2017北师大版必修5高中数学第二章《余弦定理》word教案1.doc

2.1.2《余弦定理》教学设计【学习目标】1.了解向量知识应用；掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题；2.利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.【导入新课】上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决.如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：二、余弦定理的内容：余弦定理内容：形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量法证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1) ；(2) .例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C (精确到1°).分析：解：例2 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′) .解：例3在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝3 3 ，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝ 2 ，c＝ 3 ＋1，求A解：例4根据下列条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15解：课堂小结1. ；2. ；3. .作业见同步练习部分拓展提升1. 在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，则∆ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形2. 在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，则边c 的长度为（ ）A. 3B. 2C.D. 53.在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则角C 的大小为4. 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.6.在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A7. 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形参考答案新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理.二、余弦定理的内容：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角仍是角C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.例1分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例2 在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.73022×3.696×4.297＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′例3解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90° (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 例4解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°课堂小结1.余弦定理的证明方法；2.余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形；3. 余弦定理的灵活运用.拓展提升1. C 【解析】由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆.2.A 【解析】由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝33.60120οο或【解析】∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60° 4．解：由a sin A ＝c sin C且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ① ∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245 ，c ＝1655.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）＝ 3 2 ∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105° 6.解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：印刷版高中数学 ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A7.解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'=。

1.2 余弦定理教课目的1．知识与技术: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法 : 利用向量的数目积推出余弦定理及其推论，并经过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．神态与价值：培育学生在方程思想指导下办理解三角形问题的运算能力；经过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的广泛联系与辩证一致。

教课要点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教课难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法：第一研究把已知两边及其夹角判断三角形全等的方法进行量化，也就是研究怎样从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数目积比较容易地证了然余弦定理。

进而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确立三角形的角教课假想[创建情形 ]C如图 1． 1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c b aA c B[ 探究研究 ]( 图 1． 1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么门路来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、 B 均未知，因此较难求边c。

因为波及边长问题，进而能够考虑用向量来研究这个问题。

A如图 1． 1-5 ，设CB a ， CA b ， AB c ，那么 c a b ，则b cC a Bc 2c c a b a ba ab b a b222( 图 1． 1-5)a ba b2进而c2a2b22ab cos C同理可证a2b2c22bc cos A b2a2 c22ac cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即c2a2b22ab cos Ca2 b2 c22bc cos A b2 a2 c22ac cos B思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b2c2a2a2c2b2b2a2c2cosB2accos C2ba 2bc[ 理解定理 ] 进而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角。

余弦定理教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如．教学过程一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角．2．余弦定理及其解决的三角形问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角．四．数学运用1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得222001.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈，所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状． 解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab +-==，所以 22222a a b c b ab +-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：AM =证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==，所以2222122AB AC AMBC +=+，因此，AM =例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆． 解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：2a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ， ∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ，即AB =③ABC S∆111sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书练习１，２，３，４（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值；五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单DC BA一”形式；3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状．。

【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a ,=−→−AC b ，且|a |2=,|b |3=,a •b 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

