2020版高中数学总复习教案及练习讲义归纳整理81巩固练习高考随机事件及其概率(提高)

高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。

一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。

我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。

掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。

1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。

我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。

1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。

我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。

1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。

向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。

我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。

1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。

随机事件及其概率二、教学重点: 事件的分类与概率的统计定义.三、教学难点：概率统计定义的理解.四、教学方法：合作探究，启发式，发现法五、教学手段：多媒体课件六、教学过程：一）问题情境：1．在足球比赛前，主裁判以抛硬币的方式确定比赛场地，这公平吗？2．我们去购买福利彩票时，早去晚去对中奖的可能性有没有影响呢？3．在座的100多人中至少有两个人生日相同的概率又有多大呢？由此引出课题（板书课题）。

二）学生活动思考、讨论以上问题，学生活动贯穿于课堂教学中。

三）数学理论1．事件的含义幻灯片展示现象（1）~（4）图片：（1）木柴燃烧，产生热量；（2）明天,地球仍会转动；（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起；（4）在标准大气压00C以下，雪融化。

引出概念：确定性现象——在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象。

幻灯片展示现象（5）、（6）图片：（5）转动转盘后，指针指向黄色区域（6）两人各买1张彩票，均中奖引出概念：随机现象——在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象。

对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。

而试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

2．事件的分类给出先前展示的六个现象对应的各个事件，判断它们发生的可能性。

由这些事件发生的可能性情况，引导学生归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的定义。

必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

由上述几个事件：（1）木柴燃烧，产生热量；（2）实心铁块丢入水中,铁块浮起；（3）两人各买1张彩票，均中奖，说明事件的条件和结果。

请学生讨论，举日常生活中这三种事件各一例。

3．事件的表示：我们用A、B、C等大写字母表示随机事件，简称事件。

注：对于必然事件和不可能事件也可以这样表示。

高中数学：概率总复习（例题、巩固练习、例题和巩固练习详解）【典型例题】要点一：随机事件与概率例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?举一反三：【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( )A .()n f 与某个常数相等B .()n f 与某个常数的差逐渐减小C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定要点二：互斥事件与对立事件例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?举一反三：【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：.要点三：古典概型例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P(A)；(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；(3)只有乙中奖的概率P(C)；(4)乙中奖的概率P(D)．举一反三：【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.要点四：几何概型例4、从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？举一反三：【变式1】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．【变式2】已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+．(1)设集合P ＝{-1，1，2，3，4，5}和Q ＝{-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1，+∞)上是增函数的概率：(2)设点(a ，b)是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()f x 在区间[1，+∞)上是增函数的概率．【巩固练习】1．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对2．某校学生毕业后有回家待业，上大学和补习的三种方式，现取一个样本调查结果如图所示，若该校每一个学生上大学的概率为45，则每个学生补习的概率为( )A ．110 B ．225 C ．325D ．153．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4．8，4.85)(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.684．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 5．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）。

高考总复习:随机事件及其概率编稿:孙永钊审稿:张林娟【考纲要求】1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别；2、了解两个互斥事件的概率加法公式。

【知识网络】【考点梳理】知识点一、事件的有关概念1.事件在一定条件下出现的某种结果。

在一定的条件下,能否发生某一事件有三种可能:(1)在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件；(2)在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件；(3)在条件S下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件。

必然事件和不可能事件的统称为确定事件,确定事件和随机事件统称为事件,其一般用大写字母A、B、C……表示。

2. 基本事件一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件,它是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为基本事件。

如果一次试验中可能出现的结果有n个,那么这个试验由n个基本事件组成。

3.基本事件的特点(1)不能或不必分解为更小的随机事件；(2)不同的基本事件不可能同时发生；(3)一次试验中的基本事件是彼此互斥的；(4)试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘.知识点二、频率与概率1.频数与频率在相同条件下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数,称n n A f A n =)(为事件A 出现的频率。

2.概率对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率)(A f n 稳定在某个常数上,则这个常数就叫事件A 的概率,记作()P A 。

概率的基本性质①任何事件的概率的取值范围:0()1P A ≤≤；②P(必然事件)＝1,P(不可能事件)＝0。

3.频率与概率的区别与联系①频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数；②随机事件的频率,指事件发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随试验次数的不断增多,摆动幅度越来越小,这个常数就是这个随机事件的概率；③概率可以看作是频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

