《18.2.3 正方形》习题3

18.2.3《正方形》精选练习一、选择题1.下列命题中，正确的是（）.A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C.两组邻角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形2.下列命题是真命题的是（）A.四边都相等的四边形是矩形B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线相等的平行四边形是矩形3.如图,在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为 ( )A.45°B.55°C.60° .75°4.下列命题是真命题的是（）A.菱形的对角线互相平分B.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.对角线相等的四边形是矩形5.下列命题中，真命题是（）A.有两边相等的平行四边形是菱形B.对角线垂直的四边形是菱形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线相等的四边形是矩形6.下列命题是真命题的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形7.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（）A.2﹣2B.﹣1C.﹣1D.2﹣8.如图所示，在正方形ABCD的内部，作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为( )A.60°B.65°C.70°D.75°9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3,0)，则点D的坐标为( )A.(1,2.5)B.(1,1+)C.(1,3)D.(-1,1+)10.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF 沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A.1B.C.D.211.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为( )A.6B.8C.10D.1212.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN=BD；③PE2＋PF2=PO2.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题13.对角线长为2的正方形的周长为___________，面积为__________。

新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．30答案：C知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO ＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜223＜3，且小方格的对角线长2＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D．分析：要n 取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5° 答案：B知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD ，∵∠BCE ＝∠BCD ＋∠DCE ＝90°＋60°＝150°，BC ＝EC ，∴∠EBC ＝∠BEC ＝21（180°－∠BCE ）＝15° ∵∠BCM ＝21∠BCD ＝45°， ∴∠BMC ＝180°－（∠BCM ＋∠EBC ）＝120°，∴∠AMB ＝180°－∠BMC ＝60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上，∴∠AMD ＝∠AMB ＝60°故选B ．分析：连接BD ，根据BD ，AC 为正方形的两条对角线可知AC 为BD 的垂直平分线，所以∠AMD ＝AMB ，要求∠AMD ，求∠AMB 即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD ＝∠AMB ，确定AC 和BD 垂直平分是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．25答案：D知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D．分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A．4条B．8条C．12条D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直线的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于（ ）A ．82B ．102C ．122D ．162 答案：D知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：连接DP ，S △BDP ＝S △BDC －S △DPC －S △BPC ＝21－21×1×21－21×1×41 ＝81， ∵F 为BP 的中点，∴P 到BD 的距离为F 到BD 的距离的2倍．∴S △BDP ＝2S △BDF ，∴S △BDF ＝161， 设F 到BD 的距离为h ， 根据三角形面积计算公式，S △BDF ＝21×BD ×h ＝161， 计算得：h ＝22161＝162． 故选D ．分析：图中，F 为BP 的中点，所以S △BDP ＝2S △BDF ，所以要求F 到BD 的距离，求出P 到BD 的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F 到BD 的距离．9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（ ）A ．96cm 2B ．48cm 2C ．24cm 2D ．以上都不对 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD 的中点E ，找到AD 的中点F ，连接CF ，AE ，则CM ∥EA ，AN ∥FC ，△BOM ∽△BKA ， ∴BK BO ＝BABM ＝21， 同理可证：DO DK ＝DA DF ＝21， 故DK ＝KO ＝OB ， ∴△BOC 和△BOA 的面积和为31正方形ABCD 的面积， ∵CN ＝NB ＝AM ＝BM ，∴△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和，∴△OCN 的面积为12576＝48cm 2， 故选B ．分析：先证明BO 为正方形ABCD 的对角线BD 的31，再求证△CNO ，△NBO ，△AMO ，△BMO 的面积相等，即△CON 的面积为正方形面积的121．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO ＝31BD ，△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和． 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE ＝BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN ＝（ ）A ．1B ．2C ．22D ．1＋2答案：C知识点：正方形的性质，三角形的面积解析：解答：解：连接BP ，作EH ⊥BC ，则PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，S △BCE ＝1－－S △CDE ，∵DE ＝BD －BE ＝，△CDE 中CD 边上的高为22（2－1）， ∵S △CDE ＝CD ×22（2－1）＝－42； S △BCE ＝1－21－S △CDE ＝42； 又∵S △BCE ＝S △BPE ＋S △BPC ＝•BC•（PM ＋PN ）∴PM ＋PN ＝＝．故选C ．分析：连接BP ，PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM ＋PN ．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）A ．25B ．36C ．49D ．30 答案：B知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA ，过A ．D 两点的直线方程是69664-6----x y ＝，即y ＝－x 310＋16，解得它与x 轴的交点E 的横坐标是x ＝7.8，同理求得过A ．