数学物理方程反问题讲稿

反问题概述及其数值求解方法阐述姓名：赵天骐 学号：1014203026学院：电气与自动化工程学院 专业：电气工程1.反问题概述1.1什么是反问题近30年来，反问题不仅是学术领域中的一个话题，它已经被广泛的应用到工程学、医学、地质学、经济学、物理学等领域，无论在理论还是应用方面均取得了飞速的发展。

随着计算科学的发展，人们从计算的角度研究反问题，更加频繁地被应用于解决实际问题，比如其在石油勘测、医学图像处理、遥感技术、经济决策等领域。

但是，究竟什么是反问题？对此常常仁者见仁，智者见智。

它的严格定义很难给出，有点“只能意会，不能言传”的味道。

美国斯坦福大学的J. B. Keller (1976)提出：“若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题(Direct problem)，另一个为反问题(Inverse problem)。

”C. W. Groetsch则认为：”反问题是很难定义的，但是几乎每一个数学家都能马上判断出一个问题是正问题还是反问题。

”苏联学者Levrentiev则指出：“偏微分方程的反问题是指从偏微分方程解的某些泛函去确定偏微分方程的系数或右端项。

”T. Robinson的观点是：“在数学上，通常是有了方程而要求此方程的解。

现在的情况是有了方程的解，必须把对应的方程找出来。

我喜欢后者。

”事实上，上述对反问题的各种说法虽然揭示了反问题和正问题类似于对偶的一种关系，但没有直观地反映出反问题的一个主要特征。

通常情况下，反问题在Hadamard意义下是不适定的。

其学术性的描述为：在两个相互为逆的问题中，如果一个问题在Hadamard意义下是不适定的，特别是若问题的解不连续地依赖于原始数据，则称该不适定问题为反问题。

即通常意义下的反问题一般应该是Hadamard不适定的，这也正是我们研究反问题的困难所在。

那么，什么是Hadamard意义下不适定呢？1923年，Hadamard给出了相反的定义，即什么是适定的。

《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。

数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。

通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。

本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。

为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。

它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。

数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。

二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。

2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。

3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。

2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。

反演原理及公式介绍反演原理是数学中的一种重要方法，广泛应用于物理学、工程学、金融数学、计算机科学等领域。

它主要是通过将问题的解嵌套在另外一个问题的解中，从而通过求解后者来得到前者的解。

反演原理最早由法国数学家阿贝尔于1826年引入，后来经过多位数学家的发展和推广，逐渐形成了相对成熟的理论体系。

在物理学中，反演原理常被用于求解各种物理系统中的未知量，如电磁场分布、物理介质的性质等。

反演原理的应用中，最重要的是识别出一对具有对偶关系的微分方程。

一般来说，这对微分方程的形式会有所差异，它们在一方面描述了问题中未知量的演化规律，另一方面则描述了待求解未知量的变换规律。

通过将这两个方程进行适当的组合，就能够得到一个只与待求解未知量有关的微分方程，从而简化了问题的求解过程。

反演原理的核心思想是通过将问题转化为一个新的问题，从而实现问题的求解。

而这个新的问题往往具有较为简单的形式，这样就可以通过已有的数学技巧来求解。

在实际应用中，反演原理可以大大简化问题的求解过程，提高了问题的可解性。

在具体的数学表述中，反演原理可以用如下的公式来表示：设一般微分方程为F(x,y,y',y'',...)=0其对应的反演微分方程为G(x,u,u',u'',...)=0其中，y是未知函数，u是待求解函数。

反演微分方程是通过对y施加变换得到的。

具体的变换过程依赖于具体问题的性质以及反演原理的选择。

反演微分方程通常具有更简单的形式，并且可以通过已有的数学方法来求解。

将反演微分方程的解转化回原方程的解，就可以得到问题的真实解。

反演原理还有一个重要的应用是在数值方法中。

由于一些问题难以直接求解，可以通过反演原理将其转化为一个可以求解的问题，然后再通过数值方法对其进行求解。

总而言之，反演原理是一种重要的数学方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而方便求解。

它的应用广泛，不仅是物理学和数学，还包括其他科学领域和工程实践中。

数学物理方程教案正文：一、引言数学物理方程作为数学与物理学的结合，对于学生的学习和发展起着重要的作用。

本教案旨在通过有趣且互动性强的教学方式，帮助学生掌握数学物理方程的基本知识和解题技巧。

二、教学目标1. 了解数学物理方程的定义和基本概念；2. 掌握常见的数学物理方程，包括牛顿第二定律、欧姆定律、波动方程等；3. 锻炼学生的分析问题和解决问题的能力；4. 提高学生对数学与物理的综合运用能力。

