数学方法论第四章 联想与直觉作业

浅谈数学中的联想思维法在初三中考中，压轴题是大部分学生感到困难的部分。

如果要很好的完成中考压轴题，那么良好的思维习惯就是解题的重要保证了。

良好的思维习惯不是生来就有的，它是在有意识的培养中形成，并在不断的实践中得到发展的。

培养和发展学生学习数学的良好的思维习惯是每一位数学教师的追求和职责。

数学学习过程是一个观察、实验、模拟、推断、计算、交流等活动的综合过程，学生构建起一个包括数学思想方法在内的完整的数学知识结构体系，这都有益于提高学生学习的主动性及分析问题和解决问题能力。

从而漂亮的完成中考中的压轴题。

我们在解一个几何问题时，时常有这样的思维习惯，即这个问题与学过的那些知识有关，或与哪个熟悉的解过的题目类似。

像形态的、知识方面的的等，我们就可以把记忆中储存的相关信息联系起来。

在这个过程中我们就完成了一次联想。

在解题过程中由于题型的多样化，联想的方法也不同。

主要有接近联想、相似联想、对比联想，接下来本文就针对这三种联想方法进行举例讲解。

一、接近联想例：如图，正方形是以正方形各边中点为顶点的正方形 ... ，正方形是以正方形各边中点为顶点的正方形，阴影是分别连接、、、围城的正方形。

求是的几分之几? 分析;这是一个需由特殊到一般作接近联想解决的问题。

为求，我们把它分离放大有图，阴影部分沿向上折叠，得正方形。

由于为中点有，可得≌ 。

从而即是的。

此例中正方形分别因果相连，因而产生了因果关系的接近联想。

从上例思维过程看到，接近联想具有连续发散性，常使联想到的内容一环接一环紧密连接，构成一长串思考着的形象链条，我们可以从中摘取其中的部分用于解题。

在中考题中像填空12题有事就会出这样类型的题，我们可以先研究它较简单的前2到3步，把它作为规律用之解决后面的难题部分。

二、相似联想通常指在某一方面的性质上，或思维框架上、或形态上、或解题方法上的相似。

在中考中，有些题型（如阅读理解等）往往就要利用到相似联想。

24．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.分析：这个中考题由上面的阅读材料可以初步的建立解题思路，然后按照其思路先研究特殊题图形如图（1）得到一个初步的方法，再用相似的方法把图（2）图（3）解决。

