专题1.9 概率与统计、算法、推理与证明、复数(测试卷)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江

专题综合检测(七)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·新课标Ⅱ卷)若a 为实数，且2＋ai1＋i ＝3＋i ，则a ＝(D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：∵ 2＋ai1＋i＝3＋i ，∴ 2＋ai ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴ a ＝4，故选D.2．具有A ，B ，C 三种性质的总体，其容量为63，将A ，B ，C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A ，B ，C 三种元素分别抽取(C )A ．12，6，3B ．12，3，6C ．3，6，12D ．3，12，63．(2015·陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋yi(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y≥x 的概率为(D ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：|z|＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时， y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－12×1×1＝π－24.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－12π.4．(2014·新课标Ⅱ卷)执行下图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝(D )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由题意知：当k ＝1时，M ＝2，S ＝5；当k ＝2时，M ＝2，S ＝7；当k ＝3时，输出S ＝7.故选D. 5．图1是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10[如A 2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是(B )A ．i ＜9?B ．i ＜8?C ．i ＜7?D ．i ＜6?6．(2015·湖南卷)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝(D )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：由（1－i ）2z ＝1＋i ，得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1－i ，故选D.7．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(C ) A ．240种 B ．360种 C ．480种 D ．720种8．(2015·新课标Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(D )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.9．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(B )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元10．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是(D)A.成绩 B ．视力 C.智商 D ．阅读量解析：根据公式χ2＝ n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）分别计算得：A.52×8216×36×20×32，B.52×112216×36×20×32， C.52×96216×36×20×32，D.52×408216×36×20×32. 选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.11．(2014·浙江二模)李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中(不绕行)共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值E ξ是(B )A.16B ．1C ．6×⎝ ⎛⎭⎪⎫566D ．6×⎝ ⎛⎭⎪⎫166解析：A 处到单位B 处上班路线中每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16，所以E ξ＝6×16＝1. 12．若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ)<X≤μ＋2σ＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.在正态分布N ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫132中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(D )A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.002 6解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x<－1或x>1)＝1－P(－1≤x ≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2015·广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为11．解析：由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋nn＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.14．数列{a n }的前n 项和是S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列： 12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，… 则a 15＝56，若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57．15．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中的数的个数的2倍)： 第1行 1 第2行 2，3 第3行 4，5，6，7 … …则第8行中的第5个数是132．16．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下：比较两名同学的学习成绩可得到的结论是________．解析：x甲＝87，x乙＝95.s甲＝12.7，s乙＝9.7.由x甲<x乙，s甲>s乙知，甲的数学学习状况不如乙的学习状况．答案：甲的数学学习状况不如乙的学习状况三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：(1)799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在85.5～95.5分的学生可获二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？解析：(1)编号为016.(2)(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数约是9＋7＝16(人)，占样本的比例是1650＝0.32.即获二等奖的概率约为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．18．(12分)某市电信部门规定：拨打本市电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以0.1元/分钟收取通话费(时间以分钟计，不足1分钟按1分钟计)．现设计了一个计算通话费用的算法：第一步 输入通话时间t(t 按题目要求取整数)；第二步 如果t≤3，则c ＝0.2，否则c ＝0.2＋0.1(t －3)； 第三步 输出费用c.(1)试画出该算法的一个程序框图；(2)表1为A ，B ，C ，D ，E 五人拨打本市电话的情况，将A ，C 的应缴话费数填入表1中适当位置；表1表2解析：(2)0.20 1.00(3)19.(12下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；20．(12分)有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)摸球方法与(1)同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？解析：(1)用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共有6个，则P(A)＝616＝38.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C.事件B 所包含的基本事件有：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，共有4个，则P(B)＝416＝14，∴P(C)＝1－P(B)＝1－14＝34.P (B)≠P(C)，所以这样规定不公平．21．(12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表(单位：名)：(1)从这50说明的女生各有多少名？(2)从(1)中的5名女生样本中随机选取2名作深度访谈， 求选到看与不看营养说明的女生各1名的概率． (3)根据以上列联表，问：有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？解析：(1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有550×30＝3(名)，样本中不看营养说明的女生有550×20＝2(名)．