2019届人教A版(理科数学) 二项式定理 单元测试

学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n ，称为二项式定理 二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )通项 T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0,1，…n ) 二项式定理的特例 (1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n nx n 2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C m n ＝C n－mn；(2)性质：C k n ＋1＝C k －1n ＋C kn ；(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即1122CCn n nn -+=最大；(4)二项式系数之和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ，所用方法是赋值法．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 答案 (1)120 (2)－1解析 (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.∴x 2的系数为C 25＋a C 15，则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，故(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项即为(2x －1x )5的展开式中1x 与x 的系数之和．(2x －1x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k x 5－2k (－1)k ， 令5－2k ＝1，得k ＝2，∴展开式中x 的系数为C 25×25－2×(－1)2＝80， 令5－2k ＝－1，得k ＝3，∴展开式中1x 的系数为C 35×25－3×(－1)3＝－40， ∴(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项为80－40＝40.命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 答案6322解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25， ∴展开式的通项为11k T ＋＝15C k ⎝⎛⎭⎫x2＋1x 15k －(2)1k (k 1＝0,1,2，…，5)． 当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 15k －的展开式的通项公式为21k T '＋＝215C k k -⎝⎛⎭⎫x 2125k k －－⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝215C k k -⎝⎛⎭⎫12125k k －－·1252k k x －－(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝1. ∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝6322.方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5 ＝132x 5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．解 方法一 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 方法二 (x 2＋3x －4)4＝[(x －1)(x ＋4)]4＝(x －1)4·(x ＋4)4＝(C 04x 4－C 14x 3＋C 24x 2－C 34x ＋C 44)(C 04x 4＋C 14x 3·4＋C 24x 2·42＋C 34x ·43＋C 44·44)，所以展开式中含x 的项的系数是－C 3444＋C 3443＝－768.命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案 A解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N *)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________. 答案 1解析 ∵512 015＋a ＝(52－1)2 015＋a ＝C 02 015522 015－C 12 015522 014＋C 22 015522 013－…＋C 2 0142 015521－1＋a ，能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3 432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k 12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1， 解得9.4≤k ≤10.4.∵0≤k ≤n ，k ∈N *，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝(12)12·C 1012·410·x 10＝16 896x 10. 反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x . 解 依题意得2n －22n －1＝－112，整理得(2n －16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C 48(2x )4(x lg x )4＝1 120，化简得x 4(1＋lg x )＝1，所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0， 故所求x 的值为1或110.1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第(k ＋1)项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.2.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－1)k x 6－2k.令6－2k ＝0解得k ＝3.故展开式中的常数项为－C 36＝－20.3．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8 答案 C解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n－1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 4．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552kx -(－1)k a k ·2kx -＝(－1)k a k C k 552k x-，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.5．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案 128解析 由已知条件可得a 5＝C 38·(－m )3＝－56m 3＝56，∴m ＝－1， 则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(1＋1)8＋(－1＋1)82＝128.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．课时作业一、选择题1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63 D ．31 答案 B解析 由已知条件得(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6.C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝32. 2．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6的展开式中不含x 3项的系数之和为( ) A ．20 B ．24 C ．30 D ．36 答案 A解析 由二项式的展开式的通项公式 T k ＋1＝C k 6·(－1)k x 12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，故展开式中x3项的系数为C36·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20.3．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为()A．210 B．120 C．80 D．60答案 B解析在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3的项为C46x4C342·y3＝120x4y3.故含x4y3项的系数为120.4．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n 的值为()A．0 B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案 C解析∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.5．9192被100除所得的余数为()A．1 B．81 C．－81 D．992答案 B解析利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．方法一(100－9)92＝C09210092－C19210091×9＋C29210090×92－…－C9192100×991＋C9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．由992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9092102－C919210＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81.方法二(90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9092902＋C919290＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于()A．5 B．6 C．7 D．8答案 B解析∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，.∴a＝C m2m.同理，b＝C m＋12m＋1∵13a＝7b，∴13·C m2m＝7·C m＋1，2m＋1∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6.7．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 易知T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k ， 令k ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.二、填空题8．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 1解析 (a －x )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k a 5－k C k 5x k，令k ＝2，得a 2＝a 3C 25＝80， 知a ＝2，令二项展开式的x ＝1，得 15＝1＝a 0＋a 1＋…＋a 5.9．在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________． 答案 70解析 由题意知，2n －1＝128，解得n ＝8. 展开式共n ＋1＝8＋1＝9项． 得中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 10．