数学方法论《数学方法论》学习指南一、课程性质《数学方法论》是高等师范院校数学教育专业及相关专业本科生的一门通识教育选修课，也可作高师数学教育专业研究生必修的一门基础课．本课程是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学的发现、发明和创新的学科．它是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视．现代科技与经济发展成熟的标志是数学化，“数学化”不仅是数学知识的应用，更多的是数学思想方法的应用．二、课程的意义新的数学教育理念认为，要提高中学生的数学素质，不仅要学生掌握数学知识，还要使学生掌握渗透于数学知识中的、对人的素质有重要影响的数学方法，并能用数学知识和方法去解决实际问题．我国中学数学课程改革中新的《数学课程标准》已将数学方法的教学列为中学数学教育的主要目标之一，因此要求中学数学教师应具备较为系统的数学方法知识结构以及运用数学方法解决实际问题的能力．三、教学目的了解“数学方法论”课程的性质及其意义，了解该课程的研究对象、范围以及它与所学知识的联系，理解它在中学数学教学中的作用；掌握数学研究的一般方法和有关概念，包括数学逻辑方法、思维方法和中学数学中常用的数学思想方法；能够用所学的、较为系统的数学方法来探求数学认知和应用的一般规律．四、教学内容第一章绪论知识点一：数学方法论的主要概念针对方法、科学方法、方法论、科学方法论、数学方法、数学思想方法、数学方法论等概念的讲解．知识点二：数学方法论的性质、对象及其产生与发展数学方法论的性质和对象简介，讲述数学方法的积累及数学方法论学科的产生、形成与发展过程．知识点三：学习数学方法论的意义从促进数学的发展、发挥数学的功能和数学教育改革几方面阐述学习、掌握数学方法论知识的意义．重点：掌握数学方法论的主要概念，了解数学方法论的性质、对象等．难点：掌握数学方法论的概念和理解数学方法论的意义．第二章化归知识点一：化归思想和方法的有关概念介绍规范问题、问题的规范化、数学中的化归方法、化归的模式、化归的方向和原则等概念，包括对熟悉性、简单性、直观性等概念的讲解．知识点二：化归的方向通过具体的数学例题，理解化归方法在实施中的方向及其原则的具体内容和内涵，包括符合化难为易、化繁为简、化未知为已知等思想应用的例子，以及利用熟悉性、简单性、直观性等思路找到化归途径的范例．知识点三：化归策略介绍常用的3种化归策略，以及3种化归的常用方法．通过大量的典型实例，分别对这些策略和方法予以应用，从而掌握它们的特点．知识点四：化归的方法主要介绍把一类数学问题化归为另一类数学问题的方法．知识点五：辩证地认识化归主要从化归的核心思想以及化归的实践性、局限性等三方面重新认识化归的特点．重点：掌握化归的主要概念及其原则、策略和方法，了解化归的基本方法．难点：在数学化归思想指导下分析具体问题，并在解题中顺利实施化归的策略和方法．第三章类比与归纳知识点一：类比法与归纳法类比、简单类比、复杂类比、常见的几种类比、归纳、数学归纳法、数学归纳原理等方面的概念讲解．知识点二：常见的几种类比和归纳介绍数学研究中常见的几种类比模式以及归纳模式．知识点三：类比与归纳的再认识整体上重新认识类比、归纳与化归的关系，并由此进一步理解类比和归纳是数学发现的重要方法．理解“培养学生提出问题的能力比解决问题的能力更重要”的意义．重点：掌握类比和归纳的相关概念和数学归纳原理，了解利用类比和归纳的常见类型及方法解决数学例题的过程．难点：认识类比、归纳与化归的关系以及归纳法与数学归纳法的区别．第四章联想与直觉知识点一：联想的有关概念、意义、法则及其途径包括联想与数学联想的概念及3个联想法则和5个联想途径的介绍．知识点二：直觉的有关概念、意义、特征及数学直觉分类包括直觉与数学直觉的概念及6个直觉思维的特征介绍．知识点三：联想与直觉在解题中所起的作用本节重点是选择一个简洁、典型的例题，由此来说明联想与直觉在解题中的作用及其方法．重点：掌握联想与直觉的相关概念和思维规律，了解利用联想与直觉的方法发现或解决数学问题的过程．难点：认识联想与直觉的关系及其区别，并理解两者在解题中所起的作用．