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，由（1）得：OE为△ABD的中位线，∴OE＝AB＝×10＝5，∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝×10＝5，由（1）可知，四边形OEFG是矩形，∴∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，FG＝OE＝5，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，∴BO＝＝＝2．14．在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．（1）如图1，点G在BC边上时，①判断△BDF的形状，并证明；②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．解：（1）①如图1，△BDF是直角三角形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵△BGF是等边三角形，∴∠GBF＝60°，∴∠DBF＝∠DBC+∠GBF＝90°，∴△BDF是直角三角形；②如图2，过A作AH⊥BD于H，∵∠BAD＝120°，AB＝AD，∴∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，Rt△ABH中，AB＝10，∴AH＝5，∴BH＝＝5，∴BD＝2BH＝10，∵△BGF是等边三角形，∴BF＝BG＝4，由勾股定理得：DF＝＝＝＝2，由①知：△BDF是直角三角形，且P是DF的中点，∴PB＝DF＝；（2）如图3，PG＝PC，理由是：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中，，∴△DPE≌△FPG（ASA），∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，，∴△CDE≌△CBG（SAS），∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝×120°＝60°，∴PG＝PC．15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．+S△CEF与S△ABC的（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF＝S△ABC；数量关系为S△DEF（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2∴S△ABC+S△CEF＝S△ABC；即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为：S△DEF（2）（1）中的结论成立；证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND，∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，在△DME与△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA），＝S△DNF，∴S△DME＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，∴S四边形DMCN＝S△ABC，由以上可知S四边形DMCN+S△CEF＝S△ABC．∴S△DEF（3）连接DC，证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，＝S五边形DBFEC，∴S△DEF+S△DBC，＝S△CFE+，＝S△CFE﹣S△CFE＝．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．故S△DEF16．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是2＜AD＜10．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC ＝2，求线段BF的长．【灵活运用】如图3，在△ABC中，∠A＝°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∵AD＝AE，∴2＜AD＜10，故答案为：2＜AD＜10；【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示：∵AE＝EF．EF＝3，∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即BF＝5；【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2，理由如下：延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF、GC，如图3所示：∵ED⊥DF，∴EF＝GF，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，，∴△DBE≌△DCG（SAS），∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，∴Rt△CFG中，CG2+CF2＝GF2，∴BE2+CF2＝EF2．17．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在△ABC 中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果AD＝5，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（AAS）．∴AD＝DE．又∵AD＝5，∴AE＝10．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，AB∥CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现AB＝BC＝50米，CD＝16米，△ABE和△ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BCD内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知∠DFE＝∠BAE＝30°，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．解：（1）AE＝AD+DE＝10，故答案为：10．（2）结论：AB+DC＝AD，证明：延长AE，DC相交于点A'，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∵AB∥CD，∴∠B＝∠A'CE在△ABE和△A'CE中，，∴△ABE≌△A'CE（ASA），∴AB＝A'C，∠BAE＝∠A'，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠A′＝∠DAE，∴AD＝A'D＝A'C+CD＝AB+CD（3）解：延长AE，DC相交于点A'，＝S△ACE，∵S△ABE∴BE＝CE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BCA'在△ABE和△A'CE中，，∴△ABE≌△A'CE（ASA），∴AB＝A'C＝50（m），∠BAE＝∠A'＝30°，∵∠DFE＝∠BAE＝30°，∴∠A'＝∠DFE，∴DF＝A'D＝A'C﹣CD＝50﹣16＝34（m）。

初三数学的中点问题类型数学初三的中点问题类型是指关于中点的各种问题类型。

在初中数学中，中点是一个重要的概念，涉及到线段的性质，几何图形的对称性等内容。

下面我将从几何和代数两个角度来介绍初三数学中与中点相关的问题类型。

一、几何：1.线段中点：给定一个线段，问题可能涉及到线段中点的性质、如何找到线段的中点以及利用中点判断线段的性质。

例如：如何用尺规画出一个线段的中点？一个线段的中点是否恰好在线段上？如何判定两个线段的中点是否相等？2.多边形的中点：问题可能涉及到多边形的对称性质，如何找到多边形的中点以及利用中点判断多边形的性质。

例如：如何找到一个三角形的重心？如何用尺规画出一个四边形的中点？3.平行线段的中点：问题可能涉及到平行线段的中点的性质，如何找到平行线段的中点以及利用中点判断线段的性质。

例如：如何找到两个平行线段的中点？二、代数：1.数列中点：给定一个数列，问题可能涉及到数列中点的性质、如何找到数列的中点以及利用中点判断数列的性质。

例如：一个数列的中点是否恰好在数列上？如何找到一个数列的中点？2.等差数列的中点：问题可能涉及到等差数列的中点的性质，如何找到等差数列的中点以及利用中点判断数列的性质。

例如：如何找到一个等差数列的中点？3.等比数列的中点：问题可能涉及到等比数列的中点的性质，如何找到等比数列的中点以及利用中点判断数列的性质。

例如：如何找到一个等比数列的中点？以上只是初三数学中与中点相关的一些问题类型，实际上数学中还有很多其他与中点有关的问题。

这些问题涉及到初中数学的各个知识点，例如线段、多边形、数列等，通过学习和解决这些问题，可以帮助学生加深对这些知识点的理解，并培养解决问题的能力。