北师大版高中数学必修5学案含解析：内容标准学科素养1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形.2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量法解决具体问题.3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.提升数学运算灵活公式变形严密逻辑推理授课提示：对应学生用书第38页[基础认识]知识点一余弦定理4951，思考并完成以下问题在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(1)如果C＝90°，如何求AB边的长？提示：利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.(2)设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c.怎样用向量的线性运算表示AB→？提示：AB→＝CB→－CA→＝a－b.(3)在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？提示：|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C.(4)你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．提示：能．结论：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B.文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言a2＝b2＋c2－2bc cos__A，b2＝a2＋c2－2ac cos__B，c2＝a2＋b2－2ab cos__C.如果已知△ABC的三边长a，b，c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？提示：能．用余弦定理变形可得公式．cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab．思考：1.勾股定理和余弦定理有什么联系和区别？提示：当三角形是直角三角形时，余弦定理和勾股定理是统一的，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．2．△ABC 中，分别指出在下列条件下，角C 是什么角(在直角、锐角、钝角中选择)．(1)a 2＋b 2＝c 2.(2)a 2＋b 2＞c 2.(3)a 2＋b 2＜c 2.提示：(1)由勾股定理的逆定理，可知角C 是直角．(2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以可得，角C 是锐角． (3)由(2)中的方法，同理可得，角C 是钝角．[自我检测]1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析：由条件可知cos A ＝－35， 则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52， ∴BC ＝213.答案：B2．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：本题主要考查余弦定理．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，则B ＝π6.故本题正确答案为A. 答案：A3．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝________．解析：∵△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，∴由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋36－252×2×6＝58. 答案：58授课提示：对应学生用书第39页探究一 已知两边及一角解三角形[阅读教材P50例4及解答]如图所示，有两条直线AB 和CD相交成80°角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA 、OC 方向出发，速度分别是4 km/h ，4.5 km/h ，3小时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?题型：已知两边及一角解三角形方法步骤：①计算△OPQ 两边长，OP ＝12，OQ ＝13.5.②利用余弦定理求PQ 的长．[例1] (1)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝23，A ＝30°，求a ； (2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、C 和边a . [解题指南] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．[解析] (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23cos 30°＝3，所以a ＝ 3.(2)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A＝a sin B b ＝6×123＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sin C ＝c sin B b＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.方法技巧 已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．跟踪探究 1.(1)在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝1，tan B ＝34，则AC ＝________； (2)在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________． 解析：(1)由tan B ＝34，得cos B ＝45. 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝52＋12－2×5×1×45＝18，所以AC ＝3 2. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0，解得c ＝5或c ＝－75(舍去)，故c ＝5. 答案：(1)32 (2)5探究二 已知三边解三角形[阅读教材P50例5及解答]图中是公元前400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5，…的图形，试计算图中线段BD 的长度及∠DAB 的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．题型：已知三边解三角形．方法步骤：①在△BCD 中利用余弦定理求BD .②在△ABD 中利用余弦定理求∠DAB .[例2] (1)在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab ＝c 2，则角C ＝________；(2)在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求各内角的度数．[解题指南] (1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解；(2)先由三边的比值设出三边的长度，再利用余弦定理的变形求解．[解析] (1)由a 2＋b 2＋ab ＝c 2，得a 2＋b 2－c 2＝－ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab＝－12，故C ＝120°.(2)由a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)．由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－42×6×（3＋1）＝22， ∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.[答案] (1)120° (2)见解析延伸探究 本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，6，3＋1”，求其最大角与最小角之和．解析：因为3＋1＞6＞2，所以最大角与最小角所对的边分别为3＋1，2.设长为6的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos θ＝22＋（3＋1）2－（6）22×2×（3＋1）＝12，所以θ＝60°，故最大角与最小角之和为180°－60°＝120°.方法技巧 已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；(2)利用余弦定理求出三个角的余弦值进而求出三个角．跟踪探究 2.(2019·桂林高一检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：根据题意，由于△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－72×3×2＝12，因为0°＜B ＜180°，则可知B 等于60°，选C. 答案：C探究三 判断三角形的形状[例3] 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解题指南] 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可以把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．[解析] 法一：利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B ＝c b，由2cos A sin B ＝sin C ， 有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2， 所以a 2＝b 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，又因为a ＝b ，所以4b 2－c 2＝3b 2，从而b 2＝c 2，所以b ＝c .综合以上分析，得a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0，又因为A ，B 都是三角形的内角，所以A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°，综上得△ABC 为等边三角形．方法技巧 判断三角形形状的思路(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2.②△ABC 为锐角三角形a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2.③△ABC 为钝角三角形a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2.④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2. 跟踪探究 3.(2019·宝山高一检测)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理可得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，则C 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形．故选A.答案：A授课提示：对应学生用书第40页[课后小结](1)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题①已知两边和夹角，解三角形．②已知三边求三角形的任意一角．(2)余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．①如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． ②如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． ③如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．(3)对所给条件进行变形，主要有两种途径：①化边为角．②化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．[素养培优]忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求边c的取值范围．易错分析在三角形中，当解决边和角的范围问题时，首先要考虑到三角形中的隐含条件，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；然后要注意对问题的分类讨论，当三角形是钝角三角形时，其最大内角必为钝角．考查逻辑推理、分类讨论的学科素养．自我纠正因为a＝1，b＝2，所以1＜c＜3.若角B是钝角，则cos B＜0，即12＋c2－222×1·c＜0，解得1＜c＜3；若角C是钝角，则cos C＜0，即12＋22－c22×1×2＜0，解得5＜c＜3.综上，边c的取值范围是(1，3)∪(5，3).。

【本讲教育信息】一. 教学内容：必修5 正弦定理、余弦定理二、教学目标〔1〕熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