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 答案 1.34解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 答案 －2解析 在(1－2x )7的二项展开式中，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1＝－2.12．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27， 令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 14＝27－1. (2)由(1)得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27，① 令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝67，②由①－②得：2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝27－672.13．若等差数列{a n }的首项为a 1＝C 11－2m5m－A 2m －211－3m (m ∈N *)，公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2k 展开式中的常数项，其中k 为7777－15除以19的余数，求通项公式a n .解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5m ≥11－2m ，11－3m ≥2m －2，解得117≤m ≤135，∵m ∈N *，∴m ＝2，∴a 1＝C 710－A 25＝100，又7777－15＝(1＋19×4)77－15＝C 077＋C 177(19×4)＋…＋C 7777(19×4)77－15＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]－19＋5，∴7777－15除以19的余数为5，即k ＝5. 又T k ′＋1＝C k ′5⎝⎛⎭⎫52x 5－k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2k ′ ＝C k ′5⎝⎛⎭⎫525－2k ′5153k x '-(－1)k ′，令5k ′－15＝0可解得k ′＝3， ∴d ＝C 35⎝⎛⎭⎫525－6(－1)3＝－4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝104－4n . 四、探究与拓展14．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m ＝________. 答案 －3或1解析 在(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9中， 令x ＝－2，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9， 即[(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝m 9， 令x ＝0，可得(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)∵(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，∴[(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)][(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝39， ∴(2＋m )9m 9＝(2m ＋m 2)9＝39， 可得2m ＋m 2＝3，解得m ＝1或－3.15．已知f (x )＝(1＋x )m ，g (x )＝(1＋5x )n (m ，n ∈N *)． (1)若m ＝4，n ＝5时，求f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项；(2)若h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，那么当m ，n 为何值时，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值？(3)若(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项．解 (1)当m ＝4，n ＝5时，f (x )＝(1＋x )4＝C 04x 0＋C 14x 1＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4， g (x )＝(1＋5x )5＝C 05(5x )0＋C 15(5x )1＋…＋C 55(5x )5，则f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为(C 24·50C 05＋C 14·5C 15＋C 04·52C 25)x 2，即f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为356x 2.(2)因为h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，则C 1m ＋5C 1n ＝24，即m ＝24－5n (其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又h (x )的展开式中含x 2的项的系数为 C 2m ＋52C 2n＝m (m －1)2＋25n (n －1)2 ＝(24－5n )(23－5n )2＋25n (n －1)2＝25n 2－130n ＋276＝25⎝⎛⎭⎫n －1352＋107(其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又因为⎪⎪⎪⎪2－135>⎪⎪⎪⎪3－135， 所以当n ＝3时(此时m ＝9)，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值111.(3)在(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为C n －1n ·5n －1，C n －2n ·5n －2，C n －3n ·5n －3， 又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以2C n －2n ·5n －2＝C n －1n ·5n －1＋C n －3n ·5n －3， 整理得n 2－33n ＋182＝0， 解得n ＝7或n ＝26，又因为n ≤10，n ∈N *，所以n ＝7，n ＝26(舍去)．.；. 设二项式(1＋5x )7的展开式中系数最大的项为第k ＋1项(即T k ＋1＝C k 7(5x )k )，则⎩⎪⎨⎪⎧C k －17·5k －1≤C k 7·5k ，C k ＋17·5k ＋1≤C k 7·5k ， 整理并解得173≤k ≤203， 又因为n ≤10，n ∈N *，所以k ＝6，即(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项为T 7＝C 67(5x )6＝109 375x 6.。

二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。

人教A 版（2019）选择性必修第三册《6.3.1 二项式定理》提升训练一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）(√x +2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A. 360B. 180C. 90D. 452.（5分）关于(a −b)10的说法，错误的是( )A. 展开式中的二项式系数之和为1024B. 展开式中第6项的二项式系数最大C. 展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小3.（5分）在(x 2−x −2)5的展开式中，x 3的系数为( )A. −40B. 160C. 120D. 2004.（5分）若(√x −2x)n 的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为()A. 729B. 64C. 1D. −15.（5分）(x 2+12x )6的二项展开式中的常数项为( )A. 1516B. 316C. 152D. 1546.（5分）已知(x +1)4+(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2…+a 8(x −1)8，则a 3=( )A. 64B. 48C. −48D. −647.（5分）(√x 3−1x )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A. 28B. −28C. 70D. −708.（5分）在(x 2−1x )6的展开式中，x 3的系数为( )A. −15B. 15C. −20D. 20二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）在(2x 2−1x)6的展开式中的，下列说法正确的是( )A. 二项式系数和为64B. 常数项为60C. 二项式系数和为1D. 各项系数和110.（5分）已知(√x +√x 3)n (其中n <15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则下列结论正确的是( )A. n 的值为14B. 二项展开式中常数项为第8项C. 二项展开式中有理项有3项D. 二项式系数最大的项是第7项11.（5分）关于二项式(x 2−2x )6的展开式，下列结论错误的是( )A. 展开式所有的系数和为1B. 展开式二项式的系数和为32C. 展开式中不含x 3项D. 常数项为12012.（5分）若(1−x 2)2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，则()A. a 0=1B. ∑2022i=0a 2i =0C. ∑4044i=1(ia i 2i−1)=4044×32021D. ∑2022i=0(−1)i (C 2022i )2=−C 2022101113.（5分）(x +ax )(2x −1x )5的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的是( )A. a =1B. 展开式中含x 6项的系数是−32C. 展开式中含x −1项D. 展开式中常数项为4三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）若(x −12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______.(用数字作答)15.（5分）(1+x)10(1+1x )10展开式中的常数项为_______(用组合数式子表示). 16.（5分）(√x −√x 3)5的展开式中的常数项是______(用数字作答)．17.（5分）设(1−ax )2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018，若a 1+2a 2+3a 3+⋯+2018a 2018=2018a (a ≠0)，则实数a =______．18.（5分）在(x −3)6展开式中，二项式系数的最大值为a ，含x 4的项的系数为b ，则a +b =________.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）若(1−2x )4(1+ax )3的展开式中各项系数和为8.(1)求实数a 的值；(2)求展开式中x 2项的系数．20.（12分）(1+2√x)3(1−√x 3)5的展开式中x 的系数是 ______ ．21.（12分）已知二项式(x 2+ax )5展开式所有项的系数和为−1，则展开式中x 的系数为______ ． 22.（12分）已知(√x 3+x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x −1)n 的展开式的系数和大992.求(2x −1x )2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.23.（12分）设(1+2x−3x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n(n∈N∗)(1)求a0；(2)求a2(用n表示)答案和解析1.