河北省承德市高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案含解析

1.1 集合1．1.1集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．(3)在具体情境中，了解空集的含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．2．元素与集合的关系1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素是无序的．(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示R____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示状元随笔(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基础自测1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0B．1C．－1D．0或1或－14．用区间表示下列集合：≤x＜5}＝________；(1){x|−12(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；③2019年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数题型2 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①1∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.2A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )A.0∉NB．√2∈QC．π∉RD．√4∈ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(2)集合A中的元素x满足63−x题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]例3 用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合． 跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，3x +2y =8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．方法归纳1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用． 跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b ，0}，求a ，b 的值． 【错解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba +1=a 2+(a +b )+0，a ·ba ·1=a 2·(a +b )·0， 解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.【正解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点二1．a，b，c，…A，B，C，…2．a∈A a∉A知识点三1．一一列举列举法知识点四2．(－∞，＋∞)[基础自测]1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.答案：B3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.答案：C≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12＝[−1，5).2(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案：(1)[−1，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]2课堂探究·素养提升例1 【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：C例2 【解析】 (1)12是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，故0≤xx ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ， 当x ＝2时，63−2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2.答案：(1)D (2)0，1，2例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，故解集可用描述法表示为{(x ，y)|{x =4，y =−2}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，用区间表示为：A ＝(−∞，43).(2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，43跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．(2)(－3，4].(3)[2，5)．(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞)．(6)[－4，＋∞)．。

1．1 集合1．1。

1集合及其表示方法内容标准学科素养1。

通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。

授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。

知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。

2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。

3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。

学习资料第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1。

1.1命题内容标准学科素养1。

了解命题的概念．2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．3.能判断一些简单命题的真假.利用数学抽象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第1页[基础认识］知识点一命题的概念错误!初中学习的什么叫做命题？提示：一般地，对某一件事情做出判断的语句（陈述句），叫做命题．下列语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？(1)2＋4＝7；(2）垂直于同一条直线的两个不同平面平行;(3)6能被2整除；(4)全等三角形面积相等．提示：这些语句都是陈述句，并且可以判断真假．其中语句(2）(3）（4）判断为真，语句(1)判断为假．知识梳理(1）命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．（2）命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句"．我们学习过的定理、推论都是命题．（3)分类命题错误!思考陈述句一定是命题吗？提示：不一定．知识点二命题的结构思考并完成以下问题命题的构成是什么？提示：条件与结论．观察命题：(1）若整数a是素数,则a是奇数；(2)若两个三角形全等,则它们的面积相等．上述命题的形式是怎样的?提示:这两个命题都是“若p，则q”的形式．知识梳理（1）命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．（2）确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p，则q”的形式．[自我检测]1．下列语句不是命题的个数为()①2〈1；②x〈1;③若x<1，则x〈2；④函数f(x）＝x2是R上的偶函数．A．0B．1C．2D．3答案：B2．下列命题为真命题的是（)A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2,则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案：C3．把命题“三角形的内角和等于180°”写成“若p，则q”的形式为________．答案：若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180°授课提示：对应学生用书第2页探究一命题的概念［阅读教材P2－3例1及解答]判断下列语句中哪些是命题：（1)空集是任何集合的子集;(2）若整数a是素数，则a是奇数；（3)指数函数是增函数吗?（4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行；(5)错误!＝2；（6)x〉15。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。