第五章数学的论证方法知识点一：论证方法概念及分析法与综合法介绍命题、推理、论证等概念及常用的论证方法的两种．知识点二：直接证法与间接证法及应用这是另外两种常用的论证方法，并介绍其在证题中的应用．知识点三：计算证题法及其应用把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法，该方法一般思路单纯（即使算式繁杂但难度降低），较易着手，且能避免添加过多的辅助线．重点：掌握论证的相关概念和数学推理及其证明类型，掌握计算证题的诸多方法的特点．难点：认识间接证法的本质特征，掌握同一法的特点及其与反证法的区别．第六章数学的抽象方法知识点一：数学研究对象的抽象性数学抽象与其他科学的不同之处在于研究对象的抽象性和研究方法的抽象性两个方面，并介绍研究对象的抽象性的两个特点．知识点二：数学抽象的基本形式介绍数学抽象的4种基本形式．知识点三：研究方法的抽象性及数学发展规律通过几种不同的公理化方法了解数学研究方法的抽象性，并由此探讨数学学科的发展规律．重点：掌握数学对象抽象的特点，理解数学抽象方法对数学发展的意义．难点：对数学抽象的几种常见形式的认识，对各种不同公理化方法的理解．第七章数学的模型方法知识点一：数学模型方法的有关概念及其意义介绍模型以及数学建模等概念，并介绍其4个方面的意义．知识点二：数学建模的一般步骤及建模过程利用“凳子的平稳问题”的解决过程来说明数学建模的7个步骤．知识点三：数学建模的基本方法通过具体实例介绍数学建模的3种基本方法．重点：掌握数学模型的有关概念，了解数学模型方法的意义及其作用．难点：弄清数学建模的每一步骤的特点，了解数学建模各类方法的区别．第八章数学的试验方法知识点一：试验方法的基本思想及思维过程数学试验方法的基本思想是：面对问题和题设情况→确定试验方案→逐项试验→去伪存真（剔除不合题意的解）→找出问题解答．知识点二：数学试验与数学猜想的关系对于较为复杂的数学题，且不容易找到解题思路时，可进行适当实验，并对实验结果作归纳，探索条件与结论的联系，猜测解题方向．知识点三：非标准问题及优选问题的试验求解非标准问题与优选问题，一般难以直接用常规的思考方法，而运用试验来寻找解题方向，往往容易成功．重点：了解试验方法的基本思想，掌握非标准问题试验求解的一般方法．难点：弄清数学试验与数学猜想的关系以及在猜想中的作用，了解数学试验方法与其他方法的区别．第九章数学的美学方法知识点一：数学家与艺术的关系及其对数学美的看法知识点二：数学美的基本特征数学美既有感性的色彩，又有其确定的内容，它的基本特征是相对稳定的，用美学的标准来看，它具有简单性、对称性、统一性和奇异性．知识点三：数学美的意义及审美能力的培养介绍数学美的3方面的意义，以及数学审美能力的4个层次，并探讨数学审美能力培养的方法等．重点：了解数学家对数学美的看法，了解数学美在学习数学和解题方面的作用及例题，逐步培养学生的数学审美能力．难点：掌握数学美的基本特征及其表现形式，认识研究数学美学方法的意义．第十章数学语言知识点一：数学语言的特征及其特点数学语言又叫符号语言，它具有4方面的特征以及3大特点．知识点二：数学的名词、符号和图形对于数学语言的这三种形式的使用、要求、分类等予以介绍．知识点三：数学语言运用的标准在各类数学语言的运用中，都需要符合所介绍的4点标准，也是4点要求．重点：了解数学语言的特点，认识数学符号的意义，熟悉数学语言运用的标准，提高学生准确、灵活地运用数学语言的能力．难点：理解数学名词的意义，掌握数学符号的发展变化过程及其分类．五、教学特点和学习方法1、本课程以讲授为主，2学分共36个课时，以南京师大出版社2006年出版的《数学方法论简明教程》(主编：章士藻)为主讲的教材．2、我们假定学员们都了解一些形式逻辑和数学公理方面的知识（包括命题、推理、论证及数学公理系统、公理化思想等），所以，我们是在此基础上学习本课程，因此，建议学员们在学习中查看一些形式逻辑和数学公理方面的材料，以便于更好地理解相关的内容．3、由于本课程课时有限，而教材内容又太多，因此有些内容不讲或略讲，例如：所讲的内容一般是各章节最基本的部分，所选的例题也是尽可能简单的、典型的，有不少过难或过繁的例题不讲．即只选讲该学科的入门知识．。