第8讲n次独立重复试验与二项分布[考纲解读] 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念．(重点)2.能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用. 题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型.1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做□01条件概率，用符号□02P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝□03P(AB)P(A) (P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB)(n(AB)表示AB共同发生的基本事件的个数)．n(A)(2)条件概率具有的性质①□040≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)□05P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称□01A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝□02P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝□03P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则□04A与B，□05A与B，□06A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则□07A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在□01相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝□02P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作□03X ～B (n ，p )，并称p 为□04成功概率．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X＝k )＝□05C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )．1．概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝(1－p )．( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115答案 C 解析 ∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，P (A )＝25且P (B |A )＝13，∴P (AB )＝P (A )×P (B |A )＝25×13＝215.(2)设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝3)的值是( )A.10243 B.32243 C.40243D.80243答案 C解析 因为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243. (3)两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16答案 B解析 两个零件恰好有一个一等品的概率为23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.(4)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．答案 49解析 所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49.题型 一 条件概率1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12答案 B解析 解法一：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个． 事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14.故选B.解法二：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.故选B. 2．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.答案 14解析 由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.条件探究1 若将举例说明1中的事件B 改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (B )＝C 23C 25＝310.又B ⊆A ，则P (AB )＝P (B )＝310， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.条件探究2将举例说明1条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值．解从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A25种方法；其中第一次取到的是奇数，有A13A14种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有A13 A12种方法．则P(A)＝A13A14 A25＝35，P(AB)＝A13A12A25＝310，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：提醒：要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．1．(2019·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45答案 A解析 设某天的空气质量为优良是事件B ，随后一天的空气质量为优良是事件A ，所以题目所求为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.60.75＝0.8. 2．一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.答案 14解析 如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4， ∴n (AB )＝1，∴P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.题型 二 相互独立事件的概率某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596， 有1个家庭回答正确的概率为P 1＝P (A B －C －＋A B C ＋A －B －C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果． 此外，也可以从对立事件入手计算概率.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.∵事件A与B相互独立，A与B相互独立，则A·B表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(A B)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝415.即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是4 15.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C24C35＝35，依题意，A，B，C相互独立，A，B，C相互独立，且AB C，A B C，A BC，ABC彼此互斥．又P(X＝2)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3375＋1875＝1725，故“X≥2”的事件的概率为17 25.题型三独立重复试验与二项分布(2018·贵州铜仁模拟)医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有A，B，C三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75，能控制V指标的概率分别为0.6,0.5,0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．(1)求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．解(1)A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P＝P(A B－C－)＋P(A B C)＋P(A－B－C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)∵A有治疗效果的概率为P A＝0.5×0.6＝0.3，B有治疗效果的概率为P B＝0.6×0.5＝0.3，C有治疗效果的概率为P C＝0.75×0.4＝0.3，∴A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成3次独立重复试验，即X～B(3,0.3)．∵X的可能取值为0,1,2,3，∴P(X＝k)＝C k3×0.3k×(1－0.3)3－k，即P(X＝0) ＝C03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027.故X的分布列为X 012 3P 0.3430.4410.1890.0271．独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程．2．判断某概率模型是否服从二项分布P n(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的．(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.。

2020届高考数学总复习资料整理高中数学必备知识点大全三、算法、推理与证明五、函数、基本初等函数I的图像与性质指数函数2y a=01a〈〈(),-∞+∞单调递减，01,001x y x y〈〈〉〈〈时时函数图象过定点（0.1）1a〉(),-∞+∞单调递增，01,01x y x y〈〈〈〉〉时0时六、函数与方程、函数模型及其应用函数零点概念方程()0f x=的实数根。

方程()0f x=的实数根⇔函数()0y x=的图象与x轴有交点⇔函数()y f x=有零点。

存在定理对于在区间[],a b上连续不断，若()()0f a f b〈，则()y f x=在(),a b内存在零点。

二分法方法对于在区间[],a b上连续不断且()()0f a f b〈的函数()y f x=。

通过不断把函数()f x的零点所在的区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点。

进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

步骤第一步确定区间[],a b，验证()()0f a f b〈g，确定精确度∈。

221cos 2sin 21cos 2cos 2aa aa -=+=注：表中,n k均为正整数。

十三、空间几何体（其中为半径、为高、为母线等)S h十四、空间点、直线平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】十八、圆锥曲线的定义、方程与性质注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐进线方程分别为x a y ±=，x by ±=2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是2,2,2,2p y p y p x p x =-==-=。

十九、圆锥曲线的热点问题二十一、离散型随机变量及其分布（理科）二十二、统计与统计案例二十三、函数与方程思想，数学结合思想二十四、分类与整合思想，化归与转化思想二十五、几何证明选讲二十六、坐标系与参数方程。

高中数学随机事件概率教案
一、教学目标：
1. 了解什么是随机事件以及概率的定义；
2. 掌握计算随机事件发生的概率的方法；
3. 能够应用概率的知识解决实际问题。

二、教学重点：
1. 随机事件与概率的概念；
2. 计算概率的方法。

三、教学难点：
1. 概率计算中的排列组合问题；
2. 复杂事件的概率计算。

四、教学内容：
1. 什么是随机事件？
2. 概率的定义和表示方法；
3. 概率的基本性质；
4. 概率计算的基本方法；
5. 概率计算的案例分析。

五、教学方法：
1. 理论讲解结合实例分析；
2. 学生互动讨论；
3. 练习巩固。

六、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的抛硬币实验引出随机事件和概率的概念；
2. 讲解：介绍随机事件和概率的定义，并通过例题进行讲解；
3. 案例分析：通过一些常见的问题，引导学生掌握计算概率的方法；
4. 练习：学生进行相关练习，巩固所学知识；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