〔2〕在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析1、正弦定理的有关知识〔设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R 〕正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 由正弦定理得〔i 〕2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++〔ii 〕::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：〔1〕已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式〔1〕1,(2a a S a h h a =⋅是边上高）〔h a是a 边上的高〕〔2〕111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。

〔3〕 1(),(2S a b c r r =++⋅是内切圆半径）3、余弦定理的有关知识。

〔设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所对的边是a,b,c 〕 余弦定理：22222222cos )2(1cos )cos 2b c a b c bc A b c bc A A bc+-=+-=+-+⇒=a （22222222cos ()2(1cos )cos 2a c b b a c ac B a c ac B B ac+-=+-=+-+⇒=22222222cos ()2(1cos )cos 2a b c c a b ab C a b ab C C ab+-=+-=+-+⇒=余弦定理应用：〔1〕已知三边求角，〔2〕已知两边及其夹角求其余的边和角。

【典型例题】考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角 例1、在△03,2,45c ABC a b B ===中，已知，求A,C 和B=45°，求A ，C 和。

1．2余弦定理●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C ≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长．|c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C.。

北师大版高中必修5 1.2 余弦定理教学设计1. 教学目标•掌握余弦定理的概念和使用方法；•能够应用余弦定理解决实际问题；•发展学生的数学思维和创新精神。

2. 教学重难点•余弦定理的概念和公式推导；•余弦定理的应用。

3. 教学方法•讲授法：通过演示例题，引导学生理解余弦定理的概念和应用。

•实验法：通过实验检验余弦定理的正确性，并加深对余弦定理的理解。

•提问法：通过提出问题，引导学生自主思考，增强学生的思维能力和解决实际问题的能力。

4. 教学过程4.1 导入新课通过提问法引导学生思考和探索，激发学生学习的兴趣。

•提问：童话中常说“灰姑娘到了舞会上，一跳一跳一跳就跳到了王子的身边”，那么，灰姑娘所跳出的边长与夹角有没有关系呢？4.2 展示教学内容通过讲授法，向学生介绍余弦定理的概念和公式推导。

•讲解：余弦定理是解决任意一个三角形中的三个角和三边关系的一种方法，其表达式为$a^2=b^2+c^2-2bc\\cos A$。

其中，a表示三角形中夹角为A的对边长度，b和c表示夹角为A的两边长度。

4.3 练习及应用通过练习和应用，巩固和深化学生对余弦定理的理解和应用。

4.3.1 练习•练习1：已知$\\triangle ABC$中，AB=5cm，AC=8cm，$\\angle BAC=60^\\circ$，求BC的长度。

•练习2：已知$\\triangle ABC$中，AB=7cm，BC=9cm，$\\angle ABC=120^\\circ$，求AC的长度。

4.3.2 应用•应用1：现有一座山峰，测得山脚至山顶的垂直高度为2000m，以及从山脚观察山顶的仰角为$30^\\circ$，求这座山峰的实际高度。

•应用2：随着科技和时代的进步，人们对高楼的高度和立面的角度的要求越来越高。

现有一栋高楼，已知其高度和一个立面的角度，求这栋高楼的宽度。

4.4 小结通过小结，对本节课内容进行总结归纳，加深学生对余弦定理的理解和应用。

《余弦定理》（第一课时）教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》必修5第二章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。