B 两点的直线方程是y ＝－x 103＋4.2，解得它与y 轴的交点E 的纵坐标是y ＝4.2，∴S △AOE ＝21×7.8×6＝23.4，S △AFO ＝21×4.2×6＝12.6， ∴S △AOE ＋S △AFO ＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知AD 与x 轴的交点E 的坐标，同理求得AB 与y 轴的交点F 的坐标，连接OA ，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E ．F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（ ）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－ 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质解析：解答：解：△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积因此本题求解△BCP ．△CDP 面积和△BCD 的面积即可，S △BCP ＝4323121＝⨯⨯， S △CDP ＝4121121＝⨯⨯，S △BCD ＝×1×1＝，∴S △BPD ＝413214143－＝－＋． 故选B ． 分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系．13．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．4B ．23C ．26D ．2答案：A知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，∴C ．A 关于BD 对称，即C 关于BD 的对称点是A ，连接AE 交BD 于P ，则此时EP ＋CP 的值最小，∵C ．A 关于BD 对称，∴CP ＝AP ，∴EP ＋CP ＝AE ，∵等边三角形ABE，∴EP＋CP＝AE＝AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，∴EP＋CP＝4，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17答案：C知识点：正方形的性质；菱形的性质解析：解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝4，∴正方形ACEF 的周长是AC ＋CE ＋EF ＋FA ＝4×4＝16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小题）1．如图所示，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm 2．答案：41-n 知识点：正方形的性质；探索图形规律解析：解答：解：∵点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点 ∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的， 即41×1×1＝41， 当有三个三角形时，其面积为41＋41＝42 当有四个时，其面积为41＋41＋41＝43 所以当n 个三角形时，其面积为41-n ． 故答案为41-n ． 分析：求面积问题，因为点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的41，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．2．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P 点坐标为．答案：（0，4）或（0，0）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，∵点E是AB的中点，∴BE＝1，∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，∴PC＝BF＝2，∴P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P′．故答案为：（0，4），（0，0）分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．答案：ab 41 ）＋（22221b a 知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做O 1H ∥AE ，使O 2H ⊥O 1H ，交BG 于P ，K 点，（1）BP ＝，又∵O 2H ⊥HO 1，∴KP ∥HO 2，∴△PKO 1∽△HO 2O 1， ∴ba a HO PO HO KP +＝＝112， KP ＝）（＝b a a ab a b b a a +--⨯+222， 阴影部分的面积＝21×BK ×（2b a +）＝21×[2a ＋）（b a a ab +-22]×2b a + ＝82ab ＝4ab ； （2）HO 1＝2b a +，HO 2＝2a b -， 根据勾股定理O 1O 2＝2221HO HO + ＝222b a + ＝）（22221b a +． 故答案为：ab 41；）＋（22221b a ．分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O 1O 2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和．（只写一组）答案：（1，0）和（1，1）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．故答案为：（1，0），（1，1）．分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．分析：要使得△ABC 的面积为2，即S ＝ah ，则使得a ＝2、h ＝2或者a ＝4、b ＝1即可，在图示方格纸中找出C 点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C 点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ．（1）求证：AC OF AB 21=-； （2）点A 1、点C 1分别同时从A 、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E ⊥A 1C 1，垂足为E ，请猜想EF 1，AB 与1121C A 三者之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当A 1E 1＝6，C 1E 1＝4时，则BD 的长为 ．答案：（1）见解析 （2）AB －EF1＝A 1C 1 （3）27知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1）过F 作FG ⊥AB 于G ，∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，∴OF＝FG，∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，∴△AOF≌△AGF，∴AO＝AG，直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，∴FG＝BG＝OF，∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，∴AB－OF＝AC．（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝A1C1．（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，如果设CC1＝A1A＝x，A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，∴x＝1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB＝7，∴BD＝7．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE＝BF．分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．答案：45°知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°．分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF ＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．