七、教学资源：
1. 教材、课件；
2. 练习题。

八、作业布置：
完成课后练习题。

以上就是本节课的教学内容，希望同学们认真学习，掌握概率的计算方法，提高自己的数学水平。

祝大家学习进步！。

随机变量及其分布要求层次重难点取有限值的离散型随机变量及其分布列C⑴理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．⑵理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．超几何分布A（一） 知识内容1．运用计数原理，求随机事件的概率，为求随机变量的分布列打下基础．2．涉及到的主要是古典概型的概率求法，与概率初步相承接．对于直接列出基本事件空间求概率的题型不再收集，属于概率初步中的内容．（二）典例分析：【例1】 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，知识框架例题精讲高考要求离散型随机变量二点分布超几何分布 二项分布离散型随机变量的分布列板块一：随机事件的概率随机变量及其分布把乙猜的数字记为b，且{0129}，，，，，，若||1a b∈-≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意a b找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为．【例2】从装有3个白球，4个红球的箱子中，把球一个个取出来，到第五个恰好白球全部取出来的概率是_____．【例3】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．【例4】某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是______．【例5】（09上海春）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例6】6女，4男中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率为0.8，每位男同学能通过测验的概率为0.6．试求：⑴选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【例7】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a p，的值分别为（）A ．510521a p ==， B ．410521a p ==， C ．521021a p ==， D ．421021a p ==，【例8】 （07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625D ．516【例9】 （08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总体{}12m ，，，和{}12m m n ++，，，（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于 ．【例10】 （2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例11】 （2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【例12】 （2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A ．175B ．275C ．375D ．475【例13】 （2009安徽10）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）A ．1B ．12C ．13D ．0【例14】 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_______．【例15】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A ．445B ．136C ．415D ．815【例16】 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【例17】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例18】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A．120B．110C．25D．35【例19】从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．19125B．18125C．16125D．13125【例20】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例21】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n=，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例22】 （2009江苏23）对于正整数2n ≥，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组()a b ，的组数，其中{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率．⑴求2n T 及2n P ；⑵求证：对任意正整数2n ≥，有11n P n>-．【例23】 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为1233，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为3255，；记 第(*)n n ∈N 次按下按钮后出现红球的概率为n P ． ⑴求2P 的值；⑵当2n n ∈N ，≥时，求用1n P -表示n P 的表达式； ⑶求n P 关于n 的表达式．（一） 知识内容1．离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．板块二：离散型随机变量及其分布列（二）典例分析：【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ；⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【例2】 写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元 和600 元，记他的旅费为X ；⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ．【例3】 若()1P X n a =-≤，()1m P X b =-≥，其中m n <，则()P m X n ≤≤等于（ ）A ．(1)(1)a b --B ．1(1)a b --C ．1()a b -+D ．1(1)b a --【例4】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为X ，若甲先投，则()P X k ==_________．【例5】 某12人的兴趣小组中，有5名三好生，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中三好生的人数，则(3)P X ==________．【例6】 设随机变量的分布列如下：k【例7】 设随机变量X 等可能的取值123n ，，，，，如果(4)0.3P X <=，那么（ ） A ．3n = B ．4n = C ．9n = D ．10n =【例8】 设随机变量X 的概率分布列为2()1233iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，，则a 的值是（ ） A ．1738 B ．2738 C ．1719 D ．2719【例9】 已知随机变量X 的分布列为()(123)2iP X i i a===，，，则(2)P X == ．【例10】 设随机变量X 的概率分布是()5kaP X k ==，a 为常数，123k =，，，则a =（ ） A ．2531 B ．3125 C ．12531 D ．31125【例11】 设随机变量ξ所有可能取值为1234，，，，且已知概率()P k ξ=与k 成正比，求ξ的分布．【例12】 设随机变量X 的概率分布列为()1262k cP X k k ===，，，，，其中c 为常数，则(2)P X ≤的值为（ ）A ．34B ．1621C ．6364D ．6463【例13】 设随机变量X 的分布列为()()123k P X k k n λ===，，，，，，求λ的取值．【例14】 已知(12)(1)k p k k k λ==+，，为离散型随机变量的概率分布，求λ的取值．【例15】 随机变量X 的分布列()(1234)(1)p P X k k k k ===+，，，，p 为常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56【例16】（2008年北京卷理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【例17】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：⑴记甲击中目标的次数为ξ，ξ的概率分布及数学期望；⑵乙至多击中目标2次的概率；⑶甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【例18】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量Y．⑴求随机变量X与Y的分布列；⑵求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率．⑶求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率；⑷求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率．【例19】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1-分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列，并求出所得分数不为0的概率．【例20】一袋中装有编号为123456，，，，，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．⑴求X的概率分布；⑵求4X 的概率．【例21】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数．⑴求袋中所有的白球的个数；⑵求随机变量X的概率分布；⑶求甲取到白球的概率．【例22】一个袋中有5个球，编号为12345，，，，，在其中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布列以及最大号码不小于4的概率．（一） 知识内容1．如果随机变量X 的分布列为 X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-为伯努利分布．2．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C mn m M N M nNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（二）典例分析：【例23】 某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为____．【例24】 在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于46691015C C C 的是（ ） A ．(4)P X = B ．(4)P X ≤ C ．(6)P X =D ．(6)P X ≤板块三：二点分布与超几何分布【例25】4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数，则所选三人中女生人数1ξ≤的概率为（）．A．15B．25C．35D．45【例26】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A．115B．215C．1315D．1415【例27】从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是______【例28】从一副扑克（无王牌）中随意抽取3张，其中至少有一张是黑桃的概率_______（保留四位有效数字）【例29】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X的概率分布．【例30】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．【例31】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例32】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例33】已知10件产品中有3件是次品．⑴任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；⑵为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？【例34】人类血型有A型，B型，AB型，O型，四种常见血型，现在有100人，其中是A型血的有40人，B型血的有20人，AB型血的有10人，O型血的有30人，从这100人中随机选出两人，问血型不同的概率是多少？【例35】交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，所得奖励是所抽2球的钱数之和，求摸奖人至少不赔的概率．【例36】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，⑴红球的个数不比白球少的概率是多少？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，使总分不少于7分的概率是多少？【例37】已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球．⑴求取出的4个球中恰有1个红球的概率；⑵求取出的4个球中红球的个数不超过2个的概率．。

章末复习学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系.3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能理解古典概型并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解． 3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn 求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．(×)题型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．反思感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．(4)不一定．题型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝3 5.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.反思感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解 (1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N *)，那么事件A k 之间彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B .根据对立事件的概率公式，得P (B )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05. 题型三 古典概型例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种． 从中选出的2名教师性别相同的结果有 (A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率P ＝615＝25.反思感悟 解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．跟踪训练3 甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若用A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若用B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件，为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解 (1)基本事件个数与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤5，1≤y ≤5}中的元素一一对应，所以S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数n ＝25.事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，故P (A )＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件．因为B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B ，C 同时发生．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．1．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但a 2＋b 2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温. 其中为随机事件的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 B解析 任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a ，b 都不为0，则a 2＋b 2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.2．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( ) A.110 B.15 C.29 D.14 答案 B解析 基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)， 共2种，故所求概率为15.故选B.3．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.1450答案 C解析 三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300. 4．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.16 答案 C解析 从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件，所以所求概率P ＝26＝13.5．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取2个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0，就去打球，若X ＝0，就去唱歌，若X <0，就去下棋，则小波不去唱歌的概率是________．答案1115解析 根据题意可知，X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种，故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15(种)，其中X ≠0的情况有1＋6＋4＝11(种)，故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P ＝1115.1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．。