联想和直觉方法在教学中的运用张顺强 100701185数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。

数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。

或者说，如何能够按照数学家的思维模式去进行思维。

通过对具体数学事例的研究实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。

数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”。

而数学方法论中的联想和直觉方法是对数学知识本质的认识之上，在理性层次上对数学规律的总结和发散式进一步认识。

运用联想和直觉方法进行解决教学问题的过程中，凝炼出的数学观点，是在数学活动中对运用数学解决问题具有指导性的意义。

数学方法对学生学习数学具有举足轻重的作用，如使用合理得当能够起到事半功倍的效果。

学生在解题时，如果运用联想和直觉方法，可以举一反三，从特殊到一般，能够让学生更好的掌握知识，抓住重点，比如由平面向量联想到空间向量，由平面向量的性质推广到空间向量的性质。

因此，联想和直觉方法和数学学习是相辅相成，相互统一的。

联想和直觉方法是数学的精髓，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，不仅是对数学事实与数学概念、定理、公式、法则等一些理论的推广和发展，比如四边形一章时，通过联想和直觉方法把正方形、矩形、平行四边形的相关定理公式相互推动、相互推广，更能加深学生的印象，使学生更加理解。

在小学教顶岗实习时，在度量这一章时，需要学生自己对毫米等度量单位有一个直觉的认识和感受，然后联想一下生活当中哪些与自己息息相关的事物用到这些度量单位，以及这些度量单位的换算等，所以这些联想和直觉方法在教学中的运用有利于提高学生运用数学知识解决问题及其相关问题的能力,有利于激发学生的学习兴趣,有利于提高学生学习的自觉性,把学生和教师从题海中解放出来,减轻教与学的过重负担。

浅谈直觉思维在数学中的应用摘要数学直觉思维是人们运用自己已有的知识和经验，在观察分析问题时，直接触及事物本质，对问题本身做出假设，然后再对假设做出检验或证明的一种思维方法，它表现在对数学问题的敏锐洞察。

直觉思维能对结论或解题思路产生预见性，在找到解答和证明之前，直接猜断结果，所以培养学生的直觉思维是数学教学的目标之一。

关键词直觉思维逆向思维联想思维1总结经验和规律，培养学生的联想思维爱因斯坦认为：在科学研究中，真正可贵的思维品质是直觉思维。

数学直觉思维是在长期实践中积累的经验和掌握的规律，在解题中应用较多，它是一种理性直觉，虽然有时抛弃了常规的推理和论证，不受任何模式限制，但又有迹可寻，决非空穴来风。

思维空间的广度较大，深度较深，所以我们要具备丰富的经验和掌握常见数学规律、大胆的预测，探索解题的方向。

联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联想到另一事物，是一种由此及彼的思维活动。

在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和有关知识间的联系，在认识活动过程中起着桥梁和纽带的作用，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用。

对于一些未知的数学知识，或一些无从下手的问题，通过已知知识和未知知识之间的联系，不经详尽的推理步骤，直接触及对象的本质，迅速得出预感性判断。

使本来困难、受阻的题目，迎刃而解。

另外，在数学的具体解题过程中，也可以通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。

其思维方式不仅可以使很多数学题目，特别是着手较难的数学题目，可以通过这种思维形式得到轻而易举的解决。

联想思维是创造性思维中最富有创造性特征的重要组成部分，在数学教学中对联想思维的培养是很重要的，我们在授课的过程中要注重对这些思维的培养。

2培养学生的思维潜能，提高学生的思维品质教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接反映.思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着学生解决问题的能力.因此，开发学生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重要的意义.那么，在数学课堂教学中怎样才能培养学生的思维潜能，提高学生的思维品质呢？2.1一题多解，培养学生思维的开阔性.在数学教学过程中，有很多的数学习题，都有两种或两种以上的解法，只要方法得当，都能从不同的途径得到正确的答案，当然，有的解法简单些，有的方法麻烦些，有的直接，有的间接。

