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习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
习题２-4１．求解下列微分方程：（１）yx xy y --='22；解：令ux y =，则原方程化为uu u dx du x --=+212，即x dxdu u u =--122，积分得：c x u u u +=--+-ln 1ln 2111ln2 还原变量并化简得：3)()(y x c x y +=-（２）4252--+-='y x x y y ；解：由⎩⎨⎧=--=+-042052y x x y 得 ⎩⎨⎧-==21y x令2,1+=-=y v x u ， 则有vu u v du dv --=22，由第一题的结果知此方程解为3)()(v u c u v +=-， 还原变量并化简得：.)1(33++=+-y x c x y（３）14212-+++='y x y x y ；解：令y x v 2+=， 则1212121-++=+=v v dx dy dx dv ， 即1214-+=v v dx dv ，此方程为变量分离方程， 分离变量并积分得：c x v v +=+-14ln 8321，还原变量并化简得：c y x x y =++--184ln 348． （４）xy y x y -='33．解：①当0≠y 时，方程两边同时乘以32--y ,则233222--+-='-xy x y y ， 令2-=y z ， 则322x xz dxdz-=, 此方程为一阶线性方程，由公式得：122++=x ce z x还原变量得：122)1(2-++=x ce y x . ②0=y 也是方程的解．2. 利用适当的变换，求解下列方程： （１）)cos(y x y -='；解：令y x u -=，则u dx dy dx du cos 11-=-=， ①当1cos ≠u 时，有dx udu =-cos 1， 即 dx u du=2sin 22，两边积分得：c x uctg +=221还原变量化简得：2sin 2sin 22cos yx c y x x y x -+-=-． ②当1cos =u 时，即πk x y 2+=)(Z k ∈也是方程的解． （２）0)()3(22=+++dv uv u du v uv ； 解：方程两边同时乘以u 则原方程化为：0)()3(2322=+++dv v u u du uv v u ，即 0)()3(2232=+++vdv u du uv dv u vdu u 此方程为全微分方程，则原方程的解为：c v u v u =+22321． （３）)2(2)3(222yx y x dx dy y x -=++；解：原方程即为324222222++-=y x x y xdx ydy ，令u y v x ==22,，则324++-=v u vu dv du ,由⎩⎨⎧=++=-03024v u v u 得⎩⎨⎧-=-=21v u ， 令⎩⎨⎧+=+=21v n u m ，则有n m n m dn dm +-=24令z n m=，则zn m =， 124+-=+=z z z n dn dz dn dm ， 则有1)2)(1(+--=z z z n dn dz ，此方程为变量分离方程， 分离变量并积分得：n c zz ln 2)1(ln32+=--，还原变量并化简得：322222)32()1(-+-=+-y x c y x .（４）yy y x xxy x dx dy 8237323223-+-+=． 解：原方程即为823732222222-+-+=y x y x xdx ydy ，令22,x v y u ==,则823732-+-+=u v u v dv du ，由⎩⎨⎧=++=-+08230732u v u v ⎩⎨⎧==⇒21v u ， 令⎩⎨⎧-=-=21v n u m ， 则m n m n dn dm 2332++=，令z n m=，可将方程化为变量分离形方程， n dn dz zz =-+)2223(2，两边积分得：c n z z z +=---+ln 1ln 2111ln 432， 还原变量并化简得：)3()1(22522-+=--y x c y x ．3. 求解下列微分方程： （１）．2241xy y --='； 解：令xy z =， 则原方程可化为：)41(12-+-=z z x dx dz ， ①当21≠z 时，即21≠xy 时方程为x dxdz z =--2)21(1 ，此方程为变量分离方程， 两边积分得：c x z +=-ln 211还原变量并化简得：cxx x x y ++=ln 121； ②当21=z 时，xy 21=是方程的特解． （２）．1222++='xy y x y x ； 解：原方程即为：221x x y y y ++='， 令xy z =，则2)1(1+=z xdx dz ，此方程为变量分离方程， 分离变量积分得：c x z +=+-ln 11， 还原变量并化简得：cxx x x y +--=ln 11． 4. 试把二阶微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 化为一个黎卡提方程． 解：令⎰=udxe y ， 则⎰='udxue y ，+⎰=''udxe u y 2⎰'udxe u ，代入原方程可得：=+'+''y x q y x p y )()(+⎰udxe u 2⎰'udxe u ＋)()(x q ue x p udx+⎰⎰udxe ＝０，即有：0)()(2=++'+x q u x p u u ，此方程为一个黎卡提方程．5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45．解：设此曲线为)(x y y =，由题意得：1451==+-tg xy dx dy x y dx dy ，化简得：y x y x dx dy -+=， 此方程为齐次方程，解之得：c y x x y arctg =+-)ln(2122．6. 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：取点光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．