(最新)多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题

正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。

个性化辅导教案学生姓名： 授课教师： 所授科目：学生年级: 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时教学标题 正多边形和圆教学重难点知识梳理：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。

把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

正n 边形每一个内角的度数为：()2180n n-⨯︒正n 边形的一个中心角的度数为：360n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。

3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。

4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）：(1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。

(2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。

5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：1d 2r=（2）圆内接正四边形：2d 2r = （3）圆内接正六边形：3d 2r = 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：3x r = （2）圆内接正四边形：x 2r=（3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。

（1）用量角器等分圆周。

（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。

8、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ． (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可. E A B C F D【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.【总结升华】(1) n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个角.(2) 过n 边形的每一个顶点有(n －3)条对角线,n 边形总共(3)2n n 条对角线.(3) n 边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n －2）个三角形.举一反三：【变式】（2015春•期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形 【答案】B若一个多边形的角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线 条．一个多边形除一个角外其余角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）A ．27B ． 35C ． 44D ． 542．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B ）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10．（2015春•校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ B ）A．1 B． 2 C． 3 D． 4 19．（2015春•定县期末）下列说确的是（④）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __.【答案】根据圆接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷=2．故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的角和定理可得所求角的度数．【答案】80°．【解析】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．类型三、扇形5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为：°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=． 这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个形，这个形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】。

第五节 多边形和圆的初步认识要点精讲一、多边形的相关概念1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．2．多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．3．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形．二、多边形的内角和外角和1．n 边形的内角和为（n －2）·180°．2．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n －2）·180°,所以，正n 边形的每个内角为：n n )2( ·180°．3．多边形的外角和都等于360°．三、圆及有关概念：圆——到定点的距离等于定长的点的集合圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆． 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦． 弦心距——圆心到直线的距离弓形——弧与所对的弦所组成得图形．圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部二、与圆有关的角圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（补充）弦切角、圆内角、圆外角及性质：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半．顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半．三、圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性．垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论1．弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2．垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3．弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧4．圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论1．2．3可概括为5．2．3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论（4．1．3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．相关链接正多边形：正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．典型分析1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．中考案例1.（2011宿州）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A=120°，∠B=80°，求∠C和∠D的度数.【解析】要求∠C和∠D的度数，条件较分散，如何用好平行线是解题关键.因此可延长AB、CD、EF,将多边形转化为三角形.【答案】向两边延长AB、CD、EF，分别交于H、M、G(如图7-62).因为∠BAF=120°，∠ABC=80°，根据邻补角定义知∠GAF=60°，∠HBC=100°.又因为AF∥CD，根据两直线平行，同位角相等，可得∠H=∠GAF=60°.又因为∠BCD是△BHC的一个外角，所以∠BCD=∠H+∠HBC=160°.因为AB∥DE，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EDM=∠H=60°.由邻补角的定义可得∠CDE°=180°-∠EDM=120°.2.(2011江苏)如图，各图形是由边长为1的正方形按照一定规律排列组成的.(1)观察图形，填写下表:(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长_______________(都用含n的代数式表示).【解析】 (1)中填空的图形具体数一数得出∶图②中正方形个数为13，周长为28；图③中正方形个数为18,周长为38.(2)推测第n个图形正方形个数及周长，要根据(1)中三组数据的特点，结合图形，认真观察，全面分析，可得到完整正确的规律.【答案】 (1)13；28；18；38.(2)5n+3；10n+8针对训练1．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n 的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定2．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍3．圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm4．车轮半径为0．3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（）A．3．6π千米/小时 B．1．8π千米/小时 C．30千米/小时 D．15千米/小时5．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于（）A．11°B．17°C．21°D．25°6．下列实际生活中的物体，其表面形状可近似地看作多边形的是（）A．硬币 B．六角螺丝 C．菊花 D．日光灯7．下列平面图形中，不是多边形的是（）A．三角形 B．五边形 C．扇形 D．八边形8．多边形是由一些_______组成的封闭图形．9.今年暑期，某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间(包括指导老师)每周至少通一次电话，现在该校七年组一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通几次电话?为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图.参考答案1．【答案】C【解析】因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长，根据圆周长公式，提取2π后，前后半径的差都是1米，所以m=n ．故选C ．2．【答案】C【解析】设圆的原来的半径是R ，增加1倍，半径即是2R ，则增加的面积是4πR2-πR2=3πR2，即增加了3倍．故选C ．3．【答案】【解析】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，已知CD=10cm ，∴DE=5．∵OD=13，∴利用勾股定理可得：OE=12．同理可求OF=5， ∴EF=7．第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．故选D ．4．【答案】A【解析】：∵车轮半径为0．3m ，∴周长是0．6πm ，∴车轮绕着轴心转动100转，则经过的路程是100×0．6π=60πm ，∴自行车行驶的速度是60πm/分=3．6π千米/小时．故选A ．5．【答案】C【解析】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等，因此360°÷17≈21°．故选C ．6．【答案】B【解析】根据多边形的定义判断．7．【答案】C【解析】根据多边形的定义判断．8．【答案】不在同一条直线上线段依次首尾相连【解析】根据多边形的定义可以得出．9. 【答案】1378次【解析】 依题意知，每周师生通话次数=多边形的边数+多边形的对角线的条数.本例提供的数字模型实质上是n 个人之间彼此握一次手，求总握手次数的问题，其次数是n+2)1(2)3(-=-n n n n . 将七年级一班师生53人看作53边形的53个顶点，由多边形对角线条数的公式可求出通话次数.即:2)353(53-=1325所以1325+53=1378(次)因此该班每周师生间至少共要通1378次电话.扩展知识计算公式1．圆的周长C=2πr=或C=πd2．圆的面积S=πr23．扇形弧长L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）4．扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5．圆的直径 d=2r6．圆锥面积 S=πrl。