3答案：（1）见解析（2）30°（3）3知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE＝∠AGE＝75°，∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，∴∠EFC＝30°（3）∵AB＝BC＝3，∠BAE＝30°，∴BE＝1，CE＝3－1，∵∠EFC＝30°，∴CF＝3－3，∴S△CEF＝CE•CF＝23－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－3．分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；（2）根据△AGE ≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数；（3）S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADF －S △AEB －S △CEF ＝S 正方形ABCD －S △AEF －S △CEF ，关键求S △CEF ． 解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．5．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，E ，F 分别为边DC ，BC 上的点，BF ＝1cm ，CE ＝2cm ，BE ，DF 相交于点G ，求四边形CEGF 的面积．答案：518 知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题解析：解答：解：以B 点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A （0，4），B （0，0），C （4，0），D （4，4），E （4，2），F （1，0）．设BE 所在直线的解析式是y ＝kx ，因为BE 所在直线经过E 点，因此有4k ＝2，k ＝21， 因此BE 所在直线的解析式是y ＝21x （1）， 同理可得出DF 所在直线的解析式是y ＝34（x －1）（2）， 联立（1）（2）可解得点G 的坐标为（58，54）． 故可求四边形CEGF 的面积S ＝S △BCE －S △BFG ＝21×4×2－21×1×54＝518．分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG 的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．。

18.2.3正方形的性质与判定练习题一、填空题1、如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE＝ °. 2、如图，四边形ABDC 是正方形，延长CD 到点E ，使CE=CB ，则∠AEC ＝ °.3、如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°； ②∠AFC=112.5°； ③∠ACE=135°；④AC=CE ；⑤AD ∶CE=1∶ 2. 其中正确的有 个.4、如图，等边△EDC 在正方形ABCD 内，连结EA 、EB ，则∠AEB ＝°；∠ACE ＝ °.5、已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 °.6、如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED 重合，则θ值为 °.第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 .9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN= ；AM 的长是 .10、正方形的面积是31，则其对角线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 .第12题图 第13题图 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图O 2O 1第11题图 第14题图13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是.14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是.15、如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是.（填序号）16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB= 。

18.2.3正方形同步习题一．选择题1．下列说法正确的是）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形2．如图，正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，AE＝BF，下列结论错误的是（）A．BE＝CF B．∠AEB+∠BFC＝180°C．∠DAE＝∠BFC D．AE⊥BF3．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（）A．25B．5C．16D．124．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：5．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则OF的值为（）A．2B．﹣1C．D．26．如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E，H在AD，CD边上，点F，G在对角线AC 上若AB＝6，则EFGH的面积是（）A．6B．8C．9D．127．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点E在边BC上的延长线上，点G在CD上，若AB＝2，则线段DF的最小值为（）A．1B．C．D．28．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AG⊥EF，垂足为点G．则∠EAF的度数为（）A．45°B．30°C．60°D．40°9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2B．4C．5D．610．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、CD上，BE＝2，若∠EBF＝45°，连接EF，则EF的长为（）A．3B．C．D．+2二．填空题11．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为．12．如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE＝BC，则∠AEB＝．13．如图，正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，正方形的边长为4，则阴影部分面积为．14．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，已知△ADP≌△ABP′，AB＝6，DP＝2，求PP′＝．15．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．求证：△ABE≌△ADF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E在CD边上，以线段CE为边长在正方形ABCD 的外部作正方形CEFG，以线段AD和DE为邻边作矩形ADEH，若S正方形CEFG＝S矩形ADEH．（1）求线段CE的长；（2）若点M为BC边的中点，连接MD，求证：MD＝MG．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，线段BE与AC交于点F．（1）求∠AEB和∠BFC的度数；（2）若AD＝6，求BE2的值．参考答案1．B2．B3．A4．A5．C6．B7．B8．A9．A10．B11．22.5°12．22.5°13．14．415．16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝90°，∴∠B＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）．17．（1）3﹣3；（2）证明：∵点M为BC边的中点，∴MC＝3，在Rt△MCD中，DM＝＝3，∵MG＝MC+CG＝3+3﹣3＝3，∴MD＝MG．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．（2）过E作EG⊥AD，并与AB交于H，∵△ADE是等边三角形，EG⊥AD，∴AG＝GD＝3，∴GE＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴BH＝3，∵HE＝HG+GE＝6+3，在Rt△BHE中，BE2＝．。