设所求曲面由曲线⎩⎨⎧==0)(z x f y 绕x 轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求 xy 平面上的曲线y=f(x)的问题．由题意及光的反射定律，可得到函数)(x f y =所应满足的微分方程式：22yx x ydx dy ++=，此方程为齐次方程， 解之得：)2(2x c c y +=，（其中c 为任意正常数）．)2(2x c c y +=就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此反射镜面的形状为旋转抛物面)2(22x c c z y +=+．习题２-5１．求解下列微分方程：（１）．0)()23(2232=++++dy y x dx y xy y x ；解：方程两边同乘xe33， 则)33()369(233323323=++++dy y e dx y e dy x e xydx e ydx x e x x x x x ，此方程为全微分方程，即 c y e y x e x x =+33233． （２）．0)2(2=-+-dy e xy ydx y ；解：方程两边同乘y e y 21， 则 0)12(22=-+dy yxe dx e y y即01)2(22=-+dy ydy xe dx e yy 此方程为全微分方程，即有 c y xe y =-ln 2 ．（３）．0)3()63(2=+++dy xyy x dx y x ；解：方程两边同乘 xy ， 则0)3()63(232=+++dy y x dx x y x即 0)36()3(232=+++dy y xdx dy x ydx x 此方程为全微分方程，即有c x y y x =++2333 ．（４）．22()0ydx x y x dy -++=; 解：方程两边同乘221y x +， 则 022=-+-dy yx xdyydx ， 此方程为全微分方程，即 c y yxarctg=- （5）．0)1(2223=-+dy y x dx xy ；解：方程两边同乘21y ， 则0)1(222=-+dy y x xydx ， 此方程为全微分方程，即c y x y=+21. （6）．0)1(=-+xd y dx xy y ；解：方程两边同乘21y ， 则0)1(2=-+dy y xdx y xdx ， 此方程为全微分方程，即c x y x =+221. （7）0)(2223=-+dy xy x dx y ；解：方程两边同乘y x 21， 则 02)2(22=+-dy y dy x y dx x y ， 此方程为全微分方程，即 c y xy =+-ln 22（8）．0)c o s2(=++dy y y ctgy e dx e xx解：方程两边同乘y sin ， 则02sin )cos sin (=++ydy yc ydy e ydx e x x ，此方程为全微分方程，即 11cos cos 2sin 224xe y y y y c -+=. 2. 证明方程（5.1）有形如)),((y x φμμ=的积分因子的充要条件是)),((y x f yP P x Q Q xQy P φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂，并写出这个积分因子。
习 题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）,2221x xe c e c y -+= .04=-''y y 证明：,2221x x e c e c y -+=则y '=,222221x x e c e c --,442221x x e c e c y -+=''.04=-''y y ∴ （２）,sin xxy =x y y x cos =+'． 证明：∵,sin xx y =则2sin cos x x x x y -='x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'（３）),(c dx xe x y x +=⎰ xxe y y x =-'．证明：∵),(c dx x e x y x +=⎰ 则 ,x e xc dx x e y xx ++='⎰ ∴=-'y y x x x e xc dx x e x x ++⎰x xxe c dx xe x =+-⎰)( （４） 2112221,,40,,2,,4()()x y x x x c c c c x c c ⎧⎪--∞<<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎪⎩--'y =证明： （1）当1x c -∞<<时，y=214()x c --,'y =12x c --其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）,x y =''' ,)0(0a y = ,)0(1a y =' 2)0(a y =''．解：∵,x y =''' ∴,2112c x y +='' ∵2)0(a y =''，∴21a c =， ∴3221,6y x a x c '=++ ∵,)0(1a y =' ∴12a c =，∴422111242y x a x a x c =+++，∵,)0(0a y = 满足初值问题的解为：4221011242y x a x a x a =+++．（２）),(x f dxdy= ,0)0(=y （这里)(x f 是一个已知的连续函数）解：∵),(x f dxdy= 即 ,)(dx x f dy = ∴c dt t f dy xx+=⎰⎰0)(,∴,)()0()(0c dt t f y x y x+=-⎰ ∵0)0(=y , ∴0=c∴ 满足初值问题的解为：dt t f x y x⎰=)()(.（３）,aR dtdR-= ,1)0(=R 解：① 若,0≠R 则 ∵adt RdR-=， 两边积分得：c at R +-=ln ∵1)0(=R ∴1=c∴满足初值问题的解为：ateR -=（４）21y dxdy+=， 00)(y x y =， 解：∵21y dxdy+=， ∴dx y dy =+21，两边积分得：c x arctgy +=.∵00)(y x y =， ∴00x y arctg c -=.∴满足初值问题的解为：)(00x y arctg x tg y -+=. ３．