(2)记样本中看营养说明的3名女生为a 1，a 2，a 3，不看营养说明的2名女生为b 1，b 2，从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：a 1，a 2；a 1，a 3；a 1，b 1；a 1，b 2；a 2，a 3；a 2，b 1；a 2，b 2；a 3，b 1；a 3，b 2；b 1，b 2.其中事件A“选到看与不看营养说明的女生各1名”包含了6个基本事件：a 1，b 1；a 1，b 2；a 2，b 1；a 2，b 2；a 3，b 1；a 3，b 2.所以所求的概率为P(A)＝610＝35.(3)假设H 0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K 2应该很小． 根据题中的列联表得k ＝110×（50×20－30×10）280×30×60×50＝53972≈7.486，由P(K 2≥6.635)＝0.010, P(K 2≥7.879)＝0.005可知，有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关．22．(12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E ＝(AC)∪(BD)且AC 与BD 互斥，∴P(E)＝P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(D|B)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124×12＝364.(2)X 的可能取值为400，500，800，P(X ＝400)＝1－C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1116，P(X ＝500)＝116，P(X ＝800)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝14，∴X 的分布列为：E(X)＝400×1116＋500×16＋800×4＝506.25.。

专题综合检测(七)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·新课标Ⅱ卷)若a 为实数，且2＋ai1＋i ＝3＋i ，则a ＝(D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：∵ 2＋ai1＋i ＝3＋i ，∴ 2＋ai ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴ a ＝4，故选D.2．具有A ，B ，C 三种性质的总体，其容量为63，将A ，B ，C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A ，B ，C 三种元素分别抽取(C )A ．12，6，3B ．12，3，6C ．3，6，12D ．3，12，63．(2015·陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋yi(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y≥x 的概率为(D ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：|z|＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时， y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－12×1×1＝π－24.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－12π.4．(2014·新课标Ⅱ卷)执行下图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝(D )A．4 B．5 C．6 D．7解析：由题意知：当k＝1时，M＝2，S＝5；当k＝2时，M＝2，S＝7；当k＝3时，输出S＝7.故选D.5．图1是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10[如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是(B)A．i＜9? B．i＜8?C．i＜7? D．i＜6?6．(2015·湖南卷)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝(D )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：由（1－i ）2z ＝1＋i ，得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1－i ，故选D.7．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(C )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．(2015·新课标Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(D )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.9．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(B)A．11.4万元 B．11.8万元C．12.0万元 D．12.2万元10．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是(D)A.成绩 B．视力C.智商 D．阅读量解析：根据公式χ2＝ n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）分别计算得：A.52×8216×36×20×32，B.52×112216×36×20×32， C.52×96216×36×20×32，D.52×408216×36×20×32. 选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.11．(2014·浙江二模)李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中(不绕行)共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值E ξ是(B )A.16B ．1C ．6×⎝ ⎛⎭⎪⎫566D ．6×⎝ ⎛⎭⎪⎫166解析：A 处到单位B 处上班路线中每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16，所以E ξ＝6×16＝1. 12．若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ)<X≤μ＋2σ＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.在正态分布N ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫132中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(D )A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.002 6解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x<－1或x>1)＝1－P(－1≤x ≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为11．解析：由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋nn＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.14．数列{a n }的前n 项和是S n ，若数列{a n }的各项按如下规则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，… 则a 15＝56，若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57．15．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中的数的个数的2倍)： 第1行 1 第2行 2，3 第3行 4，5，6，7 … …则第8行中的第5个数是132．16．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下：比较两名同学的学习成绩可得到的结论是________． 解析：x 甲＝87，x 乙＝95.s 甲＝12.7，s 乙＝9.7.由x 甲<x 乙，s 甲>s 乙知，甲的数学学习状况不如乙的学习状况． 答案：甲的数学学习状况不如乙的学习状况三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在85.5～95.5分的学生可获二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？解析：(1)编号为016.(2)(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数约是9＋7＝16(人)，占样本的比例是1650＝0.32.即获二等奖的概率约为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．18．(12分)某市电信部门规定：拨打本市电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以0.1元/分钟收取通话费(时间以分钟计，不足1分钟按1分钟计)．现设计了一个计算通话费用的算法：第一步 输入通话时间t(t 按题目要求取整数)；第二步 如果t≤3，则c ＝0.2，否则c ＝0.2＋0.1(t －3)； 第三步 输出费用c.(1)试画出该算法的一个程序框图；(2)表1为A ，B ，C ，D ，E 五人拨打本市电话的情况，将A ，C 的应缴话费数填入表1中适当位置；表1表2(2)0.20 1.00(3)试验，得到的数据如下：(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；20．(12分)有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)摸球方法与(1)同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？