第十八章　平行四边形18.2　特殊的平行四边形18.2.3　正方形基础过关全练知识点1　正方形的定义及性质1.(2023四川自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)2.(2023河南周口期末)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=25°,则∠EFD的度数为( )A.40°B.50°C.55°D.65°3.【教材变式·P67T1(3)】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ABE,连接ED,则∠BED的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°4.如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD交于点O,E是AC 延长线上一点,且CE=CO,连接BE,则BE的长度为( )A.3B.10C.5D.2525.(2021湖南邵阳中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.(1)证明:△ADE≌△CBF;(2)若AB=42,AE=2,求四边形BEDF的周长.知识点2　正方形的判定6.(2021广西玉林中考)如图,一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③7.(2023黑龙江龙东地区中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,试添加一个条件: ,使得矩形ABCD为正方形.8.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=2,则点E到边CD的距离为 .9.(2022湖南邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF 是正方形.10.(2022广东深圳模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.(1)求证:四边形AFDE为正方形;(2)若AD=22,求四边形AFDE的面积.能力提升全练11.(2022山东青岛中考,7,★☆☆)如图,O为正方形ABCD对角线AC 的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为( )A.6B.6C.22D.23212.(2023山东青岛二十六中期中,6,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=OB;④AC⊥BD.从所给的四个条件中任意选择两个为一组,能判定▱ABCD是正方形的有( )A.3组B.4组C.5组D.6组13.(2022重庆中考A卷,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°14.(2021湖南常德中考,7,★★☆)如图,已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于点P,连接CP,则下列结论成立的是　( )AE B.PC=PDA.BE=12C.∠EAF+∠AFD=90°D.PE=EC15.(2023重庆中考B卷,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为( )A.2B.3C.1D.216.(2022江苏无锡中考,16,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为8,点E 是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG= .17.【新考法】(2023天津中考,17,★★★)如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=5.2(1)△ADE的面积为 ;(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,交CD于点G,则AG的长为 .18.(2023广西南宁期末,22,★★☆)如图,△ABC中,D是BC边上一点,E 是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是正方形?并说明理由.19.(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.(1)求证:∠DAG=∠EGH;(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.20.(2022山东潍坊诸城一模,21,★★☆)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上的点,连接AE、CE.(1)求证:AE=CE;(2)若将△ABE沿AB翻折得到△ABF,则当点E在BD上的何处时,四边形AFBE是正方形?请证明你的结论.素养探究全练21.【几何直观】下图是一张矩形纸片ABCD,按照下面步骤进行折叠:第一步:如图①,将矩形纸片沿AM折叠,使得点D的对应点N落在AB上,连接MN,然后把纸片展开.第二步:如图②,将四边形ADMN沿PQ对折,使AD与NM重合.将纸片展开,得到折痕PQ,然后连接NQ.第三步:如图③,折叠纸片使得NQ落在DC上,折痕为EQ,点N的对应点为F.(1)求证:四边形ADMN是正方形;(2)求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值.答案全解全析基础过关全练1.C　∵正方形OBCD的边长为3,∴DC=BC=3,DC与BC分别垂直于y轴和x轴.∵点C在第一象限,∴点C的坐标为(3,3).2.A　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠BAD=90°,在△ABF和△ADF中,AB=AD,∠BAF=∠DAF, AF=AF,∴△ABF≌△ADF(SAS),∴∠ADF=∠ABE=25°,∵∠AEB=90°-∠ABF=65°,∴∠EFD=∠AEB-∠ADF=65°-25°=40°,故选A.3.C　在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,在等边△ABE中,AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°,∴AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=∠ADE=12×(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.4.C　∵正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∴OB=OC,OB⊥OC,∴OB2+OC2=BC2,∵正方形ABCD的边长为2,即BC=2,∴OB=OC=1(舍负),∵CE=OC,∴OE=2,∴在Rt△OBE中,BE=12+22=5.故选C.5.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC,∠DAE=∠BCF=45°,在△ADE和△CBF中,AD=CB,∠DAE=∠BCF, AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AD=AB=42,∴BD= AB2+A D2=(42)2+(42)2=8,∴AC=BD=8,∴DO=BO=4,OA=OC=4,∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2,∴四边形BEDF为平行四边形.∵∠DOE=90°,∴四边形BEDF是菱形,∵DE=DO2+E O2=42+22=25,∴4DE=85,∴四边形BEDF的周长为85.6.C　①由a得,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加c得,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,再添加d得,有一个角是直角的菱形是正方形,故①正确;②由b得,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,添加d得,有一个角是直角的平行四边形是矩形,再添加c得,有一组邻边相等的矩形是正方形,故②正确;③由a得,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加b得,一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形,再添加c得,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形,故③不正确.故选C.7.答案　AB=AD(答案不唯一)解析　添加AB=AD.