假设（１） 函数12(,,,,)n y x c c c φ=是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=的通解，其中12,,n c c c 是独立的任意常数，（２） 存在一组常数12(,,,)n n c c c R ∈和空间中的点(1)0000(,,,,)n M x y y y-'（３） 满足001001(1)(1)0011(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n y x c c y x c c xy x c c x φφφ---=⎧⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪⎪∂=⎪∂⎩试证明：存在点0M 的某一邻域 U ，使得对任意一点(1)00000(,,,,)n M x y y y -',可确定一组数0(),1,2,,i i c c M i n ==，使得10200(,(),(),,())n y x c M c M c M φ=是初值问题(1)(1)000000(1)(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y x y F x y y y---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解． 证明：因为12(,,,,)n y x c c c φ=是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=的通解，所以初值问题(1)(1)000000(1)(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y x y F x y y y---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解应具有形式12(,,,,)n y x c c c φ***=，其中12(,,,)n c c c ***应满足：001001(1)(1)0011(,,,)(,,,)(,,,)n nn n n n y x c c y x c c x y x c c x φφφ****--**-⎧=⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪⎪∂=⎪∂⎩，（*） 如何确定12(,,,)n c c c ***呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0M 的某一邻域U ，使得对任意一点(1)00000(,,,,)n M x y y y-'可确定一组数0(),1,2,,i i c c M i n **==，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１） 曲线族2x cx y +=所满足的微分方程；解：2x cx y +=， x c y 2+='， 22x cx y x +='， 则有：y x y x =-'2.（２） 曲线族xx xe c e c y 21+=所满足的微分方程；解：由xx xe c e c y 21+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=''++='xx x xx x xec e c e c y xe c e c e c y 1211212,联立消去21,c c 得：02=+'-''y y y .(3) 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为)0(222≠=+r r y x 将视y 为x 的函数，对x 求导得：022='+y y x平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为0='+y y x ．(4) 平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：),0()()(222≠=-+-r r b y a x 将y 视为x 的函数，对x 求导得：()22()2()022()202()40'x a y b y y b y y b y y y '-+-=⎧⎪⎪''+-+=⎨⎪'''''-+=⎪⎩联立消去b a ,得，0)(3])(1[22='''-''''+y y y y ．习 题 1-2１．作出如下方程的线素场：（１）xyxy y ='（２）2)1(-='y y（３）22y x y +='2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）xy y +='1。
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习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x 2 −1)dx +(2x +1)dy =0 解：P (x , y ) =3x 2 −1，Q (x , y ) =2x +1 ，则∂∂P y =0 ，∂∂Q x =2 ，所以∂∂P y ≠∂∂Q x即，原方程不是恰当方程．２．(x +2y )dx +(2x +y )dy =0 解：P (x , y ) =x +2y , Q (x , y ) =2x −y , 则∂∂P y =2, ∂∂Q x =2, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则xdx +(2ydx +2xdy ) −ydy =0,2 2两边积分得：x +2xy −y =C . 2 23．(ax +by )dx +(bx +cy )dy =0 (a,b 和c 为常数)．解：P (x , y ) =ax +by , Q (x , y ) =bx +cy , 则∂∂P y =b , ∂∂Q x =b , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则axdx +bydx +bxdy cydy =0,（）+两边积分得：ax 2 +bxy +cy 2=C . 2 24．