第4讲随机事件的概率基础知识整合1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有□01稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的□02概率，03P(A)．记作□04概率是一个确定(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而□的值，因此，人们用□05概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用□06频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：□070≤P(A)≤1.②必然事件的概率：P(A)＝□081.③不可能事件的概率：P(A)＝□090.④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝□10P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝□111，P(A)＝□121－P(B)．2．事件的关系与运算1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A．互斥事件但非对立事件B．对立事件但非互斥事件C．互斥事件也是对立事件D ．以上都不对答案 A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.2．(2019·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品答案 B解析 ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A “至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件，也不是对立事件答案 C4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08答案 C解析 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．答案 0.5173解析 男婴出生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为________． 答案 18解析 设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人．核心考向突破考向一 事件的概念例1 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．触类旁通事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．即时训练 1.(2019·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案 D解析 A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．考向二 随机事件的概率与频率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50， 故所求概率为502000＝0.025. (2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型概率公式得P (B )＝16282000＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．触类旁通概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．即时训练 2.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 考向三 互斥、对立事件的概率角度1 互斥事件的概率 例3 (2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24， 由频率估计概率得P (C )＝0.24.角度2 对立事件的概率例4 (2019·扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)． (2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110. P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.触类旁通求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算． 2间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P A ＝1－P A ，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便.即时训练 3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000. 故1张奖券的中奖概率为611000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.。

2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布§10.4　随机事件与概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E 的每个可能的称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E 的，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn ，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }为有限样本空间.基本结果样本空间(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的称为随机事件，简称事件.②表示：一般用大写字母A ，B ，C ，…表示.③随机事件的极端情形：、 .子集必然事件不可能事件含义符号表示包含关系若A 发生，则B 一定发生______相等关系B ⊇A 且A ⊇B ______并事件(和事件)____________________A ∪B 或A ＋B 交事件(积事件)A 与B 同时发生__________互斥(互不相容)A 与B 不能同时发生A ∩B ＝∅互为对立A 与B 有且仅有一个发生______________________2.两个事件的关系和运算A ⊆B A ＝B A 与B 至少有一个发生A ∩B 或AB A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω3.古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .4.古典概型的概率公式一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝___＝其中，n (A )和n (Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数.有限个相等5.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有P (A )≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0；性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝___________；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝________；P (A )＋P (B )1－P (B )性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1；性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝____________________.P (A )＋P (B )－P (A ∩B )6.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A稳定于发生的频率f n(A)会逐渐事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用可以用频率f n(A)估计概率P(A).常用结论1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.若事件A1，A2，…，A n两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.( )(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )(4)若A ∪B 是必然事件，则A 与B 是对立事件.( )××√√1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是√A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为√A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8由题意知该同学的身高小于160c m的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.3.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______.第二部分命题点1　随机事件间关系的判断例1　(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A ＝{两弹都击中飞机}，事件B ＝{两弹都没击中飞机}，事件C ＝{恰有一弹击中飞机}，事件D ＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是A.A ∩D ＝∅B.B ∩D ＝∅C.A ∪C ＝DD.A ∪B ＝B ∪D√√“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C ＝D，A∪B≠B∪D.(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是A.至少有一个红球；至少有一个白球√B.恰有一个红球；都是白球C.至少有一个红球；都是白球D.至多有一个红球；都是红球对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.命题点2　利用互斥、对立事件求概率例2　某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵事件A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )(2)1张奖券的中奖概率；设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.思维升华事件关系的运算策略进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.跟踪训练1　(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i ＝“点数为i ”，其中i ＝1,2,3,4,5,6；D 1＝“点数不大于2”，D 2＝“点数不小于2”，D 3＝“点数大于5”；E ＝“点数为奇数”；F ＝“点数为偶数”.下列结论正确的是A.C 1与C 2对立B.D 1与D 2不互斥C.D 3⊆FD.E ⊇(D 1∩D 2)√√对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确.(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间1 1.52 2.53 (分钟/人)已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间1 1.52 2.53 (分钟/人)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，例3　(1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为√大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为 .(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是√思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2　(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为√从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 _____.例4　北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意. (1)完成右面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？满意不满意合计男生女生合计 120xα 2.706 3.841 6.6357.87910.8282×2列联表如表所示.零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关.根据列联表中数据，满意不满意合计男生402060女生303060合计7050120根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关.(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率.由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，思维升华求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定样本点个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.跟踪训练3　从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05，(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.。

数学高考总复习:集合的概念和运算【考纲要求】1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念:（1）集合中元素特征,确定性,互异性,无序性； （2）集合的分类:①按元素个数分:有限集,无限集；②按元素特征分；数集,点集。

如数集{y|y=x 2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x 2}表示开口向上,以y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法:①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N +={0,1,2,3,…}；②描述法。

2、两类关系:（1）元素与集合的关系,用∈或∉表示；(2)集合与集合的关系,用⊆,≠⊂,=表示,当A ⊆B 时,称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时,称A 是B 的真子集。

3、集合运算(1)交,并,补,定义:A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B},A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B},C U A=｛x|x ∈U,且x ∉A ｝,集合U 表示全集；（2）运算律,如A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C),C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B), C U (A ∪B)=(C U A)∩(C U B)等。