而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。

而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。

余弦定理一、教学分析对余弦定理的探究，同正弦定理类似．课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教材通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处，发挥了向量方法在解决问题中的威力，另外还有坐标法．在证明了余弦定理以后，还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证的目的．应用余弦定理并结合正弦定理，可以解决以下解三角形的问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边和一个角解三角形的问题．在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的变形公式，也可以用正弦定理．用余弦定理的变形公式，可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小．二、教学目标1．通过对余弦定理的探究与证明，熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法等方法证明余弦定理，借助计算器会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．了解余弦定理与勾股定理之间的联系．知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法．2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美．3．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．三、重点难点教学重点：通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理(向量法等)，并能应用其解三角形．教学难点：余弦定理的证明及其基本应用，以及结合正弦定理解三角形．四、教学过程1.导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，如图1，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．图1思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法、坐标法、三角法、几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？2.新知探究提出问题①在三角形中，若已知两边及其夹角，能否用平面几何方法、向量方法、坐标方法、三角方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？②余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？③余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？④正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，教师可引导学生类比正弦定理的发现，仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．解决了在三角形已知两角一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题．当时对于已知两边及其夹角求第三边问题未能解决．如图1，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．如图1，在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，试利用b ，c ，A 来表示a .教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化，故作CD ⊥AB 于D ，那么在Rt △BDC 中，边a 可利用勾股定理通过CD ，DB 表示，而CD 可在Rt △ADC 中利用边的关系表示，DB 可利用AB －AD 表示，进而在Rt △ADC 内求解．探究过程如下：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理，可得a 2＝CD 2＋BD 2.∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2，又∵BD 2＝(c －AD )2＝c 2－2c ·AD ＋AD 2，∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c ·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c ·AD .又∵在Rt △ADC 中，AD ＝b ·cos A ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .类似地可以证明b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .另外，当C 为钝角时也可证得上述结论，当C 为直角时，a 2＋b 2＝c 2也符合上述结论． 这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角．用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如图2所示，根据向量的数量积，可以得到图2a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .这是教材上的证明方法．这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如图3，以C 为原点，边CB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(a,0)，点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )，根据两点间距离公式图3AB ＝(b cos C －a )2＋(b sin C －0)2，∴c 2＝b 2cos 2C －2ab cos C ＋a 2＋b 2sin 2C .整理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，这就是余弦定理的变形公式，也可以说是余弦定理的第二种形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 对一个数学关系式作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法．教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC中，C＝90°，则cos C＝0，这时余弦定理变为c2＝a2＋b2，由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：(1)已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；(2)已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的推论，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，以避免进一步的讨论．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧，经常地在解题后进行反思，做到优中选优，长此以往，学习轻松愉快，即我们平时常说的找到了学习“窍门”．讨论结果：①～④略．3.例题讲解例1.在△ABC中，(1)已知a＝23，c＝6＋2，B＝45°，求b及A；(2)已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8，∴b＝2 2.由cos A ＝b2＋c2－a22bc，得cos A＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(33)2－2×33a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝a sin Bb＝63×12＝1，所以A＝90°，C＝60°，当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°. 点评：解决本例的关键是找到与已知量有关的三角形，用余弦定理解之.变式训练1，解三角形30B,33c3,b中，===ΔABC解：法一例2. 在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A、B、C.解：由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×43＝36＋243＋12＋48－24483＋48＝32，∴A＝30°.cos C＝a2＋b2－c22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝24＋36＋243＋12－48246＋242＝22，∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°，∴B＝180°－45°－30°＝105°.变式训练2在△ABC中，如果a︰b︰c＝2︰6︰(3＋1)，求这个三角形的最小角．小结：1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．探究1在△ABC中，三边长度分别为a，b，c(a＜b＜c)，若三角形为直角三角形，则a、b、c之间的关系如何？钝角和锐角三角形呢？【提示】在直角三角形中a2＋b2＝c2；在钝角三角形中a2＋b2＜c2；在锐角三角形中a2＋b2＞c2.探究2判断三角形形状的基本思路是什么？【提示】思路一：从角的关系判定；思路二：从边的关系判定；思路三：从边与角的关系判定．探究3在△ABC中，sin A＝sin B一定有A＝B吗？【提示】在三角形中sin A＝sin B⇔A＝B.例3. 在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c ，判断△ABC 的形状．解：在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c ，得1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴cos A ＝b c .根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．变式训练3在△ABC 中，a ·cosA ＝b ·cosB ，试确定此三角形的形状．解法1：由a ·cos A ＝b ·cos B 以及余弦定理得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，a 2b 2＋a 2c 2－a 4－a 2b 2－b 2c 2＋b 4＝0，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2.当a ＝b 时，△ABC 为等腰三角形；当c 2＝a 2＋b 2时，△ABC 为直角三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a ·cosA ＝b ·cosB 以及正弦定理得2R ·sinA ·cosA ＝2R ·sinB ·cosB ，即sin2A ＝sin2B.又∵A 、B ∈(0，π)，∴2A 、2B ∈(0,2π)，故有2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4.课堂小结1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些类解三角形的问题．2.从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．3．体会本节运用的思想方法：特殊到一般、类比、方程思想等．5.课堂作业1. 在△ABC 中, 已知b ＝4, c ＝10, B ＝030,解这个三角形。

《余弦定理》本节内容通过利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会用余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学、应用数学的潜能。