正多边形和圆的经典例题1. 前言嘿，大家好！今天咱们聊聊正多边形和圆的那些事儿。

别紧张，听我慢慢道来，这绝对不是枯燥的数学课，而是一次轻松有趣的数学旅行。

你可能会问，正多边形是什么？那就是像正方形、正六边形那样，边和角都一模一样的形状。

而圆呢，它就像咱们喝水时看到的杯子底部，圆滑得让人觉得舒服。

接下来，我们来探讨一下这些形状之间的关系，还有一些有趣的例子，让你在不知不觉中get到这些知识！2. 正多边形的特点2.1 边和角的对称正多边形最大的特点，就是它的边和角都超级对称，简直像个模特儿站在那儿，姿态优雅！比如，想象一下一个正六边形，就像是蜜蜂的蜂巢，六个边都是相等的，角度也是60度，完全没有一个角敢突出自己，真是团结的好榜样！这就是为什么很多建筑和设计师喜欢用它，显得大方又美观。

2.2 周长和面积的计算再说说正多边形的周长和面积，简单得不要不要的！你只需知道每条边的长度，就可以轻松算出周长，公式就是边长乘以边的数量。

至于面积嘛，正六边形的面积就有点小复杂，不过只需用边长乘以边数，然后再乘以一个常数，记得把它除以2就好。

是不是简单？看吧，数学其实也可以很轻松嘛！3. 圆的魅力3.1 圆的周长和面积说到圆，咱们就不得不提它的周长和面积了。

圆的周长可得靠π（pi）来帮忙，公式是2πr，r是半径。

想象一下，一个大披萨，切下来一片，边缘那一圈就是周长。

而面积呢，则是πr²，听起来高深，其实只要记住这两个公式，就能在朋友面前装得很厉害了！不仅可以计算圆形的游泳池，还能算算自家花园的面积，绝对是个实用的小技能。

3.2 圆和正多边形的关系有趣的是，正多边形和圆之间的关系就像是两位老朋友。

圆的形状是完美的，而正多边形可以通过不断增加边的数量，逐渐接近圆形。

比如，八边形就比六边形更接近圆，十六边形又比八边形更接近，直到你加到无数个边，哦，那简直就是一个圆啊！这种不断变化的过程就像人生，有时候需要不断调整，才能找到最适合自己的方式。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1. 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 如下图：D/■人/E C E五边形正六边形要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2.相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.夕卜角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释:(1) 过n边形的一个顶点可以引(*3)条对角线，n边形对角线的条数为n(n 3).2(2) 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n- 2)个三角形. 类型一、多边形及正多边形G l.如图，(1)从正六边形的顶点A出发,可以画出___________________ 条对角线，分别用字母表示出来为_____________________ ; ( 2)这些对角线把六边形分割成__________ 个三角形.E D【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可•【答案】(1) 3,线段AC线段AD线段AE; (2) 4.【总结升华】(1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2) 过n边形的每一个顶点有(n -3)条对角线,n边形总共n(n 3)条2 对角线•(3) n边形从一个顶点出发，分别连接这个顶点和其余各顶点，可以分割(n —2)个三角形.举一反三：【变式】(2015春?郑州期末)过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是( )A .八边形B .九边形C.十边形 D .十一边形【答案】B若一个多边形的内角和等于720°则从这个多边形的一个顶点引出对角线条. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )A. 27B. 35C. 44D. 542.同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗？【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明.按图（1）所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形.按图（2）所示方式去截，经过点D（或点B）.不经过点B（或点D），还剩4个角，即得到一个四边形.按图（3）所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形.答：余下的图形是五边形或四边形或三角形.【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是（n+1）边形，也可能是n边形，也可能是（n-1）边形，利用它我们可以解决一些具体问题. 举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1. 圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段0A叫做半径.要点诠释:①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2. 扇形（1）圆弧：圆上任意两点A, B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作A B，读作“圆弧AB'或“弧AB'.如下图:（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA 0B所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图，/ AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9. （2014?长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B ）A .直径相等的两个圆是等圆B .长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D .一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10. （2015春?张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是（B ）A. 1B. 2C. 3D. 419. （2015春?定陶县期末）下列说法正确的是（④__________________ ）填序号.①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦03.如图是对称中心为点匚的正六边形.如果用一个含二角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积兀等分，那么左的所有可能的值是______________________________________________ .根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360- 30=12；【答360-60=6；360-120=3; 360-180=2.故n的所有可能的值是2, 3, 4, 6, 12.04.（2015?