【典型例题】集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算描 述 法图 示 法列 举 法 相 等包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集类型一:集合的概念、性质与运算例1.(2015 陕西高考)设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则MN =( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(,1]-∞ 答案:A【试题解析】 错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

故选A. 举一反三:【变式】(2015福建高考)若集合{}234,,,A i i i i = (i 是虚数单位),{}1,1B =- ,则A B 等于 ( )A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ 答案:C【试题解析】因为错误！未找到引用源。

【巩固练习及参考答案与解析】1.某射手射击所得环数X 的分布列为:A.0.28B.0.88C.0.79D.0.512.(2015 辽宁校级模拟)同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是( )A.20B.25C.30D.403.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,则P (X ＝4)的值为( )A. 1220B. 2755C.27220D.21254.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为:则q 等于( )A.1B.1±2C.1－2D.1＋25.随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝(1)c k k +,k ＝1,2,3,4,其中c 是常数,则P (12<X <52)的值为( )A. 23 B. 34 C.45D.566.已知某随机变量ξ的概率分布列如下表,其中x >0,y >0,随机变量ξ的方差Dξ＝12,则x ＋y ＝________.7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是________.8.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:请小牛同学计算ξ的数学期望,但能断定这两个“？”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案Eξ＝________.9.(2015 上海高考)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元)；随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则Eξ1﹣Eξ2= (元).10.(2015 湖南高考)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖；若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.A B C D E五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要求每个学生必须参11.某学校高一年级开设了,,,,加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.(Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；(Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；(Ⅲ)设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数,求X的分布列与数学期望.12.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只E,并有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξ求该商家拒收这批产品的概率.13.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个,是否加工出精品均互不影响。