初中数学联想思维能力探究魏美蓉联想是重要的思维方法，是在观察的基础上，从一个数学问题想到另一个数学问题的心理活动。

是客观事物之间的联系在人们头脑中的反映，其实质就是根据一定的意识导向对表象进行再现、加工、改造和组合。

联想可以使思维由此及彼、由表及里、举一反三、触类旁通。

在教学中我们常会发现有些学生在做一些数学题时觉得无从下手，理不出头绪，其中一个很重要的原因就是不会联想。

因此，数学教学中，学生联想思维能力的培养重点在于教会学生如何进行联想。

笔者结合多年初中数学教学理论与实践，作了以下四方面探究。

一、形似联想链形似联想链是对问题进行表征后，产生相似直觉而回忆起其他具有图形和形式相似或方法类似的一连串问题联想。

这类问题又是往往可用某一基本图形或基本形式统一起来。

（1）如图1，AB//EF//DC，则。

（2）如图2，∠BAC=120度，AD是∠BAC的平分线，则。

（3）如图3，BD是三角形ABC的角平分线，ED//BC，则。

（4）如图4，M为菱形ABCD的边BC上一点，边结DM并延长交AB的延长线于N，则。

（5）如图5，在三角形ABC中，DE是∠BAC的外角平分线，且BD垂直DE，CE 垂直DE，BE与CE交于F，则。

这五个命题结论形式异乎寻常的一致性.使激发我们去寻找它们的图形和解法上的一致性，学生对曾经解决的五个问题的认识有耳目一新的快感，这就是一种再认识，再创造。

二、性质联想链性质联想链是指在命题条件相同的情况下，推出不同形式各种结论.它可以对某一数学概念不断深化理解，即在内涵方面使认识更加丰富。

如从思维过程看是一个结论联想链，而从命题的内容看就是一个性质链。

这种链的命题，由于证法的多样性.与学生讨论时情形更为热烈。

可激发学生的创新愿望，教给学生学习的方法。

三、推广联想链推廣联想链是指在一个问题解决后，再把条件进行相似性变换，再进行探讨。

这是一种类比性质的推广，往往会得到一些形式相似的结论，反映了数学现象之间的横向联系.可以加深对于事物外延性的不同表现的认识。

数学学习技巧：联想记忆法数学学习对于许多学生来说是一件有挑战性的事情，尤其是在试图记住数学公式、定义、定理和例题时。

然而，联想记忆法是一种有用的技巧，可以帮助学生更轻松地掌握数学知识。

联想记忆法的定义联想记忆法是基于一种特殊的记忆技术，这种技术利用关联、象征和艺术等元素来建立记忆图像，以帮助记住信息。

在数学中，联想记忆法可以帮助学生记忆关键公式、概念和定理等。

联想记忆法的应用1. 利用相关联的图像联想记忆法的第一步是使用与要记忆的事物相关联的图像。

例如，如果要记忆三角形的高度公式，可以想象一个折叠的长方形，高度就像折叠后的三角形中的线。

2. 利用象征联想记忆法的另一个组成部分是象征，这有助于建立一个更强的印象。

通过将数学公式、概念或定理转化为符号或短语，可以更容易地将这些信息与相关联的图像和联想联系起来。

例如，可以将直角三角形的斜边长记作“斜杠”。

3. 利用艺术化联想记忆法的艺术化是通过图像的视觉元素来增强记忆。

学生可以将数学图形化、漫画化或其他艺术技巧来增强其记忆效果。

例如，对于勾股定理，可以画一幅三角形描绘出定理，使其形象化。

4. 利用尝试与差错法联想记忆法的另一个有用的技巧是尝试与差错法。

这种方法包括不断地制定和测试记忆图像和符号来找到最有效的策略。

这种方法可以帮助学生了解自己的学习风格，最终找到适合他们的记忆技巧。

综合应用：利用联想记忆法学习三角函数公式以学习三角函数公式为例，展示如何应用联想记忆法。

步骤1：确定相关联的图像为了记住正弦、余弦和正切公式，可以构建一个三角形图像。

在三角形的三个角中，一个角的度数以象征记忆方法对应三角函数中的三个函数。

例如，如果我们想记住正弦函数，就将图像中的sin角设置为30°（或60°，或任何可以与常见角度关联的角度）。

步骤2：确定象征将三角函数名记为其首字母缩写也是一种常见的象征方法。

例如，Sin记为S，Cos记为C，Tan记为T。

数学学习中的联想思维与空间想象力培养数学是一门需要联想思维和空间想象力的学科。

联想思维是指通过将不同的概念、知识进行联系和联想，从而形成新的认知和理解。

而空间想象力则是指通过观察和思考，能够在脑海中形成对物体、图形和空间关系的准确和清晰的想象能力。

在数学学习中，培养联想思维和空间想象力对于提高学习效果和解决问题至关重要。

联想思维在数学学习中的作用不可忽视。