1．1.1 命题1．了解命题、真命题、假命题的概念及命题的构成．(重点)2．会判断所给语句是不是命题，并判断命题的真假性．(难点、易错点) 3．理解命题的结构形式，并能把命题改写成“若p，则q”的形式．[基础·初探]教材整理命题的概念及结构阅读教材P3～P4，完成下列问题．1．命题的定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题的分类(1)真命题：判断为真的语句叫做真命题；(2)假命题：判断为假的语句叫做假命题．3．命题的结构(1)结构形式：若p，则q.(2)命题的条件是：命题中的p；命题的结论是：命题中的q.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．( )(2)语句“陈述句都是命题”不是命题．( )(3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．( )(4)“mx2＋2x－1＝0是一元二次方程”是真命题．( )(5)“一个素数的平方仍是素数”的条件是“一个数是素数”．( )【解析】(1)×.因为漂亮没有明确的标准，无法判断对错，故(1)错．(2)×.这个句子无法判断真假，故(2)错．(3)√.(4)×.m＝0时2x－1＝0是一元一次方程，故(4)错．(5)√.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]命题的判断判断下列语句是不是命题，若不是，请说明理由．(1)求证3是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；(5)若xy是有理数，则x、y都是有理数；(6)60x＋9＞4. 【导学号：25650000】【精彩点拨】判断一个语句是否为命题，一般把握住两点：①看其是否为陈述句，②能否判断真假，两者同时成立才是命题．注意不要把假命题误认为不是命题．【自主解答】(1)是祈使句，不是命题．(2)因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题．(3)是疑问句，不是命题．(4)有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果，故可以判断真假，是命题．(5)是命题，可以判断真假，如：3·(－3)是有理数，但3和－3都是无理数．(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．判断一个语句是否为命题的步骤1．语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．2．该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．[再练一题]1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．①x－2＞0；②梯形是不是平面图形呢？③若a与b是无理数，则ab是无理数；④这盆花长得太好了！⑤若x＜2，则x＜3.【解】①不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．②不是命题，疑问句不是命题．③是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)④不是命题，感叹句不是命题．⑤是命题，因为此语句是陈述句且是真的．命题真假的判断判断下列命题的真假：(1)若a＞b，则a2＞b2；(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；(3)当x＝4时，2x＋1＜0；(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相切．【精彩点拨】语句――→命题定义判断是否是命题―――――→证明举反例真(假)命题【自主解答】(1)为假命题，如a＝1，b＝－2时，有a＞b，但a2＜b2.(2)为真命题，由方程的根的定义，将x＝1代入方程，即可作出判断．(3)为假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.(4)为假命题，圆心到直线的距离d＝22小于圆的半径1，直线与圆相交．判断命题真假的两个技巧1．真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学地推理论证得出要证的结论．2．假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一个反例即可．[再练一题]2．下列命题中真命题的个数有( )①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集. 【导学号：25650001】A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．【答案】 A[探究共研型]命题的结构形式探究(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．【提示】(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数．(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．探究2 将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有a2＞b2”写成“若p，则q”的形式，它的条件和结论分别是什么？【提示】根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则a2＞b2.其中条件p：a＞b，结论q：a2＞b2，为真命题．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假．(1)菱形的对角线相等且互相平分；(2)相等的两个角是对顶角．【精彩点拨】分析命题→写成“若p，则q”形式→p是条件，q是结论→判断真假【自主解答】(1)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，即“若一个四边形是菱形，则它的对角线相等且互相平分”．条件p：一个四边形是菱形，结论q：它的对角线相等且互相平分．此命题为假命题．(2)命题“相等的两个角是对顶角”，即“若两个角相等，则这两个角是对顶角”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角是对顶角．此命题为假命题．把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．[再练一题]3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等. 【导学号：25650002】【解】(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．(2)若一个数是负数，则这一个数的立方是负数．它是真命题．(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．[构建·体系]1．下列语句是命题的是( )A．2016是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗D．a≤15【解析】A中，大数没有具体标准，无法判断真假，故A错；B中，由命题的定义知B对；C是疑问句，故C错；D中含字母，无法判断真假，故D错．【答案】 B2．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4【解析】①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不一定互相垂直．【答案】 A3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交【解析】由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．【答案】 D4．命题“6的倍数既能被2整除，又能被3整除”的结论是( )A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数【解析】“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C5．已知命题p：x2－2x－2≥1；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围. 【导学号：25650003】【解】 由x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.综上，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

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1 命题1.了解命题的概念.（难点）2.理解命题的构成,并能指出此类命题的条件和结论.(重点）3。

能判断一些简单命题的真假.（难点)[基础·初探］教材整理1 命题的概念阅读教材P2“例1”以上部分,完成下列问题.1。

定义:用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句.【答案】判断真假2。

分类：(1）真命题：判断为________的语句；(2)假命题：判断为________的语句。

【答案】（1）真（2）假判断下列语句是命题的是________.（1）求证错误!是无理数；（2）x2＋2x＋1≥0（x∈R)；(3）你是高二学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果;（5)一个正整数不是质数就是合数.【解析】判断一个语句是否为命题，关键符合两点：①陈述句，②能判断真假.【答案】(2)(4）（5)教材整理2 命题的结构阅读教材P3，完成下列问题.命题的结构形式是“________”，其中______是命题的条件，______是命题的结论。