【巩固练习及参考答案与解析】1.已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4,则a 等于( ) A.－3 B.－38 C.3 D. 38或－3 2.已知a ＝(－1,－2),b ＝(1,λ).若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( ) A. 1(,)2-∞-B. 1(,)2-+∞ C. 1(,2)2-∪(2,)+∞ D.(2,＋∞)3.对一切实数,不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞,－2) B.[－2,＋∞) C.[－2,2]D.[0,＋∞)4.若A={x|x 2+(p+2)x+1=0,x ∈R},且A ∩(0,+∞)=∅,则实数P 的取值范围是( ) A.p ≥－2 B.p ≤－2 C.p ＞2 D.p ＞－45.设集合A={x|x 2+6x=0},B={x|x 2+3(a+1)x+a 2―1=0},且A ∪B=A,则实数a 的取值范围是 . 6.方程(1-k)x 2+(3-k 2)y 2=4 (k ∈R),当k=_________时,表示圆；当k ∈_________时,表示椭圆；当k ∈_________时,表示双曲线；当k=_________时,表示两条直线.7. (2016 桂林市模拟) 已知y=f(x)为偶函数,当x ≥0时,f(x)=﹣x 2+2x,则满足f(f(a))=12的实数a 的个数为 .8.若函数321111()(1)3245f x a x ax x =-+-+在其定义域内有极值点,则a 的取值范围为________. 9.(2015 天津校级模拟)已知函数f(x)=(ax 2+x)﹣xlnx 在[1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 .10.连掷两次骰子得到的点数为m 和n ,记向量a ＝(m ,n ),与向量b ＝(1,－1)的夹角为θ,则θ∈(0,2π]的概率是________.11.解关于x 的不等式:222ax x ax -≥-()a R ∈.12. (2016 宜宾模拟)已知函数f(x)=xlnx+ax ﹣x 2(a ∈R).(1)若函数f(x)在[e,+∞)上为减函数,求实数a 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(1,+∞),f(x)＞﹣x 2+(k+a ﹣1)x ﹣k 恒成立,求正整数k 的值.13. 已知a ∈R ,函数21()log ()f x a x=+. (1)当a=1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)+log 2(x 2)=0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意1[,1]2t ∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围..14.已知向量33(cos,sin )22a x x =,(cos ,sin )22x x b =-,且[0,]2x π∈. (1)求a ,b 及||a b +；(2)若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-,求λ的值. 15.已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有|AF 1|∶|AF 2|=3∶1,如图.(1)求该椭圆的离心率；(2)设111AF F B λ=,222AF F C λ=,试判断12λλ+是否为定值？若是定值,求出该定值并证明；若不是定值,请说明理由.【参考答案】1.【答案】D【试题解析】当a <0时,在x ∈[－3,2]上,当x ＝－1时取得最大值,得a ＝－3； 当a >0时,在x ∈[－3,2]上,当x ＝2时取得最大值,得a ＝382.【答案】C【试题解析】∵〈a,b 〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>－12.又当λ＝2时,a 与b 反向.故选C. 3.【答案】B【试题解析】本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为y＝x＋ax型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立.①当x＝0时,则1≥0,显然成立；②当x≠0时,可得不等式a≥－|x|－1x对x≠0的一切实数成立.令f(x)＝－|x|－1x＝－1()xx+≤－2.当且仅当|x|＝1时,“＝”成立.∴f(x)max＝－2,故a≥f(x)max＝－2.4.【答案】D【试题解析】当A∩B=∅时,集合A=∅或A中方程没有正数解,要注意A本身为空集的情况.(1)当A=∅时,即二次方程无解⇒Δ=(p+2)2－4＜0⇒－4＜p＜0(2)当A≠∅时,即方程的解为非正数21212(2)40(2)0010px x p px x⎧∆=+-≥⎪⇒+=-+<⇒≥⎨⎪⋅=>⎩由(1)(2)知p＞－4,选D.5.【答案】13{|11} 5a a a-<≤-=或【试题解析】A={x|x2+6x=0}={0,―6},由A∪B=A,得B⊆A.(1)当B=∅时,即方程x2+3(a+1)x+a2―1=0无实数根,由Δ=9(a+1)2―4(a2―1)＜0,解得131 5a-<<-.(2)当B≠∅时,即B={0}或B={―6}或B={0,－6}.①当B={0}时,即方程x2+3(a+1)x+a2－1=0有两个等根为0.∴2103(1)0aa⎧-=⎨+=⎩,∴a=－1②当B={―6}时,即方程x2+3(a+1)x+a2―1有两个等根为―6,∴21363(1)12aa⎧-=⎨+=⎩,此方程组无解.③当B={0,―6}时,即方程x2+3(a+1)x+a2―1=0有两个实根0和―6,∴2103(1)6aa⎧-=⎨-+=-⎩,∴a=1综上可知实数a的取值范围是13{|11}5a a a-<≤-=或.6.【答案】 k=-1；k∈(∪(-1,1)；k∈(-∞, )∪(1,3)；k=1或k=【试题解析】①表示圆时,1-k=3-k 2>0,解得k=-1②表示椭圆时,22103013k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩,解得:k ∈(,-1)∪(-1,1);③表示双曲线时,(1-k)(3-k 2)<0, 解得k ∈(-∞, )∪(1,3)；④表示两直线时,21030k k -=⎧⎨->⎩或21030k k ->⎧⎨-=⎩,解得k=1或k=. 7.【答案】8【解答】令f(a)=x,则f [f(a)]=12 变形为f(x)=12当x ≥0时,f(x)=﹣(x ﹣1)2+1=12,解得x 1=1+2,x 2=1﹣2； ∵f(x)为偶函数, ∴当x ＜0时,f(x)=12的解为x 3=﹣1﹣2,x 4=﹣1+2；综上所述,f(a)=1+2,1﹣2,﹣1﹣2,﹣1+2； 当a ≥0时,f(a)=﹣(a ﹣1)2+1=1,方程无解； f(a)=﹣(a ﹣1)2+1=1﹣2,方程有2解； f(a)=﹣(a ﹣1)2+1=﹣1﹣2,方程有1解； f(a)=﹣(a ﹣1)2+1=﹣1+2,方程有1解； 故当a ≥0时,方程f(a)=x 有4解,由偶函数的性质,易得当a ＜0时,方程f(a)=x 也有4解, 综上所述,满足f [f(a)]=12的实数a 的个数为8,故答案为:8. 8.【答案】12a -<12a -+>【试题解析】问题即21'()(1)04f x a x ax =-+-=有解. 当a ―1=0时满足；当a ―1≠0时,只需Δ=a 2+(a －1)＞0,解得a <a >. 9.【答案】【试题解析】求导函数可得:f′(x)=2ax ﹣lnx∵函数f(x)=(ax 2+x)﹣xlnx 在[1,+∞)上单调递增, ∴f′(x)=2ax ﹣lnx≥0在[1,+∞)上恒成立 ∴2a≥令g(x)=(x ＞0),则令g′(x)＞0,可得0＜x ＜e ；令g′(x)＜0,可得x ＞e ； ∴函数在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减 ∴x=e 时,函数取得最大值 ∴2a≥∴10.【答案】712【试题解析】∵m >0,n >0,∴a ＝(m ,n )与b ＝(1,－1)不可能同向. ∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,2π]⇔a ·b ≥0,∴m ≥n . 当m ＝6时,n ＝6,5,4,3,2,1； 当m ＝5时,n ＝5,4,3,2,1； 当m ＝4时,n ＝4,3,2,1； 当m ＝3时,n ＝3,2,1； 当m ＝2时,n ＝2,1； 当m ＝1时,n ＝1； ∴概率是65432166+++++⨯＝71211.【试题解析】原不等式可化为:2(2)20ax a x +--≥, (1)当0a =时,1x ≤-,即(,1]x ∈-∞-； (2)当0a >时,不等式化为0)1)(2(≥+-x ax , ∵0a >,∴201a >>-,故不等式解为),2[]1,(+∞--∞a；(3)当0a <时,不等式化为0)1)(2(≤+-x ax , ①当21a =-,即2a =-时,不等式解为{1}x ∈-； ②当21a <-,即20a -<<时,不等式解为]1,2[-a ；③当21a >-,即2a <-时,不等式解为]2,1[a-；综上所述,原不等式的解集为:0a =时,(,1]x ∈-∞-；0a >时,2(,1][,)x a ∈-∞-+∞；20a -<<时,2[,1]x a∈-；2a =-时,{1}x ∈-；2a <-时,2[1,]x a∈-.12.【试题解析】(Ⅰ)由f(x)=xlnx+ax ﹣x 2(a ∈R)可知x ＞0,有:f′(x)=lnx+1+a ﹣2x, ∵函数f(x)在区间[e,+∞) 上为减函数,∴当x ∈[e,+∞)时,f′(x)≤0,即lnx+1+a ﹣2x≤0在区间[e,+∞)上恒成立, ∴a≤2x ﹣lnx ﹣1在x ∈[e,+∞) 上恒成立.令g(x)=2x ﹣lnx ﹣1,,当时,g′(x)≥0,g(x)单增；时,g′(x)≤0,g(x)单减.∴x ∈[e,+∞)时,g(x)min =g(e)=2e ﹣2∴a≤2e ﹣2. (Ⅱ)若对任意x ∈(1,+∞),f(x)＞﹣x 2+(k+a ﹣1)x ﹣k 恒成立, 即k(x ﹣1)＜xlnx+x 恒成立. 法一:∵x ∈(1,+∞),∴x ﹣1＞0. 则问题转化为对任意x ∈(1,+∞)恒成立,设函数,则,再设m(x)=x ﹣lnx ﹣2,则.∵x ∈(1,+∞),∴m'(x)＞0,则m(x)=x ﹣lnx ﹣2在x ∈(1,+∞)上为增函数, ∵m(3)=1﹣ln3＜0,m(4)=2﹣ln4＞0, ∴∃x 0∈(3,4),使m(x 0)=x 0﹣lnx 0﹣2=0. ∴当x ∈(1,x 0)时,m(x)＜0,h(x)＜0；当x ∈(x 0,+∞)时,m(x)＞0,h(x)＞0∴在x ∈(1,x 0)上递减,在x ∈(x 0,+∞)上递增.∴h(x)的最小值为.∵m(x 0)=x 0﹣lnx 0﹣2=0,∴ln(x 0)+1=x 0﹣1,代入函数,得h(x 0)=x 0,∵x 0∈(3,4),且k ＜h(x),对任意x ∈(1,+∞)恒成立,∴k ＜h(x)min =x 0,∴k≤3,∴k 的值为1,2,3. 法二:令g(x)=f(x)﹣[(k+a ﹣1)x ﹣k]=xlnx ﹣(k ﹣1)x+k(x ＞1), ∴g′(x)=lnx+1﹣(k ﹣1)=lnx+2﹣k,当2﹣k≥0时,即k≤2时,g′(x)＞0,g(x)在(1,2)上单调递增, ∴g(x)＞g(1)=1＞0恒成立,而k ∈N * ∴k=1或k=2.当2﹣k ＜0时,即k ＞2时,g′(x)=0⇒x=e k ﹣2,∴g(x)在(1,e k ﹣2)上单调递减,在(e k ﹣2,+∞)上单调递增, ∴恒成立,∴k ＞e k ﹣2,而k ∈N *,∴k=3.综上可得,k=1或k=2或k=3时成立. 13.【试题解析】(1)由21log 11x ⎛⎫+>⎪⎝⎭,得112x +>,解得{x ｜0＜x ＜1}.(2)()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解, 等价于211a x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有一解,等价于ax 2+x －1=0有且仅有一解. 当a=0时,x=1,符合题意； 当a≠0时,Δ=1+4a=0,14a =-. 综上,a=0或14-. (3)当0＜x 1＜x 2时,1211a a x x +>+,221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1)。