数学知识之间往往存在着内在的联系和相互关联，只有通过联想思维才能够将这些知识进行有效的整合和应用。

比如，在学习代数时，我们需要将不同的代数概念进行联系和联想，从而形成对代数运算规则和代数方程的深刻理解。

而在解决数学问题时，联想思维也能够帮助我们找到问题的关键点和解题的思路。

通过将问题与已有的知识和经验进行联系和联想，我们可以更好地理解问题的本质和解决方法。

联想思维的培养需要通过多样化的学习方法和思维训练来实现。

一方面，我们可以通过拓展学习内容和拓宽学习渠道来培养联想思维。

在学习数学的过程中，我们可以尝试多种不同的学习资源和学习方式，如阅读数学相关的书籍、参加数学竞赛、进行数学实践等，从而拓宽知识面和培养对数学的联想思维。

另一方面，我们还可以通过思维训练来培养联想思维。

例如，我们可以进行思维导图的绘制，将不同的数学概念和知识进行联系和归类，从而形成对数学知识的整体认知和联想思维。

空间想象力在数学学习中同样具有重要的作用。

数学中的许多概念和问题都涉及到图形、空间和几何关系，只有具备良好的空间想象力，才能更好地理解和应用这些概念和问题。

比如，在学习几何时，我们需要通过空间想象力来理解和推导几何定理，从而解决几何问题。

而在解决代数问题时，空间想象力也能够帮助我们将抽象的代数概念转化为具体的图形和空间关系，从而更好地理解和解决问题。

空间想象力的培养需要通过多种方法和实践来实现。

一方面，我们可以通过观察和思考来培养空间想象力。

在日常生活中，我们可以多观察周围的物体、图形和空间关系，思考它们的特点和相互关系，从而提高对空间的感知和想象能力。

培养直觉思维提升数学解题能力针对数学这门学科的教学而言，逻辑性思维能力是学生必须具备的一种数学高阶思维能力，而我们在这里强调的直觉思维，它省去了一步步分析推理的中间环节，更突出学生基于自己的知识经验，通过想象作出的敏锐而迅速的判断及猜想，在实现巧妙高效解题中可以发挥出独特的作用。

因此，从这个思路出发，本文主要围绕数形结合、整体认知、猜测想象这几个方向进行具体探讨，以促进学生在解题过程中能够发挥出直觉思维的作用，从中总结解题策略、提炼解题技巧、实现高效解题。

一、数形结合，勾勒形象图示数与形是数学中两个最基本的研究对象。

当学生在解题过程中遇到疑难困惑、找不到解题切入点的时候，教师就可以引导学生应用数形结合的方式，通过以形助数或是以数解形的转化形式，借助直觉思维的发散力量，将复杂问题简单化、抽象问题具体化，以此来为学生实现顺利解题创造条件。

以一道题目来讲：小明的体重是35kg，他的体重比爸爸的体重轻8/15，小明爸爸的体重是多少千克？在解答这道题目的时候，很多学生侧重从已知量/已知量地对应分率=单位“1”来构建得出数量关系，但我们发现这样做的错误率非常高，学生只是记住了这一解题技巧和逻辑思路，并不能很好地理解小明的体重比爸爸的体重轻的体重之间的对应关系。

因此，我们可以引导学生根据题意先画出线段图，用线段图表示爸爸的体重、小明的体重、小明比爸爸轻的体重，再引导学生借助线段图找出爸爸体重和小明体重之间的等量关系，再通过列方程解答，学生会更容易理解。

一般我们利用直觉思维来促进解题的时候，借助的是数形结合中“以形助数”的转化途径。

简单来说，这种方式将抽象的数学语言以直观的图像呈现出来，通过勾勒形象图示的方式以“形”的生动和直观性来阐明“数”之间的联系，触及问题考察的本质。

二、整体认知，梳理要素关系在解答一些数学题目的时候，如果深入剖析题目中的每个条件，反而会找不到解题的突破口。

这时候，我们就要重视培养学生对问题整体认知、综合考虑的能力。

四数学思考与表达请认真思考综合运用你所学的数学知识按要求灵活四数学思考与表达是指通过对数学问题的思考和表达，综合运用所学的数学知识进行分析和解答。

数学思考是指对数学问题的分析、归纳和推理过程，是培养数学思维和解决问题的关键环节。

数学表达是将数学思想用适当的符号、图形和语言表达出来，以确保数学思考的准确性和逻辑性。

在这篇文章中，我将结合数学思考与表达的要求，展开对四个具体数学问题的思考与表达。

首先，我们思考一个关于代数的问题。

假设有四个正整数a、b、c、d满足条件ab+2cd=100, bc+ad=101，求四个数的值。

首先我们可以根据已知条件列出方程组：ab + 2cd = 100 --------(1)bc + ad = 101 --------(2)我们可以运用高中代数知识中的方程求解方法，将第二个方程式中的ad关于b和c表示出来，代入到第一个方程式中消除ad。