(答案不唯一)理由:∵四边形ABCD 是矩形,AB=AD,∴四边形ABCD 是正方形.8.答案　0.5解析　如图,连接EO,交CD 于H,∵CE ∥BD,DE ∥AC,∴四边形OCED 是平行四边形,在正方形ABCD 中,AC ⊥BD,OD=OC,∴∠COD=90°,∴四边形OCED 是正方形.∴EH=12CD,OE ⊥CD,∵AC=2,∴AB=BC=CD=1,∴EH=12CD=0.5,即点E 到边CD 的距离为0.5.9.证明　∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF 是菱形.∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,∴EF=AC,∴四边形AECF 是正方形.10.解析　(1)证明:∵DE ∥AB,DF ∥AC,∴四边形AFDE 是平行四边形.∵AD 平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.∵DE ∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴四边形AFDE 是菱形.∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE 是正方形.(2)∵四边形AFDE 是正方形,∴AF=DF=DE=AE,∠AED=90°,∴AE 2+DE 2=AD 2,∵AD=22,∴AE=DE=2(舍负),∴四边形AFDE 的面积为2×2=4.能力提升全练11.B　∵四边形ABCD为正方形,AB=2,∴AC=22,∵O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形,∴∠AOE=90°,AE=AC=22,AO=2,∴OE=AE2-O A2=6.故选B.12.B　∵AB=BC,∠ABC=90°,∴▱ABCD是正方形,故①②为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故②④为一组,能判定▱ABCD是正方形;在▱ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=OB,∴AC=BD,∵AC⊥BD,∴▱ABCD是正方形,故③④为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,故①③为一组,能判定▱ABCD是正方形.故选B.13.C　∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,在△DAF和△ABE中,AD=BA,∠DAF=∠ABE,AF=BE,∴△DAF≌△ABE(SAS),∴∠ADF=∠BAE,∵AE平分∠BAC,四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∠ADC=90°,∴∠ADF=22.5°,∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°,故选C.14.C　∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,∴AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°,在△AFD和△BEA中,AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°, AD=BA,∴△AFD≌△BEA(SAS),∴∠FDA=∠EAB.∵∠FDA+∠AFD=90°,∴∠EAB+∠AFD=90°,即∠EAF+∠AFD=90°,故C中结论成立,根据已知条件无法证明A、B、D中结论成立,故选C.15.D　如图,连接AF,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=BE=2,∠ABC=90°,∴∠BEC=∠BCE,AC=AB2+B C2=22,∴∠EBC=180°-2∠BEC,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=2∠BEC-90°,∵BF平分∠ABE,∴∠ABF=∠EBF=12∠ABE=∠BEC-45°.∴∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°,在△BAF与△BEF中,AB=EB,∠ABF=∠EBF,BF=BF,∴△BAF≌△BEF(SAS),∴∠BFA=∠BFE=45°,∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°,∵O为对角线AC的中点,∴OF=12AC=2,故选D.16.答案　1解析　连接AG,EG,如图,易知AG=EG.∵E是CD的中点,∴DE=CE=4,设CG=x,则BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=8-7=1.17.答案　(1)3　(2)13解析　(1)过E 作EM ⊥AD 于M,如图,∵EA=ED=52,AD=3,∴AM=DM=12AD=32,∴EM=AE 2-A M 2=2,∴△ADE 的面积为12AD·EM=12×3×2=3.(2)延长EM 交AG 于N,交BC 于P,过点N 作NH ⊥DC 于H,如图,∵四边形ABCD 是正方形,∴BC ∥AD,∴EP ⊥BC,∴四边形ABPM 是矩形,∴PM=AB=3,AB ∥EP,∴EP=5,∠ABF=∠NEF,∵F 为BE 的中点,∴BF=EF,在△ABF 与△NEF 中,∠ABF =∠NEF ,BF =EF ,∠AFB =∠NFE ,∴△ABF ≌△NEF(ASA),∴EN=AB=3,∴MN=1,∵NH ⊥CD,∴∠GHN=∠NMA=90°,NH ∥AD,∴∠GNH=∠NAM,易知四边形MNHD 为矩形,∴NH=DM=AM,∴△GNH ≌△NAM,∴AN=NG,∵AM=MD,∴GD=2MN=2,∴AG=AD 2+G D 2=13.18.解析　(1)证明:∵AF ∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵点E 为AD 的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC, AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD,∴D是BC的中点.(2)当△ABC满足AB=AC,∠BAC=90°时,四边形AFBD是正方形.理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ADB=90°,AD=BD=12BC,∴平行四边形AFBD 是正方形.19.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD,∵GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF.理由如下:连接GC交EF于点O,如图,∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.20.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°,在△ABE和△CBE中,AB=CB,∠ABE=∠CBE, BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE.(2)点E在BD的中点处时,四边形AFBE是正方形.证明如下:由翻折得∠F=∠AEB,AF=AE,BF=BE,∵AB=AD,∠BAD=90°,E是BD的中点,∴AE=12BD=BE=DE,AE⊥BD,∵BF=BE,AE=AF,∴AE=BE=AF=BF,∴四边形AFBE是菱形,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴四边形AFBE是正方形.素养探究全练21.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAN=∠D=90°,由折叠可得∠ANM=∠D=90°,AD=AN,∴四边形ADMN是正方形.(2)∵四边形ADMN为正方形,∴AD=DM=MN,设AD=DM=MN=2a,∵将正方形ADMN对折后,AD与MN重合,∴DQ=QM=a,在Rt△NQM 中,由勾股定理得NQ=QM2+N M2=a2+(2a)2=5a,由折叠可得QF=NQ=5a,易得四边形NQFE为菱形,∵四边形NQFE与四边形ADMN的高都为2a,∴S四边形NQFE∶S四边形ADMN=QF∶DM=5a∶2a=52.。