高考冲刺:不等式编稿:辛文升 审稿:孙永钊【高考展望】1.在选择题填空题中常考查比较大小,解不等式等,并且时常与函数、方程、三角等知识结合出题.2.在选择题与填空题中,需建立不等式求参数的取值范围,以及求最大值和最小值的应用题.3.时常与函数、方程、数列、应用题、解几等知识综合,突出渗透数学思想和方法的考查.4.均值定理单独考查的可能性比较小,更多的是在考查相关知识时辅助考查.5.不等式证明中的综合法、比较法、分析法等重要证明方法的灵活运用.6.在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围,和求最大值和最小值的应用题,特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题,会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法,值得注意。

6.绝对值不等式、柯西不等式在不等式证明中的应用. 【知识升华】【高清课堂:不等式368991 知识要点】1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高分析问题、解决问题的能力以及计算能力.2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题.4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力.5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题.6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.7. 了解绝对值不等式、柯西不等式的几种不同形式,并会应用. 【典型例题】类型一、解不等式【高清课堂:不等式368991 例2】例1.解关于x 的不等式22(1)20()kx k x k k R --++>∈【思路分析】这是一个二次型不等式,需要先从讨论k 是否等于0开始. 【试题解析】当0k =时,原不等式即220x +>,解得1x >-0k ≠时,4(14)k ∆=-当0∆<时14k >,解原不等式得x R ∈ 当0∆=时14k =,解原不等式得3x ≠-当00k >⎧⎨∆>⎩时104k <<,解原不等式得x <或x >当00k <⎧⎨∆>⎩时0k <,解原不等式得x <综上,当0k <时,不等式解集为1{}k x k-+<当0k =时,不等式解集为{1}x x >-当104k <<时,不等式解集为11{}k k x x x k k ---+<> 当14k =时,不等式解集为{3}x x ≠- 当14k >时,不等式解集为x R ∈举一反三:【变式1】设集合{|1xA x x =-＜0},{|03}B x x =<<,那么“m A ∈”是“m B ∈”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.【试题解析】∵{|1xA x x =-＜0}={x|0<x<1},∴m ∈{x|0<x<1}{|03}m x x ∈<<,(如图),故“m A ∈”是“m B ∈”充分而不必要条件.【变式2】记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ,不等式11x -≤的解集为Q . (I)若3a =,求P ；(II)若Q P ⊆,求正数a 的取值范围. 【试题解析】(I)由301x x -<+,得{}13P x x =-<<. (II){}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤.由0a >,得{}1P x x a =-<<,又Q P ⊆,所以2a >, 即a 的取值范围是(2)+∞，.例2.已知x 满足:03log 7)(log 221221≤++x x ,求)4(log )2(log )(22xx x f ⋅=的最大值和最小值..【试题解析】先求得3log 212≤≤x .把f (x )整理,得: 41)23(log )(22--=x x f ,23log )()(2max ===x x f x f ,4123log )()(2min -===x x f x f .举一反三:【变式1】二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 对一切∈x R 都有)2()2(x f x f -=+,解不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)852(log )21(log 221221x x f x x f【试题解析】∵ 241)21(l o g )21(l o g 221221≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x x x , 121)41(2log )852(log 221221≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-x x x ,又f (x )在-∞(,2]上递增,由原不等式,得:)852(log )21(log 221221+-<++x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+->++>+->++⇔8522108520212222x x x x x x x x 41414141+<<-⇔x 类型二、线性规划中的不等式例3(2015 重庆高考)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m 的值为( ) A.﹣3B.1C.D.3【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可.【试题解析】作出不等式组对应的平面区域如图: 若表示的平面区域为三角形, 由,得,即A(2,0),则A(2,0)在直线x ﹣y+2m=0的下方, 即2+2m ＞0, 则m ＞﹣1,则A(2,0),D(﹣2m,0), 由,解得,即B(1﹣m,1+m),由,解得,即C(,).则三角形ABC 的面积S △ABC =S △ADB ﹣S △ADC =|AD||y B ﹣y C | =(2+2m)(1+m ﹣) =(1+m)(1+m ﹣)=,即(1+m)×=,即(1+m)2=4解得m=1或m=﹣3(舍),故选:B举一反三:【变式1】(2015 嘉峪关校级三模)在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为()A. B. C. D.2【试题解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分,由题意M(2,3),N( ),P(0,﹣1),Q(0,1)不等式组所表示的平面区域的面积为:=故选B.【变式2】不等式组0101x yx yxy->⎧⎪+≥⎪⎨<<⎪⎪<<⎩在xy平面上的解的集合为( )A.四边形内部B.三角形內部C.一点D.空集【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,=+y x∴交集为三角形内部,选B 。