【答案】B;)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，【解析】解：(√x+2x2∴展开式中共有11项，n=10；∴展开式的通项公式为)r=2r⋅C10r⋅x5−52r；T r+1=C10r⋅(√x)10−r⋅(2x2r=0，令5−52解得r=2；∴常数项是T2+1=22⋅C102=180.故选：B.根据题意，得出二项式的指数n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是多少．此题主要考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目．2.【答案】C;【解析】该题考查二项式定理的应用，属于基础题．利用二项式定理的性质逐项判断即可得答案．解：关于(a−b)10的说法：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210=1024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．故选：C．3.【答案】C;【解析】此题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．先把(x2−x−2)5变形为(x+1)5(x−2)5，再利用二项式定理，结合展开式的通项求出结果．解：∵(x2−x−2)5=(x+1)5(x−2)5，∴x3的系数为C52C55(−2)5+C53C54(−2)4+C54C53(−2)3+C55C52(−2)2=120，故x3的系数为120.故选C.4.【答案】C;【解析】解：展开式的第3项为T 3=C n 2(√x)n−2(−2x)2=C n2·(−2)2xn 2−3，令n2−3=0，解得n =6，令x =1，则二项式(√x −2x )6的展开式的各项的系数和为(1−2)6=1，故选：C.求出展开式的第3项，令x 的指数为0，求出n 的值，再令x =1即可求解． 此题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 12−3r(12)r ，令12−3r =0，解得r =4，∴二项式的展开式中的常数项为(12)4C 64=1516故选：A利用二项式的通项公式即可得出．该题考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题．6.【答案】C; 【解析】此题主要考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 把已知等式左边变形，再由二项展开式的通项求解．解：由(x +1)4+(x −2)8=[(x −1)+2]4+[(x −1)−1]8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8，得a 3=C 41.2+C 85.(−1)5=−48.故选：C.7.【答案】A;【解析】解：(√x 3−1x)n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n 为偶数，展开式共有9项，故n =8.(√x 3−1x )n 即(√x 3−1x)8，它的展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(−1)r ⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，则展开式中的常数项是C 82=28，故选：A.由题意求得n =8，在二项展开式的通项公式中，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项的系数，属于基础题.根据题意得T r+1=(−1)r C 6r x 12−3r，即可求解.解：(x 2−1x )6展开式的通项为：T r+1=C 6r (x2)6−r(−1x )r=(−1)r C 6r x 12−3r， 令12−3r =3，解得r =3，∴x 3的系数是(−1)3.C 63=−20.故选C.9.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查二项式定理的应用，属于中档题.根据二项式系数和的公式2n ，直接计算求值，判断AC;利用通项求常数项，判断B;再根据赋值法，令x =1，求各项系数和即可判断D.解：由条件可知(2x 2−1x )6中，二项式系数的和为26=64，故A 正确，C 不正确;通项为T r+1=C 6r (2x 2)6−r .(−1x)r =C 6r .(−1)r .26−r .x 12−3r ，当12−3r =0时，r =4，所以展开式中的常数项是C 64.(−1)4.22=60，故B 正确;令x =1，(2−1)6=1，所以各项系数和为1，故D 正确. 故选：ABD10.【答案】AC; 【解析】此题主要考查了等差数列的性质，二项式定理及其应用，考查了二项展开式的特定项的系数，属于基础题.由二项式系数结合等差数列的性质化简计算可判断A ，利用二项式定理展开式的通项公式得：T r+1=C 14rx42−r6，可判定B ，C ，D 得结果.解：由题意2C n 9=C n 8+C n 10，化简得(n −14)(n −23)=0，∵n <15， ∴n =14，A 正确；展开式通项为T r+1=C 14r (√x)14−r (√x 3)r =C 14rx42−r6(0⩽r ⩽14,r ∈N)，显然其中无常数项，B 错误； 当r =0,6,12时，42−r 6=7,6,5为整数，因此展开式中有3项为有理项，C 正确；展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D 错误． 故选AC .11.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查二项展开式的特定项与特定项的系数及二项式定理的应用，属于基础题， 对各个选项逐一验证可以得出答案.解：因为(x 2−2x)6，它的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 2(6−r )(−2x)r =(−2)r C 6r x 12−3r (r =0,1,2,3,4,5,6)，对A:易知当x =1时，展开式所有的系数和为1，所以A 正确； 对B:易知所有项的二项式系数和为26=64，所以B 错误； 对C:根据通项可得当r =3时，展开式中含x 3项 ，所以C 错误；对D:由12−3r =0⇒r =4，则常数项为(−2)4C 64=240，所以D 错误；故选BCD .12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查二项式定理，利用二项式定理求特定项的系数，考查计算能力，属于中档题，分别令x =0，x =1，x =2，可判断A 、B 、C ；(1−x 2)2022=(1+x)2022(1−x)2022，(1−x 2)2022展开式中含x 2022项的系数为C 20221011(−1)1011=−C 20221011，进而可判断D.解：令x =0，得a 0=1，所以A 正确; 令x =1，得∑4044i=0a i =0，根据(1−x 2)2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，则a 2i−1=0，(i =1,2,⋯2022) 故∑2022i=1a 2i =0，所以B 正确;因为(1−x 2)2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，所以2022(1−x 2)2011(−2x)=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+4044a4044x 4043，令x =2，得2022(1−4)2021(−4)=a 1+2a 2×2+3a 3×22+⋯+4044a 4044×24043，所以C 不正确;因为(1−x 2)2022=(1+x)2022(1−x)2022，因为(1−x 2)2022展开式中含x 2022项的系数为C 20221011(−1)1011=−C 20221011，(1+x)2022(1−x)2022展开式中含x 2022项的系数为∑2022i=0(−1)i(C 2022i)2，所以D 正确. 故选：ABD.13.【答案】AD; 【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数 ，根据(x +ax )(2x −1x )5的展开式中各项系数的和为2，令x =1，解得 a ，判断A 的正误.再根据A 的结果，写出展开式中的通项公式C 5r 25−r (−1)r x 6−2r 或C 5r (2)5−r (−)r x 4−2r，然后分别令6−2r =6或4−2r =6，令6−2r =−1或4−2r =−1，令6−2r =0或4−2r =0，判断BCD 的正误.解：因为(x +ax )(2x −1x )5的展开式中各项系数的和为2，令x =1得，1+a =2，所以a =1，故A 正确.此时(x +ax )(2x −1x )5=(x +1x )(2x −1x )5，展开式中的通项为xC 5r (2x )5−r (−1x )r=C 5r 25−r (−1)r x 6−2r 或1x C 5r (2x )5−r (−1x )r=C 5r (2)5−r (−)r x 4−2r ，令6−2r =6或4−2r =6解得r =0，所以含x 6项的系数是32，故B 错误.令6−2r =−1或4−2r =−1，都无解，故展开式中不含x −1项，故C 错误. 令6−2r =0或4−2r =0，解得r =3或r =2 ，所以展开式中常数项为40. 故选AD .14.【答案】358;【解析】此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．由题意可得n =8，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．解：(x −12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n =8，(x −12x)8展开式的通项为T r+1=C 8r x 8−r ⋅(−12x)r =(−12)r C 8r x 8−2r(r ∈N,r ⩽8)，展开式中常数项，必有8−2r =0，即r =4， 所以展开式中常数项为：T 5=(−12)4C 84=116⋅70=358.故答案为：358.15.【答案】C 2010;【解析】此题主要考查了二项式的特定项的系数，属于中等题.解：(1+x)10(1+1x )10=(2+x +1x )10=(√x √x)20， 则展开式中的通项为T r+1=C 20r(√x)20−r (√x )r =C 20r x 10−r ，当10−r =0时，r =10，则展开式的常数项为C 2010. 故答案为C 2010.16.【答案】-80;【解析】解：(√x √x 3)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(√x)5−r ⋅(−1)r ⋅(√x3)r =(−2)r⋅C 5r⋅x15−5r 6，令15−5r =0，解得r =3，故展开式中的常数项为−80． 故答案为：−80．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.【答案】2; 【解析】该题考查二项式定理的应用及导数的计算，属于基础题． 把已知等式边同时对x 求导，再令x =1，求得a 的值．解：将(1−ax )2018=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2018x 2018两边同时对x 求导， 可得2018(1−ax )2017(−a)=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+2018a 2018x 2017， 令x =1得，−2018a (1−a)2017=a 1+2a 2+3a 3+⋯+2018a 2018=2018a ，又a ≠0，所以(1−a)2017=−1，1−a =−1，故a =2， 故答案为：2．18.【答案】155; 【解析】此题主要考查了二项式的性质，属于基础题.由二项式系数的特点，求出a 值，再写出通项公式T r+1=C 6r x 6−r(−3)r ，由6−r =4，解得r 值，从而可求b 值，进而求出a +b 的值.解：(x −3)6展开式中， 二项式系数的最大值为a ，则a =C 63=20，展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r (−3)r ，令6−r =4，解得r =2，∴x 4的项的系数为b =C 62(−3)2=135，所以a +b =155. 故答案为155.19.