第十八章平行四边形18.2.3正方形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分对角【答案】B【解析】正方形具有矩形和菱形的所有性质，菱形的对角线具有：（1）对角线互相平分；（2）对角线互相垂直；（3）每条对角线平分一组对角；而菱形对角线不具有的性质是：对角线相等．故选B．2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为A．32B．12 C．18 D．36【答案】C3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD．选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】B【解析】A选项中，由四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，可得四边形ABCD是菱形，结合∠ABC=90°，可得四边形ABCD是正方形；B选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD及∠ABC=90°只能证得四边形ABCD是矩形，不能证明四边形ABCD是正方形；C选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AB=BC可得四边形ABCD是菱形，结合AC=BD即可得到四边形ABCD是正方形；D选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC=90°可得四边形ABCD是矩形，再结合AC⊥BD 即可得到四边形ABCD是正方形．故选B．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90°D．OD=AC【答案】C5．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】如图，过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD，∴△PQM≌△AED，∴PQ=AE=2251213+=．故选B．6．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°【答案】B【解析】如图，连接BD，由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC=12（180°-∠BCE）=15°，∵∠BCM=12∠BCD=45°，∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°-∠BMC=60°，∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故选B．7．如图，正方形ABCD的边长为42cm，则图中阴影部分的面积为A．6 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．不能确定【答案】B【解析】阴影部分的面积=S△ADC=12S正方形ABCD=12×（2）2=16（cm2）．故选C．8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF 的值为A．22B．4 C．42D．2【答案】A9．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴FC=AF，∠ECF= ∠DAF，∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°，∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC，∴FH=AF；（2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°；（3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，∵HF⊥AE，HG⊥BD，∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF= ∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG；（4）如图3，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则LI=HC，∴∠IMC=∠ECM=45°，由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，又∵MC=CM，∴△MEC≌△CIM，∴CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8，为定值．故①②③④结论都正确．故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是__________度．【答案】67.511．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为__________．【答案】150°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA，∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，∴∠ADE=∠BCE=12（180°-30°）=75°，∴∠EDC=∠ECD=15°，∴∠CED=180°-15°-15°=150°．故答案为：150°．12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC 于点E、点F，AE=3，CF=2，则EF的长为__________．【答案】1313．如图所示，将五个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是__________cm2．【答案】1 4 n-【解析】如图，过点O作OE⊥GH于点E，OF⊥HM于点F，由已知条件易得∠EOF=∠GOM=90°，OE=OF，∠OEG=∠OFM=90°，∴∠EOG=∠FOM，∴△EOG≌△FOM，∴S四边形OGHM=S正方形OEHF=14，∵n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，∴n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：11(1)44nn--⨯=．故答案为：14n-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°，求证：矩形ABCD是正方形．15．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA=1，PD=2，PC=3，现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），求∠APD的度数．【答案】135°【解析】如图，连接PG，16．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【解析】（1）如图，连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=12BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC．17．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．【解析】（1）如图，过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，∵BC=AB，∴EM=AB，∴EM-AE=AB-AE，∴AM=BE，∴FM=AM，∵FM⊥AB，∴∠MAF=45°，∴∠EAF=135°．（2）如图，过点F作FG∥AB交BD于点G．由（1）可知∠EAF=135°，∵∠ABD=45°，∴∠EAF+∠ABD=180°，∴AF∥BG，∵FG∥AB，∴四边形ABGF为平行四边形，AF=BG，FG=AB，∵AB=CD，∴FG=CD，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠FGM=∠CDM，∵∠FMG=∠CMD，∴△FGM≌△CDM（AAS），∴GM=DM，∴DG=2DM，∴BD=BG+DG=AF+2DM．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