丰泽区校级质检）如图，MN为O O的弦，/ M=50 °则/ MON等于________ .【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得/ N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数.【答案】80°【解析】解：T OM=ON ,•••/ N= / M=50 °•••/ MON=180 °-Z M -Z N=80°故答案为80°【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点.360- 90=4；类型三、扇形C>5.将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种 花草，他们的圆心角的度数之比为2： 3： 4,求这三个圆心角的度数, 并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么 【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念. 【答案与解析】 解：这三个圆心角的度数分别为:ooooo36080 ； 360120 ； 360160 .2342342 3 4圆的面积r 29 ,c 160 ’ 9 —— 4 .360这三个圆心角的面积之比为：2 :3 : 4 2： 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比.【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度 数n 与360的比, 即S 扇：S 圆=n ： 360,几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形 的圆心角的比..一个扇形圆心角120°,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是16平方厘米.这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径 r 就是这个正方 形的边长，即r 2 =边长2 = 120平方厘米. 【答案与解析】这三个圆心角的面积分别为：93602 ； 91203 ;3603: 4.解: 设扇形所在圆的半径为r，则r216，贝y：扇形的面积为：3.14 16 120 16.75 （平方厘米）. 360答这个扇形的面积为16.75平方厘米.：【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法.。

多边形与圆的初步认识一基础知识1多边形的概念；2正多边形的概念；3.凸n 边形的内角和公式及外角和定理；4.圆的概念；圆弧及弧长公式；弦的概念；圆心角与圆周角的概念；扇形及面积公式二典例分析1.（2011天津）如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB =1，BC =CD =3，DE =2，求这个六边形的周长2.（1）在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为________cm（2）已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2，则它的半径为____________cm 。

（3）如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为______3.已知：在四边形ABCD中，如果，求各角的度数． 4. 已知四边形的一个外角等于与它不相邻的三个内角之和的14，求这个外角的度数． 5. 已知：一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数.6.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数.7.（中招展示）（1）（12广东湛江）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D 7（2）（12四川广安）如图7-1，四边形ABCD 中，若去掉一个60o 的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_________度．（3）（12德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是 ．（4）（11山西）一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ． 正七边形C ． 正八边形D ． 正九边形（5）（11四川眉山）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9（6）（11广安）若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是________（7）（11湖北宜昌）如图7-7是圆锥的侧面展开图，其半径OA=3，圆心角∠AOB=l20°，则⌒AB 的 长为( ).A.π B.2π C.3π D.4π8（竞赛链接）（1） 在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的 边数是 ．（2）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．5（3）凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是（ ）A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7（4）一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )A ．9条B ．8条C ．7条D ． 6条（5）已知148∠=，2∠的两边分别与1∠垂直，求2∠的大小 （6）①、②……是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……（1）图①中3条弧的弧长的和为______ 图②中4条弧的弧长的____（2）求图(n)中n 条弧的弧长的和（用n 表示）n （例1图） （7-1） （7-7）随堂练习1、用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分割成5个三角形的多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形2、如图1，图中共有正方形（） A.12个 B.13个 C.15个 D.18个图1 图2 图3 图4 图53、如图2，图中三角形的个数为（）A.2 B.18 C.19 D. 204．如图3，已知一个圆，任意画出它的三条半径，能得到（）个扇形. A.4 B.5 C.6 D.85.我们熟悉的平面图形中的多边形有_____________等.它们是由一些_______同一条直线上的线段依次_______相连组成的_______图形.6．圆上两点之间的部分叫做_______，由一条_______和经过它的端点的两条_______所组成的图形叫做扇形. 7．如图4，用简单的平面图形画出三位携手同行的的小人物，请你仔细观察，图中共有三角形____个，圆_____个.8.如图5，你能数出_______个三角形，_______个四边形9. 平面内三条直线把平面分割成最少 ____ 块最多 ____ 块。

§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。