【答案】解：(1)因为(1−2x )4(1+ax )3的展开式中各项系数和为8， 所以，将x =1代入得(1+a)3=8，即a =1.(2)(1−2x )4(1+x)3展开式中x 2项的系数为1.C 32+(−2)C 41.C 31+(−2)2C 42.1=3.;【解析】此题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数和二项式定理的应用，是中档题.(1)令x =1可得各项系数和即可得出a ；(2)取(1−2x )4的常数项与(1+x)3的x 2、取(1−2x )4的x 与(1+x)3的x 、取(1−2x )4的x 2与(1+x)3的常数项，再相加即可.20.【答案】2;【解析】解：由于(1+2√x)3(1−√x 3)5=(C 30.(2√x)0+C 31.(2√x)1+C 32.(2√x)2+C 33.(2√x)3)⋅(C 50.( −√x 3)0+ C 51.( −√x 3)1+⋯+C 55(−√x 3)5)，故展开式中x 的系数为1×(−C 53)+C 32×4×1=2，故答案为 2．把所给的式子按照二项式定理展开，即可求得展开式中x 的系数．这道题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．21.【答案】−80; 【解析】此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．根据所有项的系数之和为(1+a)5=−1，求得a =−2，可得展开式中x 的系数．解：在(x 2+ax )5的展开式中，令x =1，可得所有项的系数之和为(1+a)5=−1， ∴a =−2，∴展开式的通项为T r+1=(−2)r C5r x10−3r，令10−3r=1，解得r=3，∴展开式中x的系数为(−2)3C53=−80，故答案为：−80．22.【答案】解：由题意22n−2n=992，解得n=5；(1)(2x−1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6=T5+1=C105.(2x)5.(−1x)5=−8064；(2)设第项的系数的绝对值最大，T r+1=C10r.(2x)10−r.(−1x )r=(−1)r.C10r.210−r.x10−2r，所以{C10r.210−r⩾C10r−1.210−r+1 C10r.210−r⩾C10r+1.210−r−1，得{C10r⩾2C10r−12C10r⩾2C10r+1，即{11−r⩾2r2(r+1)⩾10−r，所以83⩽r⩽113，所以r=3，故系数的绝对值最大的是第4项，T4=C103(2x)7(−1x )3=−15360x4.;【解析】此题主要考查了二项式定理，二项式系数的性质，解答该题的关键是熟悉二项式的通项公式和系数的性质，属于中档题.(1)由题意求得n=5，可得(2x−1x)2n的展开式中，第6项的二项式系数最大，再利用二项展开式的通项公式，求得该项；(2)设第k+1项的系数的绝对值最大，求得T r+1=(−1)r.C10r.210−r.x10−2r，由{C10r.210−r⩾C10r−1.210−r+1C10r.210−r⩾C10r+1.210−r−1，求得r的值，可得结果.23.【答案】解：（1）令x=0，可得a0=1；（2）（1+2x-3x2）n=（1+3x）n（1-x）n，∴a2=C n0•30•C n2•（-1）2+C n1.3•C n1.(−1)+C n2.32.C n0.(−1)0=2n2-5n（n∈N*）．;【解析】(1)令x=0，可得a0=1；(2)(1+2x−3x2)n=(1+3x)n(1−x)n，利用二项式定理可得结论．求二项展开式中的系数和问题，常采用的方法是赋值法．此法的关键是通过观察给未知数赋什么值能得到要求的系数和．。

1．3.1 二项式定理填一填1.二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．从左到右按照a 降幂，b 的升幂的顺序排列，a 、b 的次数和为n .(3)二项式系数：各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k.判一判判断(1．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．(×)2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．(×)3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．(×) 4．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．(√) 5．(x ＋1)n 的展开式共有11项，则n 等于12.(×)6．(y －2x )8展开式中的第6项的系数为C 58.(×) 7.⎝⎛⎭⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为5.(√) 8.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为－40.(×)想一想1.你能写出(b ＋a )n提示：(1)(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C n na n . (2)二项展开式中的字母a ，b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n 结果相同，但(a ＋b )n与(b ＋a )n 的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．2．(1＋2x )n 的二项展开式是什么？其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么？提示：(1＋2x )n ＝C 0n ＋C 1n 2x ＋C 2n (2x )2＋C 3n (2x )3＋…＋C n n (2x )n .其第5项的二项式系数为C 4n ，第5项的系数为C 4n ·24＝16C 4n .3．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关． 思考感悟：练一练1.(x －2)10展开式中x 项的二项式系数为( )A ．－C 410B ．C 410C ．－4C 410D ．4C 410解析：含x 6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C 410.答案：B2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10解析：(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5·x r， 令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B 项． 答案：B3．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________． 解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3， 所以T 4＝－160x 3. 答案：－160x 34．在⎝⎛⎭⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________． 解析：T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝⎛⎭⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212. 答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项． 解析：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫23x 2k ＝⎝⎛⎭⎫23k ·C k 5x 15－5k，令15－5k ＝0，得k ＝3， 所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎫23x 23＝8027.知识点一 二项式定理的应用1.按二项式定理展开⎝⎛⎭⎫1＋1x 4.解析：法一：⎝⎛⎭⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝⎛⎭⎫1x ＋C 24⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34⎝⎛⎭⎫1x 3＋⎝⎛⎭⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1x 4＝⎝⎛⎭⎫1x 4(x ＋1)4＝⎝⎛⎭⎫1x 4·(x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1)＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解析：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －553.已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数；(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数； (4)求展开式中所有的有理项． 解析：(1)通项为T r ＋1＝C r n x -3n rv (－3)r x-3r ＝C r n (－3)rx-23n r.因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r 3＝0.即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝2.所以所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x 10的展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10(－3)rx10-23r，∴第4项的二项式系数为C 310＝120，第4项的系数为C 310(－3)3＝－120×27＝－3 240.(4)根据通项，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N ，所以r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x－2. 即405x 2，－61 236,295 245x －2. 4．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·(－1)r x －r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，∴含x 4的项的系数为(－1)2×C 25＝10.5.解析：由于100是10的整数倍，故可将1110转化为(10＋1)10，用二项式定理展开． 1110－1＝(10＋1)10－1＝C 0101010＋C 110109＋C 210108＋…＋C 910·10＋C 1010－1 ＝C 010·1010＋C 110·109＋C 210·108＋...＋102 ＝100(108＋C 110.107＋C 210.106＋ (1)显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除．6．求C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解析：C 127＋C 227＋…＋C 2727＝(C 027＋C 127＋C 227＋…＋C 2727)－C 027＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09·99＋C 19·98(－1)＋C 29·97(－1)2＋…＋C 89·9(－1)8＋C 99(－1)9－1＝C 09·99－C 19·98＋C 29·97－C 39·96＋…＋C 89·9－1－1＝9(C 09·98－C 19·97＋C 29·96＋…＋C 89)－2＝9(C 09·98－C 19·97＋C 29·96＋…＋C 89－1)＋(9－2)，∴C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为7.7.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C 项．答案：C8．求(x 2＋3x ＋2)5的展开式中x 的系数．