经过计算得出结果：a = 4, b = 5, c = 3, d = 19、这个问题中，数学思考的过程涉及到方程式的变形、代入和消元等步骤，而数学表达则包括了用字母表示未知数和用符号进行运算等。

接下来，我们思考一个关于几何的问题。

已知一个正方形ABCD，边长为1，以D点为圆心，AD为半径画一个圆，求圆与AB的交点P的坐标。

根据已知条件和几何知识，我们可以推导出以下关系：AD=AP+PD所以，AP=AD-PD=1-1/2=1/2根据直角三角形的性质，我们可以得出三角形APD是等边三角形，所以∠APD=60°。

通过几何图形可以得出，角PAD是绕着圆心D旋转的，所以∠PAD=∠PED=60°。

又因为∠PAD是直角，所以∠APD+∠PED=90°，所以∠PED=30°。

根据三角函数的定义，我们可以推导出：tan(∠PE D) = PD/PE = 1/2/radius即1/2 = radius*tan(30°)通过计算可以得到radius = 2/√3所以P的坐标为(Px,Py)=(1/2,2/√3)。

课程小论文：构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。

类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用摘要 本文将从具体的数学方法——类比、归纳、联想与直觉出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用，注重培养发展学生的推理能力。

关键词 类比；归纳；联想与直觉1、引言数学方法论是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学中的发现、发明与创新法则的学科。

其中数学思想方法是数学方法论其中一个非常重要的研究对象。

在《义务教育数学课程标准（2011版）》提到：在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。

其中推理一般包括演绎推理和合情推理，而合情推理就包含类比、归纳、联想与直觉等方法。

本文将从类比、归纳、联想与直觉的具体方法出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用。

2、类比法在初等数学解题中的应用类比——根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相同的思维形式。

它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法.类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。

同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。

在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。

2.1 解（证）题方法上的类比例2.1 若2()4()()0c a a b b c ----=，且a b c ≠≠。

求证：2b a c =+（即,,a b c成等差数列）分析：观察已知等式，类比联想到一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系，从而可以构造一元二次方程进行求证。

证：构造 2()()()0a b x c a x b c -+-+-=，容易知道1x =是方程的一个解。

数学论文之数学联想思维能力的培养联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的联系,由一事物想到另一事物的心理过程。

它是探索、发现、创造的前提，是分析问题和解决问题的必要过程。

培养学生联想思维能力，可以从以下几个方面进行：一、直觉联想有些数学习题按常规逻辑思维方式进行很难达到预期的效果，如能根据题目提供的信息，进行综合分析，运用直觉思维，领悟命题结论，从而寻求解题的途径和方法。

例：已知f(x)= 求：f （）+ f（）+…+ f（）分析：如果直接求上面的和式难度较大，若凭直觉思维，看式子特点，和式中函数f（x）的自变量分别满足+= +=…+ =1从而推测出关系式：f（）+f（）= f（）+f（）=…=f（）+ f（）=常数即f（）+ f（）=常数（1 k 500），事实上不难推得：f（）+ f（）=1 （1 k 500）从而求得：f （）+ f（）+…+ f（）=500二、形似联想有些代数问题，若能联想到它的“几何背景”，就可获得新颖独特，构思巧妙，简捷有效的解题方法。

例：求函数f(x)= —的最大值。

分析：将原函数变形为f(x)= —f(x)表示动点p（x2,x）到点A(2，3)与点B（1，0）的距离之差的最大值，而P （x2,x）在抛物线y2=x上，因为| PA | —| PB | | AB |显然当P位于AB的延长线与抛物线的交点位置P0处时，f(x)有最大值为| AB | = =三、特殊联想普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，没有特殊性就没有普遍性，从特殊性到普遍性是常见的联想思维方法。

例：过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF 与FQ的长分别是p、q，则等于（）A、2aB、C、4aD、分析：设过焦点F的直线的倾斜角为（（0，））利用距离公式求长度，比较复杂。