高考冲刺:函数编稿:辛文升 审稿:孙永钊【高考展望】函数知识是高中数学的重要内容之一,也是每年高考必考的重要知识点之一, 分析历年高考函数试题,大致有这样几个特点:1.常常通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象.2.在解答题的考查中,常常与不等式、导数、数列,偶尔也与解析几何等结合命题,以综合题的形式出现.3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查.4.每年高考题中都会涌现出一些函数新题型,但考查的重点仍然是对函数有关知识的深刻理解. 【知识升华】1.了解映射的概念,理解函数的概念并能在简单的问题中应用.2.理解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3.掌握基本初等函数的图像,掌握某些简单函数的图像变换.4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【高清课堂:高考冲刺第3讲 函数的概念、图象和性质 368992知识要点】【典型例题】类型一:函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1.已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则a+2b 的取值范围是A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ 【思路点拨】含绝对值的分段函数,应根据正负情况考虑去掉绝对值. 【试题解析】画出()|lg |f x x =的示意图. 由题设有 ()|lg |lg f a a a ==-, ()|lg |lg f b b b ==(1)b >, ∴ 1lg lg a b a b -=⇒=,122a b b b+=+ 令 1()2g b b b=+,则 21'()2g b b =-, ∵ 1b >, ∴ '()0g b >.∴ ()g b 在(1,)+∞上是增函数. ∴ 1()(1)3g b b g b=+>=.选C. 举一反三:【变式1】函数y =( ) (A)(3,+∞) (B)[3, +∞) (C)(4, +∞) (D)[4, +∞) 【试题解析】由24.log 20x x x >⎧⇒≥⎨-≥⎩,故选D.例2.若函数f (x )=log a (x +1)(a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是［0,1］,则a 等于A.31B. 2C.22D.2【思路点拨】因为底数不确定,需要讨论.【试题解析】f (x )=log a (x +1)的定义域是［0,1］,∴0≤x ≤1,则1≤x +1≤2. 当a ＞1时,0=log a 1≤log a (x +1)≤log a 2=1,∴a =2；当0＜a ＜1时,log a 2≤log a (x +1)≤log a 1=0,与值域是［0,1］矛盾. 综上,a =2. 【答案】D 举一反三:【变式1】函数y =( )A.{}|0x x ≥B.{}|1x x ≥C.{}{}|10x x ≥D.{}|01x x ≤≤【答案】C.【试题解析】由()10x x -≥且0x ≥得1x ≥或0x =.类型二:复合函数问题复合函数问题属于偏难些的内容.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例3.对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命题的真假:命题甲:(2)f x +是偶函数；命题乙:()f x 在()-∞2，上是减函数,在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) Ａ.①② Ｂ.①③ Ｃ.② Ｄ.③【思路点拨】复合函数的奇偶性问题也应该从定义来考虑.【试题解析】22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数,又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数,在(2)+∞，上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-.故选Ｃ 举一反三:【变式1】若函数()y f x =的值域是1[,3]2,则函数1()()()F x f x f x =+的值域是( )A.1[,3]2B.10[2,]3C.510[,]23D.10[3,]3【答案】B【试题解析】令()t f x =,则1[,3]2t ∈,110()[2,]3F x t t=+∈ 【高清课堂:高考冲刺第3讲 函数的概念、图象和性质 368992 例1】例4.已知132(0)()(01)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩ 求((()))f f f a 。

2020年高考数学一轮复习精品教学案11.1 随机事件的概率（新课标人教版，教师版）【考纲解读】【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2020年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件．(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)(A1，A2，…，A n彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．【例题精析】考点一互斥事件与对立事件例1.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解析】(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．【名师点睛】本小题主要考查互斥事件与对立事件,对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．.【变式训练】1.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )．A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件考点二随机事件的概率与频率例2.（2020年高考湖南卷文科18)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（I）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70 110 140 160 200 220频率120420220（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【名师点睛】本小题主要考查随机事件的概率与频率,考查了学生分析问题、解决问题的能力. 【变式训练】2. 某市统计的2020～2020年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间2020年2020年2020年2020年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数 11 453 12 031 10 297 10 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001)； (2)该市男婴出生的概率约是多少？【易错专区】 问题：综合应用例. (2020年高考湖南卷文科17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.xy已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率） 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 【课时作业】1.(2020年高考江西卷文科9)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(01)p p ＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A ．(1)n p -B ．1np - C ．np D ．1(1)np --2．（2020年高考重庆卷文科14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为___________ . 【答案】370【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=. 3．（2020年高考安徽卷理科15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。