人教版八年级数学下册18.2.3正方形同步综合练习1．如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为(C)A．50° B．55°C．70° D．75°2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)A．∠D＝90° B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD3．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A)A. 2 B．22C．1 D．25．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是(C)A．45° B．35°C．22.5° D．15.5°6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为(C)A．3 2 B．12C．18 D．368．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为150°．9．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面10．在▱ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点O.要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB ＝AD ；②AB ＝BD ，且AB ⊥BD ；③OB ＝OC ，且OB ⊥OC ；④AB ＝AD ，且AC ＝BD.其中正确的序号是①③④．11． ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，请添加一个条件：答案不唯一，如：AC ＝BD ，使得▱ABCD 为正方形．12．如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为13．已知，如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是AB 和AD 延长线上的点，且BE ＝DF.(1)求证：CE ＝CF ；(2)求∠CEF 的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝BC ，∠B ＝∠ADC ＝90°.在△CDF 和△CBE 中，⎩⎨⎧DC ＝BC ，∠CDF ＝∠B ＝90°，DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE(ASA)．∴CE ＝CF.(2)∵△CDF ≌△CBE ，∴∠DCF ＝∠BCE.∴∠ECF ＝∠DCB ＝90°.∵CF ＝CE ，∴∠CEF ＝45°.14．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别是边AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么条件时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D.又∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴BE ＝DF.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB 与BC 满足AB ⊥BC 时，四边形AEOF 为正方形．理由如下：∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．∵在菱形ABCD 中，点E，F 分别是边AB, AD的中点，∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°.∴四边形AEOF为正方形．15．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.由题意，得EF＝12AC，EH＝12BD，GH＝12AC，GF＝12BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12AC.同理：EH∥BD，EH＝12BD，GF＝12BD，GH＝12AC.又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．。

18.2.3 正方形第3课时正方形的性质和判定一、选择题：1．平行四边形，菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当ABCD是菱形时，AC∠BDC．当ABCD是正方形时，AC＝BD D．当ABCD是菱形时，AB＝AC3．小旭用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm(第2题) (第3题) (第4题)4．如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（）A．15B．16C．17D．185．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．24cm(第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6．将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为()A．2 cm2 B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm2二、填空题：7．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点E的坐标是．8．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC＝．9．正方形面积为36，则对角线的长为．10．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是．11．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP＝．DE ，若折痕为PQ，12．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使5则PQ＝．(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)13．如图，正方形ABCD的边长为6cm，点E在AE上，AE＝2cm，动点F由点C开始以3cm/s的速度沿折线CBE 移动，动点G同时由点D开始以1cm/s沿点DC移动秒后以点D、G、F、E为顶点的四边形是平行四边形．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当∠PBC和∠DCE全等时，t的值为．三、解答题：15．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．16．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，求CH的长．17．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG∠DE．18．在∠ABC中，∠ACB＝90°．按如图所示的方法分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形AGFC，（1）求证：∠ACE∠∠AGB；（2）若AC＝3，BC＝5，求EC的长．19．如图，AD是等腰∠ABC底边BC上的高，AF∠BC，点O是AC中点，连接DO并延长交AF于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）填空：∠若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积为；∠当∠BAC＝度时，四边形ADCE是正方形．。

18.2.3 正方形一、单选题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．四条边都相等B．对角线相等C．对边平行且相等D．对角线互相垂直2．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°3．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（）A．32B．52C．94D．34．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为( )A B．3C D．55．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．如图，E、F为菱形ABCD对角线上的两点，∠ADE=∠CDF，要判定四边形BFDE是正方形，需添加的条件是（）A．AE=CF B．OE=OF C．∠EBD=45°D．∠DEF=∠BEF 7．下列叙述，错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形8．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A ．-1）B ．（2，﹣1）C ．（1，D ．（﹣1 9．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =，若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为（ ）A ．1 BC ．2D ．10．