三、教学内容1. 数学物理方程的定义和基本概念数学物理方程是描述自然界中各种物理现象的数学表达式。

它由变量、常数和运算符构成，通过各种数学方法研究物理现象。

在数学物理方程中，变量表示物理量，常数表示不变的参量，运算符表示物理上的运算关系。

2. 常见的数学物理方程2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体的运动状态与所受力的关系。

它可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示物体所受力的大小，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

2.2 欧姆定律欧姆定律用来描述电流、电压和电阻之间的关系。

它可以用以下公式表示：I = V / R其中，I表示电流的大小，V表示电压的大小，R表示电阻的大小。

2.3 波动方程波动方程用来描述波的传播过程。

它可以用以下公式表示：∂²u / ∂t² = v² ∂²u / ∂x²其中，u表示波的位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。

四、教学方法1. 理论讲解通过简洁明了的语言，向学生介绍数学物理方程的定义、性质和基本概念，帮助他们建立起对数学物理方程的初步认识。

2. 示例演练选取典型的数学物理方程例题，引导学生进行解题分析，帮助他们掌握解题的基本方法和技巧。

3. 实验探究通过设计简单的实验，让学生亲自操作和观察，结合数学物理方程的知识，进行数据分析和结果验证，加深对数学物理方程的理解和掌握程度。

五、教学评估1. 课堂小测在教学过程中设置一些小测题目，检查学生对于数学物理方程的理解和掌握情况。

数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法是一种重要的数学工具，它可
以用来解决复杂的物理问题。

反问题是指从观测数据中推断出未知参数的问题，而不适定问题是指在给定的条件下，求解某种物理系统的状态的问题。

反问题和不适定问题的数值方法可以分为两类：一类是基于最小二乘法的方法，另一类是基于最优化的方法。

最小二乘法是一种经典的数值方法，它可以用来拟合数据，从而推断出未知参数。

最优化方法是一种更加灵活的数值方法，它可以用来求解复杂的物理系统的状态。

反问题和不适定问题的数值方法可以用来解决复杂的物理问题，例如，可以用
来求解复杂的流体动力学问题，用来求解复杂的热力学问题，用来求解复杂的电磁学问题，用来求解复杂的量子力学问题等等。

反问题和不适定问题的数值方法也可以用来解决实际应用中的问题，例如，可
以用来求解地震数据中的未知参数，用来求解气象数据中的未知参数，用来求解医学图像中的未知参数等等。

总之，反问题和不适定问题的数值方法是一种重要的数学工具，它可以用来解
决复杂的物理问题，也可以用来解决实际应用中的问题。

数学物理中的反问题
刘继军
【期刊名称】《国际学术动态》
【年(卷),期】2013(000)006
【摘要】由东南大学主办的国际反问题会议于2012年10月21～26日在东南大学举行。

本次会议有来自美国、德国、法国、俄罗斯、意大利、土耳其、希腊、英国、越南、芬兰、澳大利亚、韩国、日本等16个国家和地区的数学界、工程应用领域的155名学者参加，其中境外代表51人。

【总页数】2页(P24-25)
【作者】刘继军
【作者单位】东南大学数学系南京210096
【正文语种】中文
【中图分类】O411.1
【相关文献】
1.培养学生运用数学解决物理问题的能力中应注意的几个问题 [J], 陈镇远;孙正川;
2.问题导向结合数学建模在"数学物理方法"教学中的应用 [J], 王秋玲;张开银;刘乙飞;范沁;崔北臣
3.高职数学物理方法教学中的两难问题研究 [J], 罗小兵
4.物理中的“数学”——采用数学方法解决物理问题 [J], 李琼
5.运用初等数学处理“彩虹圈”中的几个物理问题 [J], 张明
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数学模型中的反问题向下运动向上运动风筝数学模型竟赛中有很多涉及反问题。

如2010国赛中A题和2011年美赛中A题都涉及反问题。

顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。

正问题的定义为：按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。

自然顺序的定义为：不受任何限制和约定俗成的顺序，一般地都认为他们是自然而然的，无须多加解释的。

在一般地语境下，认为这些顺序都是是前提条件的。

如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。

纯粹的自然顺序的例子是第一，第二，第三这种升序；或者反过来的倒序；约定俗成的例子是上北下南左西右东。

反问题的定义为：根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。

可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。

但相对正问题，反问题求解难大，计算量大。

许多人知道求解问题的思路，但由于选用计算方法不适当，在几天内求不出计算结果，失去获奖机会。

尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。

在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。

这些都可以提出为某种形式的反问题。

可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。

现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。

简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解.第一节反问题的例子例1 物体下落距离L与时间T，正问题是：已知物体的高度，测量下落时间，即t=t(x). 反问题是：已知物体下落时间，求物体的高度,即x=x(t)。

当人们不知道自由落体运动规律x=0.5gT2之前，能用时钟测量物体下落时间，但反过来，给定下落时间，测量物体高度比较难。