解析：(1)用(x ，y)(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共有6个，则P(A)＝616＝38.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C.事件B 所包含的基本事件有：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，共有4个，则P(B)＝416＝14，∴P(C)＝1－P(B)＝1－14＝34.P (B)≠P(C)，所以这样规定不公平．21．(12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表(单位：名)：(1)样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？(2)从(1)中的5名女生样本中随机选取2名作深度访谈， 求选到看与不看营养说明的女生各1名的概率．(3)根据以上列联表，问：有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ 解析：(1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有550×30＝3(名)，样本中不看营养说明的女生有550×20＝2(名)．(2)记样本中看营养说明的3名女生为a 1，a 2，a 3，不看营养说明的2名女生为b 1，b 2，从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：a 1，a 2；a 1，a 3；a 1，b 1；a 1，b 2；a 2，a 3；a 2，b 1；a 2，b 2；a 3，b 1；a 3，b 2；b 1，b 2.其中事件A“选到看与不看营养说明的女生各1名”包含了6个基本事件：a 1，b 1；a 1，b 2；a 2，b 1；a 2，b 2；a 3，b 1；a 3，b 2.所以所求的概率为P(A)＝610＝35.(3)假设H 0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K 2应该很小． 根据题中的列联表得k ＝110×（50×20－30×10）280×30×60×50＝53972≈7.486，由P(K 2≥6.635)＝0.010, P(K 2≥7.879)＝0.005可知，有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关．22．(12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E ＝(AC)∪(BD)且AC 与BD 互斥，∴P(E)＝P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(D|B)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124×12＝364.(2)X 的可能取值为400，500，800，P(X ＝400)＝1－C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1116，P(X ＝500)＝116，P(X ＝800)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝14，∴X 的分布列为：E(X)＝400×16＋500×16＋800×4＝506.25.。

专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第四讲推理与证明1．归纳推理．(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)归纳推理的思维过程如下：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理．(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．(2)类比推理的思维过程如下：观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般性原理．(2)小前提——所研究的特殊情况．(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．合情推理与演绎推理的区别．归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．1．综合法．用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用下图所示的框图表示．数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n(n∈N *)．(×) (6)2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋b a＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.(√)1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 012是数列{a n }中的第5_030项； ②b 2k －1＝5k （5k －1）2(用k 表示)．(2)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面之间的平行线段相等”，这个类比命题是真命题(填“真命题”或“假命题”)．2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”这段推理的结论显然是错误的，这是因为(A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一实根”的反面是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.4．(2014·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市． 丙说：我们三个去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为A ．解析：由丙说可知，乙至少去过A ，B ，C 中的一个城市，由甲说可知，甲去过A ，C 且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，又没去过C 城市，故乙只去过A 城市．一、选择题1．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为(A )A.n n －4＋8－n （8－n ）－4＝2 B.n ＋1（n ＋1）－4＋（n ＋1）＋5（n ＋1）－4＝2C.n n －4＋n ＋4（n ＋1）－4＝2 D.n ＋1（n ＋1）－4＋n ＋5（n ＋5）－4＝2解析：由2＋6＝8，5＋3＝8，7＋1＝8，知选A.2．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；②a>b 与a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a≠b，b ≠c ，a ≠c 不能同时成立．其中判断正确的个数是(C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：∵a，b ，c 是不全相等的正数，故①正确．③错误；对任意两个数a ，b ，a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 三者必有其一正确，故②正确．3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (n·a －b)＋c 对一切n∈N *成立，那么(A )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：代入n ＝1，2，3，联立关于a ，b ，c 的方程组可得，也可通过验证法求解． 4．已知f(x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f(1)＝1 (x∈N *)，猜想f(x)的表达式为(B )A ．f(x)＝42x ＋2B ．f(x)＝2x ＋1C ．f(x)＝1x ＋1D ．f(x)＝22x ＋15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝(B )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1） C.22n－1 D.22n －1解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝n n ＋2a n (a≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n （n ＋1）.二、填空题6. (2014·福建卷)若集合{a ，b ，c ，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d)的个数是6个．解析：由于题意是只有一个是正确的所以①不成立，否则②成立，即可得a≠1，由b≠1即b ＝2，3，4，可得b ＝2，c ＝1，d ＝4，a ＝3；b ＝3，c ＝1，d ＝4，a ＝2，两种情况．由c ＝2，d ＝4，a ＝3，b ＝1，所以有一种情况．由d≠4，即d ＝1，2，3，可得d ＝2，a ＝3，b ＝1，c ＝4；d ＝2，a ＝4，b ＝1，c ＝3；d ＝3，a ＝2，b ＝1，c ＝4，共三种情况．综上共6种．7．(2015·福建卷)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n)称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于5.解析：因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．8. (2014·陕西卷) 观察分析下表中的数据：F＋V－E＝2．解析：①三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝5＋6－9＝2；②五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得F＋V－E＝6＋6－10＝2；③立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝6＋8－12＝2；所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是：F＋V－E＝2.