(ax −by )dx +(bx −cy )dy =0(b ≠0) 解：P (x , y ) =ax −by , Q (x , y ) =bx −cy ,则∂∂P y=−b , ∂∂Q x =b , 因为 b ≠0, 所以∂∂P y ≠∂∂Q x ，即，原方程不为恰当方程５．(t 2 +1)cos udu +2 t sin udt =0 解：P (t ,u ) =(t 2 +1)cos u , Q (t ,u ) =2t sin u 则∂∂P t =2t cos u , ∂∂Q x =2t cos u , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则(t 2 cos udu +2t sin udt ) +cos udu =0,两边积分得：(t 2 +1)sin u =C .６．( ye x +2e x +y 2)dx +(e x +2xy )dy =0 解：P (x , y =ye x +2e x +y 2, Q (x , y ) =e x +2xy ，则∂∂P y =e x +2y , ∂∂Q x =e x +2y , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则2e x dx +[(ye x +y 2)dx +(e x +2xy )dy ] =0,两边积分得：(2 +y )e x +xy 2 =C .７．( y +x 2)dx +(ln x −2y )dy =0 x 解：P (x , y ) =y +x 2 Q (x , y ) =ln x −2y ,x则∂∂P y =1 x , ∂∂Q x =1 x , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则( ydx +ln xdy ) +x 2 dx −2ydy =0 x 3两边积分得：x 3+y ln x −y 2 =C .８．(ax 2+by 2)dx +cxydy =0(a ,b 和c 为常数) 解：P (x , y ) =ax 2 +by 2, Q (x , y ) =cxy ,则∂∂P y =2by , ∂∂Q x =cy , 所以当∂∂P y =∂∂Q x，即2b =c 时，原方程为恰当方程则ax 2 dx +(by 2 dx +cxydy ) =0 3两边积分得：ax +bxy 2 =C .3而当2b ≠c 时原方程不是恰当方程．９．2s −1 ds +s −2 s 2 dt =0 t t解：P (t , s ) =2s −1, Q (t , s ) =s −2 s 2,t t则∂∂P t =1−t 22s , ∂∂Q s =1−t22s , 所以∂∂P y =∂∂Q x ，即原方程为恰当方程,两边积分得：s −s 2=C ．t10．xf (x 2 +y 2)dx +yf (x 2 +y 2)dy =0, 其中f (⋅)是连续的可微函数．解：P (x , y ) =xf (x 2 +y 2 ), Q (x , y ) =yf (x 2 +y 2 ), 则∂∂P y =2xyf ′, ∂∂Q x =2xyf ′, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程,两边积分得：∫f (x 2 +y 2)dx =C ,即原方程的解为F (x 2 +y 2) =C (其中F 为f 的原积分)．习题2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dy x 2(１) dx =y解：原方程即为：ydy =x 2 dx 两边积分得：3y 2 −2x 3 =C , y ≠0 ．dy x 2(２) dx =y (1+x )3 2解：原方程即为：ydy =1+x x 3dx 两边积分得：3y 2 −2ln1+x 3=C , y ≠0,x ≠−1 ．(３) dy +y 2 sin x =0dx解：当y ≠0时原方程为：dy +sin xdx =0y2 两边积分得：1+(c +cos x ) y =0 ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c +cos x ) y =0 ．dy 22(４) dx=1+x +y +xy ；解：原方程即为：1+dy y 2=)(1+x dx 2两边积分得：arctgy =x +x 2+c ，即y =tg (x +x 22+c ) ．(５) dy =(cos x cos 2y )2 dx解：①当cos 2y ≠0 时原方程即为：(cos dy 2y )2 =(cos x )2 dx 两边积分得：2tg 2y −2x −2sin 2 x =c ．②cos 2y =0，即y =k π+π也是方程的解.( k ∈N )2 4 (６) x dy =1−y 2 dx解：①当y ≠±1时dydx 原方程即为：1−y 2 =x两边积分得：arcsin y −ln x =c ．②y =±1也是方程的解. dy x −e −x(７)．dx =y +e y解．原方程即为：( y +e y )dy =(x −e −x )dx 2 2两边积分得：y +e y =x +e −x +c ，22原方程的解为：y 2 −x 2 +2(e y −e −x ) =c .2. 解下列微分方程的初值问题．(１) sin 2xdx +cos3ydy =0, y (π) =π；2 3解：两边积分得：−cos 22x +sin 33y =c ，即2sin 3y −3cos 2x =c 因为y (π2) =π3,所以 c =3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin 3y −3cos 2x =3．x (２)．xdx +ye −dy =0 ，y (0) =1；解：原方程即为：xe x dx +ydy =0 ，两边积分得：(x −1)e xdx +y 22dy =c ，因为y (0) =1，所以c =−12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x −1)e x dx +y 2 dy +1 =0 ．(３)．dr =r ，r (0) =2 ；d θ解：原方程即为：dr =d θ，两边积分得：ln r −θ=c ，r因为r (0) =2 ，所以c =ln 2 ，所以原方程满足初值问题的解为：ln r −θ=ln 2 即r =2e θ．dy ln x (４)．