解析：法一：因为(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋2)5(x ＋1)5＝(C 05x 5＋C 15x 4·2＋…＋C 55·25)·(C 05x 5＋C 15x4＋…＋C 55)，所以展开后含x 的项为C 45x ·24·C 55＋C 55·25·C 45x ＝240x ，所以(x 2＋3x ＋2)5的展开式中x 的系数为240.法二：把(x 2＋3x ＋2)5看成5个(x 2＋3x ＋2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x 项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，即C 153x ·C 44·24＝240x ， 所以(x 2＋3x ＋2)5的展开式中x 的系数为240.9．若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C ．1 D ．2解析：依题意，注意到⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是 T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ， ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210， 因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2. 答案：D基础达标一、选择题1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：展开式的项数比二项式的指数大1.故选B 项． 答案：B 2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( ) A ．(2x ＋2)5 B ．2x 5 C ．(2x －1)5 D ．32x 5解析：原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 答案：D3．二项式(a －2b )8的展开式的第3项为( ) A ．－1 792a 3b 5 B ．－448a 5b 3 C ．1 792a 2b 6 D ．112a 6b 2解析：二项式(a －2b )8的展开式的第3项为T 3＝C 28a 6·(－2b )2＝112a 6b 2.故选D 项． 答案：D4．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－2x 25的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r ，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.故选B 项．答案：B5．已知(1＋3)5＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．44 B ．46 C ．110 D ．120解析：二项式(1＋3)5的展开式为1＋C 15(3)1＋C 25(3)2＋C 35(3)3＋C 45(3)4＋C 55(3)5＝1＋53＋30＋303＋45＋93＝76＋443，所以a ＝76，b ＝44，a ＋b ＝76＋44＝120. 答案：D6．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12解析：512 018＋a ＝(13×4－1)2 018＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 018＋a 能被13整除．答案：D7．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3C ．－2D ．－1解析：(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5，x 2的系数为(1＋x )5二次项与ax (1＋x )5二次项的系数和C 25＋a ·C 15＝10＋5a ＝5，a ＝－1，所以选D.答案：D 二、填空题8．在⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的二项展开式中，第4项的系数为________． 解析：在⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的二项展开式中，由通项公式求得第4项为T 4＝C 35(4x 2)·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－40x ，所以第4项的系数为－40.答案：－409．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.解析：⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案：－210．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________.解析：T k ＋1＝C k n (3x 2)n －k⎝⎛⎭⎫1x k ＝C kn x 2-53n k，由题意知k ＝2时，2n －5k3＝2，所以n ＝8.答案：811．(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )10展开式中x 3的系数为________．解析：x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 310＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310＝C 411＝330. 答案：33012．(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中，常数项为________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x ⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 6，∴要找出⎝⎛⎭⎫x －1x 6中的常数项，1x项的系数，⎝⎛⎭⎫1x 2项的系数．T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r.令6－2r ＝0，得r ＝3.令6－2r ＝－1，无正整数解．令6－2r ＝－2，得r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.答案：－5 三、解答题13．(1)求⎝⎛⎭⎫x ＋12x 4的展开式．(2)求⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式中的常数项．解析：(1)法一：⎝⎛⎭⎫x ＋12x 4＝C 04(x )4＋C 14(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2＋C 34x ⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44·⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2＋2x ＋32＋12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x ＋12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x 4＝116x2(2x ＋1)4＝116x 2(16x 4＋32x 3＋24x 2＋8x ＋1)＝x 2＋2x ＋32＋12x ＋116x2.(2)由题意知T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r 10x 520-r 2·⎝⎛⎭⎫12r (r ＝0,1，…，10)．令20－52r ＝0，得r ＝8，∴T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256. ∴第9项为常数项，其值为45256.14．已知⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x 的一次项．解析：依题意C 3n ＝7C n －1n，整理可得(n －1)(n －2)＝6×7，因为n >0，所以n ＝8.设展开式中含x 的项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8(3x )8－k⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k C k 8x8--32k k.所以8－k 3－k 2＝1，解得k ＝2.故展开式中含x 的项为第3项，即T ＝(－2)2C 2x ＝112x .能力提升15.记⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m . (1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .解析：(1)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝⎛⎭⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m ， 所以b m ＝2n ＋1－m ·C m －1n. (2)当n ＝6时，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝26－k ·C k 6·x 6－2k . 依题意，6－2k ＝0，得k ＝3， 故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160.(3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.16．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解析：由题设知m ＋n ＝19，又m ，n ∈N *， 所以1≤m ≤18.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. 所以当m ＝9或10时，x 2的系数的最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.。

课时作业(十七)计数原理、二项式定理1．(2017·东北三省四市联考)哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为()A．40B．60C．120 D．240解析：本题考查组合的应用．从五个不同部门选取两个部门有C25种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C24C22种方法，所以不同的安排方案有C25C24C22＝60种，故选B.答案：B2．(2017·陕西宝鸡市高三质量检测(一))我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品味、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为()A．12 B．8C．6 D．4解析：除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C24＝6种方法．答案：63．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80 B．－40C．40 D．80解析：因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.答案：C4.如图是由四个全等的直角三角形的一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法()A．24 B．72C．84 D．120解析：如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(种)．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(种)．共有84种．故选C.答案：C5．(2017·兰州市诊断考试)将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有()A．24种B．12种C．10种D．