【答案】若p，则q p q1.命题①若a>b,则a2>b2是________命题；命题②若x〉－3，则x2＋x－6≤0是________命题(填“真”或“假”）.【答案】假假2.指出下列命题中的条件p和结论q：（1)若x<0，则x2<0；(2)如果一个函数的图象是一条直线,那么这个函数为一次函数。

1.1 命题学习目标 1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考1 给出下列语句：①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；②3＋6＝7；③偶函数的图像关于y轴对称；④5能被4整除.请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1)定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考1 你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考2 “内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.由p能推出q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.思考2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题. 梳理(1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例1 下列语句：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1，2，3}中的元素.其中是命题的是________.(填序号)答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8). 反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.其流程图如图：跟踪训练1 下列语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线AB；③中国领土不可侵犯！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.答案①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题的概念例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练2 命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案 B解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.命题角度2 四种命题的相互关系例3 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一命题答案 B解析已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数.命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟(1)判断四种命题之间四种关系的两种方法①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系. (2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②一个实数不是正数就是负数；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是________.答案 1解析 ①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不是相反数”，是真命题.②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3不是不等式的解，故是假命题.④“相等的角是同位角”，是假命题.类型三 等价命题的应用例4 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假.解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74≥1， 所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假.解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，所以a <74.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”.∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1.下列语句是命题的是( )A.2 014是一个大数B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗D.a≤15答案 B解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.2.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.4.命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4答案 B解析命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题.故选B.5.给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题.③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.1.可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变.3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.40分钟课时作业一、选择题1.下列语句中，不能成为命题的是( )A.5>12B.x>0C.已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0D.三角形的三条中线交于一点答案 B解析A是假命题，C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题.2.下列说法正确的是( )A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D解析对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.3.已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )A.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”B.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”C.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”D.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”答案 B解析“若a>0且b>0，则ab>0”是真命题，又“若a>0且b>0，则ab>0”是“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”.4.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2 016，则x>0”的逆命题B.命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题C.命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”D.命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题答案 B解析 A 选项，“若x >2 016，则x >0”的逆命题为“若x >0，则x >2 016”是假命题；B 选项，“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”是真命题；C 选项，由x 2＋x －2＝0，得x ＝1或x ＝－2，故C 是假命题；D 选项，“若x 2≥1，则x ≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题.5.若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确 答案 A6.已知命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 B解析 命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.7.下列命题：(1)若“a 2<b 2，则a <b ”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；(3)“若a ≥0，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题；(4)“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”.其中正确的命题是( )A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4) 答案 A解析 对于(1)，逆命题是“若a <b ，则a 2<b 2”，易知是假命题；对于(2)，否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，易知是假命题； 对于(3)，结论成立的条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a 2－4a a ＋，故a ≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以(3)正确；对于(4)，若x 为有理数，则3x 必为无理数，因为3x 为有理数，故x 为无理数，则(4)正确，故选A.二、填空题8.已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是________________________________________________，q是________________________________________________________________________.答案一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9.已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________.答案若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2解析由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10.在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________.答案 1解析原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.11.给定下列命题：①若k>0，则方程x2－2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是________.答案①②④解析①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题.三、解答题12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 解方法一因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.证明假设a＋b<0，则a<－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b).即f(a)＋f(b)<0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.11。