故答案为F＋V －E＝2.三、解答题9．观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 011是第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝（2n－1＋2n－1）·2n－12＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1 024，211＝2 048，1 024＜2 011＜2 048，∴2 011在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 011－1 024＋1＝988，知2 011是第11行的第988个数．(4)设第n行的所有数之和为a n，第n行起连续10行的所有数之和为S n.则a n＝3·22n－3－2n－2，a n＋1＝3·22n－1－2n－1，a n＋2＝3·22n＋1－2n，…，a n＋9＝3·22n＋15－2n＋7，∴S n＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·22n－3（410－1）4－1－2n －2（210－1）2－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，当n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n 幅图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)； (2)证明：1f （1）＋1f （2）＋1f （3）＋…＋1f （n ）＜43.解析：(1)f(4)＝37，f(5)＝61. 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， …因此，当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n －1)]＋[f(n －1)－f(n －2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n 2－3n ＋1(直接给出结果也可)． (2)当n≥2时，1f （n ）＝13n 2－3n ＋1＜13n 2－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .当n ＝1时，显然结论成立， 当n≥2时，1f （1）＋1f （2）＋1f （3）＋…＋1f （n ）＜1＋13[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＜1＋13＝43. 综上，结论成立．。

专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第三讲统计、统计案例1．频率分布直方图．(1)绘制频率分布直方图的步骤．①求极差；②决定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)由频率分布直方图估计平均数．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．1．回归分析的基本思想及其初步应用．对相关系数r：(1)r>0，表明两个变量正相关；(2)r＜0，表明两个变量负相关；(3)r的绝对值越近1，表明两个变量的线性相关性越强；(4)r 的绝对值越近0，表明两个变量的线性相关性越弱； (5)当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 2．独立性检验．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：则K 2(χ2)＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），若K 2(χ2)>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K 2(χ2)>6.635，则有99%的把握说两个事件有关．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮(×)(5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．(√) (6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(×)1．(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(C )A.90 B 解析：设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201 600，故x＝180.2．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(C)A．6 B．8C．12 D．18解析：由图知，样本总数为N＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x，则6＋x50＝0.36，x＝12.故选C.3．下列关于K2的说法中正确的是(C)A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D．K2的观察值k的计算公式为：k＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）4．(2015·北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．一、选择题1．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数是(C)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：①②错误，一组数据中可以有多个众数，故①错误；一组数据的方差可以为零，故②错误．2．(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(C)A．93 B．123 C．137 D．167解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.3．在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时，得到了以下数据：A ．有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效B ．有99%的把握认为新药对防治鸡瘟有效C ．有99.9%的把握认为新药对防治鸡瘟有效D ．没有充分证据显示新药对防治鸡瘟有效解析：K 2(χ2)＝300×（132×35－115×18）2247×53×150×150≈6.623.因为6.623＞3.841，所以有95%的把握认为新药防治鸡瘟有效．4．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(B )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.5．(2015·湖南卷改编)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是(D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．6．在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m －1个小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是(C )A ．0.2B ．25C ．20D ．以上都不正确解析：第3组的频率是15，样本容量为100，∴第3组的频数为100×15＝20.二、填空题7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数见下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝25．解析：考查统计中的平均值与方差的运算． 甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差s 2＝（6－7）2＋02＋02＋（8－7）2＋025＝25.8．下列是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝5.25．解析：x ＝2.5，y ＝3.5，∴a＝y －b x －＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25. 三、解答题9．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．(参考下表)解析：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为2450＝1225；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为1950.(2)K 2(χ2)＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26＝15013≈11.5，∵K 2(χ2)＞6.635，∴有99%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．10. 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下： .品种A ：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454.品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430.(1)画出茎叶图．(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解析：(1)茎叶图如下图所示：(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据．(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知，品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高．但品种A 的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均产量附近．。