9种解析：第一步，为甲校选1名女老师，有C12＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C24＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法．故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B.答案：B6．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝()A ．8B ．9C ．10D ．11解析：二项式中仅x 5项系数最大，其最大值为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.答案：C 7．(2017·青岛模拟)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为( )A ．18B ．24C ．30D ．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C 24A 33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C8．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3解析：令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.答案：D9．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：将4名学生均分为2个小组共有C 24C 22A 22＝3种分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A 22＝2种分法， 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2种分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．答案：A10．(2017·福建漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A．540 B．480C．360 D．200解析：由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．答案：D11．设a∈，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12解析：由于51＝52－1，521＋1，又由(52－1)2 016＝C02 016522 016－C12 016522 015＋…－C2 0152 016于13整除52，所以只需13整除1＋a,0≤a<13，a∈，所以a＝12.答案：D12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484解析：分两种情况：①不取红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．②取红色卡片1张，有不同的取法C14C212＝264(种)．所以不同的取法有208＋264＝472(种)，故选C.答案：C13．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.解析：(1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r.令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.答案：414．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．答案：8 15．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C 48－C 46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A 24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．答案：66016．(2017·广州模拟)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －2x 15的展开式中，x 的非负整数次幂的项的个数为________．解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)rC r15·(3x )15－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝(－1)r 2rC r15x 55-6r，由题意知5－56r 为非负整数，得r ＝0或6.∴符合要求的项的个数为2. 答案：2。

（完整版）二项式定理单元测试题二项式定理单元测试题（人教B 选修2-3）一、选择题1．设二项式?33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2.?x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：∵T r ＋1＝C n r (x 2)n －r －1x r ＝(－1)r C n r x 2n －3r ，又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C n r ＝15，∴n ＝6.故选D. 答案： D3．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4 解析： (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 的系数是－10＋12＝2.答案： C4．在?x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.38解析：该二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r x 26－r ·－2x r＝(－1)r C 6r ·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1. ∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7 B ．0 C ．－1D ．－2解析：原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)．答案： A6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 00410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式T r＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·x r2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析： T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a )r x －2r ＝C 6r (－a )r x 6－3r ，∴令r ＝2得x －a x 26的常数项为C 62a ，∴令C 62a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知?x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2C n 1·12＝1＋C n 2·122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·? ??－124x r ＝－12r ·C 8rx 8－r 2·x r 4＝(－1)r C 8r 2r ·x 16－3r 4(0≤r ≤8，r ∈Z )(1)若T r ＋1是常数项，则16－3r 4＝0，即16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项； (2)若T r ＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C m 1·2x ＋C n 1·4x ＝(2C m 1＋4C n 1)x ，∴2C m 1＋4C n 1＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为 t ＝C m 222＋C n 242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 ＝16?n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272，此时n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C 11r x 11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 115x 6y 5， T 7＝C 116x 5y 6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： T 6＝－C 115x 6y 5，T 7＝C 116x 5y 6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 116x 5y 6； (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 115x 6y 5；(6)二项式系数的和为C 110＋C 111＋C 112＋…＋C 1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.。

． 二项式定理一、选择题：本大题共 个小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ．在()103x -的展开式中，6x 的系数为✌．610C 27-．410C 27．610C 9-．410C 9． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按♋的降幂排列，其中第⏹ 项与第⏹项相等，那么正整数⏹等于✌．．．  ． ．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为∶ ，则⏹是 （ ） ✌． ．  ．  ． ．  被 除的余数是✌．．．．． ☎✆ 的计算结果精确到 的近似值是✌．  ．  ．  ． ．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ☎⏹∈☠✆的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是✌． ．．．．设☎⌧31⌧21✆n 展开式的各项系数之和为♦，其二项式系数之和为♒，若♦♒，则展开式的⌧2项的系数是✌．21．．．．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为✌． ． ． ．．n xx )(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于 ，则所有项的系数中最大的值是✌．  ．  ． ． ．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为✌．－ ．．  ． ．二项式☎♦♓⏹⌧✆⏹的展开式中，末尾两项的系数之和为 ，且系数最大的一项的值为25，则⌧在☯， π 内的值为✌．6π或3π ．6π或65π ．3π或32π．3π或65π．在☎⌧✆ ☎⌧✆ ☎⌧✆ 的展开式中 含⌧ 项的系数是等差数列 ♋⏹ ⏹－ 的 （ ） ✌．第 项 ．第 项 ．第 项．第 项二、填空题：本大题满分 分，每小题 分，各题只要求直接写出结果 ．92)21(xx -展开式中9x 的系数是．若()44104x a x a a 3x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．若 32()n x x -+的展开式中只有第 项的系数最大，则展开式中的常数项是∙∙∙∙∙∙ ∙ ．对于二项式☎⌧✆1999，有下列四个命题： ①展开式中❆1000 － 19991000⌧999； ②展开式中非常数项的系数和是 ；③展开式中系数最大的项是第 项和第 项； ④当⌧时，☎⌧✆1999除以 的余数是 ． 其中正确命题的序号是♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 分．（ 分）若n x x )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． （１）求⏹的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？．（ 分）已知☎124x +✆⏹的展开式中前三项的二项式系数的和等于 ，求展式中二项式系数最大的项的系数．．（ 分）是否存在等差数列{}n a ，使nn n1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．．（ 分）某地现有耕地 亩，规划 年后粮食单产比现在增加 ，人均粮食占有量比现在提高 。