若利用特殊化原则，取=0，即取过焦点F（0，）的直线为y= ，联立y=ax2，解出p=q= ，则=4a，即应选C。

高中数学思维训练之联想能力的训练联想是与表象的相似因素有关，由某一事物想到另一事物的心理过程。

想象是人脑对已有表象进行加工、改造形成新的形象，或根据语言文字的描述形成有关事物的形象。

前者是创造性想象，后者是再造性想象。

联想和想象都是形象思维。

形象思维是人脑运用形象（表象）进行的思维。

表象是形象思维的元素，形象思维本质上就是表象的运动变化和改造。

表象的运动变化和改造可分为三个层次。

第一个层次：分解、组合。

它是表象活动的开始，是形象思维的基本形式。

如教学义务教材第一册拼组图形，让学生从所给的图形中，剪出基本图形长方形、正方形、三角形、圆，再把这些基本图形拼成教材上的蝴蝶、帆船、汽车、小人图。

这里“剪”是表象的分解，“拼”是表象的组合。

我们可借助分解与组合的方法，揭示事物的内在联系和规律。

而表象的丰富性，分解、组合的多样性，正是形象思维丰富和灵活的基础。

第二个层次：类比、联想。

它是形象思维展开的形式，和表象的分解组合紧密相联。

自然界的事物在其形态结构、运动方式诸方面存在着大量的相似之处。

而类比就是运用事物的相似性比较其异同，抓住事物的特征和本质属性的思维方法。

联想是类比的发展。

如学生掌握了平行四边形的特征后，通过联想发现长方形和正方形可以看成特殊的平行四边形，而正方形又是特殊的长方形。

联想时，学生在头脑中要找出上述几种图形的联系与区别，这实质上就是先利用表象进行分解，然后再利用表象的组合，把分解出来的异同点进行综合，找出它们的共同特征和本质属性。

联想一般可分为类似联想、接近联想、对比联想三种。

类似联想是因事物的外部特征或性质类似，由一事物而想起另一事物。

接近联想是由一事物想起空间上或时间上与之相接近的事物。

对比联想是由某一事物的感知或回忆引起和它具有相反特点的事物。

第三个层次：想象。

它是形象思维的高级形式，是思维的一种升华。

想象综合了分解、组合、类比、联想等思维方法，对表象进行加工改造。

思维障碍有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。

第一题：在数学学习的过程中，我们往往会忽略数学的试验方法。

但是在知道数学试验方法之后，在解决数学问题有很大的用处。

在学会数学试验法之前，我们大多会有疑惑，数学到底有什么用。

但是在学习数学试验法之后，通过试验我们可以解决相关的实际问题。

它更有助于促进我们独立思考和创新意识的培养。

数学方法中的直觉法08数学一班0807063 李亚光我通过主要研究和讨论数学的发展规律的数学方法论的学习，了解了数学的思想方法，明白了数学中的直觉法。

我们知道数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法发明有所掌握，更要通过实践来改进方法。

数学是美的，数学美总得以某种形式呈现出来，使人感到舒适和愉快，公式、定理、理论结构等正是人的本质力量的宜人显示。

直觉是人脑对于数学对象事物的某种直接的领悟或洞察数学直觉往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想的基础之上。

我们思考一个数学问题或命题，有时经过一段曲折道路之后，忽然出于某种联想而豁然开朗，或是想到了一个解决方案；或是猜到了一条证明途径……这些就是以数学直觉为基础所形成的顿悟有些学者往往把直觉和顿悟等同起来。

因此直觉是学生学习素养的一个重要组成部分。

然而传统的数学教学中，教师往往比较注重学生数学逻辑思维能力的培养，从而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养，很少让学生去感觉、去猜测，其实数学直觉思维也是一种很重要的思维形式。

兴趣是学习最好的动力，只有对数学产生了浓厚的兴趣，才能最大发挥学生的能动性和潜力。

只有有了自信，内心才会产生一种强大的学习钻研动力，更稳定、更持久学习数学。

当一个问题不是通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得时，这种成功带给他的震撼是巨大的。

而现在的中学生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信，这是对学习极为不利的。