1.1.1集合及其表示方法第2课时学习目标1.理解并掌握集合的两种表示方法,并针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言来刻画集合,发展数学抽象素养;2.理解并掌握区间及其表示,为后续不等式解集的学习打好基础.自主预习1.什么是列举法?2.什么是特征性质描述法?思考:如何选择合适的方法去表示集合?3.区间及其表示(1)若a∈R,b∈R,且a<b,则有下表:集合简写名称数轴表示闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间(2)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间(-∞,+∞).符号(a,+∞) (-∞,a)集合{x|x≥a} {x|x≤a}课堂探究1.列举法【发现问题】(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.思考1:以上集合均是用自然语言描述的,能否用数学语言去简洁表示呢?【探究新知】①由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为;②24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合可用列举法表示为;③中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为;④不大于100的自然数组成的集合可以表示为;⑤自然数集N可用列举法表示为.思考2:{2,1}和{1,2}是同一个集合吗?思考3:只含一个元素的集合{a}也是一个集合,{a}与a该如何理解?例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数组成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.2.描述法思考4:以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便,该如何表示呢?①满足x>3的所有数组成的集合A;②所有的两个整数的商组成的集合B.例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?例3用适当的方法表示下列集合:(1)方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A;(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.思考5:如何选用合适的方法来表示集合呢?跟踪训练3用适当的方法表示下列集合:(1)英语单词mathematics(数学)中的所有英文字母组成的集合;(2)方程x+2y=7的所有解组成的集合;(3)绝对值小于0的所有实数组成的集合.>x的所有解组成的集合A.例4用区间表示不等式2x-12跟踪训练4用区间表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.例5已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.延伸探究:1.若将“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.2.若将“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.课堂练习1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为()A.{-1,3}B.{(-1,3)}C.{x=1}D.{x2-2x-3=0}2.一次函数y=x-3与y=-2x的图像的交点组成的集合是()A.{1,-2}B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是()A.6∈AB.0∈AC.3∉AD.3.5∉A4.设区间A=(-2,3),B=[2,+∞),使得x∈A且x∈B的一个实数为.5.已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,求x的值.课后巩固1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x2-2x+1=0}2.如果A={x|x>-1},那么()A.-2∈AB.{0}∈AC.-3∈AD.0∈A3.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}4.下列命题中正确的是()A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素B.集合{0}中没有元素C.√13∈{x|x<2√3}D.{1,2}与{2,1}是不同的集合5.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.66.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A*B={x|x∈A且x∉B},则集合A*B等于()A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}7.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为.8.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是.9.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集.(答案不唯一)10.用适当的方法表示下列集合:(1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.核心素养专练1.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是.2.设集合B={x∈N|6∈N}.2+x(1)试判断元素1和2与集合B的关系;(2)用列举法表示集合B.参考答案略 思考及探究新知:略例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}. (2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3, 所以B={-3,3}.(3)由{y =x +2,y =-2x +5,得{x =1,y =3,所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2 解:(1)偶数可用式子x=2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N +,所以正偶数集可表示为{x|x=2n ,n ∈N +}.(2)设被3除余2的数为x ,则x=3n+2,n ∈Z,但元素为正整数,故n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n ∈N}.(3)坐标轴上的点(x ,y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ,y )|xy=0}.跟踪训练2 解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x 2+1}的代表元素是x ,且x ∈R,所以{x|y=x 2+1}=R,即A=R,可以认为集合A 表示函数y=x 2+1中自变量的取值范围.集合B={y|y=x 2+1}的代表元素是y ,满足条件y=x 2+1的y 的取值范围是y ≥1,所以{y|y=x 2+1}={y|y ≥1},可以认为集合B 表示函数y=x 2+1中因变量的取值范围.