二项式定理 选择题测试 1.823)21(b a 展开式的所有项系数总和是 （ ）A.28B.821C.0D.12.若(3x 2-nx )213(n ∈N *)展开式中含有常数项,则n 的最小值是 （ ）A.4B.5C.6D.3.设n 为自然数,则0C n 2n -1C n 2n -1+…+(-1)k kn C 2n -k +…+(-1)n nn C 等于 （ ）A.2nB.0C.-1D.14.若(x -x 1)n 展开式的第4项含x 3,则n 的值为 （ ）A.8B.9C.10D.115.在(x 2+3x +2)5的展开式中,x 的系数为 （ ）A.160B.240C.360D.8006.(a +b )n 二项展开式中与第r 项系数相同的项是 （ ）A.第n -r 项B.第n -r -1项第n -r +1项 D.第n -r +2项7.在(x +y )n 展开式中第4项与第8项的系数相等,则展开式里系数最大的项是 （）A.第6项B.第5项第5、6项 D.第6、7项8.在(1+2x -x 2)4的展开式中，x 7的系数是 （ ）A.-8B.12C.6D.以上都不对9.数11100－1的末位连续是零的个数是 （ ）A.0B.3C.5D.710.(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )n 的展开式中所有奇次项系数的和为 （ ）A.2nB.2n +1C.2n -1D.2n -211.(2x +y -z )6展开式中,x 3y 2z 项的系数为（ ）A.480B.160C.-480D.-16012.对于二项式nx x )1(3+ n ∈N ，四位同学作出了四种判断： （ ）①存在n ∈N ，展开式中有常数项；②对任意n ∈N ，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N ，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项。

上述判断中正确的是A.①与③B.②与③C.②与④D.④与①13.设(a -b )n 的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是 （） A.第5项 B.第4、5两项 C.第4、6两项 D.第5、6两项14.432)1(x x x +++的展开式中奇次项系数和是 （ ）A.64B.120C.128D.25615.332除以9的余数是 （ ）A.1B.2C.4D.816.在52)23(++x x 的展开式中，含x 的项为 （ ）A.x 160B.x 240C.x 360D.x 80017.二项式14)1(+-n x n ∈N 的展开式中,系数最大项为 （ ）A.第12+n 或22+n 项B.第12+n 项C.第22+n 项D.第n 2项或12+n 项18.(x －1)9按x 的降幂排列系数最大的项是 （ ）A.第四项和第五项B.第五项C.第五项和第六项D.第六项19.若4)32(+x ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为 （ ）A.1B.－1C.0D.220.(1+x +21x )10的展开式里的常数项为 （ ）A.4351B.4352C.4353D.43521.(1+x )9的展开式中系数最大的项是 （ ）A.126x 4B.126xC.126x 4和126x 5D.126x 5和126x 622.3333333233133C C C C ++++ 除以9的余数是 （ ） A.0 B.11 C.2 D.723.在（x 2+3x +2）5的展开式中含x 项的系数是 （ ）A.160B.240C.360D.80024.若(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n中,a 3=a 12,则自然数n 的值是 （ ）25.(1-x )6展开式中x 的奇次项系数和为（ ）A.32B.-32C.0D.-6 26.若(x +x 1)n (n ∈N )的展开式中各项系数的和大于8且小于32,则展开式中系数最大的项应是（ ）A.6xB.3x 2C.10x 2D.20x 327.设S =(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4(x -1)+1,它等于下式中的（ ）A.(x -2)4B.(x -1)4x 4 D.(x +1)4 28.72)12(x x +的展开式中倒数第三项的系数是 （ ） A.67C ·2 B.67C ·2657C ·22 D.57C ·2529.设n x x )1(2++n n x a x a x a a 222210++++= 则n a a a a 2420++++ 等于 （ ）A.n 2B.213-nC.12+nD.213+n30.n ∈N ，二项式n y x 2)(+的展开式的各项的二项式系数最大的是 （ ）A.奇数B.偶数C.不一定是整数D.是整数，但奇偶与n 的取值有关31.若()521x -的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是 （ ） A.101-<x B.0101<<-x C.10141-<≤-x D.041≤≤-x32.()()()()()等于若2012112019120205lg 5lg 2lg 5lg 2lg 2lg +++++--- r r r C C （ ）A.1B.()207lgC.202D.201033.设n是偶数，a、b分别表示()12++nix的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（）A. a=bB. a=b+1C. a=b-1D. a=b+234.在()100332yx+的展开式中，系数为有理数的项共有（）A.16项B.17项C.18项D.19项35.在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是（）A.－297B.－252C.297D.20736.设nxx)5(3121-的展开式的各项系数之和为M,而二项式系数之和为N,且M－N=992.则展开式中x2项的系数为（）A.250B.－250C.150D.－15037.n∈N*,(x+1)(2x+1)(3x+1)……(nx+1)的展开式中含有x项的系数是（）A.1C-nn B.2C-nn C.11C+n D.21C+n参考答案1.B2.B3.D4.B5.B6.D7.A8.A9.B 10.C 11.C 12.D 13.A 14.C 15.D 16.B 17.B 18.B 19.A 20.A 21.C 22.D 23.B 24.C 25.B 26.A 27.C 28.C 29.D 30.B 31.B 32.A 33.B 34.B 35.D 36.B 37. D。

6.3二项式定理一、单选题1．在()52x -的展开式中，4x 的系数为 A ．5 B ．5- C ．10 D ．10-A ．8B ．16C ．24D ．323．已知6(mx的展开式中3x 的系数为15，则m 的值为（ ） A ．1-或1 B ．1或2 C ．3 D ．54．1展开式中无理项的项数为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．()6221ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （ ）A ．2B ．4C ．2-D ．-6．已知9290129(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则8（ ）A ．27B ．27-C ．324D ．324-【答案】B【分析】[]99(2)(1)3x x -=+-，将1x +看成一个整体，写出展开式的通项，令8r =即可求出结果．【解析】解：[]99(2)(1)3x x -=+-， 则其展开式的通项为：()()91913r rr r T C x -+=+-，当8r =时，()()()81889913271T C x x =+-=-+，所以827a =-．7．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ） A ．90 B ．-90 C ．180 D ．-1808．若0129，且22028139()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+93=，则实数m 的值为（ ） A ．3-或0 B ．3-或1 C ．1-或1 D ．3或0【答案】B【分析】利用赋值法，令0x =，可得90129(2)a a a a m +++⋅⋅⋅+=+，令2x =-，可得90129a a a a m -+-⋅⋅⋅-=，再利用平方差公式即可求解.【解析】令0x =，得到90129(2)a a a a m +++⋅⋅⋅+=+， 令2x =-，得到90129a a a a m -+-⋅⋅⋅-=，∴999(2)3m m +⋅=，即223m m +=，2230m m +-=， 解得3m =-或1m =， 9．已知()()()()20212202101220212111x a a x a x a x -=+++++++，则0122021a a a a ++++=（ ） A ．40422 B ．1 C ．20212 D ．020212021a t ++1=-可得出2021a ++的值1x +，可得20212021a t ++2021的展开式通项为)1r-. ()20212021012202131a a a a a ++=-+--=+10．若)20ax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为（ ） A ．()[],02,3-∞B ．()11,0,32⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 C【分析】计算9n =，计算()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，根据系数的大小关系得到5454549954563699C 2C 2C 2C 2aaa a ⎧≥⎨≥⎩，解得答案. 【解析】2512n =，9n =，()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =， 第6项的系数最大，5454549954563699C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧≥∴⎨≥⎩，则23a ≤≤. 11．不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则6x a ⎫⎪⎭的展开式中常数项为 A ．64- B ．16027-C ．2027D ．80312．已知01232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（ ）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯于是得()2021202020192018201710012342020202120212021k k a a a a a a k a a =⎡⎤++++++=-+⎢⎥⎣⎦∑()20212021202110120212020202120212020101[2021]20212021kk k k k k k CCCC C --===⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭∑∑∑2021202020202021(22)20212=-=⨯.13．已知()20122221n n n n n n n x x T T x T x T x ++=++++，*n ∈N 其中i n T 为()21nx x ++展开式中i x 项的系数，0,1,2,,2i n =，则下列说法不正确的有（ ）A ．1688i i T T -=，0,1,2,,16i =B ．23448889T T T T ++=C ．02161115888888T T T T T T +++=+++D ．