dx =1+y2, y (1) =0;解：原方程即为：(1+y 2)dy =ln x dx , 两边积分得：y 3x x ln y ++−x =c ,3因为y (1) =0 ，所以c =1， 3 所以原方程满足初值为：y x x ln y ++−x =1 3 2 dy 3(５)．1+x dx=xy ，y (0) =1；dy x 解：原方程即为：y 3 =1+x 2 dx ，2两边积分得：−12y −2 =1+x +c ，因为y (0) =1，所以c =−3 ，2 所以原方程满足初值问题的解为：21+x 2 +y1 =3 ．2 3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．dy =cos x dx解：两边积分得：y =sin x +c ．积分曲线的简图如下：(２)．dxdy =ay ，(常数a ≠0 )；解：①当y ≠0时，原方程即为：aydy =dx 积分得：a 1ln y =x c +，即y =ce ax (c >0) ②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：y(３)．dy =1−y 2 ；dx解：①当y ≠±1时，1+y 原方程即为：(1−dy y 2)=dx 积分得：ln =2x +c ，1−y 即y =ce 2 x −1 ．ce 2 x +1②y =±1也是方程的解．积分曲线的简图如下：dy n 1(４)．dx=y ，(n =3,1, 2) ；解：①当y ≠0时，1 dy ⅰ) n =3, 2 时，原方程即为yn =dx ，积分得：x +1y 1−n =c ．n −1ⅱ) n =1时，原方程即为dy y=dx 积分得：ln y =x +c ，即y =ce x(c >0) ．②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为y =y (x ),由题意及导数的几何意义，则有dy y dx b 2 −y2 ，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足y (0) =b 的解．=−解之得：x =12 b ln b b +−b b 22 +−y y 22 −b 2 −y 2 ．5. 设微分方程dy =f ( y ) (2.27)，其中f(y) 在y =a 的某邻域(例如，区间y −a <ε)dx 内连续，而且f ( y )=0 ⇔y =a ，则在直线y =a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，±εdy 当且仅当瑕积分=∞(发散)．∫a a f ( y )证明：( ⇒)首先经过域R 1：−∞<x <+∞, a −ε≤y <a 和域R 2：−∞<x <+∞,a <y ≤a +ε内任一点( x 0, y 0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定dy =x −x 0 . (*)∫y y 0 f ( y )这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R 1( R 2)内的所有积分曲线∫f dy ( y )=x +c 都可由其中一条，比如∫f dy ( y ) =x +c 0 沿着x 轴的方向平移而得到。
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章奇解第四章奇异解习题4-11.求解以下微分方程：(1).2y?p2?4px?2x2,(p?解：y?p22dydx);2pxx2数据处理p?pdp?2p?2x?2x数据处理（p？2x）dp？（p？2x）？0（p？2x）（？1）？0a.p?2x?0?p??2x（特解）?y?2x2?4x2?x2??x2(特解）b.dp?1?0??x22数据处理1.P十、CY(?x?c)?2(?x?c)x?x2?y?二cx12c（通解）dydx(2). Ypxlnx？（xp）2，（p（lnx？2xp）（xdp？p）？0);Dp22解决方案：P？xlnxdp？p（lnx？1）？2xp？2xpxa。
lnx？2xp？0 lnx？？2xp？Pln2xxlnx2lnx？Ylnxlnx？[x（？2x2x）]？Y2.2ln2x4十、ln42b、 xxdp？P0便士？？Yclnx？c2cYc2xlnx？（xc）(3).2xp?2tany?p3cos2y.解：x?1tany?x?qtany?cos2y2q2p2cos2y问？1?dx，,2科西（？西尼）2q二2二q?tanydq?qsecy?2?tanydqdy?qtany?cos3Q2dq？舒适q22ycos3qdqdycosydqtany(dqqtany)(dyqtany)0dyq3cosy(dqqtany)(tanyq3)0二a.dqdy?qtany?0?b.tany?二dqdyqtany?q?ccosy?x?csiny?三cos3y2c2cos2yq0q二Qcosy伊辛？十、cosy辛塔尼？cos2t2舒适3Yy33sin3y2siny2siny2.用参数法求解下列微分方程： 2（1） 2y2？5（dy）？4dx解：令y?由p?dy2225cost,p?sintdy2525sint,y?2cost,p?二百五十五sint,x,a.当sint?0?dx??y?2sintd(2cost)2522辛特25辛特dt？十、dt?c（？x？c）]？2cos[（？x？c）] b当sint?0?cost??1?y??(2).x2?3( dy2)?1.dx嘘et?e?tet?e?t，红隧？，嘘？22解决方案：制造x？cht，p？dyshtshtshtsh2t阿迪？dx？d（xht）？Dtx333 ysh2t1c812t?2t(e?e?2)d(2t)?c?811t？（sh2t？）？C2422(3).(dy)?y?x?0.dx（e2t？e？2t？4t）？C解：令x?u,p?v,y?u2?v2,dy?pdx2udu?2vdv?vdu?(2u?v)du?2vdv? dvdu2u?v2vuv二2?uV2u齐次方程令v?t,u?vt,?dvt1二2t?12t？1.tdv?vdt?2dvvdtTvdv？dtvdv2.2t2？T2t?12t?12?2t2?tdtlnv??2t？一c2.2t2？T2t?12dt？