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，1BC =，3CE =，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2B ．52C D二、填空题11．若正方形的面积是9，则它的对角线长是_____．12．如图，正方形ABCD的边长为，点E、F在BD上，且DF=BE=1，四边形AECF 的面积为______．13．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：∠AB∠AD，且AB=AD；∠AB=BD，且AB∠BD；∠OB=OC，且OB∠OC；∠AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____．14．正方形ABCD中，点E在边CD上，点P在线段AE上，且到A、B、D三个顶点的距、6，则四边形BCDP的面积为_____．三、解答题15．如图，正方形ABCD内的∠BEC为正三角形，求∠DEA的度数．16．如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、ADBE ，求FC的长．分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都在点G处，已知217．已知：如图，在∠ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．(1)求证：四边形FBGH是菱形；(2)求证：四边形ABCH是正方形．18．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∠BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．答案1．C2．D3．B4．B5．B6．C7．D8. A．9．C10．D11．12．4．13．∠∠∠．14．43．15．解：∠四边形ABCD是正方形，∠AB=BC=CD=DA ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°． ∠∠BEC 是正三角形，∠BE=BC=EC ，∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°．∠BA=BE （即∠BAE 是等腰三角形），∠ABE=∠ABC -∠EBC= 90°-60°=30°， ∠∠BAE=∠BEA=280013︒-︒=75°， ∠∠EAD=∠BAD -∠BAE=90°-75°=15°．同理∠EDA=15°，∠∠DEA=180°-∠EAD -∠EDA=180°-15°-15°=150°．16.解：设FC x =，由图形折叠可得=2BE EG =，624EC =-=，6DF FG x ==-， 在直角ECF ∆中，∠222EF EC CF =+，∠222(426)x x +-=+，解得3x =，∠3=FC ．17.（1）∠点F 、G 是边AC 的三等分点，∠AF=FG=GC ．又∠点D 是边AB 的中点，∠DH∠BG ．同理：EH∠BF ．∠四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ，∠OF=OG，∠AO=CO，∠AB=BC，∠BH∠FG，∠四边形FBGH是菱形；（2）∠四边形FBGH是平行四边形，∠BO=HO，FO=GO．又∠AF=FG=GC，∠AF+FO=GC+GO，即：AO=CO．∠四边形ABCH是平行四边形．∠AC∠BH，AB=BC，∠四边形ABCH是正方形．18.（1）如图1，在正方形ABCD中，∠BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∠∠CBE∠∠CDF，∠CE=CF；（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知∠CBE∠∠CDF，∠∠BCE=∠DCF．∠∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠∠GCE=45°，∠∠GCF=∠GCE=45°，∠CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∠∠ECG∠∠FCG，∠GE=GF，∠GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF∠AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形．AE=AB-BE=12-4=8，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角∠ADE中，AE2+AD2=DE2，则82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=6．则DE=4+6=10。

18.2.3正方形练习题一、单选题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．四边相等B ．对角线相等C ．对角相等D ．对角线互相垂直2．若正方形的对角线长为2 cm ，则这个正方形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．2cm 2C cm 2D ．cm 23．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④4．如图，在菱形ABCD 中，604B AB ∠=︒=，，则以AC 为边的正方形ACEF 的周长为( )A ．12B ．8C ．16D ．205．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF6．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°7．如图，在正方形ABCD 内，以BC 为边作等边三角形BCM ，连接AM 并延长交CD 于N ，则下列结论不正确的是( )A ．15DAN ∠=︒B ．45CMN ∠=︒C ．AM MN =D ．MN NC =8．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．729．如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ，有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙10．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．已知一个正方形的对角线长为______．12．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____．13．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝_____．14．如图，正方形ABCD的边长为4，E点是BC上一点，F是AB上一点，P是AC上一动点，且BE＝1，AF＝2，则PE+PF的最小值是_____．15．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB C D '''，边B C ''与DC 交于点O ，则四边形AB OD '的周长是_______________．16．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为_______．17．如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN=_______.18．如图，在ABC V 中，AC BC =，点D E ，分别是边AB AC ，的中点，延长DE 到点F ，使DE EF =，得四边形ADCF .若使四边形ADCF 是正方形，则应在ABC V 中再添加一个条件为__________.IJ AB，则正方19．如图，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且//形EFCH的边长为_____.20．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．三、解答题21．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．22．正方形ABCD的边长为2，M、N分别为边BC、CD上的动点，且∠MAN＝45°（1）猜想线段BM、DN、MN的数量关系并证明；（2）若BM＝CM，P是MN的中点，求AP的长；（3）M、N运动过程中，请直接写出△AMN面积的最大值和最小值．1．B2．B3．B4．C5．B6．B7．D8．D9．B10．C11．612．30°或150°．13．41415．16．5.17．13 218．答案不唯一，如∠ACB=90°或∠BAC=45°或∠B=45°19．1020．12. 21．(1)略（2）52.22．（1）BM+DN＝MN；（2）6；（3）2，﹣4．。