88T 是012168888,,,T T T T 中的最大项【答案】C【分析】依题意8n =，写出()821x x ++的展开式，再一一判断即可；【解析】解：依题意8n = 所以2828(1)[(1)]x x x x ++=++0817226435644853106212714816888888888(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)C x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x=++++++++++++++++23456789101112131415161836112266504784101611071016784504266112368x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++++++++由上式可知，选项A ，D 正确；2929(1)[(1)]x x x x ++=++展开式中099(1)C x +，1829(1)C x x +，2749(1)C x x +的4x 的系数和为： 40412209999897414T C C C C C C =++=，而23488836112266414T T T ++=++=，故23448889T T T T ++=，故B 正确；由式子可得，02161315888888T T T T T T ++⋯+>++⋯+，故选项C 不正确．二、多选题14．关于()10a b -的说法，正确的是（ ） A ．展开式中的二项式系数之和为1024B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小【答案】ABD【分析】对于选项A ，由二项式系数的性质知正确；对于选项,B C ，当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；对于选项D ，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D 正确.【解析】关于10()a b -的说法：对于选项A ，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为1021=024，故A 正确； 对于选项,B C ，当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；对于选项D ，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D 正确.15．若()102100121021x a a x a x a x -=++++，x ∈R ，则（ ）A ．2180a =B ．10012103a a a a ++++=C ．12101a a a +++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 1010a x ++，则10≤，当i 1010012310[12(1)]a a a a a a ++=-+-++=--=10210(121)1a a +++=-⨯=，则12100a a a +++=10310223101(12)02222a a a ++++=-⨯=，则10122102222a a a a ++++=-16．已知6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）A ．1a =B ．展开式中常数项为160C ．展开式系数的绝对值的和1458D ．若r 为偶数，则展开式中r x 和1r x -的系数相等 6)31458a =，故选项的展开式中各项系数的和为(1)(2a x +故选项B6)31458a =，故选项(1)(2a x x +64192x -+17．若232020202101232020202123x a a x a x a x a x a x -=++++++，则正确的是（ ）A ．02a =B ．202113520192021152a a a a a --+++++=C ．202101220215a a a a ++++=D ．20213202020211223202020211222222a a a a a ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭20202020a x ++2020a +++2020a ++-20192021(1)a a f =+++210,N,1010n a n n +<∈≤2021012320202021(1)f a a a a a a a ++=-+-++-=-2020202132020202112002020202123202020212222222a a a a a a a a a +++=++++++-202120211()22-=，D 不正确.三、填空题18．在6(23)++a b c 展开式中，含32a b c 的项的系数是___________. 【答案】720【分析】根据乘法分配律以及组合数的计算求得正确答案. 【解析】根据乘法分配律可知，含32a b c 的项的系数是：()3221631C C 2C 3720⨯=⨯⨯⨯. 19．在nx⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为___________20．已知65432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______． 【答案】4-【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可. 【解析】()51x -的展开式通项为515C (1)r rr r T x-+=-，所以11005551C (1)1C (1)514a =⨯⨯-+⨯⨯-=-+=-，21．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为1M 、2M 、L 、1023M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m 、2m 、L 、1023m ，则121023m m m +++的值为___________. 【答案】1-【分析】构造函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，设该函数展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，利用赋值法可求得结果.【解析】设集合H 的十个元素分别为1a 、2a 、L 、10a . 1210121391012389101210121023m a a a a a a a a a a a a a a a a m m a a =+++++++++++++++.设函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++展开式中所有项系数之和为T ， 则1210231m m m T +++=-，因为()10T f ==，所以11T -=-．四、解答题22．在二项式()923x y -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；(1)求展开式的第3项的二项式系数； (2)求展开式中含2x 的项.24．已知2a x ⎛ ⎝（n N *∈）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29．(1)求n 的值；(2)若展开式中x 的一次项的系数为56，求实数a 的值． 【答案】(1)7n =； (2)8a =.【分析】（1）由题设有01229n n n C C C ++=，结合组合数公式整理成关于n 的一元二次方程求解即可.（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含x 的项，结合其系数列方程求a 的值．(1)由题设，01229n n n C C C ++=，整理得2560n n +-=，解得8n =-（舍）或7n =；（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项．26．已知（n 为正整数）的二项展开式中.(1)若024C C C 256n n n +++=，求所有项的系数之和；(2)若012C C C 821n n n ++=，求展开式中的有理项的个数；(3)若30n =，求系数最大的项.C 2n n ++=1351C C C 2n n n n -+=+++=，9n ⇒=.9x ⎫⎪⎭中1x =，则所有项的系数之和为：}0,1,2,3,,40，要使展开式为有理项，，则0,4,8,12,16,r =故展开式中的有理项的个数为27．已知()20121n n x a a x a x a x λ+=+++⋅⋅⋅+，其中R λ∈． (1)若8n =，71024a =，求λ的值；(2)若1λ=-，2022n =，求0242022a a a a +++⋅⋅⋅+的值．28．若2801281mx a a x a x a x +=++++，其中356a =-.(1)求m 的值； (2)求128a a a +++；(3)求()()22024681357a a a a a a a a a ++++-+++. 【答案】(1)1- (2)1- (3)0【分析】（1）由()81mx +展开式的通项求解即可； （2）令0x =与1x =即可求解； （3）令=1x -并结合（2）即可求解得【解析】（1）()81mx +的展开式的通项为()8188C 1C rr r r r r r T mx m x -+=⋅⋅=⋅⋅， 所以3338C 56a m =⋅=-，所以31m =-，解得1m =-；（2）由（1）知()82801281x a a x a x a x -=++++，令0x =，可得01a =， 令1x =，可得()80128110a a a a ++++=-=，所以1281a a a +++=-L ； （3）令=1x -，可得()8012811256a a a a -+-+=+=，由（2）知()80128110a a a a ++++=-=，所以()()22024681357a a a a a a a a a ++++-+++()()0128012802560a a a a a a a a ==⨯++++-+-+=29．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第4个数；（2）求n 阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；（3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m －1斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第m 斜列中第k 个数.试用含有m ，k (m ，k ∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.【答案】（1）1140；（2）2n ＋1－1；（3）证明见解析. 【分析】（1）计算320C 即得解； （2）计算1＋2＋22＋…＋2n 即得解；（3）根据题意，所求结论可表示为111121(m m m m m m m k m k C C C C m ----+-+-++⋯+=、*k ∈N 且)k m …．再由组30．已知()(1)2(1)(1)(1),f x x x k x n x n =+++++++++∈N .（1）当3n =时，求()f x 的展开式中含3x 项的系数；（2）证明：()f x 的展开式中含n x 项的系数为221(1)n n n C +++；（3）定义：121ni n i a a a a ==+++∑，化简：1(1)nin i i C =+∑.）()(1f x =)x 的展开式中含223n n C C +++()211332(1)n n n n n n n C C C +++++=+++⋅⋅⋅+221(1)n n n C ++=+.（3）1211(1)23(1)ni n nn n n n n i i C C C nC n C -=+=++⋅⋅⋅+++∑①1211(1)(1)32ni n n n n n n n i i Cn C nC C C -=+=+++⋅⋅⋅++∑②在①､②添加0n C ，则得012111(1)23(1)ni n nn n n n n n i i C C C C nC n C -=++=+++⋅⋅⋅+++∑③ 121011(1)(1)321ni n n n n n n n n i i C n C nC C C C -=++=+++⋅⋅⋅+++∑④ ③+④得：()0121121(1)(2)(2)2n i n n n nn n n n n i i C n C C C C C n -=⎛⎫++=++++⋅⋅⋅++=+ ⎪⎝⎭∑11(1)(2)21ni n n i i C n -=∴+=+-∑。