集合C={(x ,y )|y=x 2+1}的代表元素是(x ,y ),是满足y=x 2+1的数对.可以认为集合C 是由坐标平面内满足y=x 2+1的点(x ,y )构成的.例3(1)A={0,1}(2)B={(x,y)|x>0,y>0}跟踪训练3(1){m,a,t,h,e,i,c,s}(2){(x,y)|x+2y=7}(3)⌀,+∞)例4A=(12跟踪训练(1)[-1,3](2)(0,1](3)[2,5)(4)(0,2)(5)(-∞,3)(6)[2,+∞)例5解:①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.延伸探究1.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不相等的实数根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.2.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}.课堂练习1.A2.D3.D4.2(答案不唯一)5.-1或-81.B2.D3.B4.A5.B6.C7.{x|x=2n,n∈N+}8.(-∞,-2]}9.不是{1,2,1210.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.核心素养专练1.答案:5解析:因为A={0,1,2},又集合B 中元素为x-y 且x ∈A ,y ∈A , 所以x 的可能取值为0,1,2,y 的可能取值为0,1,2. 当x=0,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为0,-1,-2. 当x=1,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为1,0,-1. 当x=2,y=0或1或2时,对应的x-y 的值为2,1,0.综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B 中的元素的个数为5. 2.解:(1)当x=1时,62+1=2∈N;当x=2时,62+2=32∉N,所以1∈B ,2∉B.(2)因为62+x ∈N,x ∈N,所以2+x 只能取2,3,6,所以x 只能相应取0,1,4,所以B={0,1,4}.学习目标1.掌握集合的三种表示方法,并能进行转化;2.会选择合适的方法表示集合;3.能正确表述和理解集合语言.自主预习一、列举法列举法:把集合中的元素 出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在 内,这种表示集合的方法称为列举法.二、描述法1.特征性质:一般地,如果属于集合A 的 元素x 都具有性质p (x ),而不属于集合A 的元素都 这个性质,则性质p (x )称为集合A 的一个特征性质.2.描述法:用特征性质p (x )表示为 的形式.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称描述法.思考:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?三、区间及其表示1.设a ,b 是两个实数,且a<b ,则有下表: 集合 简写名称 数轴表示{x|a ≤x ≤b }闭区间 {x|a<x<b }(a ,b ) 开区间[a ,b ) 半闭半开区间{x|a<x ≤b }(a ,b ]2.实数集R 可以用区间表示为 ,“∞”读作“无穷大”.如:符号(a ,+∞)(-∞,a )集合{x|x≥a} {x|x≤a}课堂探究一、列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.二、描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?三、集合的表示方法例3 用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示): (1)方程x (x 2+2x+1)=0的解集;(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合; (3)不等式x-2>6的解的集合;(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.跟踪训练3 下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( )A .{x|x=1}B .{y|(y-1)2=0}C .{x=1}D .{1}核心素养专练1.集合{x ∈N +|x-3<2}的另一种表示方法是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.坐标轴上的点的集合可表示为( ) A.{(x ,y )|x=0,y ≠0或x ≠0,y=0} B.{(x ,y )|x 2+y 2=0} C.{(x ,y )|xy=0}D.{(x ,y )|x 2+y 2≠0}3.方程组{x +y =1,y +z =2,z +x =3的解集为( )A.(1,0,2)B.{1,0,2}C.{(1,0,2)}D.{(x ,y ,z )|1,2,3}4.集合{y|y=x+1}与集合{y|y=x 2+1}的公共元素是( ) A.{(1,2),(0,1)} B.{y|y=x 2+1}C.⌀D.{y|y ≥1}5.如果集合A={x|ax 2+2x+1=0}中只有一个元素,则a 的值是( ) A .0 B .0或1 C .1D .不能确定6.若集合M={1,2},满足集合P={x|x ∈M }的P 有 .参考答案自主预习略 课堂探究一、列举法表示集合例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.(2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.(3)由{y =x +2,y =-2x +5,得{x =1,y =3,所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2 解:(1)偶数可用式子x=2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N +,所以正偶数集可表示为{x|x=2n ,n ∈N +}.(2)设被3除余2的数为x ,则x=3n+2,n ∈Z,但元素为正整数,故n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n ∈N}.(3)坐标轴上的点(x ,y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ,y )|xy=0}.跟踪训练2 解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x 2+1}的代表元素是x ,且x ∈R,所以{x|y=x 2+1}=R,即A=R,可以认为集合A 表示函数y=x 2+1中自变量的取值范围;集合B={y|y=x 2+1}的代表元素是y ,满足条件y=x 2+1的y 的取值范围是y ≥1,所以{y|y=x 2+1}={y|y ≥1},可以认为集合B 表示函数y=x 2+1中因变量的取值范围;集合C={(x ,y )|y=x 2+1}的代表元素是(x ,y ),是满足y=x 2+1的数对,可以认为集合C 是由坐标平面内满足y=x 2+1的点(x ,y )构成的.三、集合的表示方法例3 解:(1){0,-1};(2){x|x=2n+1,且x<1 000,n ∈N};(3)(8,+∞);(4){1,2,3,4,5,6}.跟踪训练3 答案:C 核心素养专练1.B2.C3.C4.D5.B6.{1},{2},{1,2}。