C2t?t?22t?112tdt？？2t2？T2.2t2？T2dt2t2？T二 1dt12tdt222(t?2(t?4)?164)?16二)?171d[(t?11dt1dt]222171717 2（t？14？（t？12？（t？1）)?)?)?11171dtln(t?)?21724164（t？1）1dt12174.（t？14）？（t？4164？dt4)(t?4?444)4一百和二十一(4.T4.12磅？1.T1四|1t？4.)dtT一百一十七故??2t2dt??22ln(t?)?16??t?2二42ln|t?1?t??44一|.五、Ec一t?4?四t?4?4(t?4?t?4?)2121?121?21?12c（t？？）（t？？）4444确保你准备好了吗4. 1二4,4?一百四十四11四,v?c(t??)一1141122一,五、c（t？？）（t？？） uc（？？）四v14?u(??) 4vc（u？？v）v一441（u？？v）v144一11??4411??44?14411一44一故一1?c(u??v)（u？？v）1?44?1（u？？v）c(uv)c(uv)c(uv)1.44?? 141?? 44(u??v)4(u??v)1.44(u??v)??c(u??v)?Yx2？p2（通解）,（x？？p）？C（x×P）特解：2？2t2？T0吨？？Yx2？1?u1?4五、u4v41？16162? 二千二百二十二x?x(1?)?x22(1?) (1?) 18? 21? 9?? 1.22? 2a。
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。
习 题 6—31．证明函数组 ，⎩⎨⎧<≥=000)(21x x x x 当当ϕ220 0()0x x x x ϕ≥⎧=⎨<⎩当 当，在区间上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。
这与本节的定理 6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？),(+∞−∞证 设有 1122()0c x c ϕϕ+≡ +∞<<∞−x ，则当时，有，从而推得 。
而当 时，有0≥x 21200c x c +≡01=c 0<x 120c c x 0⋅+≡，从而推得 。
因此在02=c +∞<<∞−x 上，只有时，才有 021==c c 1122()()0c x c x ϕϕ+≡，故12(), ()x x ϕϕ在上线性无关。
又当时， ),(+∞−∞0≥x 0002)(2≡=x x x w ，当0<x 时，0200)(2≡=x x x w 故当+∞<<∞−x 时，有。
这与本节定理6.2不矛盾，因为定理6.2*成立对函数有要求，即0)(≡x w )(1x ϕ，)(2x ϕ是某个二阶齐次线性方程的解组。
这说明不存在一个二阶齐次线性方程，它以)(1x ϕ，)(2x ϕ为解组。
3．考虑微分方程''()0y q x y +=（1）设)(x y ϕ=与)(x y ψ=是它的任意两个解，试证)(x y ϕ=与)(x y ψ=的朗斯基行列式恒等于一个常数。
（2）设已知方程有一个特解为，试求这方程的通解，并确定 x e y =()?q x =证： （1）在解)(x y ϕ=，)(x y ψ=的公共存在区间内任取一点x 。
由刘维尔公式，有 （常数）[])()()(),(000x w ex w x x w odxx x=∫=−ψϕ（2）由于是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线性无关的特解 x e y =x odx xx e dx e ee y −∫−−=⋅=∫21122，故方程的通解为 xx e c e c y −+=21又由于是方程的解，故有x e y =()0x x e q x e +≡， 所以 ()1q x =−。
常微分2课后习题答案常微分2课后习题答案在学习常微分2这门课程中，我们不可避免地会遇到一些挑战性的习题。
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1. 题目：求解方程 dy/dx = 2x + 3解答：这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以将它转化为标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 0，Q(x) = 2x + 3。
根据一阶线性常微分方程的解法，我们可以通过求解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0 的通解和特解来得到原方程的解。
首先，我们求解齐次方程 dy/dx = 0。
显然，它的通解为 y = C，其中 C 是常数。
接下来，我们寻找特解。
由于 P(x) = 0，我们可以猜测特解为 y = Ax + B，其中 A 和 B 是待定常数。
将这个猜测代入原方程，得到 A = 2，B = 3。
因此，原方程的通解为 y = C + 2x + 3，其中 C 是任意常数。
2. 题目：求解方程 d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = e^(-2x)解答：这是一个二阶常系数齐次线性常微分方程。
我们可以使用特征方程的方法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的解。
将这个解代入方程，得到特征方程r^2 + 4r + 4 = 0。
解这个二次方程，得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。
接下来，我们寻找特解。
由于右侧是指数函数，我们猜测特解为 y = Ae^(-2x)，其中 A 是待定常数。
将这个猜测代入方程，得到 A = 1/9。
因此，原方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x) + 1/9e^(-2x)，其中 C1 和 C2是任意常数。
习 题 ２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，则,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．习 题 ２-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：（１）yx dx dy 2=解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．（２）)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．（３）0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．（４）221xy y x dxdy+++=； 解：原方程即为：2(1)1dyx dx y=++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22， 即 )2(2c x x tg y ++=． （５）2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即42ππ+=k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ② 1±=y 也是方程的解.（７）．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx e x dy e y xy)()(--=+两边积分得：c e x e y x y ++=+-2222， 原方程的解为：c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos ， 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．（２）．0=+-dy ye xdx x， 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x，两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2， 因为1)0(=y ， 所以21-=c ， 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x ．（３）．r d dr=θ， 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=，两边积分得：c r =-θln ， 因为2)0(=r ， 所以2ln =c ，所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．（４）．,1ln 2yx dx dy+= 0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y ， 所以1=c ，所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=（５）．321xy dxdyx=+， 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=， 两边积分得：c x y ++=--22121， 因为1)0(=y ， 所以23-=c ，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． （１）．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：（２）．ay dxdy=， （常数0≠a ）； 解：①当0≠y 时，原方程即为：dx aydy= 积分得：c x y a +=ln 1，即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：y（３）．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时，原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ，即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：（４）．n y dx dy =， )2,1,31(=n ； 解：①0≠y 时，ⅰ）2,31=n 时，原方程即为 dx ydyn =， 积分得：c y n x n=-+-111．ⅱ）1=n 时，原方程即为dx ydy=积分得：c x y +=ln ，即)0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义，则有22yb ydx dy --=，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=．5. 设微分方程)(y f dxdy=（2.27），其中f(y) 在a y =的某邻域（例如，区间ε<-a y ）内连续，而且a y y f =⇔=0)(，则在直线a y =上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(（发散）． 证明：（⇒）首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点（00,y x ）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. （*） 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域1R （2R ）内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。
因此只需详细考虑经过1R 内某一点),(0ε-a x 的积分曲线， 它由（*）式确定.若⎰-aa y f dyε)(收敛，即存在 1x x = ，使得01)(x x y f dyaa -=⎰-ε, 即所讨论的积分曲线当 1x x = 时达到直线a y =上点（a x ,1）. 由（*）式易看出，所论积分曲线在（a x ,1）处与a y = 相切，在这种情形下，经过此直线上的一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以⎰-aa y f dyε)(发散.若积分⎰-aa y f dyε)(发散，此时由（*）式易看出，所论的经过),(0ε-a x 的积分曲线，不可能达到直线 a y =上，而以直线a y =为渐近线，又注意到a y =也是（２.13）的积分曲线，所以（2.13）过),(0ε-a x 的解是唯一的. 注：对于2R 内某点（ε+a x ,0）完全可类似地证明.6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形． （１）．y dxdy =；（２）．⎩⎨⎧=≠=00ln y y yy dxdy()⇐习 题 ２-3１．求解微分方程：（１）x xe y dxdy-=+2; 解：,2)(=x p xxe x q -=)(，由公式得：x x xx x x e xe cedx e xe c e y ------+=+=⎰222)(， 原方程的解为：x x x e xe ce y ----+=2．（２）x ytgx dxdy2sin =+； 解：,)(tgx x p = x x q 2sin )(=，c x dx xx d dx x x tgxdx dx x p +-=-===⎰⎰⎰⎰cos ln cos )(cos cos sin )(， 则有xx c x c x dx xxc x dx ex c ey xx2cos ln cos ln cos 2cos )cos 2(cos )cos 2sin (cos )2sin (-=-=+=+=⎰⎰-原方程的解为：x x c y 2cos 2cos -=．（３）,sin 2x y dx dy x=+ ππ1)(=y ； 解：原方程即为：x x y x dx dy sin 2=+，则x xx q x x p sin )(,2)(==，c x dx xdx x p +==⎰⎰2ln 2)(， 则有)sin cos (1)sin (1)sin (22ln ln 22x x x c x xdx x c x e xx c e y x x +-=+=+=⎰⎰- 因为ππ1)(=y ， 所以0=c ．原方程满足初值问题的解为：x xx x y sin 1cos 12+-= ． （４）x y x dx dy +=--1112，1)0(=y ； 解：x x q x x p +=-=1)(,11)(2, 2111ln )(⎰+-=x x dx x p 则2111ln+-=x x ey ⎰++)1((x c )2111lndx ex x -+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+-+>-+-+=⎰⎰1)1(111)1(1122x dx x c xx x dx x c x x要求满足初值问题1)0(=y 的解 只需求⎩⎨⎧<-+-+⎰1)1(112x dx x c xx)121a r c s i n 21(112x x x c x x -++-+=代入初值得1=c所以满足初值问题的解为)121a r c s i n 211(112x x x x x y -++-+=. 2. 将下列方程化为线性微分方程：（１）yy x dx dy 222+=； 解：令z y =2， 则原方程化为：2x z dxdz+=． （２）2yx ydx dy +=； 解：由原方程得：，yy x dy dx 2+=, 即 y x y dy dx +=1 ． （３）03332=++x y dxdyxy； 解：令z y =3， 则原方程化为：21x z xdx dz --=．（４）xtgy ydx dy +=cos 1； 解：原方程即为：yyx y dx dy cos sin cos 1+= 即y x dxydysin 1cos +=. 令y z sin =， 则 1+=xz dxdz． 3. 设)(x y φ=满足微分不等式)0(,0)(≥≤+'x y x a y ．求证：,)0()(0)(⎰≤-xdss a e x φφ )0(≥x证明：将0)(≤+'y x a y 两边同乘0()xa s ds e⎰ 则有⎰xdss a e 0)(+'y ⎰xds s a e 0)(0)(≤y x a即0))((0)(≤⎰dxx e d xdss a φ 从０到x 积分得：⎰xds s a e0)()0()(φφ≤x ，得证．4. 用常数变易法求解非齐次线性方程)()(x q y x p dxdy=+． 解：设方程有形如⎰=-dxx p e x c y )()(的解，将其代入方程则有 解：设方程有形如⎰=-dx x p e x c y )()(的解，将其代入方程则有-⎰-dxx p e dxx dc )()(+⎰-dx x p e x p x c )()()()()()()(x q e x p x c dx x p =⎰- 即)()()(x q e dx x dc dxx p =⎰-， 则c e x q x c dx x p +⎰=⎰)()()(， 所以方程的解为⎰=-dx x p e y )())(()(c e x q dxx p +⎰⎰.5. 考虑方程)()(x q y x p dxdy=+，其中)(x p 和)(x q 都是以0>ω为周期的连续函数．试证：（１）若0)(=x q ，则方程的任一非零解以ω为周期⇔)(x p 的平均值⎰==ωω0)(1dx x p p ．（２）若0)(≠x q ，则方程的有唯一的ω周期解⇔0≠p ．试求出此解．证明：（１）设)(x y φ=是方程的任一非零解 则,0)(⎰-=xx dxx p cey 且,0)(⎰++-=wx x dxw x p cey 也是解⇔⎰-xx dxx p e 0)(,0)(⎰++-=wx x dxw x p e⎰⎰+--=wx x dxx p xx dxx p ee)(0)( 10)(=⇔⎰ωdxx p e⎰=⇔ω00)(dx x p(2) 方程的通解为+=⎰-xdxx p cey 0)(⎰⎰-xdt t p xse s q 0)()( 选择常数c 使)(x y 成为 ω周期函数，即)()(x y w x y =+（*）我们先来证明，要使（*）对所有x 成立，其实只需对某一特定 x （例如0=x ）成立,即只需)0()(y y =ω.事实上，由于)(x y 是方程的解， 且)()(x p w x p =+)()(x q w x q =+， 所以)(w x y +也是解. 因此，函数)()()(x y w x y x u -+=是相应齐次方程0)(=+'y x p y 满足初始条件0)0(=y 的解。