【知识与能力目标】掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

【过程与方法目标】利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

【教学难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、研探新知，建构概念联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵+=∴)()(BC AB BC AB AC AC +∙+=∙222BC BC AB AB +∙+=22)180cos(||||2BC B BC AB AB +-∙+=22cos 2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理教学目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形 教学重点：余弦定理的证明及其基本应用教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围教学过程：问题提出：在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？分析理解：1．余弦定理的向量证明：设△ABC 三边长分别为a, b, c =+AC •AC =(AB +BC )•(AB +BC )=AB 2+2AB •BC +BC 2=)180cos(||||2||02B BC AB AB -+22cos 2a B ac c +-=即：Bac c a b cos 2222-+= 同理可得：A bc c b a cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1︒ 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等2︒ 知三求一3︒ 当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）A4︒ 变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= acc b a C 2cos 222-+= 余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边例1、如图，有两条直线AB 和CD 相交成080，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OC OA ,方向出发，速度分别是h km h km /5.4,/4，3小时后两人相距多远（结果精确到km 1.0）分析：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯=问题转化为在OPQ ∆中，已知km OP 12=，km OQ 5.13=，080=∠POQ ，求PQ 的长解：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯= 依余弦定理有POQ OQ OP OQ OP PQ ∠⋅-+=cos 222 02280cos 5.131225.1312⨯⨯⨯-+=)(4.16km ≈答：3时后两人相距约为km 4.16例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数2，3，5，……的图形，试计算图中线段BD 的长度及DAB ∠的大小（长度精确到1.0，角度精确到01）解：在BCD ∆中，0135,1,1=∠==BCD CD BC因为 BCD CD BC CD BC BD ∠⨯-+=cos 2222 22135cos 11211022+=⨯⨯⨯-+=所以 8.1≈BD 800Q P D C B AoD在ABD ∆中，3,22,1=+==AD BD AB因为 1691.0312)22()3(12cos 22222≈⨯⨯+-+=⨯-+=∠AD AB BD AD AB DAB 所以 080≈∠DAB思考交流：你还能用其他方法求线段BD 的长度及DAB ∠的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）课堂小结：余弦定理及其应用课堂作业：1、若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 2、（2010江西理数）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ D ） A. 2716 B.32 C.33 D.43 【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

2.1.4余弦定理（二）知识梳理 1．余弦定理：(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆典例剖析题型一：利用余弦定理解三角形例1在ABC ∆中，已知3sin 5A =，sin cos 0A A +<，a =5b =，求c. 解∵sin cos 0A A +<且3sin 5A =，∴A 为钝角，4cos5A ==-，由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，∴2224525()5c c =+-⨯⨯⨯-即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍去） ∴2c =.评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。

熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。

题型二：判断三角形的形状例2在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状. 解：方法一：由正弦定理和已知条件得：2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=， ∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=， ∵B、C 为ABC ∆的内角，∴90B C +=，90A = 故ABC ∆为直角三角形. 方法二：原等式变形为：2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=， 即：222222cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=， 由余弦定理得：222222222222222222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=⋅⋅⇒2222222222[()()]4a b c a c b b c a+-++-+=⇒222b c a += 故ABC ∆为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。

1.2 余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1．余弦定理阅读教材P 49～P 50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]已知两边及一角解三角形【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________． (1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)．(2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49. 所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ． (1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， 所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，即bc ＝15， 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】 (1)在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C ．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ．[解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2， 可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3x 2＋4x 2－x22×3x ×2x＝32， 故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.(2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ． 所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．【例3】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ， 所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c 代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ， 同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c 2c，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A 2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝b c . 由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 是锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若已知a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可以解三角形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，如已知a ，b 和A ，可利用公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 求c ，进而可求角B 和C ．(2)错误，由b 2＋c 2＞a 2和cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc可得cos A ＞0，则A 是锐角，但角B 或C 可能是钝角，△ABC 未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC 三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC 的三边满足a ∶b ∶c ＝2∶2∶3，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形A [设a ＝2k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2k 2＋3k 2－4k 22×2k ×3k ＝126＞0，故A是锐角，且A ＞B ＞C ，所以△ABC 是锐角三角形．]3．在△ABC 中，b 2＋a 2＝c 2＋ab ，则角C ＝________. π3 [由b 2＋a 2＝c 2＋ab 得b 2＋a 2－c 22ab ＝12， 即cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故C ＝π3.]4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－(b －c )2bc ＝